无锡市辅仁中学九年级数学上册第二单元《二次函数》测试卷(含答案解析)

一、选择题
1．若飞机着陆后滑行的距离()s m 与滑行的时间()t s 之间的关系式为s=60t-1.5t 2，则函数图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．已知函数221y x x =--，下列结论正确的是（ ）
A ．函数图象过点()1,1-
B ．函数图象与x 轴无交点
C ．当1≥x 时， y 随x 的增大而减小
D ．当1x ≤时， y 随x 的增大而减小 3．二次函数y ＝ax 2+bx +c 的部分图象如图，图象过点A （3，0），对称轴为直线x ＝1，下列结论：①a ﹣b +c ＝0；②2a +b ＝0； ③4ac ﹣b 2＞0；④a +b ≥am 2+bm （m 为实数）；⑤3a +c ＞0．则其中正确的结论有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
4．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：
①ac ＜0；②b ＜0；③4ac ﹣b 2＜0；④当x ＞﹣1时，y 随x 的增大而减小．其中正确的有（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
5．将抛物线22y x =平移，得到抛物线22(4)1y x =-+，下列平移方法正确的是（ ） A ．先向左平移4个单位，在向上平移1个单位
B ．先向左平移4个单位，在向下平移1个单位
C ．先向右平移4个单位，在向上平移1个单位
D ．先向右平移4个单位，在向下平移1个单位
6．如图为二次函数2y ax bx c =++的图象，此图象与x 轴的交点坐标分别为(－1，0)、(3，0).下列说法：0abc >；方程20ax bx c ++=的根为11x =-，23x =；当1x >时，y 随着x 的增大而增大；420a b c ++<.正确的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．3
7．一次函数y cx b =-与二次函数2y ax bx c =++在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 8．二次函数2y ax bx c =++()0a ≠的图象如图所示，观察得出了下面4条信息：①0abc >；②0a b c -+>；③230a b -=；④240b ac ->．你认为其中正确的结论有（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，则下列结论：①0abc >；②关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的根是-1，3；③2a b c +=；④y 最大值43
c =；其中正确的有（ ）个．
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
10．如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架，为了牢固起见，构件需要每隔0.4m 加设一根不锈钢的支柱，构件的最高点距底部0.5m ，则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度为（ ）
A ．0.8m
B ．1.6m
C ．2m
D ．2.2m 11．表格对应值： x 1 2
3 4 2ax bx c ++ 0.5-
5 12.5 22 判断关于x 的方程2ax bx c ++=的一个解x 的范围是（ ）A ．01x << B ．12x << C ．23x << D ．34x <<
12．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A ．0abc >
B ．20a b +<
C ．关于x 的方程230ax bx c +++=有两个相等的实数根
D ．930a b c ++<
二、填空题
13．如图，正方形OABC 的边长为2，OA 与x 负半轴的夹角为15°，点B 在抛物线()20y ax a =<的图象上，则a 的值为_．
14．已知抛物线243y x x =-+与x 轴相交于点A ，B （点A 在点B 左侧），顶点为M 平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M '落在x 轴上，点B 平移后的对应点B '落在y 轴上，则平移后的抛物线解析式为______．
15．如图，在喷水池的中心A 处竖直安装一个水管AB ，水管的顶端B 处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A 的水平距离为1m 处达到最高点C ，高度为3m ，水柱落地点D 离池中心A 处3m ，则水管AB 的长为_____m ．
16．抛物线23y x =先向上平移1个单位，再向左平移1个单位，所得的抛物线为________
