最新精选2019高中数学单元测试《立体几何初步》专题完整考试题(含答案)

2019年高中数学单元测试卷
立体几何初步
学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
一、选择题
1．如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足：l ＝β∩γ，l ∥α，m ⊂α和m ⊥γ，那么必有（ ） A ．α⊥γ且l ⊥m B ．α⊥γ且m ∥βC ．m ∥β且l ⊥m
D ．α∥β且α⊥γ
（1996全国文7理5）
2．设m 、n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若，，则 ②若，，，则
③若，，则 ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ
其中正确命题的序号是 A ①和② B ②和③ C ③和④
D ①和
④
3．已知a b c 、、是直线，α是平面，b 、c ≠⊂α，则“⊥a 平面α”是“b a ⊥且
c a ⊥”
的…………………………………………………………………………………………（ ） A ．充要条件． B ．充分非必要条件． C ．必要非充分条件． D ．非充分非必要条件．
二、填空题
4．已知直线//a α平面，直线b α⊥平面，则,a b 的位置关系是___▲___.（选填“平行”、“垂直”、“异面”）
5．下列结论中，正确的是____________（填序号）（其中,,a b c 为直线，α为平面） (1）,a b c a c b ⊥⇒⊥；（2）,a c b c a b ⊥⊥⇒；（3）,a b a b αα⊥⊥⇒；（4）两两相交的三条直线必共面；（5）若空间四点不共面，则其中无三点共线；（6）若两平面有三个公共点，则两平面重合。

6．两条异面直线在一个平面内的射影可能是____________________
7．已知m 、n
是两条不同直线，α、β是两个不同平面，有下列4个命题： ① 若//,m n n α⊂，则m ∥α； ② 若,,m n m n αα⊥⊥⊄，则//n α； ③ 若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥；
④ 若m n 、是异面直线，,,//m n m αββ⊂⊂，则//n α. 其中正确的命题序号是
8．某圆锥体的侧面展开图是半圆，当侧面积是32π时，则该圆锥体的体积是 ．
9．正三棱锥ABC P -高为2，侧棱与底面成0
45角，则点A 到侧面PBC 的距离是
10．正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为________． 解析：如右图所示，正棱锥S －ABCD 中高OS ＝3，侧棱SA ＝SB ＝SC
＝SD ＝7，在Rt △SOA 中，OA ＝SA 2－OS 2＝2，∴AC ＝4. ∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2 2.
作OE ⊥AB 于E ，则E 为AB 中点．连接SE ，则SE 即为斜高，则 SO ⊥OE .
在Rt △SOE 中，∵OE ＝1
2BC ＝2，SO ＝3，∴SE ＝5，即侧面上的斜高为 5.
11．如图所示，已知E 、F 分别为正四面体ABCD 所在棱的中点，则 异面直线AC 与EF 所成的角为________．
解析：取BC 中点G ，连结EG ，FG ，则∠GEF 为异面直线所成 角，
∵EG ＝12AC ＝1
2BD ＝GF ，又可证AC ⊥BD ，∴∠EGF ＝90°，则
∠GEF ＝45°.
12．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列命
题：
①若m ∥β，n ∥β，m 、n ⊂α，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m ，n ⊂γ，则m ⊥n ； ③若m ⊥α，α⊥β，m ∥n ，则n ∥β； ④若n ∥α，n ∥β，α∩β＝m ，那么m ∥n ；其中所有正确命题的序号是 ．
13．一块边长为10 cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P 为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器．当x ＝6 cm 时，该容器的容积为________cm 3．
14．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的 中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为
15．有一个各条棱长均为a 的正四棱锥，现用一张正方形包装纸将其完全包住，不能剪裁，但可以折叠，则包装纸的最小边长是 ▲ ．
16．三棱锥O ABC -的侧棱,,OA OB OC 两两垂直且长度分别为2cm ，3cm ，1cm ，则该三棱锥的体积是 ▲ cm 3．
17．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．
①若m ⊂α，m ⊥β，则α⊥β； ②若m ⊂α，α∩β＝n ，α⊥β，则m ⊥n ； ③若m ⊂α，n ⊂β，α∥β，则m ∥n ； ④若m ∥α，m ⊂β，α∩β＝n ，则m ∥n ．
上述命题中为真命题的是 ▲ （填写所有真命题的序号）．
答案: ①④
18．两球的体积之和是12π，它们的大圆周长之和是6π，则两球的半径之差是 19．在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中,异面直线1A B 与1B C 所成角的大小为_______（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）
20．如图所示的等腰直角三角形表示一个水平放置的平面图形的直观图，则这个平面图形的面积是 ．
21．如果a ，b 是异面直线，且a ∥平面α，那么b 与α的位置关系可能是__________； 22．如图，ABC ∆为等边三角形，ABDE 为直角梯形，
BD ∥AE ,AE BD 2=,AE ^平面ACB ，M 为AB 的中点。

