广东省深圳市松岗中学高三数学12月月考试题 文 新人教A版

图 1
是否结束
输出s i=i +1
i ≤ n i=1, s=1输入n 开始s=s+(i -1)松岗中学高三年级2013—2014学年第一学期十二月份月考
文科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷2至4页。

全卷满分：150分。

考试时间：120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：（本题包括10小题，每小题5分，共50分。

每小题只有一个．．．．正确的选项符合题意。

） 1. i 是虚数单位，=2013
i
（ ）
A ．i
B ．i -
C ．1
D ．1-
2. 已知函数x x f 2log )(=的定义域为M ，{
}
02|2
=--=x x x N ，则=⋂N M （ ） A ．{}2 , 1- B ．{}1 , 2- C ．{} 1 D ．{} 2
3. 已知平面向量)2 , 1(-=a ，) , 2(m b =，若b a ⊥，则=m （ ） A ．4 B ．4- C ．1 D ．1-
4. 2:>x p 是2:-<x q 的（ ）条件 A ．充要 B ．充分不必要 C ．必要不充分 D ．既不充分也不必要
5. 执行如图1所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是 A ．1 B ．2 C ．4 D ．7
6. 下列函数中，偶函数是（ ） A ．x x f tan )(= B ．x
x
x f -+=22)( C ．x x f =
)( D ．3)(x x f =
7. 设,,a b c R ∈,且a b >,则（ ） A ．ac bc > B ．
11a b
< C ．22
a b >
D ．33
a b >
8. 已知数列{}n a （*
∈N n ）的前n 项和12+-=n S n ，则=6a （ ）
A ．11
B ．11-
C ．13
D ．13- 9. 函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中A ＞0，
ϕ＜
π
2
的图象如图所示，为了得到()sin 3g x x =的图象，只需将()f x 的图象（ ）
A.向右平移
π4个单位长度 B.向左平移π
4个单位长度 C.向左平移π12个单位长度 D.向右平移π
12
个单位长度
10. 已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a 、b ∈R ，满足
()f ab =()()af b bf a +，(2)2f =，(2)n n f a n =（n *
∈N ），(2)2
n n n f b =（n *∈N ）.考查 下列结论：①(0)(1)f f =；②()f x 为偶函数；③数列{}n a 为等比数列；④{}n b 为等差数 列。

其中正确的是（ ）
A 、①②③
B 、①③④
C 、③④
D 、①③
第Ⅱ卷（非选择题，共110分）
二、填空题：（本题包括4小题，每小题5分，共20分。

）
11．曲线3
3y x ax =++在点（1，m ）处的切线方程为2y x n =+，则a = ．
12．已知变量x ，y 满足约束条件30111x y x y -+≥⎧⎪
-≤≤⎨⎪≥⎩
则z x y =+的最大值是________。

13． 某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时 至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图1所示． 已知9时至10时的销售额为2.5万元， 则11时至12时的销售额为____万元
14. 已知递增的等比数列{n b }（n ∈N ﹡）满足b 3＋b 5＝40，b 3·b 5＝256，则数列{n b }的前10项和10S ＝_______________．
三、解答题：（本题包括6小题，其中第15、16小题各12分，其余每小题各14分，共80分。

） 15．（本小题满分12分） 已知函数()2)12
f x x π
=
-
，x R ∈
（1） 求()3
f π
的值；
（2） 3cos 5θ=
，3(
,2)2πθπ∈，求()6
f π
θ- 16.（本小题满分12分）
从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下： 分组（重量） [80，85) [80，90) [90，95) [95，100) 频数（个）
5 10 20 15
（1） 根据频数分布表计算苹果的重量在[90，95)的频率；
（2） 用分层抽样的方法从重量在[80，85)和[95，100)的苹果中共抽取4个，其中重量
在[80，85)的有几个？
（3） 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85)和[95，100)中各有1
个的概率。

