2022年最新冀教版八年级数学下册第二十二章四边形同步测试试卷(无超纲带解析)

八年级数学下册第二十二章四边形同步测试
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是各边上的点，对于四边形E，F，G，H的形状，小聪进行了探索，下列结论错误的是（）
A．E，F，G，H是各边中点．且AC=BD时，四边形EFGH是菱形
B．E，F，G，H是各边中点．且AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形
C．E，F，G，H不是各边中点．四边形EFGH可以是平行四边形
D．E，F，G，H不是各边中点．四边形EFGH不可能是菱形
2、如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝150°；④S四边形AEFD＝8．错误的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3、如图，正方形ABCD的边长为8，对角线AC、BD相交于点G．K为AC上的一点，且
⊥于点E，交BD于点F，则AF的长为CK=BK并延长交CD于点H．过点A作AE BH
（）
A．B．4C．D．
4、平面上六个点A，B，C，D，E，F，构成如图所示的图形，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F度数是（）
A．135度B．180度C．200度D．360度
5ABCD中，点E是对角线AC上一点，且EF AB
⊥于点F，连接DE，当∠=︒时，EF=（）
ADE
22.5
A．1 B．2C1D．1 4
6、在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是（）
A．∠ABC＝90°B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AB∥CD
7、如图，在正方形ABCD中，点E、点F分别在AD、CD上，且AE＝DF，若四边形OEDF的面积是1，OA的长为1，则正方形的边长AB为（）
A．1 B．2 C D．
8、如图，平行四边形ABCD的边BC上有一动点E，连接DE，以DE为边作矩形DEGF且边FG过点A．在点E从点B移动到点C的过程中，矩形DEGF的面积（）
A．先变大后变小B．先变小后变大C．一直变大D．保持不变
9、将图1所示的长方形纸片对折后得到图2，图2再对折后得到图3，沿图3中的虚线剪下并展开，所得的四边形是（）
A ．矩形
B ．菱形
C ．正方形
D ．梯形
10、如图，菱形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，8AC =，12BD =，E 是OB 的中点，P 是CD 的中点，连接PE ，则线段PE 的长为（ ）
A ．
B
C ．
D 第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=，D 为ABC 外一点，使DAC BAC ∠∠=，E 为BD 的中点．若60ABC ∠=︒，则ACE ∠=__________．
2、如图，AC是正五边形ABCDE的对角线，则ACD
为______度．
3、平行四边形的判定方法：
（1）两组对边分别______的四边形是平行四边形
（2）两组对边分别______的四边形是平行四边形
（3）两组对角分别______的四边形是平行四边形
（4）对角线______的四边形是平行四边形
（5）一组对边______的四边形是平行四边形
4、如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥BC，E为AB中点，若CE=3，则CD=____．
5、如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于
G，连接DG，现在有如下3个结论：①△ADG≌△FDG；②GB＝2AG；③S△BEF＝72
5
．在以上3个结论
中，正确的有______．（填序号）
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、背景资料：在已知ABC 所在平面上求一点P ，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当ABC 三个内角均小于120°时，费马点P 在ABC 内部，当
120APB APC CPB ∠=∠=∠=︒时，则PA PB PC ++取得最小值．