17．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，其函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示，则42a b c ++=___________． x 3-
1- 0 1 3 y 552 152 72 72 312
18．已知二次函数()2
32y x m x m =-+-+的顶点在y 轴上，则其顶点坐标为___________．
19．在平面直角坐标系中，点A 是抛物线()2
4y a x k =-+与y 轴的交点，点B 是这条抛物线上的另一点，且//AB x 轴，则以AB 为边的等边三角形ABC 的周长为_____．
20．写出一个二次函数，其图像满足：①开口向下；②与y 轴交于点(0,3)-，这个二次函数的解析式可以是_______________________．
三、解答题
21．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件．
（1）若商场平均每天赢利600元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？
22．已知二次函数2y ax =与22y x c =-+．
（1）随着系数a 和c 的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变；
（2）若这两个函数图象的形状相同，则a =______；若抛物线2y ax =沿y 轴向下平移2
个单位就能与2
2y x c =-+的图象完全重合，则c =______． （3）二次函数22y x c =-+中x 、y 的几组对应值如下表： x 2- 1 5
y m n p
m n p <
23．（1）若抛物线23y x x a =++与x 轴只有一个交点，求实数a 的值；
（2）已知点()3,0在抛物线()2
33y x k x k =-++-上，求此抛物线的对称轴． 24．如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，6cm AC =，8cm BC =，点P 由A 出发向点C 移动，点Q 由C 出发向点B 移动，两点同时出发，速度均为1cm/s ，运动时间为t 秒．
（1）几秒时PCQ △的面积为4？
（2）是否存在t 的值，使PCQ △的面积为5？若存在，求这个t 值，若不存在，说明理由． （3）几秒时PCQ △的面积最大，最大面积是多少？
25．如图1，抛物线y =x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C （0，2），连接AC ，若OC =2OA ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线对称轴l 上有一动点P ，当PC +PA 最小时，求出点P 的坐标；
（3）如图2所示，连接BC ，M 是线段BC 上（不与B 、C 重合）的一个动点．过点M 作直线l '∥l ，交抛物线于点N ，连接CN ，BN ，设点M 的横坐标为t ．当t 为何值时，△BCN 的面积最大？最大面积为多少？
26．某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本价为每瓶16元，当销售单价定为每瓶20元时，每天可售出60瓶．市场调查反应：销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨x 元，每天的销售量利润为y 元．
（1）每天的销售量为___瓶，每瓶洗手液的利润是___元；（用含x 的代数式表示） （2）若这款洗手液的日销售利润y 达到300元，则销售单价应上涨多少元？
（3）当销售单价上涨多少元时，这款洗手液每天的销售利润y 最大，最大利润为多少元？
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据关系式可得图象的开口方向，可求出函数的顶点坐标，根据s 从0开始到最大值时停止，可得t 的取值范围，即可得答案．
【详解】
∵滑行的距离()s m 与滑行的时间()t s 之间的关系式为s=60t-1.5t 2，-1.5＜0，
∴图象的开口向下，
∵s=60t-1.5t 2=-1.5（t-20）2+600，
∴顶点坐标为（20，600），
∵s 从0开始到最大值时停止，
∴0≤t≤20，
∴C 选项符合题意，
【点睛】
本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
2．D
解析：D
【分析】
根据二次函数的性质进行判断即可．
【详解】
解：A 、当x=-1时，221y x x =--=1+2﹣1=2，函数图象过点（-1，2），此选项错误； B 、∵△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，
∴函数图象与x 轴有两个交点，
故此选项错误；
C 、∵221y x x =--=（x ﹣1）2﹣2，且1＞0，
∴当x≥1时，y 随x 的增大而增大，
故此选项错误；
D 、当x≤1,时，y 随x 的增大而减小，此选项正确，
故选：D ．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、抛物线与x 轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．
