武汉市中考数学模拟试卷分类汇编易错压轴选择题精选：平行四边形选择题(1)

武汉市中考数学模拟试卷分类汇编易错压轴选择题精选：平行四边形选择题(1)
一、易错压轴选择题精选：平行四边形选择题
1．如图，点P ，Q 分别是菱形ABCD 的边AD ，BC 上的两个动点，若线段PQ 长的最大值为85 ，最小值为8，则菱形ABCD 的边长为( )
A ．4 6
B ．10
C ．12
D ．16
2．如图，BD 为平行四边形ABCD 的对角线，45DBC ∠=︒，DE BC ⊥于E ，BF CD ⊥于F ，DE 、BF 相交于H ，直线BF 交线段AD 的延长线于G ，下面结论：①2BD BE =；②A BHE =∠∠；③AB BH =；④BHD BDG ∠=∠其中正确的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F ，连接EF 给出下列五个结论：①AP=EF ；②△APD 一定是等腰三角形；③AP ⊥EF ；
④22
PD=EF ．其中正确结论的番号是（ ）
A ．①③④
B ．①②③
C ．①③
D ．①②④
4．如图，矩形ABCD 中，,AC BD 相交于点O ，过点B 作BF AC ⊥交CD 于点F ，交AC 于点M ，过点D 作//DE BF 交AB 于点E ，交AC 于点N ，连接,FN EM ．则下列结论：
①DN BM =；②//EM FN ；
③AE FC =；④当AO AD =时，四边形DEBF 是菱形．
其中，正确结论的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5．已知菱形ABCD 的面积为83，对角线AC 的长为43，∠BCD=60°，M 为BC 的中点，若P 为对角线AC 上一动点，则PB+PM 的最小值为（ ）
A ．3
B ．2
C ．23
D ．4
6．如图，在菱形ABCD 中，AB=AC=1，点E 、F 分别为边AB 、BC 上的点，且AE=BF ，连接CE 、AF 交于点H ，连接DH 交AC 于点O ，则下列结论：①△ABF ≌△CAE ；②∠FHC=∠B ；③△ADO ≌△ACH ；④=3ABCD S 菱形；其中正确的结论个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7．如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝185
．其中正确结论的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE ＝1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为（ ）
A ．0.5
B ．2.5
C ．2
D ．1 9．如图，正方形ABCD 的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH ，则线段GH 的长为
（ ）
A ．2.8
B ．22
C ．2.4
D ．3.5
10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4．将矩形沿AC 折叠，CD ′与AB 交于点F ，则AF ：BF 的值为（ ）
A ．2
B ．53
C ．54
D ．3 11．如图，ABCD 的对角线,AC BD 交于点,O D
E 平分ADC ∠交BC 于点,60,E BCD ∠=︒2,AD AB =连接OE ．下列结论：ABCD S AB BD =⋅①；DB ②平分ADE ∠；AB DE =③；CDE BOC S S =④，其中正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
12．如图，△A 1B 1C 1中，A 1B 1＝4，A 1C 1＝5，B 1C 1＝7．点A 2、B 2、C 2分别是边B 1C 1、A 1C 1、A 1B 1的中点；点A 3、B 3、C 3分别是边B 2C 2、A 2C 2、A 2B 2的中点；……；以此类推，则第2019个三角形的周长是（ ）
A ．201412
B ．201512
C ．201612
D ．2017
12 13．如图，正方形ABCD 中，延长CB 至E 使2CB EB =，以EB 为边作正方形EFGB ，延长FG 交DC 于M ，连接AM ，AF ，H 为AD 的中点，连接FH 分别与AB ，AM 交于点,N K ．则下列说法：①ANH GNF △≌△；②DAM NFG ∠=∠；③2FN NK =；④:2:7AFN DMKH S S =△四边形．其中正确的有（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
14．如图，矩形ABCD 和矩形CEFG ，AB ＝1，BC ＝CG ＝2，CE ＝4，点P 在边GF 上，点Q 在边CE 上，且PF ＝CQ ，连结AC 和PQ ，M ，N 分别是AC ，PQ 的中点，则MN 的长为（ ）
A ．3
B ．6
C 37
D 17 15．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AD ＝
12
AC ，M 、N 、P 分别是OA 、OB 、CD 的中点，下列结论：
①CN ⊥BD ；
②MN ＝NP ；
③四边形MNCP 是菱形；
④ND 平分∠PNM ．
其中正确的有（ ）
A ．1 个
B ．2 个
C ．3 个
D ．4 个
16．如图，直角梯形ABCD 中AD ∥BC ，∠D ＝90°．∠A 的平分线交DC 于E ，EF ⊥AB 于F ．已知AD ＝3.5cm ，DC ＝4cm ，BC ＝6.5cm ．那么四边形BCEF 的周长是（ ）
A ．10cm
B ．11cm
C ．11.5cm
D ．12cm
17．如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AG BC ⊥于G ，作AH CD ⊥于H ，且45GAH ∠=︒，2AG =，3AH =，则平行四边形的面积是（ ）