(1)如图2，等边ABC 内有一点P ，若点P 到顶点A 、B 、C 的距离分别为3，4，5，求APB ∠的度数，为了解决本题，我们可以将ABP △绕顶点A 旋转到ACP '△处，此时ACP ABP '≌这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA 、PB 、PC 转化到一个三角形中，从而求出APB ∠=_______；
知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与ABC 的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题．
(2)如图3，ABC 三个内角均小于120°，在ABC 外侧作等边三角形ABB '，连接CB '，求证：CB '过ABC 的费马点．
(3)如图4，在RT ABC 中，90C ∠=︒，1AC =，30ABC ∠=︒，点P 为ABC 的费马点，连接AP 、BP 、CP ，求PA PB PC ++的值．
(4)如图5，在正方形ABCD 中，点E 为内部任意一点，连接AE 、BE 、CE ，且边长2AB =；求AE BE CE ++的最小值．
2、如图，直线12l l ∥，线段AD 分别与直线1l 、2l 交于点C 、点B ，满足AB CD =．
(1)使用尺规完成基本作图：作线段BC 的垂直平分线交1l 于点E ，交2l 于点F ，交线段BC 于点O ，连接ED 、DF 、FA 、AE ．（保留作图痕迹，不写做法，不下结论）
(2)求证：四边形AEDF 为菱形．（请补全下面的证明过程）
证明：12l l ∥
1∴∠=____①____ EF 垂直平分BC
OB OC ∴=，90EOC FOB ︒∠=∠=
∴____②____FOB ∆≌
OE ∴=____③____
AB CD =
OB AB OC DC +=+∴
OA OD ∴=
∴四边形AEDF 是___④_____
EF AD ⊥
∴四边形AEDF 是菱形（______⑤__________）（填推理的依据）．
3、如图，在平行四边形ABCD 中，点M 是AD 边的中点，连接BM ，CM ，且BM ＝CM ．
(1)求证：四边形ABCD 是矩形；
(2)若△BCM 是直角三角形，直接写出AD 与AB 之间的数量关系．
4、如图，正方形ABCD 中，E 为BD 上一点，AE 的延长线交BC 的延长线于点F ，交CD 于点H ，G 为FH 的中点．
(1)求证：AE =CE ；
(2)猜想线段AE ，EG 和GF 之间的数量关系，并证明．
5、如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是边AB 、DC 上的点，且AE CF =，90DEB ∠=︒，求证：四边形DEBF 是矩形
-参考答案-
一、单选题
1、D
【解析】
当E F G H ，，，为各边中点，EH BD FG EF AC GH ∥∥，∥∥，11====22
EH BD FG EF AC GH ，，四边形EFGH 是平行四边形；A 中AC =BD ，则=EF FG ，平行四边形EFGH 为菱形，进而可判断正误；B 中AC ⊥BD ，则EF FG ⊥，平行四边形EFGH 为矩形，进而可判断正误；E ，F ，G ，H 不是各边中点，C 中若四点位置满足==EH FG EF GH EH FG EF GH ∥，∥，，，则可知四边形EFGH 可以是平行四边形，进而可判断正误；D 中若四点位置满足===EH FG EF GH EH FG EF GH ∥，∥，，则可知四边形EFGH 可以是菱形，进而可判断正误．
【详解】
解：如图，连接AC BD 、当E F G H ，，，为各边中点时，可知EH EF FG GH 、、、分别为
ABD ABC BCD ACD 、、、的中位线
∴11====22
EH BD FG EF AC GH EH BD FG EF AC GH ∥∥，∥∥，， ∴四边形EFGH 是平行四边形
A 中AC =BD ，则=EF FG ，平行四边形EFGH 为菱形；正确，不符合题意；
B 中A
C ⊥B
D ，则EF FG ⊥，平行四边形EFGH 为矩形；正确，不符合题意；
C 中E ，F ，G ，H 不是各边中点，若四点位置满足==EH FG EF GH EH FG EF GH ∥，∥，，，则可知四边形EFGH 可以是平行四边形；正确，不符合题意；
D 中若四点位置满足===EH FG EF GH EH FG EF GH ∥，∥，，则可知四边形EFGH 可以是菱形；错误，符合题意；
故选D ．
【点睛】 本题考查了平行四边形、菱形、矩形的判定，中位线等知识．解题的关键在于熟练掌握特殊平行四边
2、A
【解析】
【分析】
利用勾股定理逆定理证得△ABC 是直角三角形，由此判断①；证明△ABC ≌△DBF 得到DF ＝AE ，同理可证：△ABC ≌△EFC ，得到EF ＝AD ，由此判断②；由②可判断③；过A 作AG ⊥DF 于G ，求出AG 即可求出 S ▱AEFD ，判断④．
【详解】