3．B
解析：B
【分析】
由抛物线过点A(3，0)及对称轴为直线x=1，可得抛物线与x 轴的另一个交点，则可判断①②是否正确；由抛物线与x 轴有两个交点，可得△>0，据此可判断③是否正确；由x=1时，函数取得最大值，可判断④是否正确；把b=-2a 代入a-b+c=0得3a+c=0，则可判断⑤是否正确．
【详解】
解：∵二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点A （3，0），对称轴为直线x ＝1，
∴点A （3，0）关于直线x ＝1对称点为（﹣1，0），∴当x ＝﹣1时，y ＝0，即a ﹣b +c ＝0．故①正确；
∵对称轴为直线x ＝1，∴﹣2b a
＝1，∴b ＝﹣2a ，∴2a +b ＝0，故②正确； ∵抛物线与x 轴有两个交点，∴△＝b 2﹣4ac ＞0，∴4ac ﹣b 2＜0，故③错误；
∵当x ＝1时，函数有最大值，∴a +b +c ≥am 2+bm +c ，∴a +b ≥am 2+bm ，故④正确； ∵b ＝﹣2a ，a ﹣b +c ＝0，∴a +2a +c ＝0，即3a +c ＝0，故⑤错误；
综上，正确的有①②④．
故选：B ．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合并明确二次函数的相关性质是解题的关键．
4．B
解析：B
【分析】
由抛物线的开口方向判定a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：①∵由二次函数的图象可知：抛物线的开口向上，
∴a ＞0；
又∵二次函数的图象与y 轴的交点在负半轴，
∴c ＜0；
∴ac ＜0，即①正确；
②由图象知，对称轴x ＝2b a
＝1，则b ＝﹣2a ＜0．故②正确； ③由图象知，抛物线与x 轴有2个交点，则b 2﹣4ac ＞0，故③正确；
④由图象可知当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；故④错误．
综上所述，正确的结论是：①②③．
故选：B ．
【点睛】
此题考查学生掌握二次函数的图像与性质，考查了数形结合的数学思想，解本题的关键是根据图像找出抛物线的对称轴．
5．C
解析：C
【分析】
先利用顶点式得到两抛物线的顶点式，然后通过点平移的规律得到抛物线平移的情况．
【详解】
解：抛物线y=2x 2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=2（x-4）2+1的顶点坐标为（4，1），而点（0，0）先向右平移4个单位，再向上平移1个单位可得到点（4，1），
所以抛物线y=2x 2先向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到抛物线y=2（x+4）2+1． 故选：C ．
【点睛】
本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 6．C
解析：C
【分析】
①由抛物线的开口方向、与y 轴的交点判定a 、c 的符号，根据对称轴确定b 的符号； ②根据二次函数图象与x 轴的交点解答；
③利用对称轴和二次函数的图象的性质作出判断；
④将x=2代入函数关系式，结合图象判定y 的符号．
【详解】
解：①∵抛物线的开口向上，对称轴在y 轴的右边，与y 轴的交点在y 的负半轴上， ∴a ＞0，-
b 2a
＞0，c ＜0， 即b ＜0，
∴abc ＞0，正确；
②二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点是（-1，0）、（3，0），
∴方程ax 2+bx+c=0的根为x 1=-1，x 2=3
故本选项正确；
③函数对称轴是直线x=1，
根据图象当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；
④根据图象可知抛物线与x 轴的交点坐标是（-1，0），（3，0），
∴当x=2时，y ＜0
∴当x=1时4a+2b+c ＜0，正确．
共有四个正确的，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了二次函数与系数的关系的应用，主要考查学生对二次函数的图象与系数的关系的理解和运用，同时也考查了学生观察图象的能力，本题是一道比较典型的题目，具有一定的代表性，还是一道比较容易出错的题目． 7．D
解析：D
【分析】
先假设0c <，根据二次函数2
y ax bx c =++图象与y 轴交点的位置可判断A ，C 是否成立；
再假设0c >，0b <，判断一次函数y cx b =-的图象位置及增减性，再根据二次函数2y ax bx c =++的开口方向及对称轴位置确定B ，D 是否成立．
【详解】
解：若0c <，则一次函数y cx b =-图象y 随x 的增大而减小，此时二次函数2y ax bx c =++的图象与y 轴的交点在y 轴负半轴，故A ，C 错；
若0c >，0b <，则一次函数y cx b =-图象y 随x 的增大而增大，且图象与y 的交点在y 轴正半轴上，此时二次函数2y ax bx c =++的图象与y 轴的交点也在y 轴正半轴，若0a >，则对称轴b x 02a =->，故B 错；若0a <，则对称轴02b x a
