2025届湖南省常德市芷兰实验学校高考考前模拟数学试题含解析

2025届湖南省常德市芷兰实验学校高考考前模拟数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知角α的终边经过点()3,4-,则1sin cos αα+
= A ．1
5
- B ．3715 C ．3720 D ．1315
2．若实数,x y 满足不等式组2,36,0,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩
则3x y +的最小值等于（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
3．已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-，函数()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（ ）
A ．,5()4k k π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z
B ．,5()48k k ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭
Z C ．,4()5k k π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z D ．,4()510k k ππ⎛⎫+-∈
⎪⎝⎭Z 4．在三角形ABC 中，1a =，sin sin sin sin b c a b A A B C
++=+-，求sin b A =（ ） A
B
．3 C ．12 D
5．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()11f x f x +=-，当(]0,1x ∈时，()ax f x e =-（其中e 是自
然对数的底数），若()2020ln 28f -=，则实数a 的值为( )
A ．3-
B ．3
C ．1
3- D ．13
6．设点P 是椭圆22
21(2)4
x y a a +=>上的一点，12F F ，是椭圆的两个焦点，
若12F F =则12PF PF +=（ ） A ．4 B ．8 C
． D
．
7．已知函数()222ln 02x x e f x e x x e ⎧<≤=⎨+->⎩
，，，存在实数123x x x <<，使得()()()123f x f x f x ==，则()12f x x 的最大值为（ ）
A ．1e
B ．1e
C ．1
2e D ．21e 8．如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB DC ，222AB DC AD ===，60DAB ∠=︒，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合为点F ，则三棱锥F DCE -的外接球的体积是（ ）
A ．68π
B ．64
π C ．32π D ．23
π 9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14121n n S a n +-=
-，11a =，*n N ∈，则{}n a 的通项公式n a =（ ） A ．n B ．1n + C ．21n -
D ．21n 10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．103
B ．3
C ．83
D ．73
11．已知非零向量a 、b ，若2b a =且23a b b -=，则向量b 在向量a 方向上的投影为（ ）
A 32b
B ．12b
C ．32b
D ．12
b - 12．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ，设地球半径为R ，该卫星近地点
离地面的距离为r ，则该卫星远地点离地面的距离为（ ）
A ．1211e e r R e e
++-- B ．111e e r R e e ++-- C ．1211e e r R e e -+++ D ．
111e e r R e e -+++ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物理、化学各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节.若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有__________种.
14．如图，半球内有一内接正四棱锥S ABCD -，该四棱锥的体积为423
，则该半球的体积为__________.
15．某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三年级有学生1500人，现按年级用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取一个容量为720的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取_____人．
16．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别是棱11A D ，11A B 的中点，P 是侧面正方形11BCC B 内一点（含边界），若//FP 平面AEC ，则线段1A P 长度的取值范围是______.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）某校共有学生2000人，其中男生900人，女生1100人，为了调查该校学生每周平均体育锻炼时间，采用分层抽样的方法收集该校100名学生每周平均体育锻炼时间（单位：小时）.
（1）应抽查男生与女生各多少人？
（2）根据收集100人的样本数据，得到学生每周平均体育锻炼时间的频率分布表：
时间（小时） [0,1] (1,2] (2,3] (3,4] (4,5] (5,6]
频率 0.05 0.20 0.30 0.25 0.15 0.05
若在样本数据中有38名男学生平均每周课外体育锻炼时间超过2小时，请完成每周平均体育锻炼时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关”？
男
生
女生 总
计 每周平均体育锻炼时间不超过2小时
每周平均体育锻炼时间超过2小时
总计 附：K 2()()()()
2()n ad bc a b c d a c b d -=++++. P （K 2≥k 0） 0.100
0.050 0.010 0.005 0k
2.706
3.841 6.635 7.879
18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，60BAD ︒∠=4AB =.
（1）求证：BD ⊥平面PAC ；
（2）若直线PC 与平面ABCD 所成的角为30︒，求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.
19．（12分）如图，直线
与抛物线交于两点，直线与轴交于点，且直线恰好平
分.
（1）求的值；
（2）设是直线上一点，直线交抛物线于另一点，直线交直线于点，求的值. 20．（12分）已知函数()ax f x e x =-（a R ∈，e 为自然对数的底数），()ln 1g x x mx =++.