解：∵AB ＝3，AC ＝4，32+42＝52，
∴AB 2+AC 2＝BC 2，
∴△ABC 是直角三角形，∠BAC ＝90°，
∴AB ⊥AC ，故①正确；
∵△ABD ，△ACE 都是等边三角形，
∴∠DAB ＝∠EAC ＝60°，
∴∠DAE ＝150°，
∵△ABD 和△FBC 都是等边三角形，
∴BD ＝BA ，BF ＝BC ，
∴∠DBF ＝∠ABC ，
在△ABC 与△DBF 中，
AB DB ABC DBF BC BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ABC ≌△DBF （SAS ），
∴AC ＝DF ＝AE ＝4，
同理可证：△ABC≌△EFC（SAS），
∴AB＝EF＝AD＝3，
∴四边形AEFD是平行四边形，故②正确；
∴∠DFE＝∠DAE＝150°，故③正确；
过A作AG⊥DF于G，如图所示：
则∠AGD＝90°，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴∠FDA＝180°﹣∠DFE＝180°﹣150°＝30°，
∴AG＝1
2AD＝
3
2
，
∴S▱AEFD＝DF•AG＝4×3
2
＝6；故④错误；
∴错误的个数是1个，
故选：A．
．
【点睛】
此题考查了等边三角形的性质，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，直角三角形的30度角的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
3、C
【解析】
【分析】
根据正方形的性质以及已知条件求得OK 的长，进而证明AOF ≌BOK ，即可求得OF OK =，勾股定理即可求得AF 的长
【详解】
解：如图，设,AC BD 的交点为O ，
四边形ABCD 是正方形
AC BD ∴⊥，AC BD =,11,22
AO AC BO BD ==
∴AC ==
12
OC AC == 90AOE BOK ∴∠=∠=︒，2390∠+∠=︒,AO BO =
CK =
OK OC CK ∴=-=
AE BH ⊥
∴1290∠+∠=︒
13∠∠∴=
在AOF 与BOK 中
13AO BO
AOF BOK ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴AOF≌BOK
∴==
OF OK
在Rt AOF中，AF=
故选C
【点睛】
本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握正方形的性质是解题的关键．4、D
【解析】
【分析】
根据三角形外角性质及四边形内角和求解即可．
【详解】
解：如下图所示：
根据三角形的外角性质得，∠1=∠C+∠E，∠2=∠B+∠D，
∵∠1+∠2+∠A+∠F=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°，
故选：D．
【点睛】
此题考查了三角形的外角性质，熟记三角形外角性质及四边形内角和为360°是解题的关键．
5、C
【解析】
【分析】
证明67.5CDE CED ∠=∠=︒，则CD CE =AC 的长，得2AE =，证明AFE ∆是等腰直角三角形，可得EF 的长．
【详解】 解：四边形ABCD 是正方形，
AB CD BC ∴==90B ADC ∠=∠=︒，45BAC CAD ∠=∠=︒， 22AC AB ，
22.5ADE ∠=︒，
9022.567.5CDE ∴∠=︒-︒=︒，
4522.567.5CED CAD ADE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，
CDE CED ∴∠=∠，
CD CE ∴==
2AE ∴=
EF AB ⊥，
90AFE ∴∠=︒，
AFE ∴∆是等腰直角三角形，
1
EF ∴，
故选：C ．
【点睛】
本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是在正方形中学会利用等腰直角三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．
6、B
【解析】
略
7、C
【解析】
【分析】
根据正方形的性质得到AB =AD ，∠BAE =∠ADF =90°，根据全等三角形的性质得到∠ABE =∠DAF ，求得∠AOB =90°，根据三角形的面积公式得到OA =1，由勾股定理即可得到答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB =AD ，∠BAE =∠ADF =90°，
在△ABE 与△DAF 中，
AB AD BAE ADF AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ABE ≌△DAF （SAS ），