A ．62
B ．122
C ．6
D ．12
18．下列命题中，真命题的个数有（ ）
①对角线相等的四边形是矩形；
②三条边相等的四边形是菱形；
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
19．矩形纸片ABCD 中，AB ＝5，AD ＝4，将纸片折叠，使点B 落在边CD 上的点B '处，折痕为AE ．延长B E '交AB 的延长线于点M ，折痕AE 上有点P ，下列结论中：
①M DAB '∠∠＝；②PB PB '＝；③AE ＝552
；④MB CD '＝；⑤若B P CD '⊥，则EB B P ''＝．正确的有（ ）个
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
20．如图，ABCD 中，点E 是AD 上一点，BE ⊥AB ，△ABE 沿BE 对折得到△BEG ，过点
D 作DF ∥EG 交BC 于点F ，△DFC 沿DF 对折，点C 恰好与点G 重合，则AB AD 的值为（ ）
A ．12
B ．33
C ．22
D ．32
21．如图，矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，折叠纸片使点D 落在AC 边上的D 处，折痕为AH ，则CH 的长为（ ）
A ．52
B ．2
C ．32
D ．1
22．如图，矩形ABCD 中，AB ＝10，AD ＝4，点E 从D 向C 以每秒1个单位的速度运动，以AE 为一边在AE 的左上方作正方形AEFG ，同时垂直于CD 的直线MN 也从C 向D 以每秒2个单位的速度运动，当点F 落在直线MN 上，设运动的时间为t ，则t 的值为( )
A ．1
B ．103
C ．4
D ．143
23．如图，在一张矩形纸片ABCD 中，4AB =，8BC =，点E ，F 分别在AD ， BC 上，将纸片ABCD 沿直线EF 折叠，点C 落在AD 上的一点H 处，点D 落在点G 处，有以下四个结论：
①四边形CFHE 是菱形；②EC 平分DCH ∠；③线段BF 的取值范围为34BF ≤≤；④当点H 与点A 重合时，25EF =．
以上结论中，你认为正确的有（ ）个．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
24．在ABCF 中，2BC AB =，CD AB ⊥于点D ，点E 为AF 的中点，若50ADE ∠=︒，则B 的度数是（ ）
A ．50︒
B ．60︒
C ．70︒
D ．80︒
25．如图，四边形ABCD 为平行四边形，D ∠为锐角，BAD ∠的平分线AE 交CD 于点F ，交BC 的延长线于点E ，且AF FE =．若25AB =，ABCD 面积为300，则AF 的长度为（ ）
A ．30
B ．15
C ．40
D ．20
26．如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，过点E 作EF ∥CD ，交AD 于F ，交对角线BD 于G ，取DG 的中点H ，连结AH ，EH ，FH ．下列结论：①∠EFH ＝45°；
②△AHD ≌△EHF ；③∠AEF +∠HAD ＝45°； ④若BE EC ＝2，则1113
=BEH AHE S S ．其中结论正确的是（ ）
A ．①②③
B ．①②④
C ．②③④
D ．①②③④
27．如图，在ABC 中，ACB 90∠=︒，2AC BC ==，D 是AB 的中点，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且AE CF =，给出以下四个结论：（1）DE DF =；（2）DEF 是
等腰直角三角形；（3）四边形CEDF 面积ABC 1S 2
=
△；（4）2EF 的最小值为2．其中正确的有（ ）．
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
28．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 边上的一点，BE=4，EC=8，将正方形边AB 延AE 折叠刀AF ，延长EF 交DC 于G ，连接AG ，现在有如下结论：①∠EAG=45°；②GC=CF ；③FC ∥AG ；④S △GFC =14.4；其中结论正确的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
29．如图，在□ABCD 中，AD=2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上（E 不与A 、B 重合），连接EF 、CF ，则下列结论中一定成立的是 ( )
①∠DCF=12
∠BCD ；②EF=CF ；③2BEC CEF S S ∆∆<；④∠DFE=4∠AEF A ．①②③④
B ．①②③
C ．①②
D ．①②④ 30．如图，点O （0，0），A （0，1）是正方形1OAA B 的两个顶点，以1OA 对角线为边作正方形121OA A B ，再以正方形的对角线2OA 作正方形121OA A B ，…，依此规律，则点8A 的坐标是（ ）
A．（－8，0）B．（0，8）
C．（0，82）D．（0，16）
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一、易错压轴选择题精选：平行四边形选择题
1．B
【分析】
当点P和点A重合时，当点C和点Q重合时，PQ的值最大，当PQ⊥BC时，PQ的值最小，利用这两组数据，在Rt△A BQ中，可求得答案．
【详解】
PQ=
当点P和点A重合时，当点C和点Q重合时，PQ的值最大，85
当PQ⊥BC时，PQ的值最小，
∴PQ=8，∠Q=90°，
在Rt△ACQ中，
()22
CQ=-=
85816.
在Rt△ABQ中，设AB=BC=x，则BQ=16-x，
∴AQ2+BQ2=AB2即82+（16-x）2=x2
解之：x=10.
