2018-2019学年江西省赣州市南康中学高三(上)第三次月考数学试卷(文科)

2018-2019学年江西省赣州市南康中学高三（上）第三次月考数
学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（）
A．A∩B={x|x＜0}B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1}D．A∩B=∅
2．（5分）设，是平面上的两个单位向量，•=．若m∈R，则|+m|的最小值是（）
A．B．C．D．
3．（5分）在△ABC中，tanA是以﹣4为第3项，﹣1为第7项的等差数列的公差，tanB是以为第3项，以4为第6项的等比数列的公比，则该三角形的形状为（）
A．钝角三角形B．锐角三角形
C．等腰直角三角形D．直角三角形
4．（5分）已知：
命题p：若函数f（x）=x2+|x﹣a|是偶函数，则a=0．
命题q：∀m∈（0，+∞），关于x的方程mx2﹣2x+1=0有解．
在①p∨q；②p∧q；③（￢p）∧q；④（￢p）∨（￢q）中为真命题的是（）A．②③B．②④C．③④D．①④
5．（5分）设a=20.3，b=0.32，c=log x（x2+0.3）（x＞1），则a，b，c的大小关系是（）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a 6．（5分）已知数列{a n}是等差数列，若a9+3a11＜0，a10•a11＜0，且数列{a n}的前n项和S n有最大值，那么当S n取得最小正值时，n=（）
A．20B．17C．19D．21
7．（5分）已知函数f（x）满足f（）+f（﹣x）=2x（x≠0），则f（﹣2）=（）
A．B．C．D．
8．（5分）若f（x）=lg（x2﹣2ax+1+a）在区间（﹣∞，1]上递减，则a的取值范围为（）
A．[1，2）B．[1，2]C．[1，+∞）D．[2，+∞）9．（5分）若把函数f（x）=sinωx的图象向左平移个单位，恰好与函数y=cosωx 的图象重合，则ω的值可能是（）
A．B．C．D．
10．（5分）一给定函数y=f（x）的图象在下列图中，并且对任意a1∈（0，1），=f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＞a n，n∈N*，则该函数的图象由关系式a n
+1
是（）
A．B．
C．D．
11．（5分）已知定义在R上的函数f（x）在[1，+∞）上单调递减，且f（x+1）是偶函数，不等式f（m+2）≥f（x﹣1）对任意的x∈[﹣1，0]恒成立，则实数m的取值范围是（）
A．[﹣3，1]B．[﹣4，2]
C．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣4）∪[2，+∞）12．（5分）已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣a有3个零点，则实数a的取值范围是（）
A．（0，）B．（﹣1，）C．（﹣e2，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）已知平面向量，满足||=2，||=1，且|+|=|﹣|，则|﹣|=．
14．（5分）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮；现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．则f（n）的表达式为．
15．（5分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（a
﹣b）（sinA+sinB）=（c﹣b）sinC，若，则b2+c2的取值范围是．16．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，（x、y ∈R），f（1）=2，有下列命题：
①f（﹣2）=2，
②设g（x）=f（x）+f（﹣x），g（x）是偶函数，
③设h（x）=f（x+1）﹣f（x），h（x）是常函数，
④若x∈N*，则f（x）的值可组成等差数列．
其中正确命题有．（填所有正确命题序号）
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.）
17．（10分）设函数的定义域为集合A，函数的定义域为集合B，已知p：x∈A∩B；q：x满足2x+m＜0，且若p则q为真命题，求实数m的取值范围．
18．（12分）如图，边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是BC、DC的
中点，G为BF、DE的交点，若，．
（1）试用，表示；
（2）求的值．
19．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
20．（12分）已知函数f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=4x+4．
（1）求a，b的值．
（2）讨论函数f（x）的单调区间，并求函数f（x）的极值．
21．（12分）已知数列{a n}是首项为a1=，公比q=的等比数列，设b n+2=3log
a n（n∈N*），数列{c n}满足c n=a n•
b n
（1）求证：{b n}是等差数列；
（2）求数列{c n}的前n项和S n．