∴∠ABE =∠DAF ，
∴∠ABE +∠BAO =∠DAF +∠BAO =90°，
∴∠AOB =90°，
∵△ABE ≌△DAF ，
∴S △ABE =S △DAF ，
∴S △ABE -S △AOE =S △DAF -S △AOE ，
即S △ABO =S 四边形OEDF =1，
∵OA =1，
∴BO =2，
∴AB
故选：C ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证得△ABE ≌△DAF 是解题的关键．
8、D
【解析】
【分析】
连接AE ，根据11,22ADE ADE ABCD DEGF S S S S ==矩形，推出ABCD DEGF S S =矩形，由此得到答案． 【详解】
解：连接AE ，
∵11,22ADE ADE ABCD DEGF S S S S ==矩形，
∴ABCD DEGF S S
=矩形，
故选：D ． ．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，正确连接辅助线AE是解题的关键．
9、B
【解析】
【分析】
根据操作过程可还原展开后的纸片形状，并判断其属于什么图形．
【详解】
展得到的图形如上图，
由操作过程可知：AB=CD，BC=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形，
故选：B．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定，和菱形的判定，拥有良好的空间想象能力是解决本题的关键．10、A
【解析】
【分析】
取OD 的中点H ，连接HP ，由菱形的性质可得AC ⊥BD ，AO ＝CO ＝4，OB ＝OD ＝6，由三角形中位线定理可得122
HP OC ==，HP AC ∥，可得EH ＝6，90EHP ∠=︒，由勾股定理可求PE 的长． 【详解】
解：如图，取OD 的中点H ，连接HP
∵四边形ABCD 是菱形
∴AC ⊥BD ，AO ＝CO ＝4，OB ＝OD ＝6
∵点H 是OD 中点，点E 是OB 的中点，点P 是CD 的中点
∴OH =3，OE =3，122
HP OC ==，HP AC ∥ ∴EH ＝6，90EHP ∠=︒
在Rt HPE △中，由勾股定理可得：
∴PE 故选：A
【点睛】
本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
二、填空题
1、30##30度
【解析】
【分析】
延长BC 、AD 交于F ，通过全等证明C 是BF 的中点，然后利用中位线的性质即可．
【详解】
解：延长BC 、AD 交于F ，
在△ABC 和△AFC 中
90BAC FAC AC AC ACB ACF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=
⎩
， ∴△ABC ≌△AFC （ASA ），
∴BC =FC ，
∴C 为BF 的中点，
∵E 为BD 的中点，
∴CE 为△BDF 的中位线，
∴CE //AF ，
∴∠ACE =∠CAF ，
∵∠ACB =90°，∠ABC =60°，
∴∠BAC =30°，
∴∠ACE =∠CAF =∠BAC =30°，
故答案为：30°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线的定义与性质，以及平行线的性质，作出正确的辅助线是解题的关键．
2、72
【解析】
【分析】
先根据正五边形的内角和求出它的每个内角的度数，再根据等腰三角形的性质可得ACB ∠的度数，然后根据角的和差即可得．
【详解】 解：五边形ABCDE 是正五边形，
180(52),1085
AB BC B BCD ︒⨯-∴=∠=∠==︒， 1(180108)362
ACB CAB ∴∠=∠=⨯︒-︒=︒， 1083672ACD BCD ACB ∠=∠-∠=︒-︒=∴︒，
故答案为：72．
【点睛】
本题考查了正多边形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握正多边形的性质是解题关键．
3、 平行 相等 相等 互相平分 平行且相等
【解析】
略
4、6
【解析】
【分析】
由AC ⊥BC ，E 为AB 中点，若CE =3，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可求得AB 的长，然后由平行四边形的性质，求得答案．
【详解】
解：∵AC ⊥BC ，E 为AB 中点，
∴AB =2CE =2×3=6，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴CD =AB =6．
