2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(上海卷·文科)(附答案-完全word版)

2008年全国普通高等学校招生统一考试
上海数学试卷（文史类）
__________录入者：福建泉州第七中学 林志敏老师
考生注意：
1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．
2．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．
一、填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．不等式11x -＜的解集是 ． 2．若集合{}|2A x x =≤，{}
|B x x a =≥满足{2}A
B =，则实数a = ．
3．若复数z 满足(2)z i z =- (i 是虚数单位)，则z = ． 4．若函数f (x )的反函数为1
2()log f
x x -=，则()f x = ．
5．若向量a ，b 满足1
2a b ==，且a 与b 的夹角为3
π
，则a b += ． 6．若直线10ax y -+=经过抛物线2
4y x =的焦点，则实数a = ． 7．若z 是实系数方程2
20x x p ++=的一个虚根，且2z =，则p = ．
8．在平面直角坐标系中，从六个点：(00)(20)(11)(02)(22)A B C D E ，，，，，，，，，中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）．
9．若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数a b ∈R ，）是偶函数，且它的值域为(]4-∞，，则该函数的解析式()f x = ．
10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是 ．
11．在平面直角坐标系中，点A B C ，，的坐标分别为(01)(42)(26)，，，，，．如果()P x y ，是ABC △围成的区域（含边界）上的点，那么当w xy =取到最大值时，点P 的坐标是 ______ ．
二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或
者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．
12．设p 是椭圆
22
12516
x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于（ ） A ．4 B ．5 C ．8 D ．10
13．给定空间中的直线l 及平面α．条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ）
Ａ．充分非必要条件 Ｂ．必要非充分条件
C ．充要条件 Ｄ．既非充分又非必要条件
14．若数列{}n a 是首项为l ，公比为3
2
a -
的无穷等比数列，且{}n a 各项的和为a ，则a 的值是（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．12 Ｄ．5
4
15．如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所
围成的区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点．若点()P x y ，、点()P x y '''，满足x x '≤且y y '≥，则称P 优于P '．如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（ ） Ａ．AB
B ．BC
C ．C
D D ．DA
三、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
16．(本题满分12分)
如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是BC 1的中点．求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
17．（本题满分13分）
如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC ．小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里
有两条笔直的小路AD DC ，，且拐弯处的转角为120．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）．
18．（本题满分15分）本题共有2个小题，第1个题满分5分，第2小题满分10分． 已知函数f (x )=sin2x ，g (x )=cos π26x ⎛
⎫
+ ⎪⎝
⎭
，直线()x t t =∈R 与函数()()f x g x ，的图像分别交于M 、N 两点． （1）当π
4
t =
时，求｜MN ｜的值； （2）求｜MN ｜在π02t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，时的最大值．
19．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分． 已知函数||
1
()22x x f x =-
． （1）若()2f x =，求x 的值；
（2）若2(2)()0t
f t mf t +≥对于[12]t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围．
20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．
已知双曲线22
12
x C y -=：．
（1）求双曲线C 的渐近线方程；
（2）已知点M 的坐标为(01)，．设p 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点．
记MP MQ λ=．求λ的取值范围；
（3）已知点D E M ，，的坐标分别为(21)(21)(01)---，，，，，，P 为双曲线C 上在第一象限内的点．记l 为经过原点与点P 的直线，s 为DEM △截直线l 所得线段的长．试将s 表示为直线l 的斜率k 的函数． 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分４分，第2小题满分６分，第3小题满分8分． 已知数列{}n a ：11a =，22a =，3a r =，32n n a a +=+（n 是正整数），与数列 {}n b ：11b =，20b =，31b =-，40b =，4n n b b +=（n 是正整数）． 记112233n n n T b a b a b a b a =++++．
（1）若1231264a a a a +++
+=，求r 的值；
（2）求证：当n 是正整数时，124n T n =-；
（3）已知0r >，且存在正整数m ，使得在121m T +，122m T +，，1212m T +中有4项为100．求r 的值，并
指出哪4项为100．
2008年全国普通高等学校招生统一考试
上海数学试卷（文史类）答案要点及评分标准
__________录入者：福建泉州第七中学 林志敏老师
一、（第1题至第11题） 1. （0，2）. 2. 2.
3. 1+i.
4. ()2x
x R ∈.
5.
.
6. -1.
7. 4.
8.
4
5
.
