甘肃省武威第十八中学高三上学期期末考试——数学理数学理

甘肃省武威第十八中学 2018届高三上学期期末考试
数学（理）试题
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}
2|540M x x x =-+≤，，则集合中元素的个数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2.设为虚数单位，复数满足，则复数的共轭复数等于（ ） A ． B ．
C ．
D ．
3.如果，那么下列各式一定成立的是（ ） A. B. C. D.
4.已知向量，，若与平行，则实数的值是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
5. 已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n (n ∈N *)，则a 100的值是( )
A ．9 900
B ． 11 000
C ．9 904
D ．9 902
6.若，满足约束条件10,
20,220,x y x y x y -+≤⎧⎪
-≤⎨⎪+-≤⎩
则的最大值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( ) A ．511
B ．512
C ．1022
D ．1024 8.若，则( )
A. B. C. 1 D. 9. 函数的图象大致为（ ）
第6题
10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11.已知函数，且,，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D.
12.三棱锥中，平面，且2====PC CA BC AB ，则该三棱锥的外接球的表面积是（ ） A ． B ． C. D ． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．已知向量夹角为，且，则 ． 14.函数4
()(2)2
f x x x x =+
>-+的最小值为___________. 15．在△中，若，则 ．
16． 已知函数是定义在内的奇函数，且是偶函数，
若，则为___________.
三、解答题
17．（本小题满分12分）
已知正项等比数列，，与的等比中项为. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）令，数列的前项和为.
18.（本小题12分）在中，，，分别是角，，的对边，且满足． （1）求角的大小；
（2）设函数2
()2sin cos cos 2sin sin f x x x C x C =+，求函数在区间上的值域．
19.（本小题12分） 已知数列满足，，其中为的前项和，. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）若数列满足)
log 3)(log 1(1
33n n n a a b ++=
，的前项和为，且对任意的正整数都有，求的最
小值．
20.（本小题12分）如图，平面平面，四边形为矩形，．为的中点，． （Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若时，求二面角的余弦值．
21.（本小题满分12分）已知函数),(cos sin )(R b a x b x a x f ∈+=，曲线在点处的切线方程为：. （Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）设，求函数)3
()(π
+-=x f kx x g 在上的最大值.
22.（本小题10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知平面直角坐标系中，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点极坐标为，曲线的极坐标方程为（为参数）．
（1）写出点的直角坐标及曲线的直角坐标方程；
（2）若为曲线上的动点，求的中点到直线：2cos 4sin ρθρθ+=的距离的最小值．
2017-2018学年度高三期末试卷答案
数 学（理）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1—5 CACDD 6—10 BCBAD 11—12 AB
二、填空题（每小题5分，共20分）
13. 3 ； 14. 2 ； 15. ； 16 . . 二、解答题（共70分） 17.（本小题满分12分）
解
：（Ⅰ）因为正项等比数列，所以，设公比为，则.………………1分 又因为与的等比中项为，所以，…………………………………………2分 即，由，得，………………………………………………………3分 于是，数列的通项公式为.…………………………………………………4分 （Ⅱ）由题可知，，……………………………………………………………5分 于是，231232222
n n n
S =
++++…——①
2341
112322222n n n
S +=++++…——
②………………………………………………6分 由①②，得
23411111112222222
n n n n
S +=+++++-……………………………………………8分 111(1)
221212
n n n +-=-- .………………………………………………………10分
解得，………………………………………………………………………12分 18.（本小题12分）
解：（1）∵，∴(2)cos cos a b C c B -=， ∴2sin cos sin cos cos sin A C B C B C =+， ∴2sin cos sin()sin A C B C A =+=． ∵是的内角，∴，∴， ∴．
（2）由（1）可知，
∴21()sin 22sin )2f x x x =
-
-1sin 222x x =-．
由，∴，∴sin(2)13
x π
≤-≤，
∴函数的值域为⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
． 19.（本小题12分） 解（1），，，
两式相减得2,3,211≥==-++n a a a a a n n n n n 注意到，， 于是，所以. （2）)2
1
1(21)2(1+-=+=
n n n n b n
)]2
14131()1211[(21)2114121311(21++++-+++=+-++-+-=n n n n T n
4
3)2111211(21<+-+-+=
n n T n 所以的最小值为. 20.（本小题12分）
（1）证明：连结，因，是的中点，故．
又因平面平面，故平面， 于是．又，所以平面，所以，又因，故平面，所以．
（2）由（1），得，不妨设，，取的中点，以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则(0,1,1),(0,1,1),(0,1,0),F E B C -，从而
(2,1,1),(0,2,0),CE EF =-=-设平面的法向量，由，
得，
同理可求得平面的法向量，设的夹角为，则 由于二面角为钝二面角，则余弦值为.
21. （本小题12分）
解：（Ⅰ）由切线方程知，当时， ∴02
1
23)3
(=+=
b a f π
....................................................1分 ∵x b x a x f sin cos )(-='....................................................2分
∴由切线方程知，12
3
21)3
(=-=
'b a f π
.......................................3分 ∴..........................................................4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，)3
sin(cos 23sin 21)(π-=-=
x x x x f .......................5分 ∴，.........................................6分 当时，当时，，故单调递减
∴在上的最大值为.........................................7分 ②当时 ∵，
∴存在，使 当时，，故单调递减
当时，，故单调递增
∴在上的最大值为或....................................9分 又，
∴当时，在上的最大值为
当时，在上的最大值为......................10分 当时，当时，，故单调递增
∴在上的最大值为..................................11分 综上所述，当时，在上的最大值为 当时，在上的最大值为.........................12分 22.（本小题10分） 解：（1）点的直角坐标为．
由，得2cos sin ρθθ=
，①
将，，代入①，
可得曲线的直角坐标方程为22
((122x y -
+-=． （2
）直线：2cos 4sin ρθρθ+=
的直角坐标方程为，
设点的直角坐标为cos ,sin )22θθ++
，则cos sin )22
M θθ
， 那么到直线的距离
cos sin |))d θθ+=
==，
∴d ≥
=，
所以到直线：2cos 4sin ρθρθ+=的距离的最小值为．。