故答案为：6．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质以及直角三角形的性质．注意平行四边形的对边相等．
5、①②③
【解析】
【分析】
根据正方形的性质和折叠的性质可得AD DF =，90A GFD ∠=∠=︒，于是根据“HL ”判定
Rt ADG Rt FDG ≌，再由12GF GB GA GB +=+=，EB EF =，BGE ∆为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出4AG =，8BG =，进而求出∆BEF 的面积．
【详解】
解：由折叠可知，DF DC DA ==，90DFE C ∠=∠=︒，EF EC =，
90DFG A ∴∠=∠=︒，
在Rt ADG 和Rt FDG △中，
AD FD DG DG
=⎧⎨=⎩， ()Rt ADG Rt FDG HL ∴≌，故①正确；
AG GF ∴=，
正方形边长是12，
6BE EC EF ∴===，
设AG FG x ==，则6EG x =+，12BG x =-，
由勾股定理得：222EG BE BG =+，
即：222(6)6(12)x x +=+-，
解得：4x =
4AG GF ∴==，8BG =，2BG AG =，故②正确；
168242GBE S ∆=⨯⨯=，67224105
BEF GBE EF S S EG ∆∆=⋅=⨯=，故③正确； 故答案为：①②③．
【点睛】
本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用这些性质解决问题．
三、解答题
1、 (1)150°；
(2)见详解；
【解析】
【分析】
（1）根据旋转性质得出ABP △≌ACP '△，得出∠BAP =∠CAP′，∠APB =∠AP′C ，AP =AP′=3，
BP=CP′=4，根据△ABC 为等边三角形，得出∠BAC =60°，可证△APP′为等边三角形，PP′=AP =3，
∠AP′P =60°，根据勾股定理逆定理222223425PP P C PC ''+=+==，得出△PP′C 是直角三角形，∠PP′C =90°，可求∠AP′C =∠APP +∠PPC =60°+90°=150°即可；
（2）将△APB 逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，根据△APB ≌△AB′P′，AP =AP′，PB =PB′，AB =AB′，根据∠PAP′=∠BAB′=60°，△APP′和△ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP ，根据PA PB PC PP P B PC '''++=++，根据两点之间线段最短得出点C ，点P ，点P′，点B′四点共线时，PA PB PC ++最小=CB′，点P 在CB′上即可；
（3）将△APB 逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′，得出△APB ≌△AP′B′，可证△APP′和△ABB′均为等边三角形，得出PP′=AP ，BB′=AB ，∠ABB′=60°，根据
PA PB PC PP P B PC '''++=++，可得点C ，点P ，点P′，点B′四点共线时，PA PB PC ++最小
=CB′，利用30°直角三角形性质得出AB =2AC =2，根据勾股定理BC
=求BB′=AB =2，根据∠CBB′=∠ABC +∠ABB′=30°+60°=90°，在Rt △CBB′中，B′C =
= （4）将△BCE 逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F ⊥AB ，交AB 延长线于F ，得出△BCE ≌△CE′B′，BE =B′E′，CE =CE ′，CB =CB′，可证△ECE′与△BCB′均为等边三角形，得出EE ′=EC ，BB′=BC ，∠B′BC =60°，AE BE CE AE EE E B '''++=++，得出点C ，点E ，点E′，点B′四点共线时，AE BE CE AE EE E B '''++=++最小=AB′，根据四边形ABCD 为正方形，得出AB =BC =2，∠ABC =90°，可求∠FBB′=180°-∠ABC -∠CBB′=180°-90°-60°=30°，根据30°直
角三角形性质得出BF =1121
22
BB '=⨯=，勾股定理BF =AF =AB +BF =2+
AB′ (1)
解：连结PP′，
∵ABP △≌ACP '△，
∴∠BAP =∠CAP′，∠APB =∠AP′C ，AP =AP′=3，BP=CP′=4，
∵△ABC 为等边三角形，
∴∠BAC =60°
∴∠PAP ′=∠PAC +∠CAP ′=∠PAC +∠BAP =60°，
