2019-2020学年铜陵市八年级下学期期末数学试卷

2019-2020学年铜陵市八年级下学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1. 下列二次根式中属于最简二次根式的是( )
A. √8
B. √14
C. √12
D. √4
2. 估计2√7的值在( ) A. 4和5之间
B. 5和6之间
C. 6和7之间
D. 7和8之间 3. 如果等边三角形的边长为4，那么等边三角形的中位线长为( )
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8 4. 当你乘车沿一条平坦的大道向前行驶时，你会发现，前方那些高一些的建筑物好像“沉”到了位于它们前面那些矮一些的建筑物后面去了．这是因为( )
A. 汽车开的很快
B. 盲区减小
C. 盲区增大
D. 无法确定 5. 如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，BC =3√10，sinA =35，则AB 的长为( )
A. 15
B. 5√10
C. 20
D. 10√5 6. 价格、配置皆相同的甲、乙两种品牌电脑，各抽取五台同时开机进行质量测试，测试结果量化
分值如下：x −甲=80，x −
乙=80，S 甲2=10，S 乙2=20，若顾客要从甲、乙两种品牌电脑中选购一台，你应该推荐的品牌是( )
A. 甲品牌
B. 乙品牌
C. 甲、乙品牌都一样
D. 无法确定
7. 下列说法中，正确的是( ) A. √25=±5
B. √(−3)2=−3
C. ±√36=±6
D. √−100=−10 8. 汽车刹车后行驶的距离y(单位：米)与行驶的时间x(单位：秒)的函数关系式是y =−6x 2+15x ，那么汽车刹车后到静止所需时间的值等于该抛物线( )
A. 顶点的横坐标
B. 顶点的纵坐标
C. 与直线x=1的交点的纵坐标
D. 与x轴交点的横坐标
9.点，点是一次函数图象上的两个点，且，则与的
大小关系是()．
A. B. C. D.
10.如图，▱ABCD的周长为32，对角线AC、BD相交于点O，点E是
CD的中点，BD=14，则△DOE的周长为()
A. 14
B. 15
C. 18
D. 21
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11.已知△ABC边长分别是3、4、5.△ABC与△DEF相似且相似比为2：3，△DEF的面积是______．
12.某校初三⋅一班2名女生的体重(单位：kg)为：35，32，38，40，42，42，则这组数据的众数是，
中位数是．
13.在平面直角坐标系中，点A(−2,0)，动点P在直线y=−√3x上，若△APO为等腰三角形，则点P
的坐标是______．
14.如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别
是的边AB，BC边的中点．若AB=5，BD=8，则线段EF的长为
______．
15.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=4，动点P从点A出发沿A→B→C运动，动点Q
从点B出发沿B→C→A运动．如果P、Q两点同时出发，速度均为1个单位/秒．设出发时间为x秒(0≤x≤8)，记△PBQ的面积y1的函数图象为T.若直线y2=x+b与T只有一个交点，则b的取值范围为______ ．
16.如图，在3×4长方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形．现在任
意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称
图形的概率是______．
三、解答题（本大题共7小题，共52.0分）
17.为了解学生体育训练的情况，某市从全市九年级学生中随机抽取部分学生进行了一次体育科目
测试(把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格)，并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的
信息解答下列问题：
(1)本次抽样测试的学生人数是______ ；
(2)扇形图中∠α的度数是______ ，并把条形统计图补充完整；
(3)对A，B，C，D四个等级依次赋分为90，75，65，55(单位：分)，该市九年级共有学生9000名，
如果全部参加这次体育测试，则测试等级为D的约有______ 人；该市九年级学生体育平均成绩约为______ 分．
18.先化简，再求值：4x
x2−2x−3−x
x−3
+2x
x+1
，其中x=√3．
19.如图，点A、B的坐标分别为(0,2)，(1,0)，直线y=1
2
x−3与坐标轴交于C、D两点．
(1)求直线AB：y=kx+b与CD交点E的坐标；
(2)直接写出不等式kx+b>1
2
x−3的解集；
(3)求四边形OBEC的面积；
(4)利用勾股定理证明：AB⊥CD．
