【沪科版】八年级数学上期中试题含答案(2)

一、选择题
1．如图，在ABC ∆中，90,30C B ∠=︒∠=︒，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交
,AB AC 于点M 和N ，再分别以,M N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，则下列结论不正确的是（ ）
A ．AD 是∠BAC 的平分线
B ．60AD
C ∠=︒ C ．点
D 在AB 的垂直平分线上 D ． : 1:3DAC ABD S S ∆∆=
2．如图，在ABC ∆中，90,30C B ︒︒∠=∠= ，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB AC 、于点M 和N ，再分别以M N 、为圆心，大于12
MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP ，并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD 是BAC ∠的平分线；②60ADC ︒∠=；③点D 在AB 的垂直平分线上﹔④若2AD =，则点D 到AB 的距离是1，:1:2DAC ABC S S ∆∆=
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
3．如图，在△ABC 中，∠C ＝84°，分别以点A ，B 为圆心，以大于12
AB 的长为半径画弧，两弧分别交于点M ，N ，作直线MN 交AC 于点D ；以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA ，BC 于点E ，F ，再分别以点E ，F 为圆心，大于12
EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ．若此时射线BP 恰好经过点D ，则∠A 的大小是（ ）
A ．30°
B ．32°
C ．36°
D ．42°
4．北京有许多高校，下面四所高校校徽主体图案是轴对称图形的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5．如图，在ABC 中，AD BC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，AD 与CE 交于点F ．请你添加一个适当的条件，使AEF ≌CEB △．下列添加的条件不正确的是（ ）
A ．EF E
B = B ．EA E
C = C ．AF CB =
D ．AF
E B ∠=∠ 6．下列命题中，真命题是（ ）
A ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
B ．有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等
C ．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等
D ．有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等
7．已知如图，AC ⊥BC ，DE ⊥AB ，AD 平分∠BAC ，下面结论错误的是（ ）
A ．BD +ED ＝BC
B ．DE 平分∠ADB
C ．A
D 平分∠EDC D ．ED +AC ＞AD 8．如图，AD 是ABC 的中线，
E ，
F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且DE DF =，连结BF ，CE ．下列说法：①CE BF =；②ACE △和CDE △面积相；③//BF CE ；④BDF CDE ≌．其中正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
9．将一副三角板和一张对边平行的纸条按图中方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含
30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则1∠的度数是（ ）
A ．10°
B ．15°
C ．20°
D ．25°
10．下列四组线段中，不可以构成三角形的是（ ）
A ．4，5，6
B ．1.5，2，2.5
C ．13，14，15
D ．1，2，3 11．下列长度的四根木棒，能与3cm ，7cm 长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ） A ．3cm B ．10cm C ．4cm D ．6cm
12．如图，小明从点A 出发沿直线前进9米到达点,B 向左转45后又沿直线前进9米到达点C ，再向左转45后沿直线前进9米到达点D ……照这样走下去，小明第一次回到出发点A 时所走的路程为（ ）
A ．72米
B ．80米
C ．100米
D ．64米
二、填空题
13．如图，在ABC 中，22A ∠=︒，D 为AB 边中点，E 为AC 边上一点，将ADE 沿着DE 翻折，得到A DE '，连接A B '．当A B A D ''=时，A EC '∠的度数为______．
