湖南省益阳市箴言中学高三数学下学期期中(11月)试题文

2017年下学期期中考试高三数学（文科）试卷
满分：150分 时量：120分钟
一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分．） 1.已知复数z 的共轭复数13i(i z =+为虚数单位），则
1i
z
+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知R 是实数集，集合{
1A x x =-≤或}1x ≥，集合{}01B x x =<<，则()
A B =R I ð（）
A ．(][),01,-∞+∞U
B ．()0,1
C ．(]0,1
D ．[]1,1-
3．为检验某校高一年级学生的身高情况，现采用先分层抽样后简单随机抽样的方法，抽取一个容量为300的样本，已知每个学生被抽取的概率为0.25，且男女生的比例是3:2，则该校高一年级男生的人数是（ ）
A ．600
B ．1200
C ．720
D ．900 4．在等比数列{}n a 中，1344a a a ==，则6a =（ ）
A ．6
B ．8±
C ．8-
D ．8
5．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色
部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取
自黑色部分的概率是（ ） A ．
14
B ．
π8 C ．1
2 D ．π
4
6．空间中有不重合的平面α，β，γ和直线a ，b ，c ，则下列四个命题中正确的有（ ）
1p ：若αβ⊥且αγ⊥，则βγ∥； 2p ：若a b ⊥且a c ⊥，则b c ∥；
3p ：若a α⊥且b α⊥，则a b ∥； 4p ：若
a α⊥，
b β⊥且αβ⊥，则a b ⊥.
A ．1p ，2p
B ．2p ，3p
C ．1p ，
3p D ．3p ，4p
7．《九章算术》中介绍了一种“更相减损术”，用于求
两个正整数的最大公约数，将该方法用算法流程图表示如下，若输入20a =，8b =，则输出的结果为（ ） A ．4a =，3i = B ．4a =，4i = C ．2a =，3i = D ．2a =，4i =
8
体的体积为（ ） A ．16 B ．163 C ．8
3
D ．8
9．变量x ，y 满足22221x y x y y x +⎧⎪
--⎨⎪-⎩
≤≥≥，则3z y x =-的取值范围（ ）
A ．[]1,2
B ．[]2,5
C ．[]2,6
D ．[]1,6
10．已知函数()()e x
f x x a =+的图象在1x =和1x =-处的切线相互垂直，则a =（ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
11．过抛物线2
2y px =（0p >）的焦点作一条斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点向
y 轴引垂线交y 轴于D ，C ，若梯形ABCD
的面积为p =（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 12．若对于任意的120x x a <<<，都有
2112
12
ln ln 1x x x x x x ->-，则a 的最大值为（ ）
A ．2e
B ．e
C ．1
D ．12
二、填空题（每小题5分，满分20分）
13．已知向量(3,4)a =，(,1)b x =，若()a b a -⊥，则实数x 等于 ． 14．已知圆O ：2
2
1x y +=，点125,1313A ⎛⎫
⎪⎝⎭，34,55B ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，记射线OA 与x 轴正半轴所夹的锐角为α，将点B 绕圆心O 逆时针旋转α角度得到点C ，则点C 的坐标为 ．
15．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知5610a a +=-，1414S =-，则当0n S =时，
n = ．
16．以双曲线22
221x y a b
-=的两焦点为直径作圆，且该圆在x 轴上方交双曲线于A ，B 两点；
再以线段AB 为直径作圆，且该圆恰好经过双曲线的两个顶点，则双曲线的离心率为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC ∆的外接圆半径为R ，且满足2
sin 3
R a A =. （1）求角A 的大小；
（2）若2a =，求ABC ∆周长的最大值.
