2020年高考理科数学大一轮提分讲义第4章【经典微课堂】——规范答题系列1 高考中的解三角形问题

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高考总复习课程--2020年高考数学(理)第一轮复习(江苏版) 讲义：答案 .doc

讲义参考答案第1讲集合与简易逻辑金题精讲题一：1．题二： ①16；②29．题三：B ．题四：B ．题五：C ．题六：A ．题七：A ．第2讲函数及其性质经典精讲题一：[3,1];[0,2];[3,1]--- 题二：（3）题三：2 题四：（3）（4）题五：（3）（4）题六：（1）(5,1) （2）2，左，1 （3）x = -1第3讲函数及其性质2018新题赏析金题精讲题一：C 题二：B题三：[1,3] 题四：(0,1][3,)+∞U 题五:9(,]2-∞题六：8第4讲平面向量金题精讲题一：题二： 4，题三：A ．题四：6．题五：B ．题六：3．题七：① 1Q ；② 2p ．第5讲三角函数与三角恒等变换经典精讲金题精讲题一：75 题二：5665-题四：A 题五：A题六：(1)6x 5π=；(2)0x =时，()f x 取得最大值为3，56x π=时，()f x 取得最小值为- 题七：2第6讲三角函数与三角恒等变换2018新题赏析金题精讲题一：79-题二：D 题三：D 题四：A题五：(1)2；(2) 最小正周期为π，单调递增区间为[,]()63k k k π2ππ+π+∈Z第7讲解三角形金题精讲题一：3π题二：B 题三：A 题四：75°题六：(1) 23；(2)3+ 第8讲不等式经典精讲题一：(1)[24,)+∞ (2)(0,81]题二：(1)(,2-∞- (2)7[,)2+∞ (3)4 题三：不对，正确解法如下：因为3ab a b =++，所以31a b a +=-，所以2233(1)5(1)4111a a a a a ab a a a a ++-+-+===--- 495=(1)5=(1)5111a a a a a -++-++----因为9(1)1a a -+≥-，当且仅当4a =时，“=”成立，又因为51y a =--在(4,)+∞上单调递增，所以53y ≥-，所以5286533ab ≥+-=，故ab 的取值范围是28[,)3+∞. 题四：(0,1)第9讲线性规划经典精讲题一：4题二：(1，3] 题三：7题四：4,135⎡⎤⎢⎥⎣⎦第10讲数列经典精讲金题精讲题一：－24．题二：21nn +．题三：(1)32n a n =-，2nn b =；(2)1328433n n +-⨯+．题四：(1)证明：因为{}n a 是等差数列，所以112n n n a a a -++=①；222n n n a a a -++=②；332n n n a a a -++=③，由①+②+③可得：3211236n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=于是得到等差数列{}n a 是“(3)P 数列”;(2)证明：因为数列{}n a 是“(2)P 数列”，所以21124n n n n n a a a a a --+++++=①；又因为数列{}n a 是“(3)P 数列”，所以3211236n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=②，由②-①得332n n n a a a -++=，于是得到33,,n n n a a a -+是等差数列，故147,,a a a 、258,,a a a 、369,,a a a …成等差数列，设147,,a a a 的公差为13d ，258,,a a a 的公差为23d ，369,,a a a 的公差为33d ，…，当3n =时，124534a a a a a +++=④，当4n =时，235644a a a a a +++=⑤，当5n =时，346754a a a a a +++=⑥ …将首项和公差代入上述式子可得：1212322334a a d d a +++=⑦ 2323112233412a a d d a d +++=+⑧ 1331222239412a a d d a d +++=+⑨由⑦+⑧+⑨可得：23d d =，将23d d =代入分别代入⑦、⑧、⑨整理可得13d d =，于是有123d d d ==，将123d d d ==代入1331222239412a a d d a d +++=+ 可得到2132a a a =+，故数列123,,a a a 是等差数列，设其公差为d '，于是有2131,2a a d a a d =+=+''，将其代入⑦可得1d d ='，于是有123d d d d ==='，故数列{}n a 是等差数列.第11讲数列2018新题赏析金题精讲题一： 4．题二： 3．题三： A ．题四： (1)221n a n =-；(2)数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为 221n n T n =+．题五： (1)12n n x -=；(2)(21)212n n n T -⨯+=．第12讲导数及其应用经典精讲题一：4题二：题三：(1)极大值为(1)4f -=-，极小值为1112()327f -=- (2)a ≤5 题四：(1)2()ln 1f x x x x =-- (2)1-(3)证明：要证函数2()e x y f x x x =-+的图象在直线21y x =--的下方只需证 2()e 210x f x x x x -+++<，即要证e 20ln x x x x x +<-，所以只要证e 2ln 0x x +-<，令e 2()ln x h x x +=-，则1e ()x xh x '=-，根据函数1xy =和e x y =的图象，可知 0(0,1)x ∃∈，使得0001e 0()x x x h ='=-所以0()()x x h h ≤，又因为001e x x =，所以00e x x -=，故 00000002000200e 21212(21)(1)0()ln ln x x x x x x x x x x x x h +=+=-+--+=--=<=---也就是()0x h <恒成立，此题得证.第13讲导数及其应用2018新题赏析金题精讲题一：①④ 题二：1[1,]2-题三：(1)()f x 在(－∞，－ln a )单调递减，在(－ln a ，+∞)单调递增；(2) (0，1)第14讲巧用导数解决实际应用问题题一：(1)3312m ；(2)23；题二：(1)222()S r x r x =+-(0,)r ；233. 第15讲空间立体几何经典精讲323,24π+163 3 题三：（Ⅰ）证法一：因为E ，F 分别是P A ，PD的中点，所以EF∥AD.又因为AD∥BC，所以EF∥BC.因为E，H分别为P A，AB的中点，所以EH∥PB，又因为PB∩BC=B，EF∩EH=E，所以平面EFH∥平面PBC，又PC⊂平面PBC，所以PC∥平面EFH.证法二：连接AC，BD，设交点为O，连接HO，FO，因为O，H分别是BD，AB的中点，E，F分别是P A，PD的中点，所以EF∥AD，EF=12AD，OH∥AD，OH=12AD，所以OH∥EF，OH=EF，所以点O在平面EFH上，所以证PC∥平面EFH，即证PC∥平面EFOH.因为O，E分别是AC，AP的中点，所以EO∥PC，又因为直线PC⊄平面EFOH，所以PC∥平面EFOH.(Ⅱ)证明：因为AP=AD，点F是PD的中点，所以AF⊥PD. 因为P A⊥平面ABCD，所以P A⊥AB.因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD，所以AB⊥平面APD，所以AB⊥PD，即AH⊥PD，又AF⊥PD，AF∩AH=A，所以PD⊥平面AHF，又PD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面AHF.题四：（Ⅰ）证明：因为DE⊥面ACD，AF⊂面ACD，所以DE⊥AF，又因为AF⊥CD，所以AF⊥面BCDE，所以AF BE⊥.（Ⅱ）线段AB上存在点Q，使AC⊥平面DEQ．理由如下：如图，分别取AC AB，的中点G Q，，则GQ//BC，且GQ=12 BC，又因为DE//BC，12DE BC=，所以GQ//DE且GQ=DE，因为AD=CD，所以DG⊥AC，因为DE⊥面ACD，所以DE⊥AC，所以AC⊥面EDGQ，即AC⊥平面DEQ．第16讲空间向量法解立体几何题经典精讲题一：④题二：23题三：(1)当P为AC中点时，PF与BC所成的角是60︒ (2) 60︒题四：(1)证明：∵ABC-A1B1C1为直棱柱，∴C1C⊥面ABC，∴C1C⊥AC，C1C⊥CB，即︒=∠=∠90DCBDCA，∵底面为等腰直角三角形，且90ACB∠=︒，∴CA = CB，在△DCA和△DCB中⎪⎩⎪⎨⎧︒==∠=∠=CBCADCBDCADCDC90∴△DCA≌△DCB（SAS），∴DA=DB，又∵G为ABD∆的重心，∴DG⊥AB，∵E在面ABD上的射影为G，∴EG⊥面ABD，∴EG⊥AB，∵DG⊥AB，EG⊥AB，∴AB⊥面DEG.7第17讲空间立体几何2018新题赏析金题精讲题一：A题二：C10题四：②③题五：(1)证明：∵∠BAP =∠CDP =90°，∴PA ⊥AB ，PD ⊥CD ， ∵AB ∥CD ，∴AB ⊥PD ，又∵PA ∩PD =P ，且PA ⊂平面PAD ， PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥平面PAD ，又AB ⊂平面PAB ， ∴平面PAB ⊥平面PAD ；(2) 第18讲直线与圆经典精讲题一：(,[1,)-∞⋃+∞，π2π[,]43题三：(1)24 (2)24题四：(1)320x y ++= (2)22(2)8x y -+= (3)221(22x y x -=≤第19讲椭圆经典精讲金题精讲题一：D题二：2题三：1题四：题六：(±.第20讲双曲线与抛物线经典精讲金题精讲题一：B题二：221312x y -=；2y x =±题三：C 题四：C题六：证明：如图，设点11(,)A x y ，点22(,)B x y ，直线:AB l x my t =+，由22x my t y px=+⎧⎨=⎩，得2220y pmy pt --=，∴2221212122,22y y y y pt x x t p p=-==g ，又∵121k k =-，∴12120x x y y +=， ∴220t pt -=，∴2t p =，（0t =舍）， ∴:2AB l x my p =+，∴AB l 恒过点(2,0)p . 题七：(1) 证明：设直线:AB l x my t =+，由22x my ty px=+⎧⎨=⎩，得2220y pmy pt --=，∴122y y pt =-，又∵122y y p =-，∴1t =，∴:1AB l x my =+， ∴AB l 恒过点(1,0). (2)（0，4）.第21讲解析几何2018新题赏析金题精讲题一：(0,1][9,)+∞U题二：22y x =±题三：233题四：(1) 抛物线C 的方程为y 2 = x ，焦点坐标为(14，0)，准线为x =－14； (2) 设过点(0，12)的直线方程为y = kx +12(k ≠ 0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， ∴直线OP 为y = x ，直线ON 为y =22y x x ，由题意知A (x 1，x 1)，B (x 1，122x y x )，由212y kx y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得k 2x 2+(k －1)x +14= 0，∴x 1+x 2 =21k k -，x 1x 2 =214k ，要证A 为线段BM 的中点，只需证211122y x y x x =+，即证2111211222kx x kx x x +=++，即证1212212111222x x kx x x kx x x =+++，即证12121(22)()2k x x x x -=+，而12122221111222(1)(22)()(22)02244k k k k x xx x k k k k ------+=-⋅-⋅==∴ A 为线段BM 的中点．第22讲排列、组合及二项式定理经典精讲金题精讲题一：14 题二：C 题三：D 题四：-2 题五：10题六：710. 题七：证明：设a n =2n ，b n =n +2，∴数列{a n }是以2首项，公比为2的等比数列， ∴a 1=2．a 2=4．a 3=8，知a 1、a 2显然不是数列{b n }中的项． ∵a 3=8=3×2+2，∴a 3是数列{b n }中的第2项，设a k =2k 是数列{b n }中的第m 项，则2k =3m +2（k 、m ∈N *）， ∵a k+1=2k+1=2×2k =2（3m +2）=3（2m +1）+1， ∴a k+1不是数列{b n }中的项，∵a k +2=2k +2=4×2k =4（3m +2）=3（4m +2）+2， ∴a k +2是数列{b n }中的项，∴c 1=a 3，c 2=a 5，c 3=a 7，…，c n =a 2n +1， ∴数列{c n }的通项公式是c n =22n +1（n ∈N *）， ∴{c n }是等比数列. 题八：(1)72；432.(2) 有五位数，无六位数. (3)4012第23讲统计与两个概型经典精讲金题精讲题一：B 题二：（I ）1315；（II ）78题三：B题四：（1）B 地区用户满意度评分的频率分布直方图如下：B 地区用户满意度评分的频率分布直方图通过直方图比较可以看出，B 地区满意度评分的平均值高于A 地区用户满意度评分的平均值，B 地区用户满意度评分比较集中，而A 地区用户满意度评分比较分散；（2）A 地区的满意度等级为不满意的概率大，理由略. 题五：23题六：(I) 1.2 3.6y t =+$；(II)10.8(千亿元).第24讲离散型随机变量及其分布列、期望经典精讲金题精讲题一：1.96．题二：(1)0.3； (2)ξ的分布列如下：ξ 0 12P16 23 16E (ξ)=1；(3) 100名患者中服药者指标y 数据的方差比未服药者指标y 数据的方差大． X 0 123P14 1124 14 124E (X )=12； (2)1148．题四：(1)518；(2)X X1234EX =2．题五：(1)23； (2)X数学期望EX =236．第25讲概率统计2018新题赏析金题精讲题一：25 题二：59题三：π8题四：A 题五：B题六：(1)0.4；(2)20；(3)3:2．题七：(1)0.6；(2) Y 的所有可能值为900,300,－100；Y 大于零的概率为0.8．第26讲几何证明选讲(选修4-1) 题一：点P 的轨迹是223(0)x y y +=≠所表示的两个半圆. 题二：题三：43题四：11第27讲矩阵与变换(选修4-2)题一：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92－15 －1 题二：（Ⅰ）1a =，1b =-；（Ⅱ）(1,0)题三：1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦题四：（1）312221⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；（2）32223⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎣⎦题五：矩阵A ＝1120-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，其另一个特征值为1. 第28讲坐标系与参数方程（选修4-4）金题精讲题二：1 题三：（1）1C ：cos 2ρθ=-， 2C ：22cos 4sin 40ρρθρθ--+=；（2）12题四：78第29讲不等式选讲(选修4-5)金题精讲题一：(,8]-∞ 题二：1a ≤时，x ∈∅；12a <≤时，533a a x +-<<； 2a >时，5533a a x -+<<题三：（Ⅰ）2|23x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；（Ⅱ）(2,)+∞.第30讲复数题二：(31)-，题三：i 题四：i 题五：−3题六：1第31讲定积分都考啥题一：2题三：3ln 22-题四：13第32讲算法金题精讲题一：8. 题二：②.题三：(1) {1,3,5,7,9,11,13}，a n =2n -1 （n ∈N +且n ≤7）；(2) a =2；(3) a =a +3. 题四：12na a a n+++…；样本平均数.题五：2.第33讲高考数学一轮复习综合验收题精讲(一)金题精讲题一：1 题二：12题三：7或8 题四：（Ⅰ）π；（Ⅱ）最大值为2，最小值为－1. 题五：（Ⅰ）2y x =；（Ⅱ）令3()()2()3x g x f x x =-+，则4222()()2(1)1x g x f x x x ''=-+=-，因为()0g x '>(01)x <<，所以()g x 在区间(0,1)上单调递增，所以()(0)0g x g >=，(0,1)x ∈，即当(0,1)x ∈时，3()2()3x f x x >+；（Ⅲ）2.第34讲高考数学一轮复习综合验收题精讲(二)金题精讲题一：3R π 题二：1a题三：2sin 4y x =+题四：7 题五：14 题六：（1）连接BD ，∵底面ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ， ∵BB 1⊥底面ABCD ，∴BB 1⊥AC ，∵BD ∩BB 1=B ，∴ AC ⊥面DBB 1，∴AC ⊥B 1D ；（2）60°.题七：（Ⅰ）37；（Ⅱ）1049；（Ⅲ）11a =或18a =. 第35讲集合与常用逻辑用语经典回顾题一：(){2,4,8}U A B =U ð．第36讲函数的概念及其性质经典回顾题一：-8．题二：（Ⅰ）(0)0f =，(1)0f =；（Ⅱ）()f x 是奇函数, 证明：因为2(1)[(1)](1)(1)0f f f f =-=----= 所以(1)0f -=()(1)()(1)()f x f x f x xf f x -=-⋅=-+-=- 因此()f x 是奇函数题三：（Ⅰ）(0)1f =；（II ）证明：设1212,,x x x x <∈R ， 212111211121()()()()()()1()()1f x f x f x x x f x f x x f x f x f x x -=-+-=-+--=--∵210x x ->∴2121()1,()10f x x f x x ->--> 所以21()()f x f x > 因此()f x 在R 上是增函数.第37讲数列经典回顾开心自测题一：24. 题二：!2n 金题精讲题一： 60. 题二：（Ⅰ）13n na ∴=；（Ⅱ）1(21)3344n n n S +-∴=+．题三：（Ⅰ）*65()n a n n N =-∈；（Ⅱ）10．第38讲导数及其应用经典回顾金题精讲题一：（Ⅰ）32()312f x x x x =-+；（Ⅱ）a 的取值范围是[]1,9．题二：(Ⅰ) ()f x 的减区间是(,ln 2)-∞，增区间是(ln 2,)+∞，ln2()(ln 2)2ln 2222ln 22f x f e a a ==-+=-+极小(Ⅱ) 证明：设()221e R x g x x ax x =-+-∈，，∴()2e R 2x g x x a x '=-+∈，，由(Ⅰ)知当ln21a -＞时，()g x '最小值为 ()()ln221ln20g a '=-+＞，∴对任意R x ∈，都有()0g x '＞，所以()g x 在R 内单调递增；∴当ln21a -＞时，对任意0()x ∈+∞，，都有()()0g x g ＞，而()00g =，从而对任意()00()x g x ∈+∞，，＞，即221e 0x x ax -+-＞，故221e x x ax -+＞.第39讲复数与算法初步经典回顾金题精讲题一：30．题二：3．第40讲推理与证明问题经典回顾开心自测题一：81248,T T T T ．题二：证明：假设T 为奇数,则1271,2,,7a a a ---L 均为奇数.因奇数个奇数之和为奇数,故有奇数()()()()()1271271271027a a a a a a -+-++-+++-=+=+=+L L L ，但0≠奇数,这一矛盾说明T 为偶数.金题精讲题一：2222ABC ACD ADB BCD S S S S ++=△△△△．题二：2(1)(32)(21)n n n n ++++-=-L ．题三：1()(())n n f x f f x -==(21)2n nxx -+.题四：（1）13{,}a a 是E 的第5个子集．（2）E 的第211个子集是12578{,,,,}a a a a a ．题五：证明：（用反证法）假设c b a ,,都不大于0，即0,0,0≤≤≤c b a ，则有0≤++c b a ，而222222(2)(2)(2)236(1)(1)(1)()3236a b cx y y z z x x y z ππππππ++=-++-++-+=-+-+-+++- =3)1()1()1(222-+-+-+-πz y x∴222)1(,)1(,)1(---z y x 均大于或等于0，03>-π，∴0>++c b a ，这与假设0≤++c b a 矛盾，故c b a ,,中至少有一个大于0.第41讲选修4经典回顾开心自测题一：{11}x x -≤≤．题二：98a ．金题精讲题一：CE题二：3)4π．题三：（Ⅰ）2a =．（Ⅱ）m 的取值范围是(,5]-∞．。