故答案为：B．
【点睛】
本题考查菱形的性质和勾股定理的运用，解题关键是根据菱形的性质，判断出PQ 最大和最小的情况．
2．B
【分析】
通过判断△BDE 为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可对①进行判断；根据等角的余角相等得到∠BHE=∠C ，再根据平行四边形的性质得到∠A=∠C ，则∠A=∠BHE ，于是可对②进行判断；证明△BEH ≌△DEC ，得到BH=CD ，接着由平行四边形的性质得AB=CD ，则AB=BH ，可对③进行判断；因为∠BHD=90°+∠EBH ，
∠BDG=90°+∠BDE ，由∠BDE ＞∠EBH ，推出∠BDG ＞∠BHD ，可判断④．
【详解】
解：∵∠DBC=45°，DE ⊥BC ，
∴△BDE 为等腰直角三角形，
,BE DE BD ∴====，所以①错误；
∵BF ⊥CD ，
∴∠C+∠CBF=90°，
而∠BHE+∠CBF=90°，
∴∠BHE=∠C ，
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴∠A=∠C ，
∴∠A=∠BHE ，所以②正确；
在△BEH 和△DEC 中
BHE C HEB CED BE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BEH ≌△DEC ，
∴BH=CD ，
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AB=CD ，
∴AB=BH ，所以③正确；
∵∠BHD=90°+∠EBH ，∠BDG=90°+∠BDE ，
∵∠BDE=∠DBE ＞∠EBH ，
∴∠BDG ＞∠BHD ，
所以④错误；
故选：B ．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定和性质，三角形外角的性质．熟练掌握平行四边形的性质并能灵活运用是解题关键，本题中主要用到平行四边形对边相等，对角相等．
3．C
【分析】
过P作PG⊥AB于点G，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明△AGP≌△FPE 后即可证明①AP=EF；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性质，在Rt△DPF中，
DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得
2
2
DP EC
，即可得到答案．
【详解】
证明：过P作PG⊥AB于点G，
∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，
∴GP=EP，
在△GPB中，∠GBP=45°，
∴∠GPB=45°，
∴GB=GP，
同理，得PE=BE，
∵AB=BC=GF，
∴AG=AB-GB，FP=GF-GP=AB-GB，
∴AG=PF，
∴△AGP≌△FPE，
∴AP=EF；故①正确；
延长AP到EF上于一点H，
∴∠PAG=∠PFH，
∵∠APG=∠FPH，
∴∠PHF=∠PGA=90°，
即AP⊥EF；故③正确；
∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP=45度，∴当∠PAD=45度或67.5度或90度时，△APD是等腰三角形，除此之外，△APD不是等腰三角形，故②错误．
∵GF∥BC，
∴∠DPF=∠DBC，
又∵∠DPF=∠DBC=45°，
∴∠PDF=∠DPF=45°，
∴PF=EC，
∴在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，
∴
2DP EC
=，故④错误．
∴正确的选项是①③；
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．
4．D
【分析】
通过判断△AND≌△CMB即可证明①，再判断出△ANE≌△CMF证明出③，再证明出
△NFM≌△MEN，得到∠FNM=∠EMN，进而判断出②，通过 DF与EB先证明出四边形为平行四边形，再通过三线合一以及内角和定理得到∠NDO=∠ABD=30°，进而得到DE=BE，即可知四边形为菱形．
【详解】
∵BF⊥AC
∴∠BMC=90°
又∵//
DE BF
∴∠EDO=∠MBO，DE⊥AC
∴∠DNA=∠BMC=90°
∵四边形ABCD为矩形
∴AD=BC，AD∥BC，DC∥AB
∴∠ADB=∠CBD
∴∠ADB-∠EDO=∠CBD-∠MBO即∠AND=∠CBM
在△AND与△CMB
∵
90 DNA BMC
AND CBM
AD BC
∠=∠=︒⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△AND≌△CMB(AAS)
∴AN=CM，DN=BM，故①正确．∵AB∥CD
∴∠NAE=∠MCF
又∵∠DNA=∠BMC=90°
∴∠ANE=∠CMF=90°
在△ANE与△CMF中
∵
90 ANE CMF
AN CM
NAE MCF ∠=∠=⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
∴△ANE≌△CMF（ASA）
∴NE=FM ，AE=CF ，故③正确．
在△NFM 与△MEN 中
∵90FM NE FMN ENM MN MN =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
∴△NFM ≌△MEN （SAS ）
∴∠FNM=∠EMN
∴NF ∥EM ，故②正确．
∵AE=CF
∴DC-FC=AB-AE ，即DF=EB
又根据矩形性质可知DF ∥EB
∴四边形DEBF 为平行四边
根据矩形性质可知OD=AO ，
当AO=AD 时，即三角形DAO 为等边三角形
∴∠ADO=60°
又∵DN ⊥AC
根据三线合一可知∠NDO=30°
又根据三角形内角和可知∠ABD=180°-∠DAB-∠ADB=30°
故DE=EB
∴四边形DEBF 为菱形，故④正确．
故①②③④正确
故选D ．
【点睛】
本题矩形性质、全等三角形的性质与证明、菱形的判定，能够找对相对应的全等三角形是解题关键．
5．C
【分析】
作点B 关于对角线AC 的对称点，该对称点与D 重合，连接DM ，则PB 与PM 之和的最小值为DM 的长；由菱形的面积可求出BD=4，由题意可证△BCD 是等边三角形，由等边三角形的性质可得DM ⊥BC ，CM=BM=2，由勾股定理可求DM=23．
【详解】
解：作点B 关于对角线AC 的对称点，该对称点与D 重合，连接DM ，则PB 与PM 之和的最小值为DM 的长；
∵菱形ABCD 的面积为3，对角线AC 长为3，
∵BC=CD，∠BCD=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD=BC=4，
∵M是BC的中点，
∴DM⊥BC，CM=BM=2，
在Rt△CDM中，CM=2，CD=4，
∴=
故选：C．
【点睛】
本题考查了轴对称-最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的性质，直角三角形勾股定理；掌握利用轴对称求最短距离，将PB与PM之和的最小值转化为线段DM的长是解题的关键．
6．B
【分析】
根据菱形的性质，利用SAS证明即可判断①；根据△ABF≌△CAE得到∠BAF=∠ACE，再利用外角的性质以及菱形内角度数即可判断②；通过说明∠CAH≠∠DAO，判断
△ADO≌△ACH不成立，可判断③；再利用菱形边长即可求出菱形面积，可判断④.