（1）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围；
（2）当1a =时，()()x f x x g x ⎡⎤⎣≥⎦
+对任意的()0,x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围. 21．（12分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα
=+⎧⎨
=+⎩（t 为参数，0απ≤<）.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线C ：4cos ρθ=. （1）当4
πα=时，求C 与l 的交点的极坐标； （2）直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 中点为(1,1)M ，求||AB 的值.
22．（10分）已知正数x ，y ，z 满足x +y +z =t （t 为常数），且22
249
x y z ++的最小值为87，求实数t 的值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D
【解析】
因为角α的终边经过点()3,4-,所以()22345r =+-=,则43sin ,cos 55
αα=-=, 即113sin cos 15
αα+
=.故选D ． 2、A
【解析】 首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z 的最小值．
【详解】
解：作出实数x ，y 满足不等式组2360x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩
表示的平面区域（如图示：阴影部分）
由200x y x y +-=⎧⎨-=⎩
得(1,1)A ， 由3z x y =+得3y x z =-+，平移3y x =-，
易知过点A 时直线在y 上截距最小，
所以3114min z =⨯+=．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题．
3、B
【解析】
由值域为[5,3]-确定,a b 的值，得()5cos4g x x =--，利用对称中心列方程求解即可
【详解】
因为()[,2]f x b a b ∈+，又依题意知()f x 的值域为[5,3]-，所以23a b += 得4a =，5b =-，
所以()5cos4g x x =--，令4()2x k k π
π=+∈Z ，得()48
k x k ππ=+∈Z ，则()g x 的图象的对称中心为,5()48k k ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭
Z . 故选：B
【点睛】
本题考查三角函数 的图像及性质，考查函数的对称中心，重点考查值域的求解，易错点是对称中心纵坐标错写为0 4、A
【解析】
利用正弦定理边角互化思想结合余弦定理可求得角B 的值，再利用正弦定理可求得sin b A 的值.
【详解】 sin sin sin sin b c a b A A B C ++=+-，由正弦定理得b c a b a a b c
++=+-，整理得222a c b ac +-=， 由余弦定理得2221cos 22a c b B ac +-==，0B π<<，3B π∴=.
由正弦定理
sin sin a b A B =得sin sin 1sin 32b A a B π==⨯=. 故选：A.
【点睛】
本题考查利用正弦定理求值，涉及正弦定理边角互化思想以及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 5、B
【解析】
根据题意，求得函数周期，利用周期性和函数值，即可求得a .
【详解】
由已知可知，()()()2f x f x f x +=-=-，所以函数()f x 是一个以4为周期的周期函数，
所以()()()ln22020ln 2ln 2ln 228a a f f f e
-=-=-===，
解得3a =，
故选：B.
【点睛】
本题考查函数周期的求解，涉及对数运算，属综合基础题.
6、B
【解析】 ∵1243F F = ∵12243F F c ==
∴23c =
∵222c a b =-，24b =
∴4a = ∴1228PF PF a +==
故选B
点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质及椭圆的定义. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.
7、A
【解析】
画出分段函数图像，可得121x x =，由于
()()122222ln f x f x x x x x ==，构造函数()ln x g x x
=，利用导数研究单调性，分析最值，即得解.
【详解】
由于22123012x x e x e <<<<<<+，
1212ln ln 1x x x x -=⇒=,
由于()
()122222
ln f x f x x x x x ==，
令()ln x g x x =，()21x e ∈，， ()()2
1ln x g x g x x =⇒'-在()1e ，↗，()
2e e ，↘ 故()1()max g x g e e ==. 故选：A
【点睛】
本题考查了导数在函数性质探究中的应用，考查了学生数形结合，转化划归，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.
8、A
【解析】
由题意等腰梯形中的三个三角形都是等边三角形，折叠成的三棱锥是正四面体，易求得其外接球半径，得球体积．
【详解】
由题意等腰梯形中DA AE EB BC CD ====，又60DAB ∠=︒，∴AED ∆，BCE ∆是靠边三角形，从而可得DE CE CD ==，∴折叠后三棱锥F DEC -是棱长为1的正四面体，
设M 是DCE ∆的中心，则FM ⊥平面DCE ，2331323
DM =⨯⨯=，2263FM FD DM =-=， F DCE -外接球球心O 必在高FM 上，设外接球半径为R ，即OF OD R ==，
∴22263()()33
R R =-+，解得64R =， 球体积为334466()3348V R πππ=
=⨯=． 故选：A ．
【点睛】
本题考查求球的体积，解题关键是由已知条件确定折叠成的三棱锥是正四面体．
9、C
【解析】
利用()12n n n a S S n -=-≥证得数列21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭
为常数列，并由此求得{}n a 的通项公式. 【详解】
由14121
n n S a n +-=-，得1(21)41n n n a S +-=-，可得1(23)41n n n a S --=-（2n ≥）. 相减得1(21)(21)n n n a n a ++=-，则
12121n n a a n n +=-+（2n ≥），又 由14121n n S a n +-=-，11a =，得23a =，所以12211211a a =⨯-⨯+，所以21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭
为常 数列，所以
1121211n a a n ==-⨯-，故21n a n =-. 故选：C
【点睛】
本小题考查数列的通项与前n 项和的关系等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，应用意识. 10、A
【解析】
根据题意，可得几何体，利用体积计算即可.