【精编】2020年高考理科数学大一轮提分讲义第3章【经典微课堂】——突破疑难系列1 函数与导数

突破疑难点1构造函数证明不等式构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有：(1)直接构造法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如ln x≤x－1，e x≥x＋1，ln x＜x＜e x(x＞0)，xx＋1≤ln(x＋1)≤x(x＞－1)；(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解．方法高考示例思维过程直接构造法(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝1x－x＋a ln x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：……(2)证明：由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a＞2.由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2－ax＋1＝0(函数在极值点处的导数为0)，所以x1x2＝1.不妨设x1＜x2，则x2＞1(注意原函数的定义域)．突破疑难点2利用分类讨论法确定参数取值范围一般地，若a＞f(x)对x∈D恒成立，则只需a＞f(x)max；若a＜f(x)对x∈D恒成立，则只需a＜f(x)min.若存在x0∈D，使a＞f(x0)成立，则只需a＞f(x)min；若存在x0∈D，使a＜f(x0)成立，则只需a＜f(x0)max.由此构造不等式，求解参数的取值范围．常见有两种情况，一种先利用综合法，结合导函数零点之间大小关系的决定条件，确定分类讨论的标准，分类后，判断不同区间函数的单调性，得到最值，构造不等式求解；另外一种，直接通过导函数的式子，看出导函数值正负的分类标准，通常导函数为二次函数或者一次函数．提示：求解参数范围时，一般会涉及分离参数法，理科试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常需要设出导函数的零点，难度较大．突破疑难点3 两法破解函数零点个数问题两类零点问题的不同处理方法：利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a)·f (b )＜0.①直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明f (a )·f (b )＜0；②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f (a )·f (b )＜0.突破疑难点4两法破解由零点个数确定参数问题已知函数有零点求参数范围常用的方法：(1)分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f(x)中分离出参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．11。

2020高考数学(理,北师大版)一轮复习课件第4讲函数的概念及其表示(58张PPT) .ppt

(3)当 x 为有理数时，D(x)＝1；当 x 为无理数时，D(x)
＝0，所以函数的值域为{0，1}．
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第4讲函数的概念及其表示
双
向固
2．函数的表示方法
基础
(1)函数 f(x)＝xx，2，xx≤>00，是两个函数．(
)
(2)下列各组函数是同一个函数的是②③.( )
①f(x)＝x，f(x)＝xx2；②f(x)＝x2，f(t)＝t2；
y＝x＋x＋1 1(x>－1)
y＝x＋x 1
y＝xx22－＋2xx＋＋13
y＝23－－csoins
x x
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第4讲函数的概念及其表示
双
向
固基
2．函数的表示法
础
(1)基本表示方法：解__析__法____、___图_像__法__、_列__表__法___．
(2)分段函数：在定义域的不同范围内函数具有不同的解析式，
第4讲函数的概念及其表示
双
向
固基
1．函数的概念
础
(1)概念：设 A，B 都是非空的数集，如果按照某种确定
的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中
都有_唯_一__确__定__的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合
A 到集合 B 的一个函数，记作 y＝f(x)，x∈A.其中 x 叫作自变
为 y cm2，则 y 关于 x 的函数关系式是______________．
图 2-4-1 [答案] y＝x 1600－x2
[解析] 矩形的对角线为40 cm，则矩形的另一条边长为 1600－x2 cm，故矩形的面积y＝x 1600－x2 cm2，所以所求的函数关系式是y＝x 1600－x2.