14．如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝50°，D 为BC 的中点，点E 在AB 上，∠AED ＝70°，若点P 是等腰三角形ABC 的腰上的一点，则当DEP 是以∠EDP 为顶角的等腰三角形时，∠EDP 的度数是_____．
15．如图所示，ABC ≅△AB C ''，20CAC ∠'=︒，BAB ∠'=___度．
16．如图，线段AB ，CD 相交于点O ，AO=BO ，添加一个条件， 能使AOC BOD ≅，所添加的条件的是___________________________．
17．如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=40cm ，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，AD ：DC=5：3，则D 到AB 的距离为__________cm ．
18．如图是一块正多边形的碎瓷片，经测得30ACB ∠=︒，则这个正多边形的边数是_________．
19．如图，△ABC 的两条中线AD 、BE 相交于点G ，如果S △ABG ＝2，那么S △ABC ＝_____．
20．已知//AB CD ，点P 是平面内一点，若30,20BPD PBA ∠=︒∠=︒，则
CDP ∠=___________度．
三、解答题
21．如图，网格中小正方形的边长为1，
（1）画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1（其中A 1、B 1、C 1分别为A 、B 、C 的对应点）； （2）△ABC 的面积为 ；点B 到边AC 的距离为 ；
（3）在x 轴上是否存在一点M ，使得MA ＋MB 最小，若存在，请直接写出MA ＋MB 的最小值；若不存在，请说明原因
22．如图，ABC 中，,90,AB AC BAC =∠=︒点D 是直线AB 上的一动点(不和A B 、重合)，BE CD ⊥交CD 所在的直线于点,E 交直线AC 于F ．
()1点D 在边AB 上时，证明:AB FA BD =+；
()2点D 在AB 的延长线或反向延长线上时，()1中的结论是否成立?若成立，请给出证明；若不成立，请画出图形，并直接写出,,AB FA BD 三者之间数量关系．
23．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，点D 在边BC 上（不与点B ，C 重合），过
点C 作CE ⊥AD ，垂足为点E ，交AB 于点F ，连接DF ．
（1）请直接写出∠CAD 与∠BCF 的数量关系；
（2）若点D 是BC 中点，在图2中画出图形，猜想线段AD ，CF ，FD 之间的数量关系，并证明你的猜想．
24．如图，点E ，F 在线段BD 上，已知AF BD ⊥，CE BD ⊥，//AD CB ，DE BF =，求证：AF CE =．
25．如图1，△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，AE ⊥BC 于点E ．
（1）若∠C=80°，∠B=40°，求∠DAE 的度数；
（2）若∠C ＞∠B ，试说明∠DAE=12
(∠C-∠B)； （3）如图2，若将点A 在AD 上移动到A′处，A′E ⊥BC 于点E ．此时∠DAE 变成∠DA′E ，请直接回答：（2）中的结论还正确吗？
26．如图，△ABC 中，D 为AC 上一点，且∠ADB=∠ABC=α（0°＜α＜180°），∠ACB 的角平分线分别交BD 、BA 于点E 、F ．
（1）若α=90°，判断∠BEF 和∠BFE 的大小关系并说明理由；
（2）是否存在α，使∠BEF 大于∠BFE ？如果存在，求出α的范围，如果不存在，请说明理由．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据题意作图可知：AD 是BAC ∠的平分线，即可判断A ；先求得∠BAC=60︒，由AD 是BAC ∠的平分线，求得∠CAD=∠BAD=30B ∠=︒，即可得到60ADC ∠=︒，即可判断B ；过点D 作DE ⊥AB 于E ，根据∠BAD=30B ∠=︒，证得△ABD 是等腰三角形，得到AE=BE ，即可判断C ；由30CAD ∠=︒，可得12CD AD =
，由AD DB =，可得12DC DB =．可得::DAC ABD S
S CD DB =，由12CD DB =，可得:1:21:3DAC ABD S S =≠，即可判断
D ．
【详解】
解：根据作图方法可得AD 是BAC ∠的平分线，故A 正确；
∵90,30C B ∠=︒∠=︒，
∴60CAB ∠=︒．
∵AD 是BAC ∠的平分线，
∴30DAC DAB ∠=∠=︒．
∴60ADC ∠=︒．故B 正确；
过D 作DE ⊥AB
∵30,30B DAB ∠=︒∠=︒，
∴AD DB =．
∴AE=BE
∴点D 在AB 的垂直平分线上．故C 正确；
∵30CAD ∠=︒， ∴12
CD AD =
， ∵AD DB =，
∴12DC DB =． ∴12DAC CD AC S
⋅=，12ABD DB AC S ⋅=， ∴::DAC ABD S
S CD DB =， ∴12
CD DB =， ∴:1:21:3DAC ABD S S =≠，故D 错误．