=-<，则D 可能成
立．
故选：D ．
【点睛】
本题考查一次函数图象与二次函数图象的综合判断问题，解答时可假设一次函数图象成立，分析二次函数的图象是否符合即可．
8．C
解析：C
【分析】
由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行分析，进而对所得结论进行判断．
【详解】
①由二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上可知a ＞0，图象与y 轴交点在负半轴，c ＜
0，对称轴b 1x=-
=2a 3，2b=-a 3
＜0，因此0abc >，故正确； ②由图象可知x ＝−1时，y ＝a−b ＋c ＞0，故正确； ③对称轴b 1x=-=2a 3
，2+30a b =，故错误； ④由图象与x 轴有两个交点，可知240b ac ->，故正确．
所以①②④三项正确，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了二次函数与系数的关系，解答本题关键是掌握二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 系数符号的确定．
9．C
解析：C
【分析】
利用抛物线开口方向得到a ＜0，利用抛物线的对称轴方程得到b=-2a ＞0，利用抛物线与y 轴的交点在x 轴上方得到c ＞0，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（-1，0），则根据抛物线与x 轴的交点问题可对②进行判断；由于x=-1时，a-b+c=0，再利用b=-2a 得到c=-3a ，则可对③④进行判断．
【详解】
解：∵抛物线开口向下，
∴a ＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣
b 2a =1， ∴b=-2a ＞0，
∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，
∴c ＞0，
∴abc ＜0，所以①错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x 轴的一个交点坐标为（3，0），
∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（-1，0），
∴关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的根是-1，3，所以②正确；
∵当x=-1时，y=0，
∴a-b+c=0，
而b=-2a ，
∴a+2a+c=0，即c=-3a ，
∴a+2b-c=a-4a+3a=0，
即a+2b=c ，所以③正确；
a+4b-2c=a-8a+6a=-a ，所以④错误；
故选：C ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）．抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．
10．B
解析：B
【分析】
根据题意建立平面直角坐标系，得出B 、C 的坐标，然后根据待定系数法求出抛物线解析式，然后求出当当0.2x =和0.6x =时y 的值，然后即可求解．
【详解】
如图，由题意得()0,0.5B ，()1,0C ．
设抛物线的解析式为2y ax c =+， 代入得12
a =-，12c =， ∴抛物线的解析式为21122y x =-
+． 当0.2x =时，0.48y =，
当0.6x =时，0.32y =．
∴()1122334420.480.32 1.6BC B C B C B C m +++=⨯+=，
故选B ．
【点睛】
本题考查了二次函数的拱桥问题，关键是要根据题意作出平面直角坐标系，并根据所建立的平面直角坐标系求出函数解析式．
11．B
解析：B
【分析】
利用x =1和x =2所对应的函数值可判断抛物线y=ax 2+bx +c 与x 轴的一个交点在（1，0）和（2，0）之间，则根据抛物线于x 轴的交点问题可判断关于x 的方程ax 2+bx +c =0（a≠0）的一个解x 的范围．
【详解】
解：∵x =2时，y =5，即ax 2+bx +c ＞0；
x =1时，y =-0.5，即ax 2+bx +c ＜0，
∴抛物线y=ax 2+bx +c 与x 轴的一个交点在（1，0）和（2，0）之间，
∴关于x 的方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的一个解x 的范围是1＜x ＜2．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．
12．D
解析：D
【分析】
由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：由图象可知：a ＜0，b ＞0，c ＞0，abc ＜0，故A 选项错误；
对称轴为x=-
2b a
=1，得2a=-b ， ∴2a+b=0，故B 错误； 由图像可得二次函数的图象与x 轴有两个交点，故230ax bx c +++=有两个相等的实数根的说法错误，故C 错误；