2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第四章三角函数、解三角形 4.3

§4.3 三角函数的图象与性质考情考向分析以考查三角函数的图象和性质为主，题目涉及三角函数的图象及应用、图象的对称性、单调性、周期性、最值、零点．考查三角函数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识．题型既有填空题，又有解答题，中档难度．1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )概念方法微思考1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？提示正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期．2．思考函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件？提示 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( × )(2)由sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2π3＝sin π6知，2π3是正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的一个周期．( × ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) (5)y ＝sin|x |是偶函数．( √ )题组二教材改编2．[P44T1]函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期是________．答案 π3．[P45T4]y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域是________．答案 ⎣⎡⎦⎤－32，3 解析当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的值域为⎣⎡⎦⎤－32，3. 4．[P33例4]函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的定义域为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－k 2π－π8，k ∈Z题组三易错自纠5．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图象的对称中心是________．答案 ⎝⎛⎭⎫k π－π3，0，k ∈Z 解析由12x ＋π6＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π－π3，k ∈Z ，所以对称中心是⎝⎛⎭⎫k π－π3，0，k ∈Z . 6．函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间是______________________．答案 ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z ) 解析 f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 所以要求f (x )的单调递减区间，只需求y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间．由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π12＋k π≤x ≤512π＋k π(k ∈Z )．所以函数f (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，512π＋k π(k ∈Z )． 7．cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是________________．答案 sin 68°>cos 23°>cos 97° 解析 sin 68°＝cos 22°，又y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数， ∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.题型一三角函数的定义域1．函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的定义域是____________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π6(k ∈Z )解析由正切函数的定义域，得2x ＋π6≠k π＋π2，k ∈Z ，即x ≠k π2＋π6(k ∈Z )．2．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________________．答案 ⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z ) 解析方法一要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z . 方法二利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示)．所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z . 3．函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤2k π＋π3，k ∈Z 解析要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，k ∈Z ，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π，k ∈Z ，所以2k π<x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤2k π＋π3，k ∈Z .思维升华三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．题型二三角函数的值域(最值)例1 (1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________．答案 2－ 3解析因为0≤x ≤9，所以－π3≤πx 6－π3≤7π6，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3≤1，则－3≤y ≤2.所以y max ＋y min ＝2－ 3.(2)函数y ＝cos 2x ＋2cos x 的值域是________．答案 ⎣⎡⎦⎤－32，3 解析 y ＝cos 2x ＋2cos x ＝2cos 2x ＋2cos x －1＝2⎝⎛⎭⎫cos x ＋122－32，因为cos x ∈[－1,1]，所以原式的值域为⎣⎡⎦⎤－32，3. (3)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________．答案 1解析 f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝1－cos 2x ＋3cos x －34，令cos x ＝t 且t ∈[0,1]，则y ＝－t 2＋3t ＋14＝－⎝⎛⎭⎫t －322＋1，当t ＝32时，y max ＝1，即f (x )的最大值是1. 思维升华求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)． (2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值．跟踪训练1 (1)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则实数a 的取值范围是______．答案 ⎣⎡⎦⎤π3，π解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，∴x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，a ＋π6， ∵当x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴由函数的图象(图略)知，π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π. (2)(2018·苏州质检)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为__________．答案 ⎣⎡⎦⎤－12－2，1 解析设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x ·cos x ，sin x cos x ＝1－t 22，且－2≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1，t ∈[－2，2]．当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤－12－2，1.题型三三角函数的周期性与对称性例2 (1)(2019·盐城模拟)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为4，则ω＝________. 答案 π2解析 f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)，由周期计算公式，可得T ＝2πω＝4，解得ω＝π2. (2)已知函数f (x )＝sin(ωx －ωπ)(ω>0)的最小正周期为π，则f ⎝⎛⎭⎫π12＝________. 答案 12解析 ∵T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2，∴f (x )＝sin ()2x －2π＝sin 2x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫π12＝sin π6＝12. (3)(2018·无锡市梅材高中期中)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)，ω>0,0<φ<π为偶函数，且其图象的两条相邻对称轴的距离为π2，则f ⎝⎛⎭⎫－π8的值为________．答案2解析因为函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π6为偶函数，所以φ－π6＝k π＋π2，k ∈Z ，令k ＝0，可得φ＝2π3，根据其图象的两条相邻对称轴间的距离为π2，可得12·2πw ＝π2，所以w ＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x ，所以f ⎝⎛⎭⎫－π8＝2cos ⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫－π8＝2cos π4＝ 2. 思维升华 (1)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点． (2)求三角函数周期的方法 ①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.跟踪训练 2 (1)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为4π，且∀x ∈R ，有f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π3成立，则f (x )图象的对称中心是________________．答案 ⎝⎛⎭⎫2k π－23π，0，k ∈Z 解析由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12.因为f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π3恒成立，所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3，即12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3. 令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π－2π3(k ∈Z )，故f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫2k π－2π3，0(k ∈Z )． (2)若直线x ＝54π和x ＝94π是函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0)图象的两条相邻对称轴，则φ＝______________. 答案 k π－54π，k ∈Z解析由题意，函数的周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫94π－54π＝2π，∴ω＝2πT ＝1，∴y ＝cos(x ＋φ)，当x ＝54π时，函数取得最大值或最小值，即cos ⎝⎛⎭⎫54π＋φ＝±1，可得54π＋φ＝k π，k ∈Z ， ∴φ＝k π－54π，k ∈Z .题型四三角函数的单调性命题点1 求三角函数的单调区间例3 (1)若点P (1，－1)在角φ(－π<φ<0)终边上，则函数y ＝3cos(x ＋φ)，x ∈[0，π]的单调递减区间为________．答案 ⎣⎡⎦⎤π4，π解析因为点P (1，－1)在角φ(－π<φ<0)终边上，所以tan φ＝－1，φ＝－π4，即函数为y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π4，令0<x －π4<π，且0≤x ≤π，解得π4≤x ≤π.(2)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的单调递增区间是____________．答案 ⎝⎛⎭⎫k π2－5π12，k π2＋π12(k ∈Z ) 解析由k π－π2<2x ＋π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－5π12<x <k π2＋π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π2－5π12，k π2＋π12(k ∈Z )． (3)函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的单调递增区间是____________．答案 ⎣⎡⎦⎤0，π6 解析 ∵y ＝12sin x ＋32cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6(k ∈Z )．∴函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z )，又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π6.命题点2 根据单调性求参数例4 已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤12，54解析由π2<x <π，ω>0，得ωπ2＋π4<ωx ＋π4<ωπ＋π4，又y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎡⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈Z ，所以⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥π2＋2k π，ωπ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z .又由4k ＋12－⎝⎛⎭⎫2k ＋54≤0，k ∈Z 且2k ＋54>0，k ∈Z ，得k ＝0，所以ω∈⎣⎡⎦⎤12，54.引申探究本例中，若已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增，则ω的取值范围是_______．答案 ⎣⎡⎦⎤32，74解析函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，则⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥－π＋2k π，ωπ＋π4≤2k π，k ∈Z ，解得4k －52≤ω≤2k －14，k ∈Z ，又由4k －52－⎝⎛⎭⎫2k －14≤0，k ∈Z 且2k －14>0，k ∈Z ，得k ＝1，所以ω∈⎣⎡⎦⎤32，74.思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． (2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．跟踪训练3 (1)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x ，则函数f (x )的单调递减区间为________________．答案 ⎣⎡⎦⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z ) 解析函数的解析式可化为f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π(k ∈Z )，即函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z )． (2)(2018·盐城模拟)若函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6在区间⎣⎡⎤0，a 3和⎣⎡⎤4a ，7π6上均单调递增，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫π6，7π24解析由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，可得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．又∵函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，a 3和⎣⎡⎦⎤4a ，7π6上均单调递增， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3≤π6，4a ≥2π3，4a <7π6，解得π6≤a <7π24.三角函数的图象与性质纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合性的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破，并在高考中拿全分．例 (1)(2018·连云港市灌南华侨高级中学月考)为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0,1]上出现50次最大值，则ω的最小值为________．答案1972π 解析为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0,1]上出现50次最大值，则4914×T ≤1，即1974×2πω≤1.解得ω≥1972π，所以ω的最小值为1972π.(2)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论正确的是________．(填序号) ①f (x )的一个周期为－2π； ②y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称； ③f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6；④f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减．答案 ①②③解析 ①中，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z )，所以f (x )的一个周期为－2π，①正确； ②中，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称，②正确；③中，f (x ＋π)＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3.令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π－5π6(k ∈Z )，当k ＝1时，x ＝π6，所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6，③正确；④中，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )，单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )，所以⎝⎛⎭⎫π2，2π3是f (x )的单调递减区间，⎣⎡⎭⎫2π3，π是f (x )的单调递增区间，④错误．故正确的结论是①②③.(3)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为____________．答案 ⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析由图象知，周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫54－14＝2， ∴2πω＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4. 由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z . (4)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．答案 π解析记f (x )的最小正周期为T . 由题意知T 2≥π2－π6＝π3，又f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，且2π3－π2＝π6，可作出示意图如图所示(一种情况)：∴x 1＝⎝⎛⎭⎫π2＋π6×12＝π3， x 2＝⎝⎛⎭⎫π2＋2π3×12＝7π12，∴T 4＝x 2－x 1＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π.1．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期为π，则f ⎝⎛⎭⎫π3的值是________．答案 12解析由题意，得2πω＝π，所以ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 因此f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋π6＝sin 5π6＝12. 2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为________．答案－22解析由已知x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－22. 3．若函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则实数a 的取值范围是________．答案 (－π，0]解析因为y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有当－π<a ≤0时满足条件，故a ∈(－π，0]．4．(2018·江苏泰州中学月考)函数f (x )＝cos x －sin x (x ∈[－π，0])的单调增区间为________．答案 ⎣⎡⎦⎤－π，－π4 解析由已知f ′(x )＝－sin x －cos x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，由f ′(x )＝0且x ∈[－π，0]，得x ＝－π4，由f ′(x )的图象(图略)可得，当x ∈⎣⎡⎭⎫－π，－π4时，f ′(x )>0，当x ∈⎝⎛⎦⎤－π4，0时，f ′(x )<0， ∴函数f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤－π，－π4. 5．函数y ＝cos 2x －2sin x 的最小值为________．答案－2解析 y ＝cos 2x －2sin x ＝1－sin 2x －2sin x ＝－sin 2x －2sin x ＋1，令t ＝sin x ，则t ∈[－1,1]，y ＝－t 2－2t ＋1＝－(t ＋1)2＋2，所以y min ＝－2.6．设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π4，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．答案 2解析 |x 1－x 2|的最小值为函数f (x )的半个周期，又T ＝4，∴|x 1－x 2|的最小值为2.7．已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象过点(0，3)，则f (x )图象的对称中心是_______．答案 ⎝⎛⎭⎫k 2π－π6，0(k ∈Z ) 解析函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象过点(0，3)，则f (0)＝2sin φ＝3， ∴sin φ＝32，又|φ|<π2，∴φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，令2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，则x ＝k π2－π6(k ∈Z )，∴函数f (x )图象的对称中心是⎝⎛⎭⎫k 2π－π6，0(k ∈Z )． 8．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(x ∈R )图象的一条对称轴为x ＝π，其中ω为常数，且ω∈(1,2)，则函数f (x )的最小正周期为________．答案6π5解析由函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(x ∈R )图象的一条对称轴为x ＝π，可得ωπ－π6＝k π＋π2，k ∈Z ，∴ω＝k ＋23，又ω∈(1,2)，∴ω＝53，∴函数f (x )的最小正周期为2π53＝6π5.9．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π4对任意x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π6>0，则f (x )的单调递减区间是________________．答案 ⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) 解析由题意可得函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝π4对称，故有2×π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π，k ∈Z .又f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ>0，所以φ＝2n π，n ∈Z ，所以f (x )＝sin(2x ＋2n π)＝sin 2x . 令2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，求得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，k ∈Z ，故函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4，k ∈Z . 10．已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6，则下列说法正确的是________．(填序号) ①f (x )的周期是π2；②f (x )的值域是{y |y ∈R ，且y ≠0}； ③直线x ＝5π3是函数f (x )图象的一条对称轴；④f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎦⎤2k π－2π3，2k π＋π3，k ∈Z . 答案 ④解析函数f (x )的周期为2π，①错；f (x )的值域为[0，＋∞)，②错；当x ＝5π3时，12x －π6＝2π3≠k π2，k ∈Z ，∴x ＝5π3不是f (x )的对称轴，③错；令k π－π2<12x －π6≤k π，k ∈Z ，可得2k π－2π3<x ≤2k π＋π3，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎦⎤2k π－2π3，2k π＋π3，k ∈Z ，④正确． 11．已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )≥－12. (1)解 f (x )＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)证明因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6.所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≥sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12. 所以当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )≥－12. 12．已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程； (2)讨论函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性．解 (1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4(ω>0)，且T ＝π， ∴ω＝2，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )，即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )．(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )．因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，3π8；令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z )，令k ＝0，得f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤3π8，π2.13．定义运算：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .例如1*2=1，则函数f (x )=sin x *cos x 的值域为 .答案 ⎣⎡⎦⎤－1，22解析根据三角函数的周期性，我们只看两函数在一个最小正周期内的情况即可，设x ∈[0,2π]，当π4≤x ≤5π4时，sin x ≥cos x ，此时f (x )＝cos x ，f (x )∈⎣⎡⎦⎤－1，22，当0≤x <π4或5π4<x ≤2π时，cos x >sin x ，此时f (x )＝sin x ，f (x )∈⎣⎡⎭⎫0，22∪[－1,0]．综上知f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－1，22. 14．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2，其图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为2π3，若f (x )>1对任意x ∈⎝⎛⎭⎫－π12，π6恒成立，则φ的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤－π4，0 解析由题意可得函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋1的最大值为3.∵f (x )的图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为2π3，∴f (x )的周期T ＝2π3，∴2πω＝2π3，解得ω＝3，∴f (x )＝2cos(3x ＋φ)＋1.∵f (x )>1对任意x ∈⎝⎛⎭⎫－π12，π6恒成立， ∴2cos(3x ＋φ)＋1>1，即cos(3x ＋φ)>0对任意x ∈⎝⎛⎭⎫－π12，π6恒成立， ∴－π4＋φ≥2k π－π2且π2＋φ≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得φ≥2k π－π4且φ≤2k π，k ∈Z ，即2k π－π4≤φ≤2k π，k ∈Z .结合|φ|<π2，可得当k ＝0时，φ的取值范围为⎣⎡⎦⎤－π4，0.15．已知函数f (x )＝cos(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2在⎣⎡⎦⎤－3π8，－π6上单调递增，若f ⎝⎛⎭⎫π4≤m 恒成立，则实数m 的取值范围为________．答案 [0，＋∞)解析 f (x )＝cos(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2，当x ∈⎣⎡⎦⎤－3π8，－π6时，－3π4＋θ≤2x ＋θ≤－π3＋θ，由函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－3π8，－π6上是增函数得 ⎩⎨⎧－π＋2k π≤－3π4＋θ，－π3＋θ≤2k π，k ∈Z ，则2k π－π4≤θ≤2k π＋π3(k ∈Z )．又0≤θ≤π2，∴0≤θ≤π3，∵f ⎝⎛⎭⎫π4＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ，又π2≤θ＋π2≤5π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫π4max ＝0， ∴m ≥0.16．设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋m 的图象关于直线x ＝π对称，其中0<ω<12. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝f (x )的图象过点(π，0)，求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，3π2上的值域．解 (1)由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin ⎝⎛⎭⎫2ωπ－π6＝±1， ∴2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又0<ω<12，∴ω＝13，∴函数f (x )的最小正周期为3π. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x －π6＋m ， ∵f (π)＝0，∴2sin ⎝⎛⎭⎫2π3－π6＋m ＝0， ∴m ＝－2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x －π6－2，当0≤x ≤3π2时，－π6≤23x －π6≤5π6，－12≤sin ⎝⎛⎭⎫23x －π6≤1. ∴－3≤f (x )≤0，故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，3π2上的值域为[－3，0].。