【详解】
解：∵在菱形ABCD中，AB=AC=1，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠CAE=60°，
又∵AE=BF，
∴△ABF≌△CAE（SAS），故①正确；
∴∠BAF=∠ACE，
∴∠FHC=∠ACE+∠HAC=∠BAF+∠HAC=60°，故②正确；
∵∠B=∠CAE=60°，
则在△ADO和△ACH中，
∠OAD=60°=∠CAB，
∴∠CAH≠60°，即∠CAH≠∠DAO，
∴△ADO≌△ACH不成立，故③错误；
∵AB=AC=1，过点A作AG⊥BC，垂足为G，
∴∠BAG=30°，BG=1
2
，
∴
∴菱形ABCD的面积为：BC AG
⨯=1=故正确的结论有2个，
【点睛】
本题考查了全等三角形判定和性质，菱形的性质和面积，等边三角形的判定和性质，外角的性质，解题的关键是利用菱形的性质证明全等.
7．D
【分析】
由正方形和折叠的性质得出AF ＝AB ，∠B ＝∠AFG ＝90°，由HL 即可证明
Rt △ABG ≌Rt △AFG ，得出①正确；
设BG ＝x ，则CG ＝BC−BG ＝6−x ，GE ＝GF ＋EF ＝BG ＋DE ＝x ＋2，由勾股定理求出x ＝3，得出②正确；
由等腰三角形的性质和外角关系得出∠AGB ＝∠FCG ，证出平行线，得出③正确； 根据三角形的特点及面积公式求出△FGC 的面积＝
185
，得出④正确． 【详解】
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB ＝AD ＝DC ＝6，∠B ＝D ＝90°，
∵CD ＝3DE ，
∴DE ＝2，
∵△ADE 沿AE 折叠得到△AFE ，
∴DE ＝EF ＝2，AD ＝AF ，∠D ＝∠AFE ＝∠AFG ＝90°，
∴AF ＝AB ，
∵在Rt △ABG 和Rt △AFG 中， AG AG AB AF =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △ABG ≌Rt △AFG （HL ），
∴①正确；
∵Rt △ABG ≌Rt △AFG ，
∴BG ＝FG ，∠AGB ＝∠AGF ，
设BG ＝x ，则CG ＝BC−BG ＝6−x ，GE ＝GF ＋EF ＝BG ＋DE ＝x ＋2，
在Rt △ECG 中，由勾股定理得：CG 2＋CE 2＝EG 2，
∵CG ＝6−x ，CE ＝4，EG ＝x ＋2
∴（6−x ）2＋42＝（x ＋2）2
解得：x ＝3，
∴BG＝GF＝CG＝3，
∴②正确；
∵CG＝GF，
∴∠CFG＝∠FCG，
∵∠BGF＝∠CFG＋∠FCG，
又∵∠BGF＝∠AGB＋∠AGF，
∴∠CFG＋∠FCG＝∠AGB＋∠AGF，
∵∠AGB＝∠AGF，∠CFG＝∠FCG，
∴∠AGB＝∠FCG，
∴AG∥CF，
∴③正确；
∵△CFG和△CEG中，分别把FG和GE看作底边，则这两个三角形的高相同．
∴
3
5
CFG
CEG
S FG
S GE
==，
∵S△GCE＝1
2
×3×4＝6，
∴S△CFG＝3
5
×6＝
18
5
，
∴④正确；
正确的结论有4个，
故选：D．
【点睛】
本题考查了正方形性质、折叠性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、平行线的判定等知识点的运用；主要考查学生综合运用性质进行推理论证与计算的能力，有一定难度．
8．B
【分析】
由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值．
【详解】
由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动，
如图，将ΔEFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到ΔEFB≅ΔEHG，
从而可知ΔEBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，如图，作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，
作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，
则
135
1=2.5
222
CM MP CP HE EC
=+=+=+=.