故选择：D ．
【点睛】
本题考查角平分线的作图方法及性质应用，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理，熟练掌握各部分知识并综合应用是解题的关键．
2．B
解析：B
【分析】
先根据三角形内角和计算出∠BAC=60°，再利用基本作图对①进行判断；利用
∠BAD=∠CAD=30°得到∠ADC=60°，则可对②进行判断；利用∠B=∠BAD 得到DA=DB ，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断．利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式即可得出两个三角形的面积之比．
【详解】
解：由作法得，AD 平分∠BAC ，所以①正确；
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠CAD=12
×60°=30°， ∴∠ADC=90°-∠CAD=60°，所以②正确；
∵∠B=∠BAD ，
∴DA=DB ，
∴点D 在AB 的垂直平分线上，所以③正确；
在直角△ACD 中，∠CAD=30°，
∴CD=12
AD ，
∴BC=CD+BD=
12AD+AD=32AD ，1124DAC S AC CD AC AD ∆=⋅=⋅． ∴11332224
ABC S AC BC AC AD AC AD ∆=⋅=⋅=⋅， ∴13::1:344
DAC ABC S S AC AD AC AD ∆∆=
⋅⋅=，故④错误． 所以，正确的结论有3个
故选：B ．
【点睛】 本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题时需要熟悉等腰三角形的判定与性质．
3．B
解析：B
【分析】
根据题中作图知：DM 垂直平分AB ，BD 平分∠ABC ，利用三角形内角和定理计算即可．
【详解】
由题意得：DM 垂直平分AB ，BD 平分∠ABC ，
∵DM 垂直平分AB ，
∴AD=BD ，
∴∠A=∠ABD ，
∵BD 平分∠ABC ，
∴∠ABD=∠CBD ，
∵∠A+∠ABD+∠CBD+∠C=180︒，∠C ＝84°，
∴∠A=32︒，
故选：B ．
【点睛】
此题考查线段垂直平分线作图及性质，角平分线作图及性质，三角形的内角和定理，根据题意得到DM 垂直平分AB ，BD 平分∠ABC 是解题的关键．
4．B
解析：B
【分析】
根据轴对称图形的概念对各图案逐一进行判断即可得答案．
【详解】
第一个图案是轴对称图形，
第二个图案不是轴对称图形，
第三个图案是轴对称图形，
第四个图案不是轴对称图形，
综上所述：是轴对称图形的图案有2个，
故选：B ．
【点睛】
本题考查轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠，对称轴两边的图形能够完全重合；熟练掌握轴对称图形的定义是解题关键．
5．D
解析：D
【分析】
根据垂直关系，可以判断△AEF 与△CEB 有两对角相等，就只需要添加一对边相等就可以了．
【详解】
解：∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，
∴∠AEF=∠CEB=90°，∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠EAF+∠B=90°，∠BCE+∠B=90°，
∴∠EAF=∠BCE ．
A.在Rt △AEF 和Rt △CEB 中
AEF CEB EAF BCE EF EB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴AEF ≌CEB △（AAS ），故正确；
B.在Rt △AEF 和Rt △CEB 中 AEF CEB EA EC
EAF BCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴AEF ≌CEB △（ASA ），故正确；
C.在Rt △AEF 和Rt △CEB 中 AEF CEB EAF BCE AF CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴AEF ≌CEB △（AAS ），故正确；
D.在Rt △AEF 和Rt △CEB 中 由AEF CEB EAF BCE AFB B ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩
不能证明AEF ≌CEB △，故不正确；
故选D ．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．添加时注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
6．D
解析：D
【分析】
根据三角形全等的判定方法对A 、D 进行判断；利用三角形高的位置不同可对B 、C 进行判断．
【详解】
A 、有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，所以A 选项错误；
B 、有两边和第三边上的高对应相等的两个锐角三角形全等，所以B 选项错误；
C 、有两边和其中一边上的高对应相等的两个锐角三角形全等，所以C 选错误；