20.为迎接锦州市2013世界园林博览会，我市准备将某路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路
灯单价为5500元/个，现有两个商家经销此产品．甲商家一律按原价的80%销售；乙商家用如下方法促销：若购买路灯不超过150个，按原价付款；若一次购买150个以上，且购买的个数每增加一个，其单价减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于4000元/个．现设购买太阳能路灯x个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y2元．
(1)分别求出y1、y2与x之间的函数关系；
(2)若市政府投资154万元，应选择哪个商家购买，最多能购买多少个太阳能路灯？
21.如图：在平行四边形ABCD的边AB，CD上截取AF，CE，使得
AF=CE，连接EF，点M，N是线段EF上两点，且EM=FN，
连接AN，CM．
(1)求证：△AFN≌△CEM；
(2)若∠CMF=107°，∠CEM=72°，求∠NAF的度数．
22.已知y=y1+2y2，y1与(x−2)成正比例，y2与x成反比例，且当x=1时，y=−1；当x=2时，
y=3．
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)当x=3时，求y的值．
23.如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，
△ACB的顶点A在△ECD的斜边上，连接BD
(1)试判断△ACE与△BCD是否全等，请说明理由；
(2)求∠BDC的度数；
(3)求证：AE2+AD2=2AC2．
【答案与解析】
1.答案：B
解析：解：A、√8=2√2被开方数中含有未开尽方的因数或因式，错误；
B、√14符合最简二次根式的定义，正确；
C、√1
被开方数中含有分母，错误；
2
D、√4=2被开方数中含有未开尽方的因数或因式，错误；
故选B．
先化简，再根据最简二次根式的定义判断即可．
此题考查最简二次根式，在判断最简二次根式的过程中要注意：
(1)在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
(2)在二次根式的被开方数中的每一个因式(或因数)，如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式．
2.答案：B
解析：解：∵2.6<√7<2.7，
∴5<2√7<6，
故选：B．
根据√7的取值范围进行估计解答．
此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出√7的取值范围是解题关键．
3.答案：A
解析：解：∵等边三角形的边长为4，
×4=2．
∴等边三角形的中位线长是：1
2
故选：A．
根据三角形中位线定理进行计算．
本题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
4.答案：C
解析：解：根据题意我们很明显的可以看出“沉”下去的建筑物实际上是到了自己的盲区的范围内．故选：C．
前方那些高一些的建筑物好像“沉”到了位于它们前面那些矮一些的建筑物后面去了，说明看到的范围减少，即盲区增大．
本题结合了实际问题考查了对视点，视角和盲区的认识和理解．
5.答案：A
解析：[分析]
过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD=3k，则AB=AC=5k，继而可求出BD=k，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形的知识，过点C作CD⊥AB，构造直角三角形是关键．[详解]
解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，
在Rt△ACD中，sinA=3
，
5
设CD=3k，则AB=AC=5k，
∴AD=√AC2−CD2=4k，
在Rt△BCD中，
∵BD=AB−AD=5k−4k=k，
在Rt△BCD中，BC=√BD2+CD2=√k2+9k2=√10k，
∵BC=3√10，
∴√10k=3√10，
∴k=3，
∴AB=5k=15，
故选A．
6.答案：A
解析：解：由于S甲2<S乙2，故乙的方差大，波动大．
故选：A．
方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
[(x1−x−)2+本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为x−，则方差S2=1
n
(x2−x−)2+⋯+(x n−x−)2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．7.答案：C
解析：解：A、√25=5，故原题计算错误；
B、√(−3)2=3，故原题计算错误；
C、±√36=±6，故原题计算正确；
D、√−100，不能开平方，故原题计算错误；