2020高考全国卷一轮复习理科数学(所有内容)

集合的并集!$# 集合的交集!## 集合的补集0*!
图形表示
知识梳理
一集合与元素 !$集合中元素的三个特性&! ! ! !'! ! ! !' !!!!$
意义 !""")!或")#" !""")!且")#" !""")* 且"*!"
四常见结论与等价关系 !##$!1!!!!(!$#$!1!!!!( $0*!%$!$!!!!(0* $0*!%$!!!!$
$#%#(!0佛山调研若集合!$!!##"##$!$"#+%"")
!#+)!"#则集合# 中元素的个数为
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等价转换常使较复杂的集合运算变的简单$
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222222222222222222222 第一章!集合与常用逻辑用语
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激活思维
!" 选修! !"'练习#改编下列命题中#真命题是 $!!% )* 命题)若(0&10#则(&1* +* 命题)若"$&#则"#$3*的逆命题 ,* 命题)若"&##则"#%&"2#&(*的否命题 -* 命题)相似三角形的对应角相等*的逆否命题

通用版2020版高考数学大一轮复习第4讲函数的概念及其表示学案理新人教A版

第4讲函数的概念及其表示1.函数与映射的概念函数映射两集合A ,B 设A ,B 是两个设A ,B 是两个对应关系f :A →B按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的一个数x ,在集合B 中都有的数f (x )与之对应按某一个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的一个元素x ,在集合B 中都有的元素y 与之对应名称称为从集合A 到集合B 的一个函数称对应为从集合A 到集合B的一个映射记法 y=f (x ),x ∈A对应f :A →B2.函数的三要素函数由、和对应关系三个要素构成.在函数y=f (x ),x ∈A 中,x 叫作自变量,x 的取值范围A 叫作函数的 .与x 的值相对应的y 值叫作函数值,函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的 . 3.函数的表示法函数的常用表示方法: 、、 . 4.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的 ,这样的函数通常叫作分段函数.分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数. 常用结论1.常见函数的定义域 (1)分式函数中分母不等于0.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R . (4)零次幂的底数不能为0.(5)y=a x(a>0且a ≠1),y=sin x ,y=cos x 的定义域均为R . (6)y=log a x (a>0,a ≠1)的定义域为{x|x>0}. (7)y=tan x 的定义域为x x ≠k π+π2,k ∈Z .2.抽象函数的定义域(1)若f (x )的定义域为[m ,n ],则在f [g (x )]中,m ≤g (x )≤n ,从而解得x 的范围,即为f [g (x )]的定义域.(2)若f [g (x )]的定义域为[m ,n ],则由m ≤x ≤n 确定g (x )的范围,即为f (x )的定义域. 3.基本初等函数的值域 (1)y=kx+b (k ≠0)的值域是R .(2)y=ax 2+bx+c (a ≠0)的值域:当a>0时,值域为4aa -a 24a,+∞;当a<0时,值域为(-∞,4aa -a 24a].(3)y=a a(k ≠0)的值域是{y|y ≠0}. (4)y=a x(a>0且a ≠1)的值域是(0,+∞). (5)y=log a x (a>0且a ≠1)的值域是R .题组一常识题1.[教材改编] 以下属于函数的有 .(填序号)①y=±√a ;②y 2=x-1;③y=√a -2+√1-a ;④y=x 2-2(x ∈N).2.[教材改编] 已知函数f (x )={a +1,a ≥0,a 2,a <0,则f (-2)= ,f [f (-2)]= .3.[教材改编] 函数f (x )=√8-aa +3的定义域是 .4.[教材改编] 已知集合A={1,2,3,4},B={a ,b ,c },f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数,那么该函数的值域C 的不同情况有种.题组二常错题◆索引:求函数定义域时非等价化简解析式致错;分段函数解不等式时忘记范围;换元法求解析式,反解忽视范围;对函数值域理解不透彻致错.5.函数y=√a-2·√a+2的定义域是.6.设函数f(x)={(a+1)2,a<1,4-√a-1,a≥1,则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为.7.已知f(√a)=x-1,则f(x)= .8.若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为y=x2,值域为{1,4}的“同族函数”共有个.探究点一函数的定义域角度1求给定函数解析式的定义域例1 (1)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为()A.(0,1]B.[0,1]C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(-∞,0)∪[1,+∞)(2)函数f(x)=√1-2a+√a+3的定义域为()A.(-3,0]B.(-3,1]C.(-∞,-3)∪(-3,0]D.(-∞,-3)∪(-3,1][总结反思] (1)求函数定义域即求使解析式有意义的自变量x的取值集合;(2)若函数是由几个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时,定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集;(3)具体求解时一般是列出自变量满足的不等式(组),得出不等式(组)的解集即可;(4)注意不要轻易对解析式化简变形,否则易出现定义域错误.角度2求抽象函数的定义域例2 (1)若函数y=f(x)的定义域是[0,2],的定义域是()则函数g(x)=a(2a)ln aA.[0,1]B.[0,1)C.[0,1)∪(1,4]D.(0,1)(2)若函数f(x2+1)的定义域为[-1,1],则f(lg x)的定义域为()A.[-1,1]B.[1,2]C.[10,100]D.[0,lg 2][总结反思] (1)无论抽象函数的形式如何,已知定义域还是求定义域均是指其中的x的取值集合;(2)同一问题中、同一法则下的范围是一致的,如f[g(x)]与f[h(x)],其中g(x)与h(x)的范围(即它们的值域)一致.变式题 (1)若函数y=f(x)的定义域为(0,1),则f(x+1)的定义域为()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(-1,1)(2)已知函数y=f(x2-1)的定义域为[-√3,√3],则函数y=f(x)的定义域为.探究点二函数的解析式例3 (1)已知f(x+1)=3x+2,则函数f(x)的解析式是()A.f(x)=3x-1B.f(x)=3x+1C.f(x)=3x+2D.f(x)=3x+4(2)已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=-2x+1,且f(2)=15,则函数f(x)= .)=3x,则f(x)= .(3)设函数f(x)对不为0的一切实数x均有f(x)+2f(2018a[总结反思] 求函数解析式的常用方法:(1)换元法:已知复合函数f [g (x )]的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围. (2)待定系数法:已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法.(3)配凑法:由已知条件f [g (x )]=F (x ),可将F (x )改写成关于g (x )的表达式,然后以x 替代g (x ),便得f (x )的解析式.(4)解方程组法:已知f (x )与f (1a )或f (-x )之间的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式,两等式组成方程组,通过解方程组求出f (x ).变式题 (1)已知函数f (2x-1)=4x+3,且f (t )=6,则t= ( ) A .12B .13C .14D .15(2)若f (x )对于任意实数x 恒有3f (x )-2f (-x )=5x+1,则f (x )= ( ) A .x+1 B .x-1 C .2x+1 D .3x+3(3)若f (x )为一次函数,且f [f (x )]=4x+1,则f (x )= . 探究点三以分段函数为背景的问题微点1 分段函数的求值问题例4 (1)[2018·衡水调研] 设函数f (x )={a +1,a ≥0,12a ,a <0,则f [f (-1)]= ( )A .32 B .√2+1 C .1 D .3(2)已知函数f (x )={2a ,a <2,a (a -1),a ≥2,则f (log 27)= .[总结反思] 求分段函数的函数值时务必要确定自变量所在的区间及其对应关系.对于复合函数的求值问题,应由里到外依次求值. 微点2 分段函数与方程例5 (1)已知函数f (x )={(3+a )a +a ,a <1,log a a ,a ≥1,若f [f (1)]=3,则a=( )A .2B .-2C .-3D .3(2)函数f (x )={2a ,a ≤0,a -ln a ,a >0,若f (0)+f (a )=2,则a 的值为 .[总结反思] (1)若分段函数中含有参数,则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参;(2)若是求自变量的值,则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论,再求值. 微点3 分段函数与不等式问题例6 (1)[2018·惠州二模] 设函数f (x )={2-a -1,a ≤0,a 12,a >0,若f (x 0)>1,则x 0的取值范围是( )A .(-1,1)B .(-1,+∞)C .(-∞,-2)∪(0,+∞)D .(-∞,-1)∪(1,+∞)(2)[2018·全国卷Ⅰ] 设函数f (x )={2-a ,a ≤0,1,a >0,则满足f (x+1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A .(-∞,-1]B .(0,+∞)C .(-1,0)D .(-∞,0)[总结反思] 涉及与分段函数有关的不等式问题,主要表现为解不等式,当自变量取值不确定时,往往要分类讨论求解;当自变量取值确定,但分段函数中含有参数时,只需依据自变量的情况,直接代入相应解析式求解. 应用演练1.【微点1】若函数f (x )={2a +1,a <0,√a ,a ≥0,则f (1)+f (-1)=( )A .0B .2C .-2D .12.【微点2】设函数f (x )={22a -1+3,a ≤0,1-log 2a ,a >0,若f (a )=4,则实数a 的值为 ( )A .12 B .18 C .12或18 D .1163.