D 、有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，所以D 选项正确； 故选：D ．
【点睛】
本题考査了判断命题真假，以及全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定，仔细分类讨论是解题关键．
7．B
解析：B
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE ＝DC ，然后利用AAS 证明
△ACD ≌△AED ，再对各选项分析判断后利用排除法．
【详解】
解：∵AC ⊥BC ，DE ⊥AB ，AD 平分∠BAC ，
∴DE ＝DC ，
A 、BD +ED ＝BD +DC ＝BC ，故本选项正确；
在△ACD 与△AED 中，90DAC DAE ACD AED AD AD ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩
，
∴△ACD ≌△AED （AAS ），
∴∠ADC ＝∠ADE ，
∴AD 平分∠EDC ，故C 选项正确；
但∠ADE 与∠BDE 不一定相等，故B 选项错误；
D 、∵△ACD ≌△AED ，
∴AE ＝AC ，
∴ED +AC ＝ED +AE ＞AD （三角形任意两边之和大于第三边），故本选项正确．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等，证明
ACD AED △≌△是解题的关键．
8．C
解析：C
【分析】
根据“SAS”可证明△CDE≌△BDF，则可对④进行判断；利用全等三角形的性质可对①进行判断；由于AE和DE不能确定相等，则根据三角形面积公式可对②进行判断；根据全等三角形的性质得到∠ECD=∠FBD，则利用平行线的判定方法可对③进行判断；
【详解】
∵ AD是△ABC的中线，
∴ CD=BD，
∵ DE=DF，∠CDE=∠BDF，
∴△CDE≌△BDF(SAS)，所以④正确；
∴ CE=BF，所以①正确；
∵ AE与DE不能确定相等，
∴△ACE和△CDE面积不一定相等，所以②错误；
∵△CDE≌△BDF，
∴∠ECD=∠FBD，
∴BF∥CE，所以③正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
9．B
解析：B
【分析】
延长两三角板重合的边与直尺相交，根据两直线平行，内错角相等求出∠2，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【详解】
解：如图，由平行线的性质可得∠2=30°，
∠1=∠3-∠2=45°-30°=15°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质及三角形外角的性质，三角板的知识，熟记平行线的性质，三角板的度数是解题的关键．
10．D
解析：D
【分析】
计算较小两边的和，与最大的边比较，大于最大的边时三角形存在，依此判断即可.【详解】
∵4+5＞6，
∴能构成三角形；
∵1.5+2＞2.5，
∴能构成三角形；
∵1
4+
1
5
＞
1
3
，
∴能构成三角形；
∵
＜1+2=3，
∴不能构成三角形；
故选D.
【点睛】
本题考查了已知线段长判断三角形的存在，熟记三角形存在的条件是解题的关键. 11．D
解析：D
【分析】
根据三角形的三边关系解答．
【详解】
解：∵三角形的两边为3cm，7cm，
∴第三边长的取值范围为7-3＜x＜7+3，
即4＜x＜10，
只有D符合题意，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，要知道，三角形的两边之和大于第三边．
12．A
解析：A
【分析】
根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用360°除以45°求出边数，然后再乘以9米即可．
【详解】
解：∵小明每次都是沿直线前进9米后向左转45度，
∴他走过的图形是正多边形，
∴边数n=360°÷45°=8，
∴他第一次回到出发点A时，一共走了8×9=72（m）．
故选：A．
【点睛】
本题考查了正多边形的边数的求法，多边形的外角和为360°；根据题意判断出小明走过的
图形是正多边形是解题的关键．
二、填空题
13．【分析】根据折叠的性质可得根据及折叠的性质可得为等边三角形再根据三角形的外角性质求解即可【详解】在中将沿着翻折交于点得到如图；∴∴∵为边中点∴为等边三角形∴∴∵即∴故答案为：【点睛】本题考查了全等三 解析：16
【分析】
根据折叠的性质可得AED A ED '≅，根据A B A D ''=及折叠的性质可得
A BD '为等边
三角形，再根据三角形的外角性质求解即可
【详解】
在ABC 中，22A ∠=︒，将ADE 沿着DE 翻折，A D '交AC 于点F ,得到A DE '，如图；
∴
AED A ED '≅ ∴1=,222
AD A D AB EA D A ''===∠∠, ∵A B A D ''=，D 为AB 边中点，
∴A B A D DB ''==,A BD '为等边三角形， ∴=60A DB '∠，
∴60A AFD +=∠∠，
∵=AFD EA D A EC ''+∠∠∠
即()60A EA D A EC ''++=∠∠∠
∴=16A EC '∠.