∴△APP′为等边三角形，
,∴PP′=AP =3，∠AP′P =60°，
在△P′PC 中，PC =5，
222223425PP P C PC ''+=+==，
∴△PP′C 是直角三角形，∠PP′C =90°，
∴∠AP′C =∠APP +∠PPC =60°+90°=150°，
∴∠APB =∠AP′C =150°，
故答案为150°；
(2)
证明：将△APB 逆时针旋转60°，得到△AB′P′，连结PP′，
∵△APB ≌△AB′P′，
∴AP =AP′，PB =PB′，AB =AB′，
∵∠PAP′=∠BAB′=60°，
∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，
∴PP′=AP ，
∵PA PB PC PP P B PC '''++=++，
∴点C ，点P ，点P′，点B′四点共线时，PA PB PC ++最小=CB′，
∴点P 在CB′上，
∴CB '过ABC 的费马点．
(3)
解：将△APB 逆时针旋转60°，得到△AP′B′，连结BB′，PP′，
∴△APB ≌△AP′B′，
∴AP′=AP ，AB′=AB ，
∵∠PAP′=∠BAB′=60°，
∴△APP′和△ABB′均为等边三角形，
∴PP′=AP ，BB′=AB ，∠ABB′=60°，
∵PA PB PC PP P B PC '''++=++
∴点C ，点P ，点P′，点B′四点共线时，PA PB PC ++最小=CB′，
∵90C ∠=︒，1AC =，30ABC ∠=︒，
∴AB =2AC =2，根据勾股定理BC
==∴BB′=AB =2，
∵∠CBB′=∠ABC +∠ABB′=30°+60°=90°，
∴在Rt△CBB′中，B′C
∴PA PB PC ++最小=CB′
(4)
解：将△BCE 逆时针旋转60°得到△CE′B′，连结EE′，BB′，过点B′作B′F ⊥AB ，交AB 延长线于F ，
∴△BCE ≌△CE′B′，
∴BE =B′E′，CE =CE ′，CB =CB′，
∵∠ECE′=∠BCB′=60°，
∴△ECE′与△BCB′均为等边三角形，
∴EE ′=EC ，BB′=BC ，∠B′BC =60°，
∵AE BE CE AE EE E B '''++=++，
∴点C ，点E ，点E′，点B′四点共线时，AE BE CE AE EE E B '''++=++最小=AB′，
∵四边形ABCD 为正方形，
∴AB =BC =2，∠ABC =90°，
∴∠FBB′=180°-∠ABC -∠CBB′=180°-90°-60°=30°，
∵B′F ⊥AF ，
∴BF =1121
22
BB '=⨯=，BF =
∴AF =AB +BF
∴AB′=
∴AE BE CE ++最小=AB′
【点睛】
本题考查图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，两点之间线段最短，四点共线，正方形性质，30°直角三角形性质，掌握图形旋转性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，直角三角形判定与性质，两点之间线段最短，四点共线，正方形性质，30°直角三角形性质是解题关键．
2、 (1)见解析
(2)①2∠；②EOC ∆；③OF ；④平行四边形；⑤对角线互相垂直的平行四边形是菱形
【解析】
【分析】
（1）分别以A 、D 为圆心，大于AD 的一半长为半径，画弧，两弧交于两点，然后过这两点作直线交l 1于E ，交l 2于F ，直线EF 为线段AD 的垂直平分线，连接ED 、DF 、FA 、AE 即可；
（2）：根据12l l ∥，内错角相等得出1∠=∠2①，根据EF 垂直平分BC ，得出OB OC =，90EOC FOB ︒∠=∠=，可证②△EOC FOB ∆≌，根据全等三角形性质得出OE =OF ③，再证OA OD =，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定四边形AEDF 是平行四边形④，根据对角线互相垂直
EF AD ⊥即可得出四边形AEDF 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形⑤）
． (1)
解：分别以A 、D 为圆心，大于AD 的一半长为半径，画弧，两弧交于两点，然后过这两点作直线交l 1于E ，交l 2于F ，直线EF 为线段AD 的垂直平分线，连接ED 、DF 、FA 、AE 即可；
如图所示
(2)
证明：12l l ∥，
1∴∠=∠2①， EF 垂直平分BC ，
OB OC ∴=，90EOC FOB ︒∠=∠=，
∴②△EOC FOB ∆≌，
OE ∴=OF ③，
AB CD =，
OB AB OC DC +=+∴，
OA OD ∴=，