22．（12分）已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x3+x2（f'（x）+）在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：×××…×＜（n≥2，n∈N*）．
2018-2019学年江西省赣州市南康中学高三（上）第三次
月考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（）
A．A∩B={x|x＜0}B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1}D．A∩B=∅
【解答】解：∵集合A={x|x＜1}，
B={x|3x＜1}={x|x＜0}，
∴A∩B={x|x＜0}，故A正确，D错误；
A∪B={x|x＜1}，故B和C都错误．
故选：A．
2．（5分）设，是平面上的两个单位向量，•=．若m∈R，则|+m|的最小值是（）
A．B．C．D．
【解答】解：设，是平面上的两个单位向量，
则||=1，||=1，
∵•=，
∴|+m|2=||2+m2||2+2m•=1+m2+m=（m+）2+，
当m=﹣时，|+m|2有最小值，
∴|+m|的最小值是，
故选：C．
3．（5分）在△ABC中，tanA是以﹣4为第3项，﹣1为第7项的等差数列的公差，tanB是以为第3项，以4为第6项的等比数列的公比，则该三角形的形状为（）
A．钝角三角形B．锐角三角形
C．等腰直角三角形D．直角三角形
【解答】解：由题意可得，
tanA==，tanB==2，
故tan（A+B）==﹣，
∵0＜A+B＜π，
∴＜A+B＜π，
∴∠C＜；
又∵tanA＞0，tanB＞0，0＜A＜π，0＜B＜π，
∴0＜A＜，0＜B＜，
故△ABC为锐角三角形．
故选：B．
4．（5分）已知：
命题p：若函数f（x）=x2+|x﹣a|是偶函数，则a=0．
命题q：∀m∈（0，+∞），关于x的方程mx2﹣2x+1=0有解．
在①p∨q；②p∧q；③（￢p）∧q；④（￢p）∨（￢q）中为真命题的是（）A．②③B．②④C．③④D．①④
【解答】解：若函数f（x）=x2+|x﹣a|为偶函数，则（﹣x）2+|﹣x﹣a|=x2+|x﹣a|，即有|x+a|=|x﹣a|，易得a=0，故命题p为真；
当m＞0时，方程的判别式△=4﹣4m不恒大于等于零，
当m＞1时，△＜0，此时方程无实根，故命题q为假，
即p真q假，
故命题p∨q为真，p∧q为假，（￢p）∧q为假，（￢p）∨（￢q）为真．
综上可得真确命题为①④．
故选：D．
5．（5分）设a=20.3，b=0.32，c=log x（x2+0.3）（x＞1），则a，b，c的大小关系是
（）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a
【解答】解：∵a=20.3＜21=2且a=20.3＞20=1，
∴1＜a＜2，
又∵b=0.32＜0.30=1，
∵x＞1，∴c=log x（x2+0.3）＞log x x2=2，
∴c＞a＞b．
故选：B．
6．（5分）已知数列{a n}是等差数列，若a9+3a11＜0，a10•a11＜0，且数列{a n}的前n项和S n有最大值，那么当S n取得最小正值时，n=（）
A．20B．17C．19D．21
【解答】解：∵数列{a n}是等差数列，若a9+3a11＜0，设公差为d，则有4a1+38d ＜0，即2a1+19d＜0，
故有（a1+9d）+（a1+10d）=a10+a11＜0，且a1＜﹣9.5d．
再由前n项和S n有最大值，可得数列为递减数列，公差d＜0．
结合a10•a11＜0，可得a10 =a1+9d＞0，a11=a1+10d＜0，故﹣9d＜a1＜﹣10d．
综上可得﹣9d＜a1＜﹣9.5d．
令S n＞0，且S n
≤0，可得na1+＞0，且（n+1）a1+≤0．
+1
化简可得a1+d＞0，且a1+d≤0．即n＜﹣+1，且n≥﹣．
再由﹣9d＜a1＜﹣9.5d，可得18＜﹣＜19，∴19≤n≤19，∴n=19，
故选：C．
7．（5分）已知函数f（x）满足f（）+f（﹣x）=2x（x≠0），则f（﹣2）=（）A．B．C．D．
【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（）+f（﹣x）=2x（x≠0），
令x=2可得：f（）+f（﹣2）=4，①
令x=﹣可得：f（﹣2）﹣2f（）=﹣1，②
联立①②解可得：f（﹣2）=，
故选：C．
8．（5分）若f（x）=lg（x2﹣2ax+1+a）在区间（﹣∞，1]上递减，则a的取值范围为（）
A．[1，2）B．[1，2]C．[1，+∞）D．[2，+∞）
【解答】解：令u=x2﹣2ax+1+a，则f（u）=lgu，
配方得u=x2﹣2ax+1+a=（x﹣a）2 ﹣a2+a+1，故对称轴为x=a，如图所示：
由图象可知，当对称轴a≥1时，u=x2﹣2ax+1+a在区间（﹣∞，1]上单调递减，又真数x2﹣2ax+1+a＞0，二次函数u=x2﹣2ax+1+a在（﹣∞，1]上单调递减，
故只需当x=1时，若x2﹣2ax+1+a＞0，
则x∈（﹣∞，1]时，真数x2﹣2ax+1+a＞0，
代入x=1解得a＜2，所以a的取值范围是[1，2）
故选：A．
9．（5分）若把函数f（x）=sinωx的图象向左平移个单位，恰好与函数y=cosωx 的图象重合，则ω的值可能是（）
A．B．C．D．