故答案为：16
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质等知识点，解题的关键是根据折叠找到对应的边角关系
14．40°或100°或140°【分析】根据△DEP 是以∠EDP 为顶角的等腰三角形可知DP ＝DE 所以可以分两种情况考虑:①点P 在AB 上；②点P 在AC 上分别画出符合条件的图形根据等腰三角形的性质和全等三角形
解析：40°或100°或140°
【分析】
根据△DEP 是以∠EDP 为顶角的等腰三角形，可知DP ＝ DE ，所以可以分两种情况考虑: ①点P 在AB 上；②点P 在AC 上．分别画出符合条件的图形，根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理解答即可．
【详解】
解：∵AB ＝AC ，∠B ＝50°，∠AED ＝70°，
∴∠EDB ＝20°，
∵当△DEP 是以∠EDP 为顶角的等腰三角形，
∴DP ＝ DE ，
①如图，当点P 在AB 上时，记为P 1，
∵DE ＝DP 1，
∴∠DP 1E ＝∠AED ＝70°，
∴∠EDP 1＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
②如图，当点P 在AC 上时，有两个点P 2、 P 3符合条件，
∵AB ＝AC ，D 为BC 的中点，
∴∠BAD ＝∠CAD ，
过D 作DG ⊥AB 于G ，DH ⊥AC 于H ，
∴DG ＝DH ，
在Rt △DEG 与Rt △DP 2H 中，
2DE DP DG DH =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △DEG ≌Rt △DP 2H （HL ），
∴∠AP 2D ＝∠AED ＝70°，
∵∠BAC ＝180°﹣50°﹣50°=80°，
∴∠EDP 2＝140°，
同理证得Rt △DEG ≌Rt △D P 3H （HL ），
∴∠EDG ＝∠P 3DH ，
∴∠EDP 3＝∠GDH ＝100°，
故答案为：40°或100°或140°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论画出符合条件的图形是解题的关键．
15．20【分析】根据△得到由此推出得到答案【详解】解：△∴；∵∴故答案
为：20【点睛】此题考查全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等熟记性质定理是解题的关键
解析：20
【分析】
根据ABC ≅△AB C ''得到CAB C AB ∠=∠''，由此推出CAC C AB BAB C AB ''∠'+∠=∠'+∠得到答案．
【详解】
解：ABC ∆≅△AB C ''，
∴CAB C AB ∠=∠''；
∵CAC C AB CAB '∠'+∠=∠，BAB C AB C AB '∠'+∠=∠''，
∴CAC C AB BAB C AB ''∠'+∠=∠'+∠，
20CAC BAB ∴∠'=∠'=︒．
故答案为：20．
【点睛】
此题考查全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，熟记性质定理是解题的关键． 16．或或或【分析】先根据对顶角相等可得再根据三角形全等的判定定理即可得【详解】由对顶角相等得：当时由定理可证当时由定理可证当时由定理可证当时则由定理可证故答案为：或或或【点睛】本题考查了对顶角相等三角形 解析：CO DO =或A B ∠=∠或C D ∠=∠或//AC BD
【分析】
先根据对顶角相等可得AOC BOD ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理即可得．
【详解】
由对顶角相等得：AOC BOD ∠=∠，
AO BO =，
∴当CO DO =时，由SAS 定理可证AOC BOD ≅，
当A B ∠=∠时，由ASA 定理可证AOC BOD ≅，
当C D ∠=∠时，由AAS 定理可证AOC BOD ≅，
当//AC BD 时，则A B ∠=∠，由ASA 定理可证AOC BOD ≅，
故答案为：CO DO =或A B ∠=∠或C D ∠=∠或//AC BD ．
【点睛】
本题考查了对顶角相等、三角形全等的判定定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．
17．15【分析】根据角平分线的性质可得DE=DC 然后求出DC 即得答案【详解】解：∵AC=40cmAD ：DC=5：3∴DC=15cm ∵BD 平分
∠ABCDE ⊥AB ∠C=90°∴DE=DC=15cm 即D 到AB
解析：15
【分析】
根据角平分线的性质可得DE=DC ，然后求出DC 即得答案．
【详解】
解：∵AC=40cm ，AD ：DC=5：3，