∴四边形AEDF 是平行四边形④，
EF AD ⊥，
∴四边形AEDF 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形⑤），
故答案为：①2∠；②EOC ∆；③OF ；④平行四边形；⑤对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
【点睛】
本题考查尺规作图，垂直平分线性质，三角形全等判定与性质，菱形的判定，掌握尺规作图，垂直平分线性质，三角形全等判定与性质，菱形的判定是解题关键．
3、 (1)见解析
(2)AD =2AB ，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由SSS 证明△ABM ≌△DCM ，得出∠A =∠D ，由平行线的性质得出∠A +∠D =180°，证出∠A =90°，即可得出结论；
（2）先证明△BCM 是等腰直角三角形，得出∠MBC =45°，再证明△ABM 是等腰直角三角形，得出AB =AM ，即可得出结果．
(1)
证明：∵点M 是AD 边的中点，
∴AM =DM ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB =DC ，AB ∥CD ，
在△ABM 和△DCM 中，
AM DM AB DC BM CM =⎧⎪=⎨⎪=⎩
， ∴△ABM ≌△DCM （SSS ），
∴∠A =∠D ，
∵AB ∥CD ，
∴∠A+∠D=180°，
∴∠A=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形；
(2)
解：AD与AB之间的数量关系：AD=2AB，理由如下：
∵△BCM是直角三角形，BM=CM，
∴△BCM是等腰直角三角形，
∴∠MBC=45°，
由（1）得：四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A=90°，
∴∠AMB=∠MBC=45°，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴AB=AM，
∵点M是AD边的中点，
∴AD=2AM，
∴AD=2AB．
【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABM≌△DCM是解题的关键．
4、 (1)见解析
(2)AE2+ GF2=EG2，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据“SAS ”证明△ADE ≌△CDE 即可；
（2）连接CG ，可得CG =GF =GH =1
2FH ，再证明∠ECG =90°，然后在Rt △CEG 中，可得CE 2+CG 2=EG 2，进而可得线段AE ，EG 和GF 之间的数量关系．
(1)
证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD =CD ，∠ADE =∠CDE ，
在△ADE 和△CDE 中
AD CD ADE CDE DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADE ≌△CDE ，
∴AE =CE ；
(2)
AE 2+ GF 2=EG 2，理由：
连接CG
∵△ADE ≌△CDE ，
∴∠1=∠2．
∵G 为FH 的中点，
∴CG =GF =GH =1
2FH ，
∴∠6=∠7．
∵∠5=∠6，
∴∠5=∠7．
∵∠1+∠5=90°，
∴∠2+∠7=90°，即∠ECG =90°，
在Rt △CEG 中，CE 2+CG 2=EG 2，
∴AE 2+ GF 2=EG 2．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，以及勾股定理等知识，证明△ADE ≌△CDE 是解（1）的关键，证明∠ECG =90°是解（2）的关键．
5、证明见解析
【解析】
【分析】
平行四边形ABCD ，可知AB CD AB CD =，；由于AE CF = ，可得BE DF =，BE DF ，知四边形DEBF 为平行四边形，由90DEB ∠=︒可知四边形DEBF 是矩形．
【详解】
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形
∴AB CD AB CD =，
∵AE CF BE AB AE DF DC CF ==-=-，，
∴BE DF =
∵BE DF BE DF =，
∴四边形DEBF 为平行四边形
又∵90DEB ∠=︒
∴四边形DEBF 是矩形．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定等知识．解题的关键在于灵活掌握矩形的判定．。