故选：C．
根据√a2=|a|，一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，负数没有算术平方根进行分析计算即可．
此题主要考查了二次根式的化简和算术平方根和平方根，关键是掌握√a2=|a|．
8.答案：A
解析：解：∵汽车刹车后到静止距离y达到最大值，
∴所需时间的值等于该抛物线顶点的横坐标，
故选：A．
根据二次函数的性质即可得到结论．
本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的顶点式解答．
9.答案：A
解析：由一次函数的性质可知：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小。

∵k=−4<0，，
∴。

故选A。

10.答案：B
解析：解：∵四边形ABCD是平行四边形，
BD=7，
∴AB=CD，AD=BC，OB=OD=1
2
∵▱ABCD的周长为32，
∴CD+BC=16，
∵点E是CD的中点，
CD，OE是△BCD的中位线，
∴DE=1
2
∴OE=1
BC，
2
∴DE+OE=1
2
(CD+BC)=8，
∴△DOE的周长=OD+DE+OE=7+8=15；
故选：B．
由平行四边形的性质和已知条件得出OD=7，CD+BC=16，再证明OE是△BCD的中位线，得出DE+OE=8，即可得出结果．
本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理；熟练掌握平行四边形的性质，运用三角形中位线定理是解决问题的关键．
11.答案：27
2
解析：解：∵△ABC边长分别是3、4、5，
而32+42=52，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC=1
2
×3×4=6．
∵△ABC与△DEF相似且相似比为2：3，
∴S△ABC
S△DEF =(2
3
)2=4
9
，
∴S△DEF=9×6
4=27
2
．
故答案为27
2
．
先利用勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，求出其面积，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出△DEF的面积即可．
此题考查了相似三角形的性质，勾股定理的逆定理以及三角形的面积．解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．
12.答案：42;39
解析：试题分析：根据众数和中位数的定义即可得出答案．
在这组数据中42出现了2次，出现的次数最多，则这组数据的众数是42；
把这组数据从小到大排列为：32，35，38，40，42，42，处在中间的数是38，40，
则中位数是(38+40)÷2=39；
故答案为：42，39．
13.答案：(−1,√3)或(1,−√3)
解析：解：
如图所示直线y=−√3x的图象是直线EF，
当x=1时，y=−√3，
∵tan∠MOF=√3
，
1
∴∠MOF=60°=∠AOE，
所以存在P1、P2两个点，△AOP是等腰三角形，且△AP1O是等边三角形，
过P1作P1W⊥x轴于W，过P2作P2R⊥x轴于R，
∵A(−2,0)，
∴OA=OP1=OP2=2，
∴OW=OR=1，P1W=P2R=√3，
即P点的坐标为(−1,√3)或(1,−√3)，
故答案为：(−1,√3)或(1,−√3).
先画出符合的P点，再解直角三角形求出边OW、OR、P1W、P2R，即可得出答案．
本题考查了等腰三角形的性质和判定、解直角三角形、一次函数图象上点的坐标特征等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
14.答案：3
解析：解：∵ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD=4．
在Rt△AOB中，依据勾股定理可知：AO=√AB2−OB2=√52−42=3．
∴AC=6．
∵E、F是AB和BC的中点，即EF是△ABC的中位线，
AC=3．
∴EF=1
2
故答案为：3．
先依据菱形的性质求得OB 的长，然后依据勾股定理可求得AO 的长，从而可得到AC 的长，最后，依据三角形中位线定理求的EF 的长即可．
本题考查了三角形的中位线定理和菱形的面积公式，利用勾股定理求得AO 的长是解题的关键．
15.答案：b =−9√22或4√2−8<b <0或b =12 解析：解：当0≤x ≤4时，y 1=12PB ⋅BQ =12(4−x)x =−12x 2+2x ；
当4<x ≤8时，过点Q 作QD ⊥BC 与点D ，如图1所示，
∵在△ABC 中，∠B =90°，AB =BC =4，
∴∠ACB =45°，
∴QD =CQ ⋅sin∠ACB =
√22(x −4)， ∴y 1=1
2BP ⋅QD =12(x −4)⋅√22(x −4)=√24(x −4)2．
画出函数图象T ，如图2所示．
当直线y 2=x +b 与y 1=−1