【详解】
由题意，该几何体如图所示：
该几何体的体积11110222222323
V =
⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=. 故选：A.
【点睛】 本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，属于基础题．
11、D 【解析】
设非零向量a 与b 的夹角为θ，在等式23a b b -=两边平方，求出cos θ的值，进而可求得向量b 在向量a 方向上的投影为cos b θ，即可得解. 【详解】
2b a =，由23a b b -=得22
23a b b -=，整理得22220a a b b -⋅-=，
22222cos 40a a a a θ∴-⨯-=，解得1
cos 2θ=-，
因此，向量b 在向量a 方向上的投影为1
cos 2
b b θ=-.
故选：D. 【点睛】
本题考查向量投影的计算，同时也考查利用向量的模计算向量的夹角，考查计算能力，属于基础题. 12、A 【解析】
由题意画出图形，结合椭圆的定义，结合椭圆的离心率,求出椭圆的长半轴a,半焦距c,即可确定该卫星远地点离地面的距离. 【详解】
椭圆的离心率：=(0,1)c
e a
∈，（ c 为半焦距; a 为长半轴），
设卫星近地点，远地点离地面距离分别为r ，n ，如图：
则,n a c R r a c R =+-=--
所以1r R a e +=
-,()1r R e
c e
+=-, ()121111r R e r R e e
n a c R R r R e e e e
+++=+-=+-=+----
故选：A 【点睛】
本题主要考查了椭圆的离心率的求法，注意半焦距与长半轴的求法,是解题的关键，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1344 【解析】
分四种情况讨论即可 【详解】
解：数学排在第一节时有：1
4
1
444384C A C ⨯⨯= 数学排在第二节时有：1
4
1
344288C A C ⨯⨯= 数学排在第三节时有：1
4
1
344288C A C ⨯⨯= 数学排在第四节时有：1
4
1
444384C A C ⨯⨯= 所以共有1344种 故答案为：1344 【点睛】
考查排列、组合的应用，注意分类讨论，做到不重不漏；基础题.
14、
3
【解析】
由题意可知半球的半径与正四棱锥的高相等，可得正四棱锥的棱与半径的关系，进而可写出半球的半径与四棱锥体积的关系，进而求得结果. 【详解】
设所给半球的半径为R ，则四棱锥的高h R =，
则AB =BC =CD =DA=，由四棱锥的体积
)
2
1
33
R R =⇒=
半球的体积为：332
R π=. 【方法点睛】
涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.