【微点3】已知函数f (x )={3+log 2a ,a >0,a 2-a -1,a ≤0,则不等式f (x )≤5的解集为 ( )A .[-1,1]B .[-2,4]C .(-∞,-2]∪(0,4)D .(-∞,-2]∪[0,4]4.【微点3】[2018·湖北咸宁联考] 已知函数f (x )={a 2-2a ,a ≥0,1a,a <0,则不等式f (x )≤x 的解集为 ( ) A .[-1,3]B .(-∞,-1]∪[3,+∞)C .[-3,1]D .(-∞,-3]∪[1,+∞)5.【微点2】设函数f (x )={3a -a ,a <1,2a ,a ≥1,若f [a (56)]=4,则b= .第4讲函数的概念及其表示考试说明 1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念. 2.在实际情境中,会根据不同的需求选择恰当的方法(如图像法,列表法,解析法)表示函数. 3.了解简单的分段函数,并能简单应用(函数分段不超过三段).【课前双基巩固】知识聚焦1.非空数集非空集合任意唯一确定任意唯一确定 f :A →B f :A →B2.定义域值域定义域值域3.解析法图像法列表法4.对应关系对点演练1.④ [解析] ①②对于定义域内任给的一个数x ,可能有两个不同的y 值,不满足对应的唯一性,故①②错.③的定义域是空集,而函数的定义域是非空的数集,故③错.只有④表示函数.2.4 5 [解析] 因为f (-2)=(-2)2=4,所以f [f (-2)]=f (4)=4+1=5.3.(-∞,-3)∪(-3,8] [解析] 要使函数有意义,需8-x ≥0且x+3≠0,即x ≤8且x ≠-3,所以其定义域是(-∞,-3)∪(-3,8].4.7 [解析] 只含有一个元素时有{a },{b },{c };有两个元素时,有{a ,b },{a ,c },{b ,c };有三个元素时,有{a ,b ,c }.所以值域C 共有7种不同情况.5.{x|x ≥2} [解析] 要使函数有意义,需{a -2≥0,a +2≥0,解得x ≥2,即定义域为{x|x ≥2}.6.(-∞,-2]∪[0,10] [解析] ∵f (x )是分段函数,∴f (x )≥1应分段求解. 当x<1时,f (x )≥1⇒(x+1)2≥1⇒x ≤-2或x ≥0,∴x ≤-2或0≤x<1. 当x ≥1时,f (x )≥1⇒4-√a -1≥1,即√a -1≤3,∴1≤x ≤10. 综上所述,x ≤-2或0≤x ≤10,即x ∈(-∞,-2]∪[0,10].7.x 2-1(x ≥0) [解析] 令t=√a ,则t ≥0,x=t 2,所以f (t )=t 2-1(t ≥0),即f (x )=x 2-1(x ≥0). 8.9 [解析] 设函数y=x 2的定义域为D ,其值域为{1,4},D 的所有可能的个数,即是同族函数的个数,D 的所有可能为{-1,2},{-1,-2},{1,2},{1,-2},{-1,1,2},{-1,1,-2},{-1,2,-2},{1,2,-2},{-1,1,2,-2},共9个,故答案为9. 【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)根据对数式的真数大于0求解;(2)根据二次根式的被开方数非负及分母不为0求解.(1)C (2)A [解析] (1)由x 2-x>0,得x>1或x<0,所以定义域为(-∞,0)∪(1,+∞). (2)由题意,自变量x 应满足{1-2a ≥0,a +3>0,解得{a ≤0,a >-3,故函数的定义域为(-3,0].例2 [思路点拨] (1)由f (x )的定义域得f (2x )的定义域,再结合ln x ≠0求解;(2)由x ∈[-1,1],求得x 2+1的范围是[1,2],再由1≤lg x ≤2即可得函数f (lg x )的定义域. (1)D (2)C [解析] (1)∵f (x )的定义域为[0,2],∴要使f (2x )有意义,则有0≤2x ≤2,∴0≤x ≤1,∴要使g (x )有意义,应有{0≤a ≤1,ln a ≠0,∴0<x<1,故选D .(2)因为f (x 2+1)的定义域为[-1,1],所以-1≤x ≤1,故0≤x 2≤1,所以1≤x 2+1≤2.因为f (x 2+1)与f (lg x )是同一个对应法则,所以1≤lg x ≤2,即10≤x ≤100,所以函数f (lg x )的定义域为[10,100].故选C .变式题 (1)A (2)[-1,2] [解析] (1)由题意知0<x+1<1,解得-1<x<0.故选A . (2)因为函数y=f (x 2-1)的定义域为[-√3,√3], 所以-√3≤x ≤√3,所以-1≤x 2-1≤2, 所以函数y=f (x )的定义域为[-1,2].例3 [思路点拨] (1)用配凑法将3x+2配凑成3(x+1)-1;(2)设出二次函数,利用待定系数法,根据等式恒成立求出待定系数即可;(3)构造含f (x )和f (2018a)的方程组,消去f (2018a)即可得f (x )的解析式.(1)A (2)-x 2+2x+15 (3)4036a-x [解析] (1)由于f (x+1)=3(x+1)-1,所以f (x )=3x-1.(2)由已知令f (x )=ax 2+bx+c (a ≠0),则f (x+1)-f (x )=2ax+b+a=-2x+1,∴2a=-2,a+b=1,∴a=-1,b=2,又f (2)=15,∴c=15,∴f (x )=-x 2+2x+15.(3)f (x )+2f (2018a)=3x①,且x ≠0,用2018a代替①中的x ,得f (2018a)+2f (x )=3×2018a②, 解①②组成的方程组,消去f (2018a )得f (x )=4036a-x.变式题 (1)A (2)A (3)2x+13或-2x-1 [解析] (1)设t=2x-1,则x=a +12,故f (t )=4×a +12+3=2t+5,令2t+5=6,则t=12,故选A .(2)因为3f (x )-2f (-x )=5x+1①,所以3f (-x )-2f (x )=-5x+1②,联立①②,解得f (x )=x+1,故选A .(3)设f (x )=ax+b (a ≠0),由f [f (x )]=af (x )+b=a 2x+ab+b=4x+1,得a 2=4,ab+b=1,解得a=2,b=13或a=-2,b=-1,∴f (x )=2x+13或f (x )=-2x-1.例4 [思路点拨] (1)先求f (-1)的值,再求f [f (-1)]的值;(2)先估算log 27的范围,再确定选用哪段解析式求值.(1)D (2)72[解析] (1)由题意可得f (-1)=12-1=2,∴f [f (-1)]=f (2)=3,故选D .(2)因为2<log 27<3,所以1<log 27-1<2,所以f (log 27)=f (log 27-1)=2log 27-1=2log 27÷2=72.例5 [思路点拨] (1)先求得f (1)=0,再据f (0)=3求分段函数中的参数;(2)分a ≤0和a>0两种情况讨论求解.(1)D (2)0或1 [解析] (1)根据题意可知f (1)=log a 1=0,所以f [f (1)]=f (0)=(3+a )×0+a=a=3,即a=3,故选D .(2)∵f (x )={2a ,a ≤0,a -ln a ,a >0,∴f (0)=20=1.当a>0时,f (a )=a-ln a ,则有1+a-ln a=2,解得a=1; 当a ≤0时,f (a )=2a,则有1+2a=2,解得a=0.例6 [思路点拨] (1)分x 0≤0和x 0>0两种情况讨论求解;(2)根据题中所给的函数解析式,将函数图像画出来,结合图像可得不等式成立的条件.(1)D (2)D [解析] (1)当x 0≤0时,由f (x 0)=2-a 0-1>1,即2-a 0>2,解得x 0<-1; 当x 0>0时,由f (x 0)=a 012>1,解得x 0>1.∴x 0的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞).(2)f (x )的图像如图所示.当{a +1≤0,2a ≤0,即x ≤-1时,若满足f (x+1)<f (2x ),则满足x+1>2x ,即x<1,此时x ≤-1;当{a +1>0,2a <0,即-1<x<0时,f (x+1)<f (2x )恒成立.综上,x 的取值范围是x<0.故选D .应用演练1.A [解析] 由函数f (x )={2a +1,a <0,√a ,a ≥0,得f (1)+f (-1)=√1+2-1+1=0.2.B [解析] 因为f (a )=4,所以{22a -1+3=4,a ≤0或{1-log 2a =4,a >0, 所以{a =12,a ≤0或{a =18,a >0,所以a=18,故选B .3.B [解析] 由于f (x )={3+log 2a ,a >0,a 2-a -1,a ≤0,所以当x>0时,3+log 2x ≤5,即log 2x ≤2=log 24,得0<x ≤4; 当x ≤0时,x 2-x-1≤5,即(x-3)(x+2)≤0,得-2≤x ≤0. 所以不等式f (x )≤5的解集为[-2,4].4.A [解析] 当x ≥0时,由x 2-2x ≤x ,得0≤x ≤3; 当x<0时,由1a ≤x ,得-1≤x<0.故不等式f (x )≤x 的解集为[-1,3].5.12 [解析] 由f [a (56)]=4,可得f (52-a )=4. 若52-b ≥1,即b ≤32,可得252-a =4,解得b=12.若52-b<1,即b>32,可得3×(52-a )-b=4,解得b=78<32(舍去).故答案为12.【备选理由】例1考查给定函数解析式,求抽象函数的定义域问题;例2考查分段函数的求值,但涉及三角函数及函数的周期性;例3考查分段函数与方程问题,先分析参数的范围,可以避免分类讨论;例4是对函数值域的考查,依据分段函数的值域求参数,是对已有例题的有效补充,值得探究和思考.例1 [配合例2使用] [2018·邵阳期末] 设函数f (x )=log 2(x-1)+√2-a ,则函数f (a2)的定义域为( ) A .(1,2] B .(2,4] C .[1,2) D .[2,4)[解析] B 要使函数f (x )有意义,则需{2-a ≥0,a -1>0⇒1<x ≤2,故1<a 2≤2,即2<x ≤4,所以选B .例2 [配合例4使用] [2018·柳州高级中学三模] 已知函数f (x )={a 2+sin π2a ,a ≥1,-a (a +3),a <1,则f (-2018)=( )A .-2B .2C .4+√22D .-4-√22[解析] A 当x<1时,f (x )=-f (x+3),可得f (x+3)=-f (x ),则f [(x+3)+3]=-f (x+3)=f (x ), 可知当x<1时,f (x )是周期为6的周期函数,则f (-2018)=f (-336×6-2)=f (-2)=-f (-2+3)=-f (1).而当x ≥1时,f (x )=x 2+sin π2a ,∴f (1)=2,∴f (-2018)=-f (1)=-2.例3 [配合例5使用] 已知f (x )={1a -1,a >1,a +1,a ≤1,若f (1-a )=f (1+a )(a>0),则实数a 的值为 . [答案] 1[解析] ∵a>0,∴1-a<1,1+a>1,∴由f (1-a )=f (1+a )得2-a=1a ,即a 2-2a+1=0,∴a=1.例4 [补充使用] [2018·武邑中学模拟] 若函数f (x )={a +a ,a ≤2,log 4a ,a >2的值域为R,则a的取值范围是 . [答案] a ≥-32[解析] ∵f (x )=log 4x 在x>2时的值域为(12,+∞),∴f (x )=x+a 在x ≤2时的最大值必须大于等于12,即满足2+a ≥12,解得a ≥-32. 故答案为a ≥-32.。

