高一数学(人教B版)-复数的几何意义-1教案

教 案
主要教学活动
环节 1-1 复习回顾，知识准备.
上节课我们已经学习了复数的概念，这节课我们探寻复数的几何意义，我们先对复数的概念的相关知识知识，进行简单的复习回顾.
⎧数系扩充：实数↓方↓程↓x 2 =-↓1的解↓，→复数 ⎪
引入虚数单位i
⎪复数定义：z = a + b i ，其中a 是实部,b 是虚部. 复数⎪
⎨复数相等：—实部和虚部对应相等
⎪
⎪复数分类：⎧⎪实数(b = 0) ⎪
⎨ ⎩
⎪⎩虚数(b ≠ 0)↓↓→纯虚数(a = 0且b ≠ 0) 环节 1-2 知识类比，问题提出.
我们知道，实数与坐标轴上的点一一对应，也就是说，数轴可以看成实数的一个几何模型.
我们现在学习了一类新的数——复数. 请同学们思考：【问题 1】类比实数，我们能否为复数找一个几何模型呢？怎样建立起复数与几何模型中的点的一一对应关系？
环节 2-1 复数的几何意义——坐标表示. 类比实数几何意义，引入探寻复数几何意义的课题.
根据复数相等的定义，复数z =a +b i (a, b ∈R) 由它的实部a 和虚部b 唯一确定. 因而，
复数z=a+b i(a,b∈R)←↓一一↓对应↓→有序实数对(a,b)
←↓一一↓对应↓→平面直角坐标系中点Z(a,b).
y
1+2i
A
B
新课O 3 x
i 用对应的观点，结合有序实数对和点的对应关系，讲解复数的坐标表示.
C
比如，复数1+ 2i 对应点为A(1, 2) ，复数3 对应的点为B(3, 0) ，而点C(0, -1) 对应的复数为-i .
建立直角坐标系来表示复数的平面称为复平面.
在复平面内，x 轴上的点对应的都是实数，因此x 轴称为实轴；y 轴上的点除原点外，对应的都是纯虚数，称y 轴为虚轴.
这样，复数z=a+b i(a,b∈R)←↓一一↓对应↓→平面直角坐标系中点Z (a, b) .
环节 2-2 复数的几何意义——向量表示.
从向量的角度看，复数z =a +b i (a, b ∈R)
←↓一一↓对应↓→点Z(a,b)←↓一一↓对应↓→向量O Z= (a,b)用对应的观点，结合点和平面向量的对应关系，讲解复数的向量表示.
新课环节 2-3 从数学史角度介绍复数几何意义的形成过程.
在复数的发展过程中，为了寻找复数的几何模型，找到
复数的几何意义，历史上很多著名数学家做了很多重要的贡
献.下面我们追寻数学家们的工作，从数学史的角度回顾一下
复数的几何意义的探寻过程.
1685 年，英国数学家，沃利斯（J. Wallis）意识到，在直
线上不能找到虚数的几何表示.
1797 年，挪威测量学家，维塞尔（Ｃ. Ｗｅｓｓｅｌ）首先
提出，把复数用坐标平面上的点来表示，形成了复平面概
念，但在当时没有受到人们的重视.
1806 年，德国数学家，阿甘得（R. Argand）公布了复数的
图象表示法，即复数能用一个平面上的点来表示. 所以复平
面又称“阿甘得平面”.
1796 年，伟大的德国数学家高斯（C.F. Gauss）已经知道了
复数的几何表示.
1831 年，高斯在著作中不仅把复数看作是平面上的点，而且
还看作是一种向量，建立起了复数的代数运算，系统建立了
复数的理论.后来复平面也被称为“高斯平面”.
环节 2-4 复数的模的定义及其几何意义.
下面我们利用平面向量来描述复数.
一般地，向量OZ = (a,b) 的长度称为复数z =a +b i 的
模，用|z| 表示，因此|z| =OZ =a2 +b2 ，
特别地，当b = 0 时，|z|= a2 =| a |，这说明复数的模式
实数绝对值概念的推广.
复数z =a +b i 的模的几何意义是点Z (a, b) 到原点O 的
距离.
环节 2-5 举例说明复数的几何意义.
下面我们举两个例子说明复数的几何意义.比如：
复数z
1
= 3 + i 对应的点是Z
1
(3,1) ，对应的向量是
OZ = (3,1)；z =OZ = 32 +12 = 10 ，复数z 对应的点
1 1 1 1
Z
1
(3,1) 到原点的距离也是10 .
介绍数学
史，增加
学生学习
的兴趣，
渗透数学
文化.
以形助数
利用复数
的向量表
示描述和
研究复数.
举例说明
概念，加
深对概念
的直观理
解.
新课复数z
2
= 3 - i 对应的向量是OZ2 = (3, -1) ，
z
2
=OZ
2
= 3 +( -1) = 10. 复数z
2
对应的点Z
2
(3, -1) 到
2 2
原点的距离也是10 .
y
1 3+i
Z1
O 3 x
-1 3
Z2
i
环节2-6 共轭复数定义及性质
我们还发现复数z
1
= 3 + i 和复数z
2
= 3 - i ，对应的点和
向量，都关于实轴对称，而且它们的模也相等.下面请同学们
思考:
【问题2】复数a +b i 与a -b i 的实部和虚部有什么关系？它
们在复平面内对应的点和向量有什么位置关系？
复数a +b i 与复数a -b i 的实部相等，而虚部互为相反
数；所以，在复平面内，它们对应的点的横坐标相等，而纵
坐标互为相反数，根据坐标作出图形，可以看出复数a +b i
与复数a -b i ，对应的点和向量，都关于实轴对称.
y
b a+b i
O a x
-b a b i
一般地，如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，
则称这两个复数互为共轭复数. 复数z 的共轭复数用z 表示.