故选B．
【点睛】
本题考查了线段极值问题，构造图形计算，是极值问题中比较典型的类型．分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是解本题的关键．
9．B
【分析】
延长BG交CH于点E，根据正方形的性质证明△ABG≌△CDH≌△BCE，可得GE=BE-
BG=2，HE=CH-CE=2，∠HEG=90°，从而由勾股定理可得GH的长．
【详解】
解：如图，延长BG交CH于点E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=CD=10，
∵AG=8，BG=6，
∴AG2+BG2=AB2，
∴∠AGB=90°，
∴∠1+∠2=90°，
又∵∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
同理：∠4=∠6，
在△ABG和△CDH中，
AB＝CD＝10
AG＝CH＝8
BG＝DH＝6
∴△ABG≌△CDH（SSS），
∴∠1=∠5，∠2=∠6，
∴∠2=∠4，
在△ABG和△BCE中，
∵∠1＝∠3，AB＝BC，∠2＝∠4，
∴△ABG≌△BCE（ASA），
∴BE=AG=8，CE=BG=6，∠BEC=∠AGB=90°，
∴GE=BE－BG=8－6=2，
同理可得HE=2，
在Rt△GHE中，
GH===
故选：B．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，通过证三角形全等得出△GHE为直角三角形且能够求出两条直角边的长是解题的关键．
10．B
【分析】
由折叠的性质可得∠DCA＝∠ACF，由平行线的性质可得∠DCA＝∠CAB＝∠ACF，可得FA＝FC，设BF＝x，在Rt△BCF中，根据CF2＝BC2+BF2，可得方程（8﹣x）2＝x2+42，可求BF＝3，AF＝5，即可求解．
【详解】
解：设BF＝x，
∵将矩形沿AC折叠，
∴∠DCA＝∠ACF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴∠DCA＝∠CAB＝∠ACF，
∴FA＝FC＝8﹣x，
在Rt△BCF中，∵CF2＝BC2+BF2，
∴（8﹣x）2＝x2+42，
∴x＝3，
∴BF＝3，
∴AF＝5，
∴AF：BF的值为5
3
，
故选：B．
【点睛】
本题考查矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决
问题，属于中考常考题型．
11．D
【分析】
求得∠ADB＝90°，即AD⊥BD，即可得到S▱ABCD＝AD•BD；依据∠CDE＝60°，∠BDE＝30°，可得∠CDB＝∠BDE，进而得出DB平分∠CDE；依据Rt△BCD中，斜边上的中线DE＝斜边BC的一半，即可得到AD＝BC＝2DE，进而得到AB＝DE；依据OE是中位线，即可得到OE∥CD，因为两平行线间的距离相等，进而得到S△CDE＝S△OCD，再根据OC是△BCD的中线，可得S△BOC＝S△COD，即可得到S△CDE＝S△BOC．
【详解】
∵∠BCD＝60°，四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝180°－∠BCD＝120°，BC//AD，BC＝AD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠CED＝60°＝∠BCD，
∴△CDE是等边三角形，
∴CE＝CD＝ AD＝ BC，
∴E是BC的中点，
∴DE＝BE，
∴∠BDE＝∠CED＝30°，
∴∠CDB＝90°，即CD⊥BD，
∴S▱ABCD＝CD•BD＝AB•BD，故①正确；
∵∠CDE＝60°，∠BDE＝30°，
∴∠ADB＝30°＝∠BDE，
∴DB平分∠CDE，故②正确；
∵△CDE是等边三角形，
∴DE＝CD＝AB，故③正确；
∵O是BD的中点，E是BC的中点，
∴OE是△CBD的中位线，
∴OE∥CD，∴S△OCD＝S△CDE，
∵OC是△BCD的中线，
∴S△BOC＝S△COD，
∴S△CDE＝S△BOC，故④正确，
故选D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线、平行线间的距离相等、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关性质与定理是解题的关键.
12．A
【分析】
由三角形的中位线定理得：22B C ，22A C ，22A B 分别等于11A B 、11B C 、11C A 的12
，所以△222A B C 的周长等于△111A B C 的周长的一半，以此类推可求出结论．
【详解】 解：△111A B C 中，114A B =，115AC =，117B C =， ∴△111A B C 的周长是16，
2A ，2B ，2C 分别是边11B C ，11A C ，11A B 的中点，
22B C ∴，22A C ，22A B 分别等于11A B 、11B C 、11C A 的12
， ⋯，
以此类推，则△444A B C 的周长是
3
11622⨯=； ∴△n n n A B C 的周长是4122n -， 当2019n =时，第2019个三角形的周长42019120142122-=
=
故选：A ．
【点睛】 本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用． 13．A
【分析】
根据正方形的性质，以及中点的性质可得△FGN ≌△HAN ，即证①；利用角度之间的等量关系的转换可以判断②；根据△AKH ∽△MKF ，进而利用相似三角形的性质即可判断③；设AN=12AG=x ，则AH=2x ，FM=6x ，根据△AKH ∽△MKF 得出2163
AH x MF x ==，再利用三角形的面积公式求出△AFN 的面积，再利用DHKM ADM AKH S S
S =-即可求出四边形DHKM
的面积，作比即可判断④．
【详解】 ∵四边形EFGB 是正方形，CE=2EB ，四边形ABCD 是正方形
∴G 为AB 中点，∠FGN=∠HAN=90°，AD=AB
即FG=AG=GB=12
AB 又H 是AD 的中点 AH=12
AD ∴FG=HA
又∠FNG=∠HNA
∴△FGN ≌△HAN ，故①正确；
∵∠DAM+∠GAM=90°
又∠NFG+∠FNG=90°
即∠FNG=∠GAM
∵∠FNG+∠NFG+90°=180°
∠AMD+∠DAM+90°=180°
∠FNG=∠GAM=∠AMD
∴DAM NFG ∠=∠，故②正确；
由图可得：MF=FG+MG=3EB
△AKH ∽△MKF ∴
13
KH AH KF MF == ∴KF=3KH
又∵NH=NF 且FH=KF+KH=4KH=NH+NF
∴NH=NF=2KH
∴KH=KN
∴FN=2NK ，故③正确；