【解答】解：把函数f（x）=sinωx的图象向左平移个单位，得到函数y=sinω（x+）=sin（ωx+ω）的图象．
而y=cosωx=cos（﹣ωx）=sin（+ωx），∴ω=+2kπ，k∈z．
观察所给的选项，只有ω=满足条件，
故选：D．
10．（5分）一给定函数y=f（x）的图象在下列图中，并且对任意a1∈（0，1），=f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＞a n，n∈N*，则该函数的图象由关系式a n
+1
是（）
A．B．
C．D．
=f（a n）＞a n知：f（x）的图象在y=x上方．
【解答】解：由a n
+1
故选：A．
11．（5分）已知定义在R上的函数f（x）在[1，+∞）上单调递减，且f（x+1）是偶函数，不等式f（m+2）≥f（x﹣1）对任意的x∈[﹣1，0]恒成立，则实数m的取值范围是（）
A．[﹣3，1]B．[﹣4，2]
C．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣4）∪[2，+∞）
【解答】解：根据题意，f（x+1）是偶函数，则f（﹣x+1）=f（x+1），所以f（x）的图象关于直线x=1对称，
又由函数f（x）在[1，+∞）上单调递减，
由f（m+2）≥f（x﹣1）可得|（m+2）﹣1|≤|（x﹣1）﹣1|，
即|m+1|≤|x﹣2|恒成立，
又由x∈[﹣1，0]，则2≤|x﹣2|≤3，
则有：|m+1|≤2，
解可得﹣3≤m≤1；即m的取值范围为[﹣3，1]；
故选：A．
12．（5分）已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣a有3
个零点，则实数a的取值范围是（）
A．（0，）B．（﹣1，）C．（﹣e2，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）【解答】解：∵f（x）=，
∴函数g（x）=f（x）﹣a有3个零点⇔方程f（x）=a有3个根⇔y=f（x）与y=a 有三个交点，
由f′（x）=得：
当x=﹣2时，函数f（x）取得极大值；
，
在同一坐标系中作出两函数的图象如下：
由图可知，当0＜a＜时，y=f（x）与y=a有三个交点，
即函数g（x）=f（x）﹣a有3个零点．
故选：A．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）已知平面向量，满足||=2，||=1，且|+|=|﹣|，则|﹣
|=．
【解答】解：∵|+|2==|﹣|2=，
∴，即．
∵|﹣|2==5，
∴|﹣|=．
故答案为：．
14．（5分）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮；现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．则f（n）的表达式为f（n）=2n2﹣2n+1．
【解答】解：根据前面四个发现规律：f（2）﹣f（1）=4×1，f（3）﹣f（2）=4×2，f（4）﹣f（3）=4×3，f（n）﹣f（n﹣1）=4（n﹣1）这n﹣1个式子相加可得：f（n）=2n2﹣2n+1．
故答案为：f（n）=2n2﹣2n+1．
15．（5分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（a ﹣b）（sinA+sinB）=（c﹣b）sinC，若，则b2+c2的取值范围是（5，6] ．【解答】解：∵（a﹣b）（sinA+sinB）=（c﹣b）sinC，由正弦定理可得：（a﹣b）（a+b）=（c﹣b）c，化为b2+c2﹣a2=bc．
由余弦定理可得：cosA===，
∴A为锐角，可得A=，
∵a=，
∴由正弦定理可得：===2，
∴可得：b2+c2=（2sinB）2+[2sin（﹣B）]2=3+2sin2B+sin2B=4+2sin（2B﹣），∵B∈（，），可得：2B﹣∈（，），
∴sin（2B﹣）∈（，1]，可得：b2+c2=4+2sin（2B﹣）∈（5，6]．
故答案为：（5，6]．
16．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，（x、y ∈R），f（1）=2，有下列命题：
①f（﹣2）=2，
②设g（x）=f（x）+f（﹣x），g（x）是偶函数，
③设h（x）=f（x+1）﹣f（x），h（x）是常函数，
④若x∈N*，则f（x）的值可组成等差数列．
其中正确命题有①②．（填所有正确命题序号）
【解答】解：对于①，当x=1，y=0时，∵f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，
∴f（1）=f（1）+f（0）+0，
∴f（0）=0；
当x=1，y=﹣1时，f（0）=f（1）+f（﹣1）﹣2=0，∴f（﹣1）=0；
当x=﹣1，y=﹣1时，f（﹣2）=f（﹣1）+f（﹣1）+2=2，∴①正确；
对于②，f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，
令y=﹣x，则f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）﹣2x2=0，
∴f（x）+f（﹣x）=2x2；
∴函数g（x）=f（x）+f（﹣x）是偶函数，②正确；