∵对称轴为x=1，
∴抛物线与x 轴的另一个交点得横坐标小于2，
∴当x=3时，y=9a+3b+c ＜0，故D 正确；
【点睛】
本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．
二、填空题
13．【分析】连接OB 过点B 作BD ⊥x 轴于D 根据正方形的性质求得∠BOA=45°OB=根据三角函数和勾股定理可得点B 的坐标为（）代入抛物线即可求解【详解】如图连接OB 过点B 作BD ⊥x 轴于D ∵四边形OABC 解析：2- 【分析】 连接OB ，过点B 作BD ⊥x 轴于D ，根据正方形的性质求得∠BOA=45°，OB=22，根据三角函数和勾股定理可得点B 的坐标为（6-,2-）,代入抛物线()20y ax
a =<即可求解．
【详解】
如图，连接OB ，过点B 作BD ⊥x 轴于D ，
∵四边形OABC 是边长为2的正方形，
∴∠BOA=45°，OB=22，
∵AC 与x 轴负半轴的夹角为15°，
∴∠AOD=45°﹣15°=30°，
∴BD= 12
OB= 2，OD= 22OB BD -= 82-= 6, ∴点B 的坐标为（6-,2-）, ∵点B 在抛物线()20y ax
a =<的图象上， 则：()262a -=-，
解得：26
a =-， 故答案为26a =-
故答案为：26
-．
【点睛】
本题主要考查根据坐标求解析式，涉及到正方形的性质、勾股定理、三角函数值，解题的关键是熟练掌握所学知识求得点B 的坐标．
14．；【分析】先令y=0求得点AB 的坐标再求得顶点M 的坐标根据题意即可得出平移的方向和距离进而可求得平移后的解析式【详解】解：令y=0则有解得：x1=1x2=3∴A(10)B(30)∵=（x ﹣2）2﹣1
解析：221y x x =
++； 【分析】
先令y=0求得点A 、B 的坐标，再求得顶点M 的坐标，根据题意即可得出平移的方向和距离，进而可求得平移后的解析式．
【详解】
解：令y=0，则有2043x x =-+，
解得：x 1=1，x 2=3，
∴A(1，0)，B(3，0)，
∵243y x x =-+=（x ﹣2）2﹣1，
∴顶点M 的坐标为（2，﹣1），
∵平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M '落在x 轴上，点B 平移后的对应点B '落在y 轴上，
∴将原抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度，即可得到平移后的抛物线，
∴平移后的顶点坐标为（﹣1，0），
即平移后的解析式为y=（x+1）2=x 2+2x+1，
故答案为：221y x x =
++．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与几何变换，会求抛物线与坐标轴的交点和顶点坐标，熟练掌握抛物线平移的变换规律是解答的关键． 15．【分析】以喷水池中心A 为原点竖直安装的水管AB 所在直线为y 轴与水管垂直的AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）2+3（0≤x≤3）将（30）代入求得a 值则x ＝0时得的y 值 解析：94
【分析】
以喷水池中心A 为原点，竖直安装的水管AB 所在直线为y 轴，与水管垂直的AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）2+3（0≤x≤3），将（3，0）代入求得a 值，则x ＝0时得的y 值即为水管的长．
【详解】
以喷水池中心A 为原点，竖直安装的水管AB 所在直线为y 轴，与水管垂直的AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系，
由于喷出的抛物线形水柱在与池中心A 的水平距离为1m 处达到最高点C ，高度为3m ， 所以设抛物线的解析式为：
y ＝a （x ﹣1）2+3（0≤x≤3），
代入（3，0），得：0=a （3-1）2+3，
解得：a ＝34-． 将a 值代入得到抛物线的解析式为：
y ＝34
-（x ﹣1）2+3（0≤x≤3）， 令x ＝0，则y ＝94
． 即水管AB 的长为
94m ， 故答案为：94
．
【点睛】
本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．
16．【分析】根据二次函数的平移规律上加下减左加右减即可求解【详解】解：抛物线先向上平移1个单位再向左平移1个单位所得的抛物线为故答案为：【点睛】本题考查抛物线的平移掌握二次函数的平移规律上加下减左加右减
解析：()2
311y x =++
【分析】
根据二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”即可求解．
【详解】
解：抛物线23y x =先向上平移1个单位，再向左平移1个单位，所得的抛物线为()2
311y x =++，
故答案为：()2311y x =++．
【点睛】