17. 已知函数()ln ,()(0)a
f x x
g x a x
==->.
（I ）当1a =时， 若曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的切线与曲线()y g x =在点
00(,())P x g x 处的切线平行，求实数0x 的值；
（II ）若(0,e]x ∀∈，都有3
()()2
f x
g x ≥+，求实数a 的取值范围.
18．已知向量)4cos ,4cos 3(x x =，)4
cos ,4(sin
x
x =函数x f •=)(. （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；
（2）在锐角三角形ABC 中，,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足1
cos ,2
a C c
b +
=求(2)f B 的取值范围.
19．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的首项21=a ，*
∈∀N n ，点) , (1+n n a a 都在直线
012=+-y x 上．
（1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 求数列{}n a 的前n 项和n S ．
20．（本小题满分14分）已知函数()e x
f x kx x =-∈R ， （Ⅰ）若e k =，试确定函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若0k >，且对于任意x ∈R ，()0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围； （Ⅲ）设函数()()()F x f x f x =+-，求证： 1
2
(1)(2)()(e 2)()n n F F F n n +*>+∈N L
一、 选择题 ADCCC BDBDB 二、填空题
11、-1 12、5 13、10 14、2046 三、解答题 15
、133124f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-==
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（2）33cos ,,252πθθπ⎛⎫
=
∈ ⎪⎝⎭
Q
，4sin 5θ==-，
1cos cos sin sin 64445f ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎫∴--=+=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭
16、（1）苹果的重量在[)95,90的频率为20
=0.450
； （2）重量在[)85,80的有1个；
（3）设这4个苹果中[)85,80分段的为1，[)100,95分段的为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：
（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种；设任取2个，重量在[)85,80和[)100,95中各有1个的事件为A ，则事件A 包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以31(A)62
P ==. 17、解：（I ）因为1a =, 211
'(),()f x g x x x
=
= 若函数()f x 在点00(,())M x f x 处的切线与函数()g x 在点00(,())P x g x 处的切线平
行， 所以
200
11
x x =，解得01x = 此时()f x 在点(1,0)M 处的切线为1y x =-
()g x 在点(1,1)P - 处的切线为2y x =-
所以01x =
（II ）若(0,e]x ∀∈，都有3()()2
f x
g x ≥+ 记33()()()ln 22
a F x f x g x x x =--
=+-，
只要()F x 在(0,e]上的最小值大于等于0
221'()a x a
F x x x x
-=
-= 则'(),()F x F x 随x 的变化情况如下表：
当
e a ≥时，函数()F x 在(0,e)上单调递减，
(e)F 为最小值
所以3(e)102
a F e =+
-≥，得e
2a ≥
所以e a ≥
当e a <时，函数()F x 在(0,)a 上单调递减，在(,e)a 上单调递增 ，
()F a 为最小值，所以3
()ln 02
a F a a a =+
-≥，得a e a ≤<
a
18.解：（1）1()sin()2
6
2x
f x π
=+
+
函数()f x 的最小正周期为T 2412
π
π=
函数()f x 的单调递减区间为284,43
3
k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈。

(2)由1
cos ,2
a C c
b +
=得B C C A sin
sin 21cos sin =+，
即)sin(sin 21cos sin C A C C A +=+整理得，21cos =A 所以3
A π
=
因为B 为锐角，故有02
2032B B ππ
π⎧
<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩
,得62B ππ<<
所以sin()6B π
⎤+
∈⎥⎦
所以(2)f B 的取值范围是32⎤
⎥⎦
.
19、（1）解：
依题意，0121=+-+n n a a ，
)1(211-=-+n n a a ，)1(2
1
11-=
-+n n a a ， 0111≠=-a ，所以，数列{}1-n a 是等比数列
得1)21(11-⨯=-n n a ，所以n
n a -+=121
（2）)21()21()21()21(1210n
n S ---++++++++=L
)2222(1210n n ---+++++=Λ
1
2
121----+=n n n
n --+=122
20．解：（Ⅰ）由e k =得()e e x
f x x =-，所以()e e x
f x '=-．
由()0f x '>得1x >，故()f x 的单调递增区间是(1)+∞，， 由()0f x '<得1x <，故()f x 的单调递减区间是(1)-∞，
． （Ⅱ）解：由()()f x f x -=可知()f x 是偶函数．
于是()0f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立． 由()e 0x
f x k '=-=得ln x k =．
①当(01]
k ∈，时，()e 10(0)x
f x k k x '=->->≥． 此时()f x 在[0)+∞，
上单调递增．故()(0)10f x f =>≥，符合题意． ②当(1
)k ∈+∞，时，ln 0k >． 当x 变化时()()f x f x '，的变化情况如下表：
由此可得，在[0)+∞，上，()(ln )ln f x f k k k k =-≥． 依题意，ln 0k k k ->，又11e k k >∴<<，． 综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<． （Ⅲ）解()()()e e x
x
F x f x f x -=+-=+Q ， 12()()F x F x ∴=1
2
121212121212()()e e e e e e 2e 2x x x x x x x x x x x x x x +-+--++-+++++>++>+，
1(1)()e 2n F F n +∴>+，
11(2)(1)e 2
()(1)e 2.
n n F F n F n F ++->+>+L L
由此得，21[(1)(2)()][(1)()][(2)(1)][()(1)](e 2)n n F F F n F F n F F n F n F +=->+L L
故1
2
(1)(2)()(e 2)n n F F F n n +*>+∈N L ，．。