（1）证明：DE CM ⊥；（2）在边AC 上找一点N ，使CD ∥平面BEN .
23． 设βα,为两个不重合的平面，n m ,是两条不重合的直线，给出下列四个命题： ①若α⊂m ，α⊂n ，//m β，//n β，则//αβ； ②若,,βα⊂⊂m n βα与相交且不垂直，则m n 与不垂直； ③若,,m m n αβα
β⊥=⊥，则n ⊥β；
D 1 C 1
B 1
A 1
D C A
B
x
′
M
E
D
C
B
A
④若βαα//,,//⊥n n m ，则β⊥m ．
其中所有真命题的序号是 ．（写出所有真命题的序号）
24．设,M N 是球O 半径OP 上的两点，且NP MN OM ==，分别过,,N M O ，作垂直于OP 的平面，截球面得三个圆，则这三个圆的面积之比为__________ 25．已知a 、b 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，给出下列命题： ①若α∥β，a ⊂α，则a ∥β ； ②若a 、b 与α所成角相等，则a ∥b ； ③若α⊥β、β⊥γ，则α∥γ； ④若a ⊥α, a ⊥β，则α∥β 其中正确的命题的序号是 .
26．已知α、β是两个不同的平面，下列四个条件： ①存在一条直线a ，a α⊥，a β⊥； ②存在一个平面γ，,γαγβ⊥⊥；
③存在两条平行直线a 、b ，,a b αβ⊂⊂，a ∥β，b ∥α； ④存在两条异面直线a 、b ，,a b αβ⊂⊂，a ∥β，b ∥α。

其中是平面α∥平面β的充分条件的为= ▲ ．（填上所有符合要求的序号）
三、解答题 27．如图5,在直棱柱
1111//ABCD A B C D AD BC -中，,90,,1BAD AC BD BC ∠=⊥=,13AD AA ==.
C 1
A
B C
D E
F A 1
B 1 第16题
(I)证明:1AC B D ⊥; (II)求直线111B C ACD 与平面所成角的正弦值. （2013年高考湖南卷（理））
28．如图,圆锥顶点为p .底面圆心为o ,其母线与底面所成的角为22.5°.AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦,轴OP 与平面PCD 所成的角为60°. （2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））
(Ⅰ)证明:平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面; (Ⅱ)求cos COD ∠.
29．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°, E 、F 分别为A 1C 1、B 1C 1的中点, D 为棱CC 1上任一点. （Ⅰ）求证：直线EF ∥平面ABD ；
（Ⅱ）求证：平面ABD ⊥平面BCC 1B 1. (江苏省盐城市2011届高三年级第一次调研) (本小题满分14分)
（Ⅰ）证明:因为E 、F 分别为11A C 、11B C 的中点,所以11////EF A B AB ……4分 而,EF ABD AB ABD ⊄⊂面面,所以直线EF ∥平面ABD … …………7分 （Ⅱ）因为三棱柱111C B A ABC -为直三棱柱,所以1AB BB ⊥,又AB BC ⊥, 而1BB ⊂面11BCC B ,BC ⊂面11BCC B ,且1
BB BC B =,
所以AB ⊥面11BCC B …… 11分
又AB ABD ⊂面,所以平面ABD ⊥平面11BCC B …… ……………………14分
30．在三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，试证：点P 在平面ABC 上的正投影O 为
ABC 的外心。

A
B
C
P。