当z =a +b i (a, b ∈R) 时，有z =a -b i .
我们可以从数和形的角度去理解互为共轭的两个复数.
⎧⎧⎪实部相等，虚部互为相反数.
⎪数⎨
⎪⎪⎩z =a +b i (a, b∈R), z =a -b i.
共轭复数⎨
⎧⎪对应的点和向量关于实轴对称.
⎪形
⎨
⎪⎪模相等，即z =z .
⎩⎩
从数和形
的两个角
度研究具
有共轭关
系的两个
复数，体
现数形结
合的思想
方法.
例题
例 1 设复数 z 1 = 3 + 4i 在复平面内对应的点为 Z 1 ，对应的
向量为OZ 1 ；复数 z 2 在复平面内对应的点为 Z 2 ，对应的向量 为OZ 2 . 已知 Z 1 与 Z 2 关于虚轴对称，并判断 OZ 1 与 OZ 2 的大小关系. 分析： 本题主要涉及复数几何意义——坐标表示和向量表示. 首先要可以根据已知对称关系，作出图形；再根据复数的坐标表示和向量表示，求出对应的点和对应的向量，利用复数的模的
公式求解.
解： 由题意可知 Z 1 (3, 4) ，又因为 Z 1 与 Z 2 关于虚轴对称，所以 Z 2 (3, 4) ，从而有 z 2 = 3 - 4i 因此 Z 2 (-3, 4) ，从而 z 2 = -3 + 4i ，
因此| z 2 |= (-3) + 4 = 5 . 2 2
又 因 为 OZ = z = 32
+ 42
= 5 ， OZ = z = 5 .
1
1
2
2
所以， OZ 1 = OZ 2 .
例 2 设复数 z 在复平面内的点为 Z ，说明当 z 分别满足下列条件时，点 Z 组成的集合是什么图形，并作图表示. （1） z =2 ；
（2）1< z ≤ 3 .
分析：因为 z = OZ ，所以 z 是OZ 的模，即 z 的几何意义是点 到原点O 的距离.
解： （1）由 z =2 可知， OZ = 2 ，即点 Z 到原点O 的距离 始终等于2 ，因此点 Z 组成的集合是圆心在原点、半径为2 的
圆. 如图所示.
例 题 讲 解，巩固知识；体会以形助数 ，以数解形， 数形结合的 思想方法.
例题
⎧⎪ z ≤ 3,
（2）不等式1< z ≤ 3 等价于不等式组⎨
⎪⎩ z > 1.
又因为满足 z ≤ 3的点 Z 的集合，是圆心在原点、半径
为3 的圆及其内部，而满足 z > 1的点 Z 的集合，是圆心在原 点、半径为1的圆的外部，所以满足条件的点 Z 组成的集合是
一个圆环（包括外边界但不包括内边界）.如图所示
总结
【问题 3】本节课我们学了哪些数学知识和用到了哪些思想方法？
一、数学知识
1. 复数的几何意义 复数z = a + b i (a ,b ∈ R ) ←↓一一↓对应↓→点Z (a ,b ) ←↓一一↓对应
↓→向量OZ = (a ,b ) . ⎧⎪定义：|z | = OZ = a 2 + b 2 .
2. 复数的模⎨ ⎪⎩几何意义：对应点Z (a , b )到原点O 的距离. ⎧ ⎧⎪实部相等，虚部互为相反数. ⎪数⎨ ⎪ ⎪⎩z = a + b i (a , b ∈ R ), z = a - b i.
3.
共轭复数 ⎨ ⎧⎪对应的点和向量关于实轴对称. ⎪形⎨
⎪ ⎪
模相等，即 z = z . ⎩ ⎩ 二、 思想方法
对应的观点，数形结合的思想方法.
课堂小 结，知识
提升.
作业
作业 1
1. 分别写出下列复数在复平面内对应的点的坐标.
（1）2 + 5i ； （2）-3 + 2i ； （3）3 - 2i ； （4）-2i+4 ； （5） 3 ； （6） -3i ； （7） 4i ； （8） -2 . 2. 已知 z = -1- i ，求 z 与|z |. 3. 设复数 z 在复平面内的点为 Z ，说明当 z 分别满足下列条
件时，点 Z 组成的集合是什么图形，并作图表示. （1） z =1 ； （2） z <1 ；
（3） z ≥ 1 ； （4）1< z < 2 . 【课后作业参考答案】 1.（1） (2, 5) ；（2） (-3, 2) ；（3） (3, -2) ；（4） (4, -2) ；
（5） (3, 0) ；（6） (0, -3) ；（7） (0,4) ；（8） (-2, 0) .
2. z = -1+ i ，| z |= (-1)2 + (-1)2 = 2 .
3.（1）以原点为圆心、半径为1的圆；
（2） 以原点为圆心、半径为1的圆的内部（不包括边界）； （3） 以原点为圆心、半径为1的圆的外部（包括边界）； （4） 以原点为圆心、半径为1的圆和半径为2 的圆所夹的圆环（不包括内外边界）.
（1） （2）
y
O
1
x
（3）
（4）
课 后 作
业，知识巩固.。