∵AN=GN 且AN+GN=AG
∴可设AN=12
AG=x ，则AH=2x ，FM=6x 由题意可得：△AKH ∽△MKF 且相似比为：
2163AH x MF x == ∴△AKH 以AH 为底边的高为：
11242x x ⨯= ∴212
AFN S AN FG x =⨯⨯= 112225DHKM ADM AKH S S S AD DM AH x =-=⨯⨯-⨯⨯ 211172422222
x x x x x =⨯⨯-⨯⨯= ∴2:7
AFN DHKM S S =，故④正确； 故答案选择A ．
【点睛】
本题考查了矩形、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，难度较大，需要熟练掌握相关基础知识．
14．C
【分析】
连接CF ，交PQ 于R ，延长AD 交EF 于H ，连接AF ，则四边形ABEH 是矩形，求出FH ＝
1，AF＝2237
+=
AH FH ，由ASA证得△RFP≌△RCQ，得出RP＝RQ，则点R与点M 重合，得出MN是△CAF的中位线，即可得出结果．
【详解】
解：连接CF，交PQ于R，延长AD交EF于H，连接AF，如图所示：
则四边形ABEH是矩形，
∴HE＝AB＝1，AH＝BE＝BC+CE＝2+4＝6，
∵四边形CEFG是矩形，
∴FG∥CE，EF＝CG＝2，
∴∠RFP＝∠RCQ，∠RPF＝∠RQC，FH＝EF﹣HE＝2﹣1＝1，
在Rt△AHF中，由勾股定理得：AF＝2222
6137
+=+=
AH FH，
在△RFP和△RCQ中，
RFP RCQ PF CQ
RPF RQC ∠=
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=
⎩
，
∴△RFP≌△RCQ（ASA），∴RP＝RQ，
∴点R与点M重合，
∵点N是AC的中点，
∴MN是△CAF的中位线，
∴MN＝1137
37
222
=⨯=
AF，
故选：C．
【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；作辅助线构建全等三角形是解题的关键．
15．C
【分析】
证出OC＝BC，由等腰三角形的性质得CN⊥BD，①正确；证出MN是△AOB的中位线，得
MN∥AB，MN＝1
2
AB，由直角三角形的性质得NP＝
1
2
CD，则MN＝NP，②正确；周长
四边形MNCP是平行四边形，无法证明四边形MNCP是菱形；③错误；由平行线的性质和等腰三角形的性质证出∠MND＝∠PND，则ND平分∠PNM，④正确；即可得出结论．【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD，OA＝OC＝1
2 AC，
∵AD＝1
2 AC，
∴OC＝BC，
∵N是OB的中点，
∴CN⊥BD，①正确；
∵M、N分别是OA、OB的中点，∴MN是△AOB的中位线，
∴MN∥AB，MN＝1
2 AB，
∵CN⊥BD，
∴∠CND＝90°，∵P是CD的中点，
∴NP＝1
2
CD＝PD＝PC，
∴MN＝NP，②正确；
∵MN∥AB，AB∥CD，
∴MN∥CD，
又∵NP＝PC，MN＝NP，
∴MN＝PC，
∴四边形MNCP是平行四边形，无法证明四边形MNCP是菱形；③错误；
∵MN∥CD，
∴∠PDN＝∠MND，
∵NP＝PD，
∴∠PDN＝∠PND，
∴∠MND＝∠PND，
∴ND平分∠PNM，④正确；
正确的个数有3个，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形性质和判定，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质等；熟练掌握三角形中位线定理、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
16．D
【分析】
根据角平分线性质得出AD=AF，根据勾股定理求出EF=DC，求出AB长，求出BE，即可求出答案．
【详解】
∵AE平分∠DAB，∠D=90°，EF⊥AB，
∴AF=AD=3.5cm ，EF=DE ，
∴DC=CE+DE=CE+EF=4cm ，
过A 作AM ⊥BC 于M ，则四边形AMCD 是矩形，
∴AM=DC=4cm ，AD=CM=3.5cm ，
∵BC=6.5cm ，
∴BM=6.5cm-3.5cm=3cm ，
在Rt △AMB 中，由勾股定理得：22435AB
（cm ），
∴BF=AB-AF=5cm-3.5cm=1.5cm ，
∴四边形BCEF 的周长是BC+BF+CE+EF=6.5cm+1.5cm+CD=8cm+4cm=12cm ，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了勾股定理，矩形的性质和判定，角平分线性质等知识点，能求出各个边的长度是解此题的关键．
17．A
【分析】
设B x ∠=，先根据平行四边形的性质可得,180,D B x BAD x AB CD ∠=∠=∠=︒-=，再根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得45x =︒，然后根据等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理可得22AB =22CD =，最后利用平行四边形的面积公式即可得．
【详解】
设B x ∠=，
四边形ABCD 是平行四边形， ,180180,D B x BAD B x AB CD ∴∠=∠=∠=︒-∠=︒-=，
,AG BC AH CD ⊥⊥，
9090,9090BAG B x DAH D x ∴∠=︒-∠=︒-∠=︒-∠=︒-，
又180,45BAG DAH BAD GAH x GAH ∠+︒-∠+∠=∠∠=︒=，
909100458x x x ︒-+︒-=∴︒+︒-，
解得45x =︒，
即45B ∠=︒，
Rt ABG ∴是等腰直角三角形，
222,22BG AG AB AG BG ∴===+=
22
CD
∴=，
∴平行四边形ABCD的面积是32262
AH CD
⋅=⨯=，
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的两锐角互余、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
18．C
【分析】
正确的命题是真命题，根据矩形的判定定理，菱形的判定定理及平行四边形的判定定理依次判断.
【详解】
①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故该项错误；
②四条边相等的四边形是菱形，故该项错误；
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故该项正确；
故选：C.
【点睛】
此题考查真命题的定义，正确掌握矩形、菱形、平行四边形的判定定理是解题的关键. 19．C
【分析】
①由翻折知∠ABE=∠AB'E=90º，再证∠M=∠CB'E=∠B'AD即可；②借助轴对称可知；③利
用计算，勾股定理求B′D，构造方程，求EB，在构造勾股定理求MB′=55
2
；④由相似
CB'：BM=CE：BE，BM=10
3
，在计算B'M>5；⑤证△BEG≌△B′PG得BE=B′P，再证菱形即
可．
【详解】
①由折叠性质知∠ABE=∠AB'E=90º，
∴∠CB'E+∠AB'D=90º
∵∠D=90º
∴∠B'AD+∠AB'D=90º
∴∠CB'E=∠B'AD，
∵CD∥MB，
∴∠M=∠CB'E=∠B'AD；
②点P在对称轴上，则B'P=BP；
③由翻折，AB=AB'=5，AD=4，由勾股定理DB'=3，
∴CB'=5-3=2，
设BE=x=B'E，CE=4-x，
在Rt△B′CE中，∠C=90º，由勾股定理（4-x）2+22=x2，
解得x=5
2
，
∴CE=4-5
2
=
3
2
，
在Rt△ABE中，∠ABE=90º，
AE=
2
2
555
+5=
22
⎛⎫
⎪
⎝⎭
；
④由BM∥CB′
∴△ECB′∽△EBM，∴CB'：BM=CE：BE，
∴2：BM=3
2
：
5
2
，
∴BM=10
3
，
则
2
2
1020
+4
33
⎛⎫
⎪
⎝⎭
>5=CD；
⑤连接BB′，由对称性可知，BG=B′G，EP⊥BB′，BE∥B′P，
∴△BEG≌△B′PG，
∴BE=B′P，
∴四边形BPB′E为平行四边形，
又BE=EB′，
所以四边形BPB′E是菱形，
所以PB′=B'E．
故选择：C ．
【点睛】
此题考查了矩形的性质、图形的翻折变换以及相似三角形的性质等知识的应用，此题的关键是能够发现△BEG ≌△B′PG ．
20．B
【分析】
根据平行线的性质和轴对称的性质，利用SAS 证明BEG DEG ≅，进而得到ADG 90∠=︒，设AB=x ，则AG=2x ，CD=x ，2243x x x -，即可求解．
【详解】
解：在ABCD 中
∵DF ∥EG
∴∠DEG=∠DFB
∵△ABE 沿BE 对折得到△BEG
∴∠DEG =2∠A
∵∠DFB =∠C +∠CDF
∠A=∠C
∴∠CDF=∠A
∵△DFC 沿DF 对折
∴∠BGE=∠DGE
BG=DG
EG=EG
∴
BEG DEG ≅
∵BE⊥AB
∴ADG 90∠=︒ 设AB=x ，则AG=2x ，CD=x ，2243x x x -= ∴33AB AD x
==故选：B ．
【点睛】
此题主要考查平行线的性质、轴对称的性质、全等三角形的判断和性质、勾股定理，熟练运用平行线的性质和轴对称的性质证明
BEG DEG ≅是解题关键．
21．A
【分析】
先利用勾股定理求出AC=5，再令CH x =，则4DH x =-，利用勾股定理求出答案.
【详解】
∵四边形ABCD 为矩形，
∴4AB DC ==，
∵3AD =，
在Rt ADC 中，
由勾股定理得：
222AD DC AC +=，
得：5AC =，
令CH x =，则4DH x =-，
由折叠性质可知：
4DH HD x '==-，
3AD AD '==，
故532D C AC AD ''=-=-=，
在Rt HD C '△中，
由勾股定理得：222HD D C HC ''+=，
∴()22242x x -+=， ∴52
x =. 故52
CH =
. 故选：A .
【点睛】 此题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，涉及直角三角形的边长的计算题时可多次进行勾股定理的计算.
22．D
【分析】
过点F 作FH ⊥CD ，交直线CD 于点Q ，则∠EHF=90°，易证∠ADE=∠EHF ，由正方形的性质得出∠AEF=90°，AE=EF ，证得∠AED=∠EFH ，由AAS 证得△ADE ≌△EHF 得出AD=EH=4，则t+2t=4+10，即可得出结果．
【详解】
过点F 作FH ⊥CD ，交直线CD 于点Q ，则∠EHF=90°，如图所示：
∵四边形ABCD 为矩形，
∴∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠EHF ，
∵在正方形AEFG 中，∠AEF=90°，AE=EF ，
∴∠AED+∠HEF=90°，
∵∠HEF+∠EFH=90°，
∴∠AED=∠EFH ，
在△ADE 和△EHF 中，
ADE EHF AED EFH AE EF ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ADE ≌△EHF （AAS ），
∴AD=EH=4，
由题意得：t+2t=4+10，
解得：t=143
， 故选D ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握正方形与矩形的性质，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键．
23．C
【分析】
①先判断出四边形CFHE 是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF=FH ，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；
②根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH=∠ECH ，然后求出只有∠DCE=30°时EC 平分∠DCH ，判断出②错误；
③点H 与点A 重合时，设BF=x ，表示出AF=FC=8-x ，利用勾股定理列出方程求解得到BF 的最小值，点G 与点D 重合时，CF=CD ，求出最大值BF=4，然后写出BF 的取值范围，判断出③正确；
④过点F 作FM ⊥AD 于M ，求出ME ，再利用勾股定理列式求解得到EF ，判断出④正确．
【详解】
解：
①∵FH与CG，EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，
∴FH∥CG，EH∥CF，
∴四边形CFHE是平行四边形，
由翻折的性质得，CF=FH，
∴四边形CFHE是菱形，（故①正确）；
②∴∠BCH=∠ECH，
∴只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，（故②错误）；
③点H与点A重合时，此时BF最小，设BF=x，则AF=FC=8-x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，
即42+x2=（8-x）2，
解得x=3，
点G与点D重合时，此时BF最大，CF=CD=4，
∴BF=4，
∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，（故③正确）；
过点F作FM⊥AD于M，
则ME=（8-3）-3=2，
由勾股定理得，
22
+=5
42
MF ME
+22
综上所述，结论正确的有①③④共3个，
故选C．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于灵活运用菱形的判定与性质与勾股定理等其它知识有机结合．
24．D
【分析】
连结CE，并延长CE，交BA的延长线于点N，根据已知条件和平行四边形的性质可证明△NAE≌△CFE，所以NE＝CE，NA＝CF，再由已知条件CD⊥AB于D，∠ADE＝50°，即可求出∠B的度数．
【详解】
解：连结CE，并延长CE，交BA的延长线于点N，
∵四边形ABCF 是平行四边形，
∴AB ∥CF ，AB ＝CF ，
∴∠NAE ＝∠F ，
∵点E 是的AF 中点，
∴AE ＝FE ，
在△NAE 和△CFE 中，
NAE F AE FE
AEN FEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△NAE ≌△CFE （ASA ），
∴NE ＝CE ，NA ＝CF ，
∵AB ＝CF ，
∴NA ＝AB ，即BN ＝2AB ，
∵BC ＝2AB ，
∴BC ＝BN ，∠N ＝∠NCB ，
∵CD ⊥AB 于D ，即∠NDC ＝90°且NE ＝CE ，
∴DE ＝12
NC ＝NE ， ∴∠N ＝∠NDE ＝50°＝∠NCB ，
∴∠B ＝80°．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，综合性较强，难度较大，解答本题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，在利用等腰三角形的性质解答．
25．B
【分析】
由题意先根据ASA 证明△ADF ≌△ECF ，推出300ABE ABCD S S ==，再证明BE=AB=25，根据等腰三角形三线合一的性质得出BF ⊥AE ．设AF=x ，BF=y ，由∠ABF ＜∠BAF 可得x ＜y ，进而根据勾股定理以及△ABE 的面积为300列出方程组并解出即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AD//BC 即AD//BE ，AB//CD ，
∴∠DAF=∠E ．
在△ADF 与△ECF 中，
DAF E AF EF
AFD EFC ⎧⎪⎨⎪∠∠∠⎩
∠＝＝＝， ∴△ADF ≌△ECF （ASA ），
∴ADF ECF S S =△△，
∴300ABE ABCD S S ==．
∵AE 平分∠BAD ，
∴∠BAE=∠DAF ，
∵∠DAF=∠E ，
∴∠BAE=∠E ，
∴BE=AB=25，
∵AF=FE ，
∴BF ⊥AE ．
设AF=x ，BF=y ，
∵∠D 为锐角，
∴∠DAB=180°-∠D 是钝角，
∴∠D ＜∠DAB ， ∴12∠ABC ＜12
∠DAB ， ∴∠ABF ＜∠BAF ，
∴AF ＜BF ，x ＜y ． 则有222
2
2520013x y x y ⎧+⎪⎨⎪⎩＝＝，解得：1520x y ⎧⎨⎩＝＝或2015x y ＝＝（舍去）， 即AF=15．
故选：B ．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质和勾股定理等知识．由题意证明出300ABE ABCD S
S ==以及BF ⊥AE 是解题的关键． 26．A
【分析】
①根据正方形的性质证明∠ADB ＝45°，进而得△DFG 为等腰直角三角形，根据等腰三角形的三线合一性质得∠EFH ＝12
∠EFD ＝45°，故①正确；
②根据矩形性质得AF ＝EB ，∠BEF ＝90°，再证明△AFH ≌△EGH 得EH ＝AH ，进而证明△EHF ≌△AHD ，故②正确；
③由△EHF ≌△AHD 得∠EHF ＝∠AHD ，怀AH ＝EH 得∠AEF +∠HEF ＝45°，进而得∠AEF +∠HAD ＝45°，故③正确；
④如图，过点H 作MN ⊥AD 于点M ，与BC 交于点N ，设EC ＝FD ＝FG ＝x ，则BE ＝AF ＝EG ＝2x ，BC ＝DC ＝AB ＝AD ＝3x ，HM ＝12x ，AM ＝52x ，HN ＝52
x ，由勾股定理得AH 2，再由三角形的面积公式得BEH AHE S S
，便可判断④的正误．
【详解】 证明：
①在正方形ABCD 中，∠ADC ＝∠C ＝90°，∠ADB ＝45°，
∵EF ∥CD ，
∴∠EFD ＝90°，
∴四边形EFDC 是矩形．
在Rt △FDG 中，∠FDG ＝45°，
∴FD ＝FG ，
∵H 是DG 中点，
∴∠EFH ＝12
∠EFD ＝45° 故①正确；
②∵四边形ABEF 是矩形，
∴AF ＝EB ，∠BEF ＝90°，
∵BD 平分∠ABC ，
∴∠EBG ＝∠EGB ＝45°，
∴BE ＝GE ，
∴AF ＝EG ．
在Rt △FGD 中，H 是DG 的中点，
∴FH ＝GH ，FH ⊥BD ，
∵∠AFH ＝∠AFE +∠GFH ＝90°+45°＝135°，
∠EGH ＝180°﹣∠EGB ＝180°﹣45°＝135°，
∴∠AFH ＝∠EGH ，
∴△AFH ≌△EGH （SAS ），
∴EH ＝AH ，。