15、1． 【解析】
先求得高三学生占的比例，再利用分层抽样的定义和方法，即可求解. 【详解】
由题意，高三学生占的比例为15005
1200900150012
=++，
所以应从高三年级学生中抽取的人数为5
72030012
⨯=. 【点睛】
本题主要考查了分层抽样的定义和方法，其中解答中熟记分层抽样的定义和抽取的方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
16
、5⎡⎢⎣ 【解析】
取11B C 中点G ，连结FG ，BG ，推导出平面//FGB 平面AEC ，从而点P 在线段BG 上运动，作1A H BG ⊥于H ，由111A H A P A B ，能求出线段1A P 长度的取值范围． 【详解】
取11B C 中点G ，连结FG ，BG ，
在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别是棱11A D 、11A B 的中点， //AE BG ∴，//AC FG ， AE
AC A =，BG
FG G =，
∴平面//FGB 平面AEC ，
P 是侧面正方形11BCC B 内一点（含边界）
，//FP 平面AEC ， ∴点P 在线段BG 上运动，
在等腰△1A BG
中，1A G BG ===
1A B == 作1A H BG ⊥于H ，由等面积法解得：
21(A B
BG A H BG
-=
==
111A H A P A B ∴，
∴线段1A P 长度的取值范围是230[5
，22]．
故答案为：230
[
5
，22]．
【点睛】
本题考查线段长的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）男生人数为45人，女生人数55人.（2）列联表答案见解析，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关. 【解析】
（1）求出男女比例，按比例分配即可；
（2）根据题意结合频率分布表，先求出二联表中数值，再结合2K 公式计算，利用表格数据对比判断即可 【详解】
（1）因为男生人数：女生人数＝900：1100＝9：11， 所以男生人数为
9
1004520
⨯=人，女生人数100﹣45＝55人， （2）由频率频率直方图可知学生每周平均体育锻炼时间超过2小时的人数为：（1×0.3+1×0.25+1×0.15+1×0.05）×100＝75人，
每周平均体育锻炼时间超过2小时的女生人数为37人， 联表如下：
男
生
女
生 总
计 每周平均体育锻炼时间不超过2小时 7 18 25 每周平均体育锻炼时间超过2小时 38 37 75 总计
45
55
100
因为2
2
100(1838737)45552575
K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 3.892＞3.841，
所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关. 【点睛】
本题考查分层抽样，独立性检验，熟记公式，正确计算是关键，属于中档题.
18、（1）证明见解析（2）7
【解析】
（1）由底面ABCD 为菱形，得BD AC ⊥，再由PA ⊥底面ABCD ，可得PA BD ⊥，结合线面垂直的判定可得BD ⊥平面PAC ；
（2）以点A 为坐标原点，以,AD AP 所在直线及过点A 且垂直于平面PAD 的直线分别为,,x z y 轴建立空间直角坐标系A xyz -，分别求出平面PAB 与平面PCD 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值. 【详解】 （1）证明：
底面ABCD 为菱形，BD AC ∴⊥，
PA ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ∴⊥
又AC PA A ⋂=，,AC PA ⊂平面PAC ，
BD ∴⊥平面PAC ；
（2）解：
AB AD =，60BAD ︒∠=，ABD ∴为等边三角形，
sin 60242AC AD ︒∴=⋅⋅=⨯=PA ⊥底面ABCD ，PCA ∴∠是直线PC 与平面ABCD 所成的角为30︒，
在Rt PAC △中，由tan
PA PCA AC ∠=
==
4PA =. 如图，以点A 为坐标原点，以,AD AP 所在直线及过点A 且垂直于平面PAD 的直线分别为,,x z y 轴 建立空间直角坐标系A xyz -.
则(0,0,4)P ，(0,0,0)A ，2,()B ，(4,0,0)D ，C .
(0,0,4)PA ∴=-，4)PB =-，(4,0,4)PD =-，4)PC =-.
设平面PAB 与平面PCD 的一个法向量分别为(,,)m x y z =，()111,,n x y z =.
由4022340m PA z m PB x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取1y =-，得(3,1,0)m =-； 由1111162340440
n PC x y z n PD x z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取11y =-，得(3,1,3)n =-. 27
cos ,7||||
m n m n m n ⋅∴<>=
=⋅.
∴平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值为277
.
【点睛】
本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，属于中档题． 19、（1）；（2）
.
【解析】
试题分析：（1）联立直线的方程和抛物线的方程，化简写出根与系数关系，由于直线平分
，所
以
，代入点的坐标化简得，结合跟鱼系数关系，可求得
；（2）设，
，
，由三点共线得
，再次代入点的坐标并化简得，同理由
三点共线，
可得，化简得
，故
.
试题解析： （1）由
，整理得
，
设，，则，
因为直线平分
，∴
，
所以
，即
，
所以，得，满足，所以
.
（2）由（1）知抛物线方程为，且
，
，，
设，
，，由
三点共线得
，
所以
，即
，
整理得：，①
由
三点共线，可得
，② ②式两边同乘得：，
即：，③ 由①得：，代入③得：，
即：，所以
.
所以
.
考点：直线与圆锥曲线的位置关系.
【方法点晴】本题考查直线与抛物线的位置关系.阅读题目后明显发现，所有的点都是由直线和抛物线相交或者直线与直线相交所得.故第一步先联立
，相当于得到
的坐标，但是设而不求.根据直线
平分
，有
，这样我们根据斜率的计算公式
，代入点的坐标，就可以计算出的值.第二问主要利用三点共线
来求解.