对于③，f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，
令y=1，则f（x+1）=f（x）+f（1）+2x=f（x）+2+2x，
∴f（x+1）﹣f（x）=2x+2，是一次函数，③错误；
对于④，计算f（1）=2，f（2）=f（1）+f（1）+2=6，f（3）=f（2）+f（1）+4=12，…，∴2f（2）≠f（1）+f（3），
∴x∈N*时，f（x）的值不能组成等差数列，④错误．
综上，正确的命题序号是①②．
故答案为：①②．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.）
17．（10分）设函数的定义域为集合A，函数的定义域为集合B，已知p：x∈A∩B；q：x满足2x+m＜0，且若p则q为真命题，求实数m的取值范围．
【解答】解：∵函数的定义域为集合A
∴A={x|x2﹣x﹣2≥0}={x|x≤﹣1或x≥2}，
∵函数的定义域为集合B
∴，
∴A∩B={x|2≤x＜3}
记
又∵若p则q为真命题，即p⇒q
∴A∩B⊆C
∴，即m≤﹣6
综上，实数m的取值范围为{m|m≤﹣6}
18．（12分）如图，边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是BC、DC的中点，G为BF、DE的交点，若，．
（1）试用，表示；
（2）求的值．
【解答】解：（1）由题意若，．
推出：=+=，
==﹣，
E、F分别是BC，DC的中点，G为B
F、DE的交点，
所以G为△BCD的重心，∴，
==．…（3分）
（2）若，．
==﹣，
=．
∴=
=
=
==2．…（6分）
19．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0
已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，
整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，
即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC
2cosCsinC=sinC
∴cosC=，
∴C=；
（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，
∴（a+b）2﹣3ab=7，
∵S=absinC=ab=，
∴ab=6，
∴（a+b）2﹣18=7，
∴a+b=5，
∴△ABC的周长为5+．
20．（12分）已知函数f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=4x+4．
（1）求a，b的值．
（2）讨论函数f（x）的单调区间，并求函数f（x）的极值．
【解答】解：（1）f′（x）=e x（ax+a+b）﹣2x﹣4，
由已知得f（0）=4，f′（0）=4．
故b=4，a+b=8，
∴a=4，b=4．
（2）由（1）知，f（x）=4e x（x+1）﹣x2﹣4x，
∴．
令f′（x）=0，得x=﹣ln2或x=﹣2，
从而当x∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣ln2，+∞）时，f′（x）＞0；
当x∈（﹣2，﹣ln2）时，f′（x）＜0；
故f（x）在（﹣∞，﹣2），（﹣ln2，+∞）上单调递增，在（﹣2，﹣ln2）上单调递减．
∴当x=﹣2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（﹣2）=4（1﹣e﹣2）．
x=﹣ln2时，函数f（x）取最小值，最小值是f（﹣ln2）=2+2ln2﹣ln22．21．（12分）已知数列{a n}是首项为a1=，公比q=的等比数列，设b n+2=3log
a n（n∈N*），数列{c n}满足c n=a n•
b n
（1）求证：{b n}是等差数列；
（2）求数列{c n}的前n项和S n．
【解答】解：（1）由题意知，
∵
∴
∴数列{b n}是首项b1=1，公差d=3的等差数列
（2）由（1）知，
∴
∴，
于是
两式相减得=
．
∴
22．（12分）已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x3+x2（f'（x）+）在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：×××…×＜（n≥2，n∈N*）．
【解答】解：（Ⅰ）（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a=0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）得a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+2x﹣3
∴，
∴g'（x）=3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=﹣2
∴
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴（10分）
（Ⅲ）令a=﹣1此时f（x）=﹣lnx+x﹣3，所以f（1）=﹣2，由（Ⅰ）知f（x）=﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴。