2020届高考数学大二轮复习 冲刺经典专题 高难拉分攻坚特训(六)文

高难拉分攻坚特训(六）
1．已知函数f (x ）＝错误!－ax 有两个零点,则实数a 的取值范围是
( )
A ．（0,＋∞）
B ．(1，＋∞) C.错误!
D.错误!
答案 A
解析 f (x ）＝错误!－ax ，令f （x )＝0，可得ax ＝错误!，当x ＝0时,上式显然不成立；可得a ＝x ＋1x e
x (x ≠0)有且只有2个不等实根,等价为函数g （x )＝x ＋1x e
x 的图象和直线y ＝a 有且只有两个交点．由g ′(x )＝错误!<0恒成立，可得当x ＞0时，g (x ）单调递减；当x ＜0时，g (x ）单调递减．且g (x )＝错误!>0在x >0或x 〈－1时恒成立,作出函数g （x )的大致图象，如图，
由图象可得a >0时,直线y ＝a 和y ＝g （x )的图象有两个交点．故选A.
2．已知底面是正六边形的六棱锥P－ABCDEF的七个顶点均在球O的表面上,底面正六边形的边长为1，若该六棱锥体积的最大值为错误!，则球O的表面积为________．
答案错误!
解析因为六棱锥P－ABCDEF的七个顶点均在球O的表面上，由对称性和底面正六边形的面积为定值知，当六棱锥P－ABCDEF 为正六棱锥时,体积最大．设正六棱锥的高为h,则错误!×错误!h＝错误!，解得h＝2。

记球O的半径为R，根据平面截球面的性质，得(2－R)2＋12＝R2，解得R＝错误!,所以球O的表面积为4πR2＝4π错误!2＝错误!。

3．在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：错误!＋错误!＝1（a〉0，b>0）经过点
A错误!,且点F（0，－1）为其一个焦点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设椭圆E与y轴的两个交点为A1，A2，不在y轴上的动点P在直线y＝b2上运动，直线PA1，PA2与椭圆E的另外两个交点分别为M，N，证明：直线MN通过一个定点，且△FMN的周长为定值．
解（1）根据题意可得错误!解得错误!
∴椭圆E的方程为错误!＋错误!＝1.
（2)证明：不妨设A1（0,2)，A2（0，－2)．
P（x0,4）为直线y＝4上一点(x0≠0)，
M(x1，y1）,N(x2,y2)．
直线PA1的方程为y＝错误!x＋2，直线PA2的方程为
y＝错误!x－2。

点M（x1,y1），A1（0，2）的坐标满足方程组错误!
可得错误!点N（x2,y2)，A2（0，－2)的坐标满足方程组错误!可得错误!
即M错误!，N错误!。

直线MN的方程为y－错误!＝－错误!错误!,
即y＝－错误!x＋1.
故直线MN恒过定点B(0,1)．
又∵F(0，－1），B(0，1)是椭圆E的焦点，
∴△FMN的周长＝｜FM｜＋|MB｜＋｜BN｜＋|NF｜＝4b＝8.
4．已知函数f（x）＝ln x＋x，直线l：y＝2kx－1.
(1)设P（x,y)是y＝f（x)图象上一点，O为原点,直线OP的斜率k ＝g(x），若g(x)在x∈(m,m＋1）（m>0)上存在极值，求m的取值范围；
(2）是否存在实数k，使得直线l是曲线y＝f（x)的切线?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
(3)试确定曲线y＝f（x)与直线l的交点个数，并说明理由．
解(1)∵g(x）＝错误!＝错误!（x>0），
∴g′(x)＝错误!＝0，解得x＝e.
由题意得，0〈m<e〈m＋1,解得e－1〈m<e.
(2)假设存在实数k，使得直线l是曲线y＝f(x）的切线，
令切点Q（x0，y0)，
∴切线的斜率2k＝f′(x0）＝错误!＋1。

∴切线的方程为y－（ln x0＋x0）＝错误!（x－x0）,
又∵切线过点(0,－1）,
∴－1－(ln x0＋x0）＝错误!（0－x0)．
解得x0＝1，∴2k＝2,
∴k＝1。

（3）由题意,令ln x＋x＝2kx－1，得k＝错误!.
令h(x）＝错误!（x>0),∴h′（x)＝错误!，
由h′(x）＝0，解得x＝1.
∴h（x)在(0，1)上单调递增,在(1，＋∞）上单调递减，
∴h（x)max＝h（1）＝1，又x→0时，h（x）→－∞；
x→＋∞时，h(x）＝错误!＋错误!→错误!,
∴k∈错误!∪｛1}时,只有一个交点；k∈错误!时，有两个交点；k∈(1,＋∞)时，没有交点．。