2x 2+2x(0≤x ≤4)相切时，将y 2=
x +b 代入y 1=−12x 2+2x 中，
整理得：−12x 2+x −b =0，
∵△=12−4×(−12)×(−b)=0， ∴b =12
； 当直线y 2=x +b 过点(0,0)时，有0=b ；
当直线y 2=x +b 过点(8,4√2)时，有4√2=8+b ，
解得：b =4√2−8；
当直线y 2=x +b 与y 1=√24(x −4)2(4<x ≤8)相切时，将y 2=x +b 代入y 1=√24
(x −4)2中， 整理得：√2x 2−(8√2+4)x +16−4b =0，
∵△=[−(8√2+4)]2−4×√2×(16−4b)=0，
∴b =−9√2
2．
综上所述：当直线y 2=x +b 与T 只有一个交点，
b 的取值范围为b =−9√2
2或4√2−8<b <0或b =12． 故答案为：b =−9√2
2或4√2−8<b <0或b =1
2．
分0≤x≤4和4<x≤8两种情况，利用三角形的面积公式找出y1关于x函数关系式，依此画出图象T，再逐一分析直线y2=x+b与T相切或过(0,0)、(8,4√2)时b的值，结合图形即可得出结论．
本题考查了动点问题的函数图象、三角形的面积、根的判别式以及一次函数图象上点的坐标特征，依照题意画出图象T，利用数形结合解决问题是解题的关键．
16.答案：4
9
解析：解：如图，∵根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，白色的小正方形有9个，而能构成一个轴对称图形的有4个情况，
∴使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是：4
．
9
故答案为4
．
9
由在3×4正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，共有9种等可能的结果，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有4种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查的是利用轴对称设计图案，注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了轴对称图形的定义．
17.答案：(1)400；
(2)108°；
(3)900；75.5
解析：解：(1)本次抽样测试的学生人数是：160÷40%=400，
故答案为：400；
(2)扇形图中∠α的度数是：120
400
×360°=108°，
C等级人数为：400−120−160−40=80(人)，补全条形图如图：
故答案为：108°；
(3)测试等级为D的约有40
400
×9000=900(人)，
学生体育平均成绩约为：90×120
400+75×160
400
+65×80
400
+55×40
400
=75.5(分)，
故答案为：900，75.5．
(1)根据B级的人数和百分比求出学生人数；
(2)求出A级的百分比，360°乘百分比即为∠α的度数，根据各等级人数之和等于总人数求出C等级人数，补全条形图；
(3)根据样本中D等级所占比例乘以总人数9000可得，运用加权平均数的求法即可求出九年级学生体育平均成绩．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
18.答案：解：原式=4x
(x−3)(x+1)−x2+x
(x+1)(x−3)
+2x2−6x
(x+1)(x−3)
=
x2−3x
(x+1)(x−3)
=
x(x−3)
(x+1)(x−3)
=x x+1， 当x =√3时， 原式=√3
√3+1=√3(√3−1)(√3+1)(√3−1)=3−√3
2．
解析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x 的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
19.答案：解：(1)由题意得{k +b =0b =2
， 解得{k =−2b =2
， 故直线AB 的解析式是y =−2x +2，
则{y =−2x +2
y =12
x −3 解得{x =2y =−2
， 故点E 的坐标是(2,−2)；
(2)由图象可知，x <2时，y =kx +b 的图象在y =1
2x −3的图象的上方，
故不等式kx +b >12x −3的解集是x <2；
(3)y =12x −3， 当x =0时，y =−3，当y =0时，x =6，
则点C 的坐标是(0,−3)，点D 的坐标是(6,0)
四边形OBEC 的面积=△DOC 的面积−△DBE 的面积=
12
×6×3−1
2×5×2=4； (4)过点E 作EF ⊥y 轴于点F ，
AE 2=AF 2+EF 2=42+22=20，
CE 2=CF 2+EF 2=22+12=5，
AC 2=52=25，
∴AE 2+CE 2=AC 2，
∴△ACE 是直角三角形，且∠AEC =90°
∴AB ⊥CD ．