18．（本小题满分12分）
在下图所示的几何体中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，//EC PD ，且
22PD AD EC ===，N 为线段PB 的中点．
（Ⅰ）证明：NE PD ⊥；
（Ⅱ）求四棱锥B CEPD -的体积B CEPD V -．
19．(本小题满分12分)
某学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月11日至3月15月的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，日均不小于25”的概率；
（2），请根据3月12日至3月14日的三组数据，求出y 关于x 的线性回归方程a x b y ˆˆˆ+=； （3），若由线性回归方程得到的估计数据与所需要检验的数据误差均不超过2颗，则认为
得到的线性回归方程是可靠的，试用3月11日与3月15日的两组数据检验，问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？
（参考公式：()()
()
1
2
1
b i n
i
i
i i n
i
i x x y y x x ====-⋅-=
-∑∑或2
1
21
ˆx
n x
y
x n y
x b
n
i i
n
i i
i --=∑∑==，x b y a -=ˆ）
20．（本小题满分12分）椭圆22
221x y a b +=（0a b >>）的上下左右四个顶点分别为A ，B ，
C ，
D ，x 轴正半轴上的某点P 满足2PA PD ==，4PC =.
（1）求椭圆的标准方程以及点P 的坐标；
（2）过点C 作倾斜角为锐角的直线1l 交椭圆于点Q ，过点P 作直线2l 交椭圆于点M ，N ，且12l l ∥，是否存在这样的直线1l ，2l 使得CDQ ∆，MNA ∆，MND ∆的面积相等？若存在，请求出直线的斜率；若不存在，请说明理由.
21．（本小题满分12分）已知函数()2ln f x x ax x =+-. （1）若()f x 同时存在极大值和极小值，求a 的取值范围； （2）设11
168
a <≤，若函数()f x 的极大值和极小值分别为M ，N ，求M N +的取值范围.
选考题：（共10分）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,
sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方
程为4,
1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩
（为参数）.
（1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；
（2）若C 上的点到l
a.
23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x a x =+++. （1）当1a =-时，求()f x 的最小值；
（2）若()f x 在[]1,1-上的最大值为2a ，求a 的值.
数学（文科）参考答案
一、选择题
1-5:CBCDB 6-10:DACDA 11、12：AC 二、填空题
13．2 14．5633,6565⎛⎫
- ⎪⎝⎭
15．15 16三、解答题
17．解：（1）由正弦定理，得2sin a
R A
=， 再结合2sin 3R a A =，得
2
sin 2sin 3a a A A =， 解得2
3sin 4A =，由ABC ∆为锐角三角形，得3
A π=.
（2）由2a =、3
A π
=
及余弦定理，得22
42cos
3
b c bc π
=+-，
即()2
43b c bc +=+，
结合2
2b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，得()2
2432b c b c +⎛⎫
+≤+⨯ ⎪⎝⎭
，
解得4b c +≤（当且仅当b c =时取等号），
所以2246a b c b c ++=++≤+=（当且仅当b c =时取等号），
故当ABC ∆为正三角形时，ABC ∆周长的最大值为6. 18．解：（Ⅰ）连接AC ，BD ．令AC 交BD 于F ．连接NF
∵四边形ABCD 是正方形，∴F 为BD 的中点． ∵N 为PB 的中点．∴//NF PD 且1
2
NF PD =． 又∵EC ∥PD 且1
2
EC PD =
，
∴NF ∥EC 且NF =EC ． ∴四边形NFCE 为平行四边形． ∴NE ∥FC ，即NE ∥AC ．……………4分
又∵PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥AC ． ∴NE ⊥PD ． …………………6分
（Ⅱ）∵PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PDCE ，∴平面PDCE ⊥平面ABCD ．
∵BC ⊥CD ，平面PDCE ∩平面ABCD =CD ，且BC ⊂平面ABCD ， ∴BC ⊥平面PDCE ．∴BC 是四棱锥B －PDCE 的高． ……9分
∵22PD AD EC ===，四边形ABCD 是正方形，∴BC =CD =2，EC =1
∵11
=
()(21)2322
PDCE S PD EC DC +⋅=⨯+⨯=梯形， ∴四棱锥B －CEPD 的体积11
32233
B CEPD PDCE V S B
C -=⋅=⨯⨯=梯形． ...12分
19．解：1）n m ,的所有取值情况有（23，25），（23，30），（23，26），（23，16），（25，30），（25，26），（25，16），（30，26），（30，16），（26，16），共有10个…………………2分 设“n m ,均不小于25”为事件A ，则包含的基本事件有（25，30），（25，26），（30，26）
所以103)(=A P ，故事件A 的概率为103
………………………4分
（1）由数据得27,12x ==y ，9723=y x ，
9773
1
=∑
=i i i y x ，
4343
1
2=∑
=i i x ，43232
=x
………………6分
由公式，得25432434972977ˆ=--=b
，3122
527ˆ-=⨯-=a 所以y 关于x 的线性回归方程为32
5
ˆ-=x y ……………………………8分 （3）当10=x 时，22ˆ=y
，|22-23|2<，当8=x 时，,17ˆ=y |17-16|2< 所以得到的线性回归方程是可靠的。

……………………………12分
20．解：（1）设点P 的坐标为()0,0x （00x >），易知224a =+，3a =，
041x a =-=，b ==. 因此椭圆标准方程为22
193
x y +=，P 点坐标为()1,0. （2）设直线的斜率为()0k k >，()00,Q x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，
则1l ：()3y k x =+，2l ：()1y k x =-
MNA ∆、MND ∆的面积相等，则点A ，D 到直线2l 的距离相等.
=
k =
k =（舍）.
当k =2l
的方程可化为：1x =
+，代入椭圆方程并整理得：
25120y -=
，所以1212125y y y y ⎧+=⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
所以
125
y y -=
=
； 所以MND ∆
的面积为
1211222PD y y ⋅-=⨯
=
. 当k =1
l 的方程可化为：3x =
-，代入椭圆方程并整理得： 250y -
=，解之得0y =
或00y =（舍） 所以CDQ
∆
的面积为
16255
⨯⨯=. 所以CDQ MND S S ∆∆=，满足题意.
21．解：（1）由()2
ln f x x ax x =+-（0x >），得()221
ax x f x x
-+'=.
依题意，得方程2
210ax x -+=有两个不等的正根，设为1x ，2x ，
那么121210,210,2180,x x a x x a a ⎧
+=>⎪⎪
⎪
=>⎨⎪
∆=->⎪⎪⎩
，解得108a <<， 故a 的取值范围是10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
（2）由（1）知，12121,21.
2x x a
x x a ⎧
+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
令12t a =，由
11168a ≤<，得(]4,8t ∈. ()()12M N f x f x +=+=()()2
121212ln 2x x a x x x x ⎡⎤++--⎣⎦()12ln 12
t x x t +=--.
令()ln 12t g t t =--，(]4,8t ∈，则()112022t
g t t t
-'=-=
<， 从而()g t 在(]4,8上单调递减，而()42ln 23g =-，()83ln 25g =-， 因此，()[)3ln 25,2ln 23g t ∈--. 22
．
d =
.
当4a ≥-时，d
=8a =； 当4a <-时，d
.
=16a =-. 综上，8a =或16a =-.
23．解：（1）当1a =-时，()211f x x x =-++. 当1x ≤-时，()3f x x =-；
当1
12
x -<≤时，()2f x x =-； 当1
2
x >
时，()3f x x =. 由单调性知，()f x 的最小值为1322
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （2）令20x a +=，得2
a
x =-；令10x +=，得1x =-. ①当12
a
-
≤-，即2a ≥时，()31f x x a =++，[]1,1x ∈-， 最大值为()142f a a =+=，解得4a =.
②当112a -<-≤，即22a -≤<时，()1,1,,231,,1.
2a x a x f x a x a x ⎧⎡⎤--+∈--⎪⎢⎥⎪⎣⎦
=⎨⎛⎤⎪++∈- ⎥⎪⎝⎦⎩
其最大值在区间两个端点处取得. 若()122f a a -=-=，解得23a =
，此时()()144
1133
f f =
>-=，舍去； 若()142f a a =+=，解得4a =，舍去；
③当12
a
->，即2a <-时，()1f x x a =--+，[]1,1x ∈-， 最大值为()122f a a -=-=，解得2
3
a =，舍去.
综上所述，4a =.。