本题考查抛物线的平移，掌握二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”是解题的关键． 17．【分析】先根据和的函数值相同可得二次函数的对称轴为从而可得再根据时的函数值可得从而可得由此即可得【详解】和的函数值相同此二次函数的对称轴为即当时则故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的性质正确求出二 解析：152
【分析】
先根据0x =和1x =的函数值相同可得二次函数的对称轴为12x =
，从而可得=-b a ，再根据1x =-时的函数值可得152a b c
，从而可得1522
a c ，由此即可得． 【详解】 0x =和1x =的函数值相同，
∴此二次函数的对称轴为12x =， 122
b a ∴-=，即=-b a ， 当1x =-时，152y
a b c ， 1522
a c ， 则4242a
b
c a a c ， 2a c ， 152
=， 故答案为：
152
． 【点睛】
本题考查了二次函数的性质，正确求出二次函数的对称轴是解题关键． 18．【分析】先根据二次函数的顶点在y 轴上可得其对称轴为y 轴从而求出m 的值再根据二次函数的解析式即可得出答案【详解】二次函数的顶点在y 轴上此二次函数的对称轴为y 轴即解得二次函数的解析式为其顶点坐标为故答案 解析：()0,2
【分析】
先根据二次函数的顶点在y 轴上可得其对称轴为y 轴，从而求出m 的值，再根据二次函数的解析式即可得出答案．
【详解】
二次函数()2
32y x m x m =-+-+的顶点在y 轴上， ∴此二次函数的对称轴为y 轴，
即()
2023m x -=-=⨯-， 解得2m =，
∴二次函数的解析式为232y x =-+，
∴其顶点坐标为()0,2，
故答案为：()0,2．
【点睛】
本题考查了二次函数的顶点坐标和对称轴，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键． 19．24【分析】根据抛物线的解析式即可确定对称轴则可以确定AB 的长度然后根据等边三角形的周长公式即可求解【详解】抛物线的对称轴是过点作于点如下图所示则则则以为边的等边的周长为故答案为24【点睛】此题考查 解析：24
【分析】
根据抛物线的解析式即可确定对称轴，则可以确定AB 的长度，然后根据等边三角形的周长公式即可求解．
【详解】
抛物线2
(4)y a x k =-+的对称轴是4x =
过C 点作CD AB ⊥于点D ，如下图所示
则4=AD ，则28AB AD ==
则以AB 为边的等边ABC 的周长为2483=⨯．
故答案为24．
【点睛】
此题考查了二次函数的性质，根据抛物线的解析式确定对称轴，从而求得AB 的长是关键．
20．【分析】根据二次函数的性质可得出a ＜0利用二次函数图象上点的坐标特征可得出c=-3取a=-1b=0即可得出结论【详解】解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c ∵抛物线开口向下∴a ＜0∵抛物线与y
解析：23=--y x
【分析】
根据二次函数的性质可得出a ＜0，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出c=-3，取a=-1，b=0即可得出结论．
【详解】
解：设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ．
∵抛物线开口向下，
∴a ＜0．
∵抛物线与y 轴的交点坐标为（0，-3），
∴c=-3．
取a=-1，b=0时，二次函数的解析式为y=-x 2-3．
故答案为：y=-x 2-3（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出a ＜0，c=-3是解题的关键．
三、解答题
21．（1）每件衬衫应降价20元；（2）每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多 ．
【分析】
（1）设每件衬衫应降价x 元，由题意可以得到关于x 的一元二次方程，解方程即可得到问题解答；
（2）把每件衬衫的降价看成自变量x ，商场平均每天赢利看成因变量y ，由题意可以得到y 与x 之间的函数关系式，然后根据函数的性质可以得到问题解答 ．
【详解】
解：（1）设每件衬衫应降价x 元，由题意可以得到：
（10+x ）（40-x ）=600，解之得：x=10或x=20，
因为尽快减少库存，
∴每件衬衫降价20元时，商场平均每天赢利600元；
（2）把每件衬衫的降价看成自变量x ，商场平均每天赢利看成因变量y ，由题意可以得到y 与x 之间的函数关系式为：y=（10+x ）（40-x ），
配方得：()2
15625y x =--+，
∴当x=15时，y 取得最大值625，
即当每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，且赢利为625元．
【点睛】
本题考查一元二次方程与二次函数的综合运用，根据题意列出一元二次方程或函数关系式，并根据方程的解或函数的性质作答是解题关键．
22．（1）见解析；（2）2±，2-；（3）p m n <<
【分析】
（1）二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项的变化会影响开口大小，开口方向，对称轴和顶点坐标，根据二次函数的性质即可得出图像的具体影响．