20、（1）10,e ⎛⎫
⎪⎝⎭
；（2）(],1-∞
【解析】
（1）将()f x 有两个零点转化为方程ln x
a x =有两个相异实根，令()ln x G x x
=求导，利用其单调性和极值求解； （2）将问题转化为ln 1
x
x m e x x ≤--对一切()0,x ∈+∞恒成立，令()()ln 10x x F x e x x x
=-->，求导，研究单调性，求出其最值即可得结果. 【详解】
（1）()f x 有两个零点⇔关于x 的方程ax e x =有两个相异实根 由0>ax e ，知0x >
()f x ∴有两个零点ln x
a x
⇔=
有两个相异实根. 令()ln x G x x =
，则()2
1ln x
G x x -'=， 由()0G x '
>得：0x e <<，由()0G x '
<得：x e >，
()G x ∴在()0,e 单调递增，在(),e +∞单调递减
()()max 1
G x G e e
∴==，
又
()10G =
∴当01x <<时，()0G x <，当1x >时，()0G x >
当x →+∞时，()0G x →
()f x ∴有两个零点时，实数a 的取值范围为10,e ⎛⎫
⎪⎝⎭
；
（2）当1a =时，()x
f x e x =-，
∴原命题等价于ln 1x xe x mx ≥++对一切()0,x ∈+∞恒成立
ln 1
x x m e x x ⇔≤-
-对一切()0,x ∈+∞恒成立. 令()()ln 1
0x
x F x e x x x
=-
-> ()min m F x ∴≤
()222
ln ln x x
x x e x
F x e x x
+'=+= 令()2ln x
h x x e x =+，()0,x ∈+∞，则
()21
20x h x xe x e x
'=++
> ()h x ∴在()0,∞+上单增
又()10h e =>，1
201110e
h e e e -⎛⎫=-<-= ⎪⎝⎭
01,1x e ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭
，使()00h x =即0
020e n 0l x x x +=①
当()00,x x ∈时，()0h x <，当()0,x x ∈+∞时，()0h x >， 即()F x 在()00,x 递减，在()0,x +∞递增，
()()000min 00
ln 1
x x F x F x e x x ∴==-
- 由①知0
200ln x x e
x =-
01
ln 000000ln 111ln ln x x x x e e x x x x ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭
∴
函数()x
x xe ϕ=在()0,∞+单调递增
00
1
ln
x x ∴=即00ln x x =- ()0ln 0min 0000
111
11x x F x e x x x x --∴=-
-=+-=， 1m ∴≤
∴实数m 的取值范围为(],1-∞.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，最值问题，考查学生转化能力和分析能力，是一道难度较大的题目.
21、（1）(0,0)
，4π⎛⎫ ⎪⎝
⎭；
（2
）【解析】
（1）依题意可知，直线l 的极坐标方程为4
π
θ=
（ρ∈R ），再对ρ分三种情况考虑；
（2）利用直线参数方程参数的几何意义，求弦长即可得到答案. 【详解】
（1）依题意可知，直线l 的极坐标方程为4
π
θ=
（ρ∈R ），
当0ρ>时，联立,4
4cos ,πθρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩
解得交点4π⎛
⎫ ⎪⎝⎭， 当0ρ=时，经检验(0,0)满足两方程，（易漏解之处忽略0ρ=的情况）
当0ρ<时，无交点；
综上，曲线C 与直线l 的点极坐标为(0,0)，4π⎛⎫ ⎪⎝
⎭，
（2）把直线l 的参数方程代入曲线C ，得2
2(sin cos )20t t αα+--=，
可知120t t +=，122t t ⋅=-，
所以12||AB t t =-==【点睛】
本题考查直线与曲线交点的极坐标、利用参数方程参数的几何意义求弦长，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 22、t ＝1 【解析】
把22249x y z ++变形为22222221991449919619614
x y t t z t t +++++-结合基本不等式进行求解.
【详解】
因为2222222222199149449919619614
x y x y z t t z t t ++=+++++-
211()714
t x y z t ≥++- 即22249
x y z ++2114t ≥，当且仅当27x t =，914y t =，114z t =时，上述等号成立，
所以
218
147
t =，即216t =，又x ，y ，z ＞0，所以x +y +z =t ＝1． 【点睛】
本题主要考查基本不等式的应用，利用基本不等式求解最值时要注意转化为适用形式，同时要关注不等号是否成立，侧重考查数学运算的核心素养.。