2020版高考数学新增分大一轮讲义习题第四章三角函数、解三角形 4.4 Word版含解析

§函数＝(ω＋φ)的图象及应用
考情考向分析以考查函数＝(ω＋φ)的图象的五点法画图、图象之间的平移伸缩变换、由图象求函数解析式以及利用正弦型函数解决实际问题为主，常与三角函数的性质、三角恒等变换结合起来进行综合考查，加强数形结合思想的应用意识．题型为填空题，中档难度．
．＝(ω＋φ)的有关概念
振幅周期频率相位初相＝(ω＋φ)(>，ω>)，≥
＝＝＝ω＋φφ
.用五点法画＝(ω＋φ)(>，ω>，∈)一个周期内的简图时，要找五个特征点
如下表所示：
ω＋φππ
＝(ω＋φ)－
.函数＝的图象经变换得到＝(ω＋φ)(>，ω>)的图象的两种途径
概念方法微思考
．怎样从＝ω的图象变换得到＝(ω＋φ)(ω>，φ>)的图象？
提示向左平移个单位长度．
．函数＝(ω＋φ)图象的对称轴是什么？
提示＝＋－(∈)．
题组一思考辨析
．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
()＝的图象是由＝的图象向右平移个单位长度得到的．(√)
()将函数＝ω的图象向右平移φ(φ>)个单位长度，得到函数＝(ω－φ)的图象．(×)
()函数＝(ω＋φ)的最小正周期为，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(√)
()函数＝的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为＝. (×)
题组二教材改编
．[]为了得到函数＝的图象，可以将函数＝的图象向平移个单位长度．
答案右
．[]＝的振幅、频率和初相分别为．
答案，，－
．[]如图，某地一天从～时的温度变化曲线近似满足函数＝(ω＋φ)＋，则这段曲线的函数解析式为．。

2020版高考数学(理)精优大一轮复习人教A通用版讲义：第1讲集合 Word版含解析

第1讲集合1.元素与集合(1)集合元素的性质:、、无序性.(2)集合与元素的关系:①属于,记为;②不属于,记为.(3)集合的表示方法:列举法、和.(4)常见数集及记法数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号2.集合间的基本关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A中的都是集合B中的元素x∈A⇒x∈BA⊆B或集合A是集合B的子集,但集合B中有一个元素不属于AA⊆B,∃x0∈B,x0∉AAB或B⫌A 相等集合A,B的元素完全A⊆B,B⊆A空集任何元素的集合,空集是任何集合的子集∀x,x∉⌀,⌀⊆A⌀3.集合的基本运算表示运算文字语言符号语言图形语言记法交集属于A属于B的元素组成的集合{x|x∈A,x∈B}并集属于A属于B的元{x|x∈A,x∈B}素组成的集合补集全集U 中属于A 的元素组成的集合{x|x ∈U ,x A }4.集合的运算性质(1)并集的性质:A ∪⌀=A ;A ∪A=A ;A ∪B= ;A ∪B= ⇔B ⊆A. (2)交集的性质:A ∩⌀=⌀;A ∩A=A ;A ∩B=B ∩A ;A ∩B=A ⇔A B. (3)补集的性质:A ∪(∁U A )=U ;A ∩(∁U A )= ;∁U (∁U A )= ;∁U (A ∪B )=(∁U A ) (∁U B );∁U (A ∩B )= ∪ .常用结论(1)非常规性表示常用数集:如{x|x=2(n-1),n ∈Z}为偶数集,{x|x=4n±1,n ∈Z}为奇数集等. (2)①一个集合的真子集必是其子集,一个集合的子集不一定是其真子集;②任何一个集合是它本身的子集;③对于集合A ,B ,C ,若A ⊆B ,B ⊆C ,则A ⊆C (真子集也满足); ④若A ⊆B ,则有A=⌀和A ≠⌀两种可能.(3)集合子集的个数:集合A 中有n 个元素,则集合A 有2n个子集、2n-1个真子集、2n-1个非空子集、2n-2个非空真子集.集合元素个数:card (A ∪B )=card (A )+card (B )-card (A ∩B )(常用在实际问题中).题组一常识题1.[教材改编] 已知集合A={0,1,x 2-5x },若-4∈A ,则实数x 的值为 .2.[教材改编] 已知集合A={a ,b },若A ∪B={a ,b ,c },则满足条件的集合B 有个.3.[教材改编] 设全集U=R,集合A={x|0≤x ≤2},B={y|1≤y ≤3},则(∁U A )∪B= .4.[教材改编] 已知集合A={-1,1},B={a ,a 2+2}.若A ∩B={1},则实数a 的值为 .题组二常错题◆索引:忽视集合元素的性质致错;对集合的表示方法理解不到位致错;忘记空集的情况导致出错;忽视集合运算中端点取值致错.5.已知集合A={1,3,√m },B={1,m },若B ⊆A ,则m= .6.已知x ∈N,y ∈N,M={(x ,y )|x+y ≤2},N={(x ,y )|x-y ≥0},则M ∩N 中元素的个数是 .7.已知集合M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0},若M ∩N=N ,则实数a 的值是 .8.设集合A={x||x-a|<1,x ∈R},B={x|1<x<5,x ∈R},若A ⫋B ,则a的取值范围为 .探究点一集合的含义与表示例1 (1)[2018·全国卷Ⅱ] 已知集合A={(x ,y )|x 2+y 2≤3,x ∈Z,y ∈Z},则A 中元素的个数为( )A .9B .8C .5D .4(2)设集合A={-4,2a-1,a 2},B={9,a-5,1-a },且集合A ,B 中有唯一的公共元素9,则实数a 的值为 .。