9. 224x -+
10. 10.5,10.5a b ==
11. 5,52⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
二、（第12题至第15题）
三、（第16题至第
21题）
16. 【解】过E 作EF ⊥BC ，交BC 于F ，连接DF . ∵ EF ⊥平面ABCD ，
∴ ∠ED
F 是直线DE 与平面ABCD 所成的角. ……………4分 由题意，得EF =11
1.2
CC = ∵
1
1,2
CF CB DF =
=∴=..8分 ∵ EF ⊥DF ， ∴ tan EF EDF DF ∠==……………..10分 故直线DE 与平面ABCD 所成角的大小是arctan
5
….12分 17. 【解法一】设该扇形的半径为r 米. 由题意，得
CD =500（米），DA =300（米），∠CDO=060……………………………4分 在CDO ∆中，2
2
2
2cos 60,CD OD CD OD OC +-⋅⋅⋅=……………6分 即()()2221
5003002500300,2
r r r +--⨯⨯-⨯=…………………….9分 解得4900
44511
r =≈（米）. …………………………………………….13分
【解法二】连接AC ，作OH ⊥AC ，交A C 于H …………………..2分
由题意，得CD =500（米），AD =300（米），0120CDA ∠=………….4分
2220
2
2
2
,2cos12015003002500300700,
2
ACD AC CD AD CD AD ∆=+-⋅⋅⋅=++⨯⨯⨯=在中 ∴ AC =700（米） …………………………..6分
22211
cos .214
AC AD CD
CAD AC AD +-∠==⋅⋅………….…….9分
在直角11
,350,cos 0,14
HAO AH HA ∆=∠=中（米） ∴ 4900
445cos 11
AH OA HAO =
=≈∠（米）. ………………………13分
18、【解】（1）sin 2cos 2446MN πππ⎛
⎫
⎛⎫=⨯
-⨯+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭…………….2分 23
1cos
.32
π=-=………………………………5分 （2）sin 2cos 26MN t t π⎛
⎫
=-+
⎪⎝
⎭
3sin 2cos 222
t t =
- …………...8分
26t π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
…………………………….11分 ∵ 0,,2,,2666t t πππππ⎡⎤⎡⎤∈-∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦ …………13分
∴ ｜MN . ……………15分 19、【解】（1）()()1
00;0,22x x
x f x x f x <=≥=-当时，当时. …………….2分
由条件可知，21
22,22210,2
x x x x -
=-⋅-=即解得 21x =…………6分
∵ (220,log 1x x >∴= …………..8分
（2）当2211
[1,2],2220,22t t t t
t
t m ⎛
⎫⎛⎫
∈-+-≥ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
时 ……………10分
即 ()()
242121.t t m -≥--
()22210,21.t t m ->∴≥+ ………………13分 ()2[1,2],12[17,5],t t ∈∴-+∈--
故m 的取值范围是[5,)-+∞ …………….16分
20、【解】（1）所求渐近线方程为0,0y y =+= ……………...3分
（2）设P 的坐标为()00,x y ，则Q 的坐标为()00,x y --， …………….4分
()()000,1,1o MP MQ x y x y λ=⋅=-⋅---
22
200031 2.2
x y x =--+=-+ ……………7分
02x ≥
λ∴的取值范围是(,1].-∞-
……………9分
（3）若P 为双曲线C 上第一象限内的点，
则直线
l 的斜率.2k ⎛∈ ⎝⎭
……………11分
由计算可得，当(
)1
(0,],2k s k ∈=
时
当(
)1,22k s k ⎛∈= ⎝⎭
时
……………15分
∴ s 表示为直线l 的斜率k 的函数是(
)1(0,],21.2k s k k ∈=⎛∈ ⎝⎭….16分
21、【解】（1）()()()
12312
...12342564786a a a a r r r r ++++=++++++++++++++
484.r =+
………………..2分
∵ 48464, 4.r r +=∴= ………………..4分
【证明】（2）用数学归纳法证明：当12,4.n n Z T n +∈=-时
① 当n=1时，1213579114,T a a a a a a =-+-+-=-等式成立….6分 ② 假设n=k 时等式成立，即124,k T k =- 那么当1n k =+时，
()121211231251271291211121k k k k k k k k T T a a a a a a +++++++=+-+-+-………8分 ()()()()()()481884858488k k k r k k k r k =-++-+++-++++-+
()4441,k k =--=-+等式也成立.
根据①和②可以断定：当12,4.n n Z T n +∈=-时…………………...10分
【解】（3）
()1241.
121,12241;
123,12441;
125,12645;127,1284;129,121044;
m n n n n T m m n m m T m n m m T m r n n m m T m r n m m T m r n m m T m =-≥=++=+=++=-+-=++=+-=++=--=++=+当时，当时，当时，当时，当时，
1211,1212,4 4.n n m m T m =++=--当时………………………..13分
∵ 4m+1是奇数，41,4,44m r m r m -+-----均为负数，
∴ 这些项均不可能取到100. ………………………..15分
此时，293294297298,,,T T T T 为100. …………………………18分。