解析：本题考查的是待定系数法求一次函数解析式、利用二元一次方程组求两条直线的交点、利用函数图象解不等式、勾股定理的逆定理的应用，掌握待定系数法的一般步骤、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
(1)利用待定系数法求出直线AB的解析式，利用二元一次方程组求出点E的坐标；
x−3的解集；
(2)根据函数图象写出不等式kx+b>1
2
(3)根据坐标轴上点的特征求出C、D两点的坐标，根据三角形的面积公式计算即可；
(4)作EF⊥y轴于点F，根据勾股定理分别求出AE2、CE2、AC2，利用勾股定理的逆定理判断即可．20.答案：解：(1)由题意可知，从甲商家购买路灯所需金额：
y1=5500×80%x，即y1=4400x．
从乙商家购买路灯所需金额：
当x≤150时，购买一个需5500元，故y2=5500x；
当x>150时，由题意，可得不等式5500−10(x−150)≥4000，
解得x≤300，
即当150<x≤300时，购买一个路灯需[5500−10(x−150)]元，
故y2=x[5500−10(x−150)]，即y2=7000x−10x2；
当x>300时，购买一个需4000元，故y2=4000x；
所以y2=；
(2)到甲商家购买：当y1=1540000，即4400x=1540000，
解得x=350．
乙商家：当0<x≤150时，y2=5500x≤825000<1540000；
当150<x≤300时，y2=7000x−10x2=−10(x−350)2+1225000
因为当150<x≤300，抛物线y2随x的增大而增大，
所以当x=300时，y2最大值=1200000<1540000；
故用154万元到乙商家购买路灯的数量x>300
当x>300时，y2=154000，即4000x=1540000，
解得x=385．
因为385>350，故选择乙商家购买．
答：选择乙商家购买，最多能购买385个路灯．
注：如果直接代入y 2=4000x ，即4000x =1540000．
解析：(1)甲商家，按等量关系“所需金额=售价×购买个数”列出函数关系式，
乙商家，由于购买个数不同，售价也不同，因此需按购买个数分成三段由等量关系“所需金额=售价×购买个数”列出函数关系式；
(2)分别计算投资额在甲乙商家各能购买的太阳能路灯的数量，比较得出最大值．
21.答案：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴CD//AB ，
∴∠AFN =∠CEM ，
∵FN =EM ，AF =CE ，
∴△AFN≌△CEM(SAS)．
(2)解：∵△AFN≌△CEM ，
∴∠NAF =∠ECM ，
∵∠CMF =∠CEM +∠ECM ，
∴107°=72°+∠ECM ，
∴∠ECM =35°，
∴∠NAF =35°．
解析：本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
(1)利用平行线的性质，根据SAS 即可证明；
(2)利用全等三角形的性质可知∠NAF =∠ECM ，求出∠ECM 即可；
22.答案：解：(1)设y 1=k 1(x −2)(k 1≠0)，y 2=
k 2x (k 2≠0)， ∴y =k 1(x −2)+2k 2x ．
∵当x =1时，y =−1.当x =2时，y =3，
∴{−k 1+2k 2=−1k 2=3
， ∴{k 1=7k 2=3
， ∴y 关于x 的函数解析式是：y =7(x −2)+6x ；
(2)由(1)知，y =7(x −2)+6x .则当x =3时，y =7+2=9．
解析：(1)根据正比例与反比例的定义设出y与x之间的函数关系式，然后利用待定系数法求函数解析式计算即可得解；
(2)把x=3代入(1)中的函数关系式进行计算．
此题主要考查了待定系数法求函数解析式，关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法．
23.答案：(1)解：△ACE≌△BCD，
理由如下：∵∠ECD=∠ACB=90°，
∴∠ECA=∠DCB，
在△ACE和△BCD中，
{CE=CD
∠ECA=∠DCB CA=CB
，
∴△ACE≌△BCD(SAS)；
(2)解：∵∠ECD=90°，CE=CD，
∴∠E=∠CDE=45°，
∵△ACE≌△BCD，
∴∠BDC=∠E=45°；
(3)证明：∵△ACB是等腰直角三角形，
∴AB=√2AC，
∠ADB=∠CDE+∠BDC=45°+45°=90°，
∴BD2+AD2=AB2，
∵△ACE≌△BCD，
∴AE=BD，
∴AE2+AD2=AB2=2AC2．
解析：(1)根据：∠ECD=∠ACB=90°，得到∠ECA=∠DCB，利用SAS定理证明△ACE≌△BCD；
(2)根据等腰直角三角形的性质得到∠E=∠CDE=45°，根据全等三角形的性质证明结论；
(3)根据等腰直角三角形的性质得到AB=√2AC，根据勾股定理得到BD2+AD2=AB2，等量代换得到答案．
本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．。