通用版2020版高考数学大一轮复习第4讲函数的概念及其表示学案理4

第4讲函数的概念及其表示1.函数与映射的概念函数映射两集合A,B 设A,B是两个设A,B是两个对应关系f:A→B 按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的一个数x,在集合B中都有的数f(x)与之对应按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的一个元素x,在集合B中都有的元素y与之对应名称称为从集合A到集合B的一个函数称对应为从集合A到集合B的一个映射记法y=f(x),x∈A对应f:A→B2.函数的三要素函数由、和对应关系三个要素构成.在函数y=f(x),x∈A中,x叫作自变量,x的取值范围A叫作函数的.与x的值相对应的y值叫作函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的.3.函数的表示法函数的常用表示方法:、、.4.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的,这样的函数通常叫作分段函数.分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.常用结论1.常见函数的定义域(1)分式函数中分母不等于0.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R . (4)零次幂的底数不能为0.(5)y=a x(a>0且a ≠1),y=sin x ,y=cos x 的定义域均为R . (6)y=log a x (a>0,a ≠1)的定义域为{x|x>0}. (7)y=tan x 的定义域为xx ≠k π+π2,k ∈Z .2.抽象函数的定义域(1)若f (x )的定义域为[m ,n ],则在f [g (x )]中,m ≤g (x )≤n ,从而解得x 的范围,即为f [g (x )]的定义域.(2)若f [g (x )]的定义域为[m ,n ],则由m ≤x ≤n 确定g (x )的范围,即为f (x )的定义域. 3.基本初等函数的值域 (1)y=kx+b (k ≠0)的值域是R .(2)y=ax 2+bx+c (a ≠0)的值域:当a>0时,值域为4aa -a 24a,+∞;当a<0时,值域为(-∞,4aa -a 24a].(3)y=aa (k ≠0)的值域是{y|y ≠0}. (4)y=a x(a>0且a ≠1)的值域是(0,+∞). (5)y=log a x (a>0且a ≠1)的值域是R .题组一常识题1.[教材改编] 以下属于函数的有 .(填序号)①y=±√a ;②y 2=x-1;③y=√a -2+√1-a ;④y=x 2-2(x ∈N).2.[教材改编] 已知函数f (x )={a +1,a ≥0,a 2,a <0,则f (-2)= ,f [f (-2)]= .3.[教材改编] 函数f (x )=√8-aa +3的定义域是 .4.[教材改编] 已知集合A={1,2,3,4},B={a ,b ,c },f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数,那么该函数的值域C 的不同情况有种. 题组二常错题◆索引:求函数定义域时非等价化简解析式致错;分段函数解不等式时忘记范围;换元法求解析式,反解忽视范围;对函数值域理解不透彻致错.5.函数y=√a-2·√a+2的定义域是.6.设函数f(x)={(a+1)2,a<1,4-√a-1,a≥1,则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为.7.已知f(√a)=x-1,则f(x)= .8.若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为y=x2,值域为{1,4}的“同族函数”共有个.探究点一函数的定义域角度1求给定函数解析式的定义域例1 (1)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为()A.(0,1]B.[0,1]C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(-∞,0)∪[1,+∞)(2)函数f(x)=√1-2a+√a+3的定义域为()A.(-3,0]B.(-3,1]C.(-∞,-3)∪(-3,0]D.(-∞,-3)∪(-3,1][总结反思] (1)求函数定义域即求使解析式有意义的自变量x的取值集合;(2)若函数是由几个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时,定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集;(3)具体求解时一般是列出自变量满足的不等式(组),得出不等式(组)的解集即可;(4)注意不要轻易对解析式化简变形,否则易出现定义域错误.角度2求抽象函数的定义域例2 (1)若函数y=f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=a(2a)的定义域是()ln aA.[0,1]B.[0,1)C.[0,1)∪(1,4]D.(0,1)(2)若函数f(x2+1)的定义域为[-1,1],则f(lg x)的定义域为()A.[-1,1]B.[1,2]C.[10,100]D.[0,lg 2][总结反思] (1)无论抽象函数的形式如何,已知定义域还是求定义域均是指其中的x的取值集合;(2)同一问题中、同一法则下的范围是一致的,如f[g(x)]与f[h(x)],其中g(x)与h(x)的范围(即它们的值域)一致.变式题 (1)若函数y=f(x)的定义域为(0,1),则f(x+1)的定义域为()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(-1,1)(2)已知函数y=f(x2-1)的定义域为[-√3,√3],则函数y=f(x)的定义域为.探究点二函数的解析式例3 (1)已知f(x+1)=3x+2,则函数f(x)的解析式是()A.f(x)=3x-1B.f(x)=3x+1C.f(x)=3x+2D.f(x)=3x+4(2)已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=-2x+1,且f(2)=15,则函数f(x)= .)=3x,则f(x)= .(3)设函数f(x)对不为0的一切实数x均有f(x)+2f(2018a[总结反思] 求函数解析式的常用方法:(1)换元法:已知复合函数f [g (x )]的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围. (2)待定系数法:已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法.(3)配凑法:由已知条件f [g (x )]=F (x ),可将F (x )改写成关于g (x )的表达式,然后以x 替代g (x ),便得f (x )的解析式.(4)解方程组法:已知f (x )与f (1a )或f (-x )之间的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式,两等式组成方程组,通过解方程组求出f (x ).变式题 (1)已知函数f (2x-1)=4x+3,且f (t )=6,则t= ( ) A .12B .13C .14D .15(2)若f (x )对于任意实数x 恒有3f (x )-2f (-x )=5x+1,则f (x )= ( ) A .x+1 B .x-1 C .2x+1 D .3x+3(3)若f (x )为一次函数,且f [f (x )]=4x+1,则f (x )= . 探究点三以分段函数为背景的问题微点1 分段函数的求值问题例4 (1)[2018·衡水调研] 设函数f (x )={a +1,a ≥0,12a ,a <0,则f [f (-1)]= ( )A .32 B .√2+1C .1D .3(2)已知函数f (x )={2a ,a <2,a (a -1),a ≥2,则f (log 27)= .[总结反思] 求分段函数的函数值时务必要确定自变量所在的区间及其对应关系.对于复合函数的求值问题,应由里到外依次求值. 微点2 分段函数与方程例5 (1)已知函数f (x )={(3+a )a +a ,a <1,log a a ,a ≥1,若f [f (1)]=3,则a=( )A .2B .-2C .-3D .3(2)函数f (x )={2a ,a ≤0,a -ln a ,a >0,若f (0)+f (a )=2,则a 的值为 .[总结反思] (1)若分段函数中含有参数,则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参;(2)若是求自变量的值,则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论,再求值. 微点3 分段函数与不等式问题例6 (1)[2018·惠州二模] 设函数f (x )={2-a -1,a ≤0,a 12,a >0,若f (x 0)>1,则x 0的取值范围是( )A .(-1,1)B .(-1,+∞)C .(-∞,-2)∪(0,+∞)D .(-∞,-1)∪(1,+∞)(2)[2018·全国卷Ⅰ] 设函数f (x )={2-a ,a ≤0,1,a >0,则满足f (x+1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A .(-∞,-1]B .(0,+∞)C .(-1,0)D .(-∞,0)[总结反思] 涉及与分段函数有关的不等式问题,主要表现为解不等式,当自变量取值不确定时,往往要分类讨论求解;当自变量取值确定,但分段函数中含有参数时,只需依据自变量的情况,直接代入相应解析式求解. 应用演练1.【微点1】若函数f (x )={2a +1,a <0,√a ,a ≥0,则f (1)+f (-1)=( )A .0B .2C .-2D .12.【微点2】设函数f (x )={22a -1+3,a ≤0,1-log 2a ,a >0,若f (a )=4,则实数a 的值为 ( )A .12 B .18 C .12或18 D .1163.【微点3】已知函数f (x )={3+log 2a ,a >0,a 2-a -1,a ≤0,则不等式f (x )≤5的解集为 ( )A .[-1,1]B .[-2,4]C .(-∞,-2]∪(0,4)D .(-∞,-2]∪[0,4]4.【微点3】[2018·湖北咸宁联考] 已知函数f (x )={a 2-2a ,a ≥0,1a,a <0,则不等式f (x )≤x 的解集为 ( ) A .[-1,3]B .(-∞,-1]∪[3,+∞)C .[-3,1]D .(-∞,-3]∪[1,+∞)5.【微点2】设函数f (x )={3a -a ,a <1,2a ,a ≥1,若f [a (56)]=4,则b= .第4讲函数的概念及其表示考试说明 1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念. 2.在实际情境中,会根据不同的需求选择恰当的方法(如图像法,列表法,解析法)表示函数. 3.了解简单的分段函数,并能简单应用(函数分段不超过三段).【课前双基巩固】知识聚焦1.非空数集非空集合任意唯一确定任意唯一确定 f :A →B f :A →B2.定义域值域定义域值域3.解析法图像法列表法4.对应关系对点演练1.④ [解析] ①②对于定义域内任给的一个数x ,可能有两个不同的y 值,不满足对应的唯一性,故①②错.③的定义域是空集,而函数的定义域是非空的数集,故③错.只有④表示函数.2.4 5 [解析] 因为f (-2)=(-2)2=4,所以f [f (-2)]=f (4)=4+1=5.3.(-∞,-3)∪(-3,8] [解析] 要使函数有意义,需8-x ≥0且x+3≠0,即x ≤8且x ≠-3,所以其定义域是(-∞,-3)∪(-3,8].4.7 [解析] 只含有一个元素时有{a },{b },{c };有两个元素时,有{a ,b },{a ,c },{b ,c };有三个元素时,有{a ,b ,c }.所以值域C 共有7种不同情况.5.{x|x ≥2} [解析] 要使函数有意义,需{a -2≥0,a +2≥0,解得x ≥2,即定义域为{x|x ≥2}.6.(-∞,-2]∪[0,10] [解析] ∵f (x )是分段函数,∴f (x )≥1应分段求解. 当x<1时,f (x )≥1⇒(x+1)2≥1⇒x ≤-2或x ≥0,∴x ≤-2或0≤x<1. 当x ≥1时,f (x )≥1⇒4-√a -1≥1,即√a -1≤3,∴1≤x ≤10. 综上所述,x ≤-2或0≤x ≤10,即x ∈(-∞,-2]∪[0,10].7.x 2-1(x ≥0) [解析] 令t=√a ,则t ≥0,x=t 2,所以f (t )=t 2-1(t ≥0),即f (x )=x 2-1(x ≥0). 8.9 [解析] 设函数y=x 2的定义域为D ,其值域为{1,4},D 的所有可能的个数,即是同族函数的个数,D 的所有可能为{-1,2},{-1,-2},{1,2},{1,-2},{-1,1,2},{-1,1,-2},{-1,2,-2},{1,2,-2},{-1,1,2,-2},共9个,故答案为9. 【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)根据对数式的真数大于0求解;(2)根据二次根式的被开方数非负及分母不为0求解.(1)C (2)A [解析] (1)由x 2-x>0,得x>1或x<0,所以定义域为(-∞,0)∪(1,+∞). (2)由题意,自变量x 应满足{1-2a ≥0,a +3>0,解得{a ≤0,a >-3,故函数的定义域为(-3,0].例2 [思路点拨] (1)由f (x )的定义域得f (2x )的定义域,再结合ln x ≠0求解;(2)由x ∈[-1,1],求得x 2+1的范围是[1,2],再由1≤lg x ≤2即可得函数f (lg x )的定义域. (1)D (2)C [解析] (1)∵f (x )的定义域为[0,2],∴要使f (2x )有意义,则有0≤2x ≤2,∴0≤x ≤1,∴要使g (x )有意义,应有{0≤a ≤1,ln a ≠0,∴0<x<1,故选D .(2)因为f (x 2+1)的定义域为[-1,1],所以-1≤x ≤1,故0≤x 2≤1,所以1≤x 2+1≤2.因为f (x 2+1)与f (lg x )是同一个对应法则,所以1≤lg x ≤2,即10≤x ≤100,所以函数f (lg x )的定义域为[10,100].故选C .变式题 (1)A (2)[-1,2] [解析] (1)由题意知0<x+1<1,解得-1<x<0.故选A . (2)因为函数y=f (x 2-1)的定义域为[-√3,√3], 所以-√3≤x ≤√3,所以-1≤x 2-1≤2, 所以函数y=f (x )的定义域为[-1,2].例3 [思路点拨] (1)用配凑法将3x+2配凑成3(x+1)-1;(2)设出二次函数,利用待定系数法,根据等式恒成立求出待定系数即可;(3)构造含f (x )和f (2018a)的方程组,消去f (2018a)即可得f (x )的解析式.(1)A (2)-x 2+2x+15 (3)4036a-x [解析] (1)由于f (x+1)=3(x+1)-1,所以f (x )=3x-1.(2)由已知令f (x )=ax 2+bx+c (a ≠0),则f (x+1)-f (x )=2ax+b+a=-2x+1,∴2a=-2,a+b=1,∴a=-1,b=2,又f (2)=15,∴c=15,∴f (x )=-x 2+2x+15.(3)f (x )+2f (2018a)=3x①,且x ≠0,用2018a代替①中的x ,得f (2018a)+2f (x )=3×2018a②, 解①②组成的方程组,消去f (2018a )得f (x )=4036a-x.变式题 (1)A (2)A (3)2x+13或-2x-1 [解析] (1)设t=2x-1,则x=a +12,故f (t )=4×a +12+3=2t+5,令2t+5=6,则t=12,故选A .(2)因为3f (x )-2f (-x )=5x+1①,所以3f (-x )-2f (x )=-5x+1②,联立①②,解得f (x )=x+1,故选A .(3)设f (x )=ax+b (a ≠0),由f [f (x )]=af (x )+b=a 2x+ab+b=4x+1,得a 2=4,ab+b=1,解得a=2,b=13或a=-2,b=-1,∴f (x )=2x+13或f (x )=-2x-1.例4 [思路点拨] (1)先求f (-1)的值,再求f [f (-1)]的值;(2)先估算log 27的范围,再确定选用哪段解析式求值.(1)D (2)72[解析] (1)由题意可得f (-1)=12-1=2,∴f [f (-1)]=f (2)=3,故选D .(2)因为2<log 27<3,所以1<log 27-1<2,所以f (log 27)=f (log 27-1)=2log 27-1=2log 27÷2=72.例5 [思路点拨] (1)先求得f (1)=0,再据f (0)=3求分段函数中的参数;(2)分a ≤0和a>0两种情况讨论求解.(1)D (2)0或1 [解析] (1)根据题意可知f (1)=log a 1=0,所以f [f (1)]=f (0)=(3+a )×0+a=a=3,即a=3,故选D .(2)∵f (x )={2a ,a ≤0,a -ln a ,a >0,∴f (0)=20=1.当a>0时,f (a )=a-ln a ,则有1+a-ln a=2,解得a=1; 当a ≤0时,f (a )=2a,则有1+2a=2,解得a=0.例6 [思路点拨] (1)分x 0≤0和x 0>0两种情况讨论求解;(2)根据题中所给的函数解析式,将函数图像画出来,结合图像可得不等式成立的条件.(1)D (2)D [解析] (1)当x 0≤0时,由f (x 0)=2-a 0-1>1,即2-a 0>2,解得x 0<-1; 当x 0>0时,由f (x 0)=a 012>1,解得x 0>1.∴x 0的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞).(2)f (x )的图像如图所示.当{a +1≤0,2a ≤0,即x ≤-1时,若满足f (x+1)<f (2x ),则满足x+1>2x ,即x<1,此时x ≤-1;当{a +1>0,2a <0,即-1<x<0时,f (x+1)<f (2x )恒成立.综上,x 的取值范围是x<0.故选D .应用演练1.A [解析] 由函数f (x )={2a +1,a <0,√a ,a ≥0,得f (1)+f (-1)=√1+2-1+1=0. 2.B [解析] 因为f (a )=4,所以{22a -1+3=4,a ≤0或{1-log 2a =4,a >0, 所以{a =12,a ≤0或{a =18,a >0,所以a=18,故选B . 3.B [解析] 由于f (x )={3+log 2a ,a >0,a 2-a -1,a ≤0,所以当x>0时,3+log 2x ≤5,即log 2x ≤2=log 24,得0<x ≤4;当x ≤0时,x 2-x-1≤5,即(x-3)(x+2)≤0,得-2≤x ≤0.所以不等式f (x )≤5的解集为[-2,4].4.A [解析] 当x ≥0时,由x 2-2x ≤x ,得0≤x ≤3;当x<0时,由1a ≤x ,得-1≤x<0.故不等式f (x )≤x 的解集为[-1,3].5.12 [解析] 由f [a (56)]=4,可得f (52-a )=4.若52-b ≥1,即b ≤32,可得252-a =4,解得b=12. 若52-b<1,即b>32,可得3×(52-a )-b=4,解得b=78<32(舍去).故答案为12.【备选理由】例1考查给定函数解析式,求抽象函数的定义域问题;例2考查分段函数的求值,但涉及三角函数及函数的周期性;例3考查分段函数与方程问题,先分析参数的范围,可以避免分类讨论;例4是对函数值域的考查,依据分段函数的值域求参数,是对已有例题的有效补充,值得探究和思考.例1 [配合例2使用] [2018·邵阳期末] 设函数f (x )=log 2(x-1)+√2-a ,则函数f (a 2)的定义域为( )A .(1,2]B .(2,4]C .[1,2)D .[2,4)[解析] B 要使函数f (x )有意义,则需{2-a ≥0,a -1>0⇒1<x ≤2,故1<a 2≤2,即2<x ≤4,所以选B .例2 [配合例4使用] [2018·柳州高级中学三模] 已知函数f (x )={a 2+sin π2a ,a ≥1,-a (a +3),a <1,则f (-2018)=( )A .-2B .2C .4+√22D .-4-√22[解析] A 当x<1时,f (x )=-f (x+3),可得f (x+3)=-f (x ),则f [(x+3)+3]=-f (x+3)=f (x ), 可知当x<1时,f (x )是周期为6的周期函数,则f (-2018)=f (-336×6-2)=f (-2)=-f (-2+3)=-f (1).而当x ≥1时,f (x )=x 2+sin π2a ,∴f (1)=2,∴f (-2018)=-f (1)=-2.例3 [配合例5使用] 已知f (x )={1a -1,a >1,a +1,a ≤1,若f (1-a )=f (1+a )(a>0),则实数a 的值为 .[答案] 1[解析] ∵a>0,∴1-a<1,1+a>1,∴由f (1-a )=f (1+a )得2-a=1a ,即a 2-2a+1=0,∴a=1. 例4 [补充使用] [2018·武邑中学模拟] 若函数f (x )={a +a ,a ≤2,log 4a ,a >2的值域为R,则a的取值范围是 .[答案] a ≥-32[解析] ∵f (x )=log 4x 在x>2时的值域为(12,+∞), ∴f (x )=x+a 在x ≤2时的最大值必须大于等于12,即满足2+a ≥12,解得a ≥-32.故答案为a ≥-32.。