∴DC=15cm ，
∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB ，∠C=90°，
∴DE=DC=15cm ，即D 到AB 的距离为15cm ．
故答案为：15．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，属于基础题目，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键． 18．12【分析】根据瓷片为正多边形及可知正多边形的外角为进而可求得正多边形的边数【详解】如图延长BC 可知∠1为正多边形的外角∵瓷片为正多边形∴AD=DB=BC ∠ADB=∠DBC ∴四边形ACBD 为等腰梯形
解析：12
【分析】
根据瓷片为正多边形及=30ACB ∠︒，可知正多边形的外角为30︒，进而可求得正多边形的边数．
【详解】
如图，延长BC ，可知∠1为正多边形的外角，
∵瓷片为正多边形，
∴AD=DB=BC ，∠ADB=∠DBC ，
∴四边形ACBD 为等腰梯形，
∴BD ∥AC ，
∴∠1==30ACB ∠︒，
∴正多边形的边数为：
360=1230︒︒
， 故答案为：12．
【点睛】
本题考查正多边形的外角和，掌握相关知识点是解题的关键． 19．6【分析】根据DE 分别是三角形的中点得出G 是三角形的重心再利用重心的概念可得：2GD ＝AG 进而得到S △ABG ：S △ABD ＝2：3再根据AD 是△ABC 的中线可得S △ABC ＝2S △ABD 进而得到答案【详
解析：6
【分析】
根据D，E分别是三角形的中点，得出G是三角形的重心，再利用重心的概念可得：2GD＝AG进而得到S△ABG：S△ABD＝2：3，再根据AD是△ABC的中线可得S△ABC＝2S△ABD进而得到答案．
【详解】
解：∵△ABC的两条中线AD、BE相交于点G，
∴2GD＝AG，
∵S△ABG＝2，
∴S△ABD＝3，
∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABC＝2S△ABD＝6．
故答案为：6．
【点睛】
此题主要考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的两倍．
20．10或50【分析】分点P在AB的上方点P在AB与CD的中间点P在CD的下方三种情况再分别根据平行线的性质三角形的外角性质求解即可得【详解】由题意分以下三种情况：（1）如图点P在AB的上方；（2）如图
解析：10或50
【分析】
分点P在AB的上方、点P在AB与CD的中间、点P在CD的下方三种情况，再分别根据平行线的性质、三角形的外角性质求解即可得．
【详解】
由题意，分以下三种情况：
（1）如图，点P在AB的上方，
30,20
∠=︒∠=︒，
BPD PBA
BPD PBA
∴∠=∠+∠=︒，
150
AB CD，
//
∴∠=∠=︒；
150
CDP
（2）如图，点P在AB与CD的中间，
延长BP，交CD于点E，
∠=︒，
//,20
AB CD PBA
∴∠=∠=︒，
20
BED PBA
∠=︒，
30
BPD
10CDP BPD BED ∴∠=∠-∠=︒；
（3）如图，点P 在CD 的下方，
//,20AB CD PBA ∠=︒，
120PBA ∴∠=∠=︒，
30BPD ∠=︒，
13030CDP BPD CDP ∴∠=∠+∠=∠+︒>︒与120∠=︒不符，
即点P 不可能在CD 的下方；
综上，10CDP ∠=︒或50CDP ∠=︒，
故答案为：10或50．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质，依据题意，正确分三种情况讨论是解题关键．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）
112，113434
；（317 【分析】
（1）根据对称点的坐标规律，关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，找出对称点，顺次连接即可；
（2）利用△ABC 所在矩形面积减去周围三角形面积，计算后即可得出答案，点B 到边AC 的距离即为△ABC 的AC 边上的高，利用勾股定理求得AC 的长，再根据已求得的△ABC 的面积从而求解结果；
（3）根据两点之间线段最短，利用轴对称的性质先作点A 关于x 轴的对称点A ＇，连接A ＇B 与x 轴相交于点M ，此时MA ＋MB 最小，且最小值为线段A ＇B 的长度，利用勾股定理计算即可．
【详解】
解：（1）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求．
（2）S △ABC ＝11111451235342222
⨯-
⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=． 设点B 到边AC 的距离为h ，
∵网格中小正方形的边长为1， ∴AC ＝223534+=，
∵11122ABC S
h AC ==， 即1113422
h =， 解得1134h =
． 故答案为：112，1134． （3）如图，在x 轴上存在一点M ，使得MA ＋MB 最小，
作点A 关于x 轴的对称点A ＇，连接A ＇B 与x 轴相交于一点，此交点即为点M ，由两点之间线段最短可得，此时MA ＋MB 最小．
根据轴对称的性质可得：MA ＝MA ＇，
∴22'4117MA MB A B +==+=．
【点睛】
此题考查了轴对称变换、三角形面积的计算等知识，掌握轴对称与坐标变换并根据题意得出对应点位置是解题关键．
22．（1）证明见解析；（2）结论不成立．图见解析，三者关系为AF AB BD +＝或,BD AB AF +＝
【分析】
（1）易证∠FBA=∠FCE ，结合条件容易证到△FAB ≌△DAC ，从而有FA=DA ，就可得到AB=AD+BD=FA+BD ．
（2）如图2中，当D 在AB 延长线上时，AF=AB+BD ．如图3中，当D 在AB 反向延长线上时，BD=AB+AF ．证明方法类似（1）． 【详解】
解：（1）证明：如图1，
∵BE ⊥CD ，即∠BEC=90°，∠BAC=90°，
∴∠F+∠FBA=90°，∠F+∠FCE=90°．
∴∠FBA=∠FCE ．
∵∠FAB=180°-∠DAC=90°，
∴∠FAB=∠DAC ．
∵AB=AC ，
∴△FAB ≌△DAC ．
∴FA=DA ．
∴AB=AD+BD=FA+BD ．
（2）如图2，当D 在AB 延长线上时，AF=AB+BD ，
理由是：∵BE ⊥CD 即∠BEC=90°，∠BAC=∠BAF=90°
∴∠F+∠FBA=90°，∠F+∠FCE=90°
∴∠FBA=∠FCE ，
∴∠FAB=∠DAC
在△FAB 和△DAC 中，
FAB DAC AB AC
FBA DCA ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝ ∴△FAB ≌△DAC （ASA ），
∴FA=DA ，
∴AF=AD=BD+AB ．
如图3，当D 在AB 反向延长线上时，BD=AB+AF ，
理由是：∵BE ⊥CD 即∠BEC=90°，∠BAC=∠CAD=90°
∴∠AFB+∠FBA=90°，∠EFC+∠FCE=90°，
∵∠AFB=∠EFC ，
∴∠FBA=∠FCE ，
在△FAB 和△DAC 中，
90FAB DAC AB AC
FBA DCA ∠∠=︒⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝ ∴△FAB ≌△DAC （ASA ），
∴AF=AD ，
∴BD=AB+AD=AB+AF ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，当条件没有改变仅仅是图形的位置发生变化时，常常可以通过借鉴已有的解题经验来解决问题．
23．（1）∠BCF ＝∠CAD ；（2）AD ＝CF +DF ，证明见解析
【分析】
（1）由余角的性质可求解；
（2）过点B 作BG ∥AC 交CF 的延长线于G ，由“ASA ”可证△ACD ≌△CBG ，可得CD ＝BG ，AD ＝CG ，由“SAS ”可证△BDF ≌△BGF ，可得DF ＝GF ，可得结论．
【详解】
解：（1）∠BCF ＝∠CAD ，
理由如下：∵CE ⊥AD ，
∴∠CAD +∠ADC ＝90°＝∠ADC +∠BCF ，
∴∠CAD ＝∠BCF ；
（2）如图所示：
猜想：AD ＝CF +DF ，
理由如下：过点B 作BG ∥AC 交CF 的延长线于G ，
则∠ACB +∠CBG ＝180°，
∴∠CBG ＝∠ACD ＝90°，
在△ACD 和△CBG 中，
∵CAD BCF AC BC ACD CBG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴△ACD ≌△CBG （ASA ），
∴CD ＝BG ，AD ＝CG ，
∵D 是BC 的中点，
∴CD ＝BG ＝BD ，
∵AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，
∴∠CBA ＝∠CAB ，
∴∠CBA ＝45°，
∴∠FBG ＝∠CBG ﹣∠CBA ＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FBG ＝∠FBD ，
在△BDF 和△BGF 中，
BF BF FBD FBG BD BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BDF ≌△BGF （SAS ），
∴DF ＝GF ，