（2）由于函数图像形状相同，可以得到2a =±；根据二次函数平移规律上加下减可求得函数2
2y ax =-，再由题意就可得到c =-2．
（3）将表中数值代入二次函数即可分别得到m 、n 、p 含未知数c 的代数式，比较大小即可．
【详解】
（1）二次函数2y ax =的图像随着a 的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数2
2y x c =-+的图像随着c 的变化，开口大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变．（只要学生答对变与不变各一个点就给满分）．
（2）由于函数2y ax =与函数22y x c =-+的形状相同， 所以2a =-，即2a =±．
抛物线2y ax =沿y 轴向下平移两个单位，即得到抛物线2
2y ax =-．
因为该抛物线与22y x c =-+的图像完全重合
所以2c =-
故答案为2±；2-
（3）表中数值代入二次函数22y x c =-+可得; 8m c =-+,2n c =-+,50p c =-+
因为50c -+<8c -+<2c -+
所以p m n <<．
故答案为p m n <<
【点睛】
本题考查二次函数的性质，二次函数图像与几何变换，二次函数上点的坐标特征．特别注意（2）2a =时两个函数图像形状相同．
23．（1）94
a =
；（2）2x = 【分析】
（1）由根的判别式进行计算，即可求出答案；
（2）先求出k 的值，然后代入计算，即可求出对称轴．
【详解】
解：（1）抛物线23y x x a =++与x 轴只有一个交点， 0∴∆=，
即940a -=， ∴94a =
． （2）点()3,0在抛物线()2
33y x k x k =-++-上，
()203333k k ∴=-⨯++-，
9k ∴=，
∴抛物线的解析式为：23129y x x =-+-，
∴对称轴为：1222(3)x =-
=⨯-． 【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，二次函数的性质，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出参数的值．
24．（1）2s 或4s ；（2）不存在，证明见解析；（3）3秒，
92
【分析】
（1）根据题意，利用t 表示个线段长度，根据面积为4可列出方程求解．
（2）利用第一问中PCQ △的面积的表示方法，使其等于5，根据判别式判断方程是否有解．
（3）利用求得的PCQ △的面积的表示的二次函数解析式，求出二次函数的最大值，符合题意即为所求最大面积．
【详解】
解：（1）由题意得：AP CQ t ==，6PC AC AP t ∴=-=-， 11(6)422
PCQ S PC CQ t t ∴=⋅=-⋅=， 2680t t ∴-+=，(2)(4)0t t --=，12t =，24t =，
∴2s 或4s 后PCQ △的面积为4．
（2）1(6)52
PCQ S t t =-=，26100t t -+=， 2(6)41040∆=--⨯=-<，方程无解，
故PCQ △的面积不能为5．
（3）1(6)2PCQ S
t t =-()216992t t =--+-219(3)22
t =--+，， ∴当3t =时，max 92
PCQ S =． 【点睛】 本题考查的是一元二次方程以及二次函数的应用，三角形的面积公式的求法和一元二次方程的解的情况．
25．（1）y =x 2-3x +2；（2）点P 的坐标为（
32，12）；（3）当t =1时，S △BCN 的最大值为1．
【分析】
（1）先确定c ，然后再根据OC =2OA 确定A 点的坐标，再将A 点的坐标代入解析式求得b
即可解答；
（2）如图：作点A关于直线l对称的对称点，即点B，连接BC，与直线l交于点P'，此时PA+PB最小；然后求得直线BC的解析式，最后确定P'的坐标即可；
（3）先求出M点坐标，然后再根据S△BCN=S△MNC+S△MNB确定二次函数关系式，最后运用二次函数求最值即可．
【详解】
解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点C（0，2），
∴c=2
又∵OC=2OA，
∴OA=1，即A（1，0）；
又∵点A在抛物线y=x2+bx+2上，
∴0=12+b×1+2，b=-3；
∴抛物线对应的二次函数的解析式为y=x2-3x+2；
（2）如图：作点A关于直线l对称的对称点，即点B，连接BC，与直线l交于点P'，
则PA+PC的最小值为P'B+P'C=BC，
设BC的解析式为y=mx+n，
令x2-3x+2=0，解得：x=1或2，∴B（2，0），
又∵C（0，2），
∴
20
2
m n
n
+=
⎧
⎨
=
⎩
，解得：
1
2
m
n
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
∴直线BC的解析式为：y=-x+2，
令x=3
2
，代入，得：y=
1
2
，
∴当PC+PA最小时，点P的坐标为（3
2，
1
2
）；
（3）如图：∵点M是直线l'和线段BC的交点，
∴M点的坐标为（t，-t+2）（0＜t＜2），∴MN=-t+2-（t2-3t+2）=-t2+2t，，。