2020版高考数学新增分大一轮新高考专用讲义：第四章 4.5 简单的三角恒等变换第1课时 Word版含解析

§4.5 简单的三角恒等变换最新考纲1.经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用.2.能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C (α－β))cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C (α＋β))sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S (α－β))sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S (α＋β))tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ(T (α－β)) tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ(T (α＋β)) 2．二倍角公式sin2α＝2sin αcos α；cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；tan2α＝2tanα1－tan2α. 概念方法微思考1．诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？提示诱导公式可以看成和差公式中β＝k ·π2(k ∈Z )时的特殊情形． 2．怎样研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 函数的性质？提示先根据辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a2＋b2·sin(x ＋φ)，将f (x )化成f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再结合图象研究函数的性质．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(√)(2)对任意角α都有1＋sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22.(√) (3)y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值是7.(×)(4)公式tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(×)题组二教材改编2．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于() A ．－210B.210C ．－7210D.7210 答案C解析∵α是第三象限角，∴sin α＝－1－cos2α＝－35， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－35×22＋⎝⎛⎭⎫－45×22＝－7210. 3．sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝.答案22解析sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin77°cos58°＝(－cos77°)·(－sin58°)＋sin77°cos58°＝sin58°cos77°＋cos58°sin77°＝sin(58°＋77°)＝sin135°＝22. 4．tan10°＋tan50°＋3tan10°tan50°＝.答案 3解析∵tan60°＝tan(10°＋50°)＝tan10°＋tan50°1－tan10°tan50°， ∴tan10°＋tan50°＝tan60°(1－tan10°tan50°) ＝3－3tan10°tan50°，∴原式＝3－3tan10°tan50°＋3tan10°tan50°＝ 3.题组三易错自纠5.sin47°－sin17°cos30°cos17°＝________. 答案12解析原式＝sin (30°＋17°)－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°－sin17°cos30°cos17° ＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12. 6．化简：cos40°cos25°·1－sin40°＝________. 答案2解析原式＝cos40°cos25°1－cos50°＝cos40°cos25°·2sin25°＝cos40°22sin50°＝2.7．(2018·烟台模拟)已知θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝210，则tan2θ＝. 答案－247 解析方法一sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝210，得sin θ－cos θ＝15，① θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，①平方得2sin θcos θ＝2425，可求得sin θ＋cos θ＝75， ∴sin θ＝45，cos θ＝35， ∴tan θ＝43，tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝－247. 方法二∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2且sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝210， ∴cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝7210，∴tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝17＝tanθ－11＋tanθ，∴tan θ＝43. 故tan2θ＝2tanθ1－tan 2θ＝－247. 8．化简：2sin (π－α)＋sin2αcos 2 α2＝________.答案4sin α解析2sin (π－α)＋sin2αcos 2 α2＝2sin α＋2sin αcos α12(1＋cos α) ＝4sin α(1＋cos α)1＋cos α＝4sin α.第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式题型一和差公式的直接应用1．(2018·石家庄质检)若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin2α的值为() A ．－429B ．－229C.229D.429答案A解析因为sin(π－α)＝sin α＝13，π2≤α≤π，所以cos α＝－1－sin2α＝－223，所以sin2α＝2sin αcos α＝2×13×⎝⎛⎭⎫－223＝－429. 2．已知tan ⎝⎛⎭⎫α－π6＝37，tan ⎝⎛⎭⎫π6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为() A.2941B.129C.141D ．1 答案D解析∵tan ⎝⎛⎭⎫α－π6＝37，tan ⎝⎛⎭⎫π6＋β＝25， ∴tan(α＋β)＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π6＋⎝⎛⎭⎫π6＋β ＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π6＋tan ⎝⎛⎭⎫π6＋β1－tan ⎝⎛⎭⎫α－π6·tan ⎝⎛⎭⎫π6＋β＝37＋251－37×25＝1. 3．(2018·青岛调研)已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为() A ．－211B.211C.112D ．－112答案A解析∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－45，tan α＝－34，又tan β＝－12， ∴tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanα·tanβ＝－34＋121＋⎝⎛⎭⎫－12×⎝⎛⎭⎫－34＝－211. 4．计算sin110°sin20°cos2155°－sin2155°的值为．答案12解析sin110°sin20°cos2155°－sin2155°＝sin70°sin20°cos310° ＝cos20°sin20°cos50°＝12sin40°sin40°＝12. 思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．题型二和差公式的灵活应用命题点1角的变换例1(1)设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝. 答案2525解析依题意得sin α＝1－cos2α＝255，因为sin(α＋β)＝35<sin α且α＋β>α，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos(α＋β)＝－45.于是cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝2525. (2)设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值为() A.1225B.2425C ．－2425D ．－1225答案B解析因为α为锐角，且cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝1－cos2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin2⎝⎛⎭⎫α＋π6 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2×35×45＝2425，故选B. 命题点2三角函数式的变换例2(1)化简：(1＋sin θ＋cos θ)⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0<θ<π)； (2)求值：1＋cos20°2sin20°－sin10°⎝⎛⎭⎫1tan5°－tan5°. 解(1)由θ∈(0，π)，得0<θ2<π2，∴cos θ2>0， ∴2＋2cosθ＝4cos2θ2＝2cos θ2. 又(1＋sin θ＋cos θ)⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ2 ＝⎝⎛⎭⎫2sin θ2cos θ2＋2cos2θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ2 ＝2cos θ2⎝⎛⎭⎫sin2θ2－cos2θ2 ＝－2cos θ2cos θ，故原式＝－2cos θ2cosθ2cos θ2＝－cos θ. (2)原式＝2cos210°2×2sin10°cos10°－sin10°⎝⎛⎭⎫cos5°sin5°－sin5°cos5°＝cos10°2sin10°－sin10°·cos25°－sin25°sin5°cos5° ＝cos10°2sin10°－sin10°·cos10°12sin10° ＝cos10°2sin10°－2cos10°＝cos10°－2sin20°2sin10°＝cos10°－2sin (30°－10°)2sin10° ＝cos10°－2⎝⎛⎭⎫12cos10°－32sin10°2sin10°＝3sin10°2sin10°＝32. 引申探究化简：(1＋sin θ－cos θ)⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ22－2cos θ(0<θ<π)．解∵0<θ<π，∴0<θ2<π2，∴2－2cosθ＝2sin θ2，又1＋sin θ－cos θ＝2sin θ2cos θ2＋2sin 2θ2＝2sin θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ2， ∴原式＝2sin θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ22sin θ2＝－cos θ.命题点3公式的逆用与变形例3(1)已知sin α＋cos β＝13，sin β－cos α＝12，则sin(α－β)＝. 答案－5972解析∵sin α＋cos β＝13，sin β－cos α＝12， ∴(sin α＋cos β)2＝19，(sin β－cos α)2＝14，即sin 2α＋2sin αcos β＋cos 2β＝19，① sin 2β－2sin βcos α＋cos 2α＝14.② ①＋②得sin 2α＋2sin αcos β＋cos 2β＋sin 2β－2sin βcos α＋cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋(cos 2β＋sin 2β)＋2(sin αcos β－sin βcos α)＝1＋1＋2sin(α－β)＝2＋2sin(α－β)＝1336，则sin(α－β)＝－5972.(2)已知α－β＝π3，tan α－tan β＝3，则cos(α＋β)的值为．答案33－12解析 ∵tan α－tan β＝sin αcos α－sin βcos β＝sin (α－β)cos αcos β＝3，且α－β＝π3，∴cos αcos β＝36，又cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝12，∴sin αsin β＝12－36，那么cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝33－12. 思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝⎛⎭⎫α＋β2－⎝⎛⎭⎫α2＋β等．跟踪训练(1)计算： cos10°－3cos (－100°)1－sin10°＝.(用数字作答) 答案 2 解析cos10°－3cos (－100°)1－sin10°＝cos10°＋3cos80°1－cos80°＝cos10°＋3sin10°2·sin40°＝2sin (10°＋30°)2·sin40°＝ 2. (2)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，则sin β＝. 答案32解析由已知可得sin α＝437，sin(α＋β)＝5314， ∴sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝5314×17－⎝⎛⎭⎫－1114×437＝32. (3)若3sin x ＋cos x ＝23，则tan ⎝⎛⎭⎫x ＋7π6＝. 答案±24解析由3sin x ＋cos x ＝23，得2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝23，即sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝13，所以cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝±223，所以tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝±24，即tan ⎝⎛⎭⎫x ＋7π6＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝±24.用联系的观点进行三角变换三角变换的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系．变换中可以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的．例(1)设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为．答案17250解析∵α为锐角且cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45>0， ∴α＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6－π4 ＝sin2⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π4－cos2⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6－22⎣⎡⎦⎤2cos2⎝⎛⎭⎫α＋π6－1 ＝2×35×45－22⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫452－1 ＝12225－7250＝17250. (2)(1＋tan17°)·(1＋tan28°)的值为．答案2解析原式＝1＋tan17°＋tan28°＋tan17°·tan28°＝1＋tan45°(1－tan17°·tan28°)＋tan17°·tan28°＝1＋1＝2.(3)已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝.答案－75解析cos2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos2α－sin2α2⎝⎛⎭⎫22sinα＋22cosα ＝cos α－sin α，∵sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－45，∴原式＝－75.1．sin20°cos10°－cos160°sin10°等于()A ．－32B.32C ．－12D.12答案D解析sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin30°＝12.2．已知α是第二象限角，且tan α＝－13，则sin2α等于()A ．－31010 B.31010C ．－35D.35答案C解析因为α是第二象限角，且tan α＝－13，所以sin α＝1010，cos α＝－31010，所以sin2α＝2sin αcos α＝2×1010×⎝⎛⎭⎫－31010＝－35，故选C.3．(2018·成都模拟)若sin α＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－22cos α等于()A.225B ．－225 C.425D ．－425答案A解析sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－22cos α＝sin αcos π4＋cos αsin π4－22cos α＝45×22＝225.4．已知sin α＝35且α为第二象限角，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4等于()A ．－195B ．－519C ．－3117D ．－1731答案D解析由题意得cos α＝－45，则sin2α＝－2425，cos2α＝2cos 2α－1＝725.∴tan2α＝－247，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan2α＋tan π41－tan2αtan π4＝－247＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－247×1 ＝－1731. 5．已知α为锐角，若sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3等于() A.26＋16 B.3－28 C.3＋28 D.23－16答案A解析由于α为锐角，且sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝223，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π6－π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫α－π6sin π6＝223×32＋13×12＝26＋16，故选A. 6．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos(α－β)的值为() A ．－12B.12C ．－13D.2327答案D解析因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以2α∈(0，π)，因为cos α＝13，所以cos2α＝2cos 2α－1＝－79，所以sin2α＝1－cos22α＝429，而α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以α＋β∈(0，π)，所以sin(α＋β)＝1－cos2(α＋β)＝223，所以cos(α－β)＝cos [2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β) ＝⎝⎛⎭⎫－79×⎝⎛⎭⎫－13＋429×223＝2327.7．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝16，tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，则α，β的大小关系是() A ．α<π4<βB ．β<π4<α C.π4<α<βD.π4<β<α 答案B解析∵α为锐角，sin α－cos α＝16>0，∴π4<α<π2. 又tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3， ∴α＋β＝π3，又α>π4，∴β<π4<α. 8．(2018·新疆乌鲁木齐诊断)2cos10°－sin20°sin70°的值是．答案 3解析原式＝2cos (30°－20°)－sin20°sin70°＝2(cos30°cos20°＋sin30°sin20°)－sin20°sin70° ＝3cos20°cos20°＝ 3. 9.sin10°1－3tan10°＝. 答案14解析sin10°1－3tan10°＝sin10°cos10°cos10°－3sin10°2sin10°cos10°4⎝⎛⎭⎫12cos10°－32sin10°＝sin20°4sin (30°－10°)＝14. 10．已知sin α＋cos α＝13，则sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝. 答案1718解析由sin α＋cos α＝13，两边平方得1＋sin2α＝19，解得sin2α＝－89，所以sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α2＝1－sin2α2＝1＋892＝1718. 11．(2018·河南八市质检)化简：2tan (45°－α)1－tan 2(45°－α)·sinαcosαcos2α－sin2α＝. 答案12解析原式＝tan(90°－2α)·12sin2αcos2α＝sin (90°－2α)cos (90°－2α)·12·sin2αcos2α ＝cos2αsin2α·12·sin2αcos2α＝12. 12．(2018·吉林模拟)已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，β是第三象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫β＋5π4＝. 答案7210解析依题意可将已知条件变形为sin [(α－β)－α]＝－sin β＝35，sin β＝－35. 又β是第三象限角，所以cos β＝－45. 所以sin ⎝⎛⎭⎫β＋5π4＝－sin ⎝⎛⎭⎫β＋π4 ＝－sin βcos π4－cos βsin π4＝35×22＋45×22＝7210.13．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin2α的值为() A ．－118B.118C ．－1718D.1718答案C解析由3cos2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α可得 3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，又由α∈⎝⎛⎭⎫π2，π可知，cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sin αcos α＝118，故sin2α＝－1718.故选C. 14．已知cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θcos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝14，则sin 4θ＋cos 4θ的值为．答案58解析因为cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θcos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝⎝⎛⎭⎫22cosθ－22sinθ⎝⎛⎭⎫22cosθ＋22sinθ ＝12(cos 2θ－sin 2θ)＝12cos2θ＝14. 所以cos2θ＝12. 故sin 4θ＋cos 4θ＝⎝⎛⎭⎫1－cos2θ22＋⎝⎛⎭⎫1＋cos2θ22＝116＋916＝58.15．化简：⎝⎛⎭⎫3cos10°－1sin170°·cos15°＋sin15°cos15°－sin15°＝. 答案－4 3解析原式＝3sin10°－cos10°cos10°sin10°·1＋tan15°1－tan15°＝2sin (10°－30°)12sin20°·tan45°＋tan15°1－tan45°·tan15° ＝－4·tan(45°＋15°)＝－4 3.16．已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62，sin(α－β)＝－35，求sin β的值．解由sin α2＋cos α2＝62，平方可得sin α＝12. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－32. 又∵－π2<α－β<π2，sin(α－β)＝－35， ∴cos(α－β)＝45. 故sin β＝sin []α－(α－β)＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝12×45－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝4－3310.。

2020届高考数学(理)复习课件：第四单元单元总结

1.利用函数思想求方程的根
【例1】已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(-x),当0≤x≤3时,f(x)=|x-2|;当 x≥3时,f(x)=f(x-2).则方程f(x)=|ln|x||的根的个数是( C ).
A.1
B.2
C.4
D.6
【分析】方程f(x)=|ln|x||的根的个数,即函数y=f(x)-|ln|x||的零点个数, 根据已知条件转化为函数图象的交点个数求解.
∵f(1)=1s-cino2s1>0,f(π)=1s-icno2sππ=0, ∴排除选项 A,D. 由 1-cos x≠0 得 x≠2kπ(k∈Z), 故函数 f(x)的定义域关于原点对称. 又∵f(-x)=1s-icno(-s2(-��))=-1s-icno2s��=-f(x),
综上,“特殊对点函数”的序号为②④⑤.
图(3)
【拓展训练
3】已知
f(x)=
��2,�� e�� ,��
≤ >
00,,若[f(x)]2=a 恰有两个根
x1,x2,则
x1,+∞) B.(-1,2ln 2-2) C.(-∞,2ln 2-2] 【解析】作出函数 f(x)的图象,如图所示. ∵f(x)≥0,∴由[f(x)]2=a 可得 f(x)= ��,∴ ��>1,即 a>1. 不妨设 x1<x2,则��12=e2�� = ��,令 ��=t(t>1), 则 x1=- ��,x2=ln t,∴x1+x2=ln t- ��,
由图可知,对于图象上任意一点 P,在其图象上总存在点 P',

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[命题解读] 从近五年全国卷高考试题来看，解答题第17题交替考查解三角形与数列，本专题的热点题型有：一是考查解三角形；二是解三角形与三角恒等变换的交汇问题；三是平面几何图形中的度量问题；四是三角形中的最值(范围)问题．
[典例示范] (本题满分12分)(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.
(1)求cos ∠ADB ①；
(2)若DC ＝22，求BC ②.
[信息提取] 看到①想到△ADB ；想到△ADB 中已知哪些量；想到如何应用正、余弦定理解三角形．
看到②想到△DBC ；想到用余弦定理求B C.
[规范解答] (1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠A ＝AB sin ∠ADB
. 由题设知，5sin 45°＝2sin ∠ADB
，············································ 2分所以sin ∠ADB ＝25.······························································ 3分
由题设知，∠ADB ＜90°，所以cos ∠ADB ＝1－225＝235.········· 6分
(2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25. ··························· 8分
在△BCD 中，由余弦定理得
BC 2＝BD 2＋DC 2－2BD ·DC ·cos ∠BDC
＝25＋8－2×5×22×2
5
＝25. ·················································································11分所以BC＝5. ······································································· 12分[易错防范]
[通性通法]求解此类问题的突破口：一是观察所给的四边形的特征，正确分析已知图形中的边角关系，判断是用正弦定理，还是用余弦定理，求边或角；二是注意大边对大角在解三角形中的应用．
[规范特训](2019·皖南八校联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a＋2b＝2c cos A.
(1)求角C；
(2)已知△ABC的面积为3，b＝4，求边c的长．
[解](1)∵a＋2b＝2c cos A，
∴由正弦定理得sin A＋2sin B＝2sin C cos A，
则sin A＋2sin(A＋C)＝2sin C cos A，化简得sin A＋2sin A cos C＝0.
由0＜A＜π，得sin A＞0，则cos C＝－1
2.
由0＜C＜π，得C＝2π
3.
(2)△ABC的面积为1
2ab sin C＝ 3.
又b＝4，sin C＝3
2，∴a＝1.
∴由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝1＋16－2×1×4×(－1
2)＝21，∴c＝21.。

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