∵AD ＝CG ＝CF +FG ，
∴AD ＝CF +DF ．
【点睛】
本题主要考查余角的性质，全等三角形的判定和性质，添加合适的辅助线，构造全等三角
形，是解题的关键．
24．见解析
【分析】
根据ASA 定理证明三角形全等，从而利用全等三角形的性质求解．
【详解】
证明：∵DE=BF ，
∴DE+EF=BF+EF ；
∴DF=BE ；
∵AF BD ⊥，CE BD ⊥
∴∠AFD=∠CEB=90°
∵//AD CB
∴∠B=∠D
在Rt △ADF 和Rt △BCE 中B D DF BE AFD CEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴Rt △ADF ≌Rt △BCE
∴AF CE =
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定及性质；由DE=BF 通过等式的性质得DF=BE 在三角形全等的证明中经常用到，应注意掌握应用．
25．（1）∠DAE=15°；（2）见解析；（3）正确．
【分析】
（1）先根据三角形内角和定理求出∠BAC 的度数，再根据角平分线的定义求得∠BAD 的度数，在△ABE 中，利用直角三角形的性质求出∠BAE 的度数，从而可得∠DAE 的度数． （2）结合第（1）小题的计算过程进行证明即可．
（3）利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和先用∠B 和∠C 表示出∠A′DE ，再根据三角形的内角和定理可证明∠DA′E=
12(∠C-∠B)． 【详解】
（1）∵∠C=80°，∠B=40°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C =180°-40°-80°=60°，
∵AD 是∠BAC 的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD=
12
∠BAC=30°， ∵AE ⊥BC ，
∴∠AEC=90°，
∴∠BAE=50°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD =20°；
（2）理由：∵AD 是∠BAC 的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD=1
2∠BAC=1
2
(180°-∠B-∠C)= 90°-
1
2
∠B-1
2
∠C，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴∠BAE=90°-∠B，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD
=(90°-∠B) -(90°-1
2
∠B-1
2
∠C )
=1
2
∠C-1
2
∠B
=1
2
(∠C-∠B)；
（3）（2）中的结论仍正确．
∵∠A′DE=∠B+∠BAD=∠B+1
2∠BAC=∠B+1
2
(180°-∠B-∠C) = 90°+
1
2
∠B-1
2
∠C；
在△DA′E中，
∠DA′E=180°-∠A′ED-∠A′DE
=180°-90°-(90°+1
2
∠B-1
2
∠C)
=1
2
(∠C-∠B)．
【点睛】
本题考查了三角形的角平分线和高，三角形的内角和定理，三角形的外角性质等知识，注意综合运用三角形的有关概念是解题关键．
26．（1）∠BEF=∠BFE，理由见解析；（2）存在，90°＜α＜180°
【分析】
（1）根据余角的定义得到∠DCE+∠DEC=90°，∠BCF+∠BFC=90°，根据角平分线的定义得到∠DCE=∠BCF，等量代换得到∠BEF=∠BFC，于是得到∠BEF=∠BFE；
（2）根据角的和差和三角形的内角和定理即可得到结论．
【详解】
（1）∠BEF=∠BFE；
理由：∵∠ADB=∠ABC=90°，
∴∠DCE+∠DEC=90°，∠BCF+∠BFC=90°，
∵CF平分∠ACB，
∴∠DCE=∠BCF，
∴∠DEC=∠BFC，
∵∠DEC=∠BEF，
∴∠BEF=∠BFC，
即∠BEF=∠BFE；
（2）∵∠BEF=∠EBC+∠ECB，∠BFE=∠A+∠ACF，∠ECB=∠ACF，
∴∠BEF-∠BFE=(∠EBC+∠ECB)-(∠A+∠ACF)=∠EBC-∠A，
∵∠EBC=∠ABC-∠ABD=α-∠ABD，∠A=180°-∠ADB-∠ABD=180°-α-∠ABD，
∴∠BEF-∠BFE=（α-∠ABD）-（180°-α-∠ABD）=2α-180°，
若∠BEF＞∠BFE，
则∠BEF﹣∠BFE＞0，即2α﹣180°＞0，
∴α＞90°，
∴90°＜α＜180°．
【点评】
本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，余角的性质，正确的理解题意是解题的关键．。