2020学年高中数学第三章概率章末综合检测(三)(含解析)新人教A版必修3(2021-2022学年)

章末综合检测(三)
（时间:１20分钟，满分：150分）
一、选择题：本题共１2小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1.给出下列四个命题:
①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件;
②“当x为某一实数时，可使ｘ２≤0”是不可能事件；
③“明天天津市要下雨"是必然事件；
④“从10０个灯泡（含有10个次品)中取出５个,5个全是次品”是随机事件.
其中正确命题的个数是（ )
A.０ﻩB．１
C.2 D．3
解析：选C。

①④正确．
2．（2019·黑龙江省大庆中学月考）袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个,从中任取2个,则互斥而不对立的两个事件是( )
A.至少有一个白球;都是白球
Ｂ．至少有一个白球;至少有一个红球
C.至少有一个白球;红、黑球各一个
D．恰有一个白球；一个白球一个黑球
解析:选Ｃ.袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个,从中任取2个,逐一分析所给的选项:
在Ａ中,至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生,不是互斥事件,故A不成立；
在B中,至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生，不是互斥事件,故Ｂ不成立；
在C中,至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生,是互斥而不对立的两个事件,故C成立;
在D中，恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生,不是互斥事件，故D不成立;故选C。

３.利用计算机产生0～1之间的均匀随机数m,则事件“3ｍ－2〉0”发生的概率为(）
A。

错误!B。

错误!
C。

＼ｆ(１,2) D.错误!未定义书签。

解析：选Ａ。

因为事件3m－２〉0发生的概率为Ｐ＝错误!=错误!未定义书签。

,故选A。

４．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为4０秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )
A。

＼f（7,１0) B。

错误!
C。

错误!未定义书签。

Ｄ.错误!
解析：选B。

记“至少需要等待１5秒才出现绿灯”为事件A，则P(A)=＼f（25,40）＝错误!未定义书签。

5．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )
A.错误!ﻩ
B.错误!
C。

错误!未定义书签。

D。

错误!未定义书签。

解析:选C.从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,共有６种选法．红色和紫色的花不在同一花坛的有4种选法,根据古典概型的概率计算公式，所求的概率为错误!＝错误!。

故选C。

6.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为(）
A.错误!未定义书签。

ﻩB。

错误!
C．错误!Ｄ。

错误!
解析：选A．因为两位同学参加兴趣小组的所有的结果有9个,其中这两位同学参加同一兴趣小组的结果有3个,所以由古典概型的概率计算公式得所求概率为错误!＝错误!未定义书签。

.
7.任取一个三位正整数Ｎ,则对数log2N是一个正整数的概率是( )
A。

错误!ﻩB。

错误!
Ｃ.错误!ﻩ D.错误!未定义书签。

解析:选C。

三位正整数有１０0～9９9，共900个，而满足log2N为正整数的Ｎ有27,２8,２9ﻬ,共3个,故所求事件的概率为错误!未定义书签。

=错误!。

8．在长为１２ cｍ的线段AＢ上任取一点C。

现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积大于20 cm２的概率为( )
A.错误!未定义书签。

Ｂ。

错误!
C。

错误!未定义书签。

Ｄ.＼f(4，5）
解析：选C。

设AC=xｃm，0<x<12，则CB=(12－x) cm，要使矩形面积大于２0 cm2,只要ｘ(1２－x）>20,则x2-12x+20＜0,2<x＜10,所以所求概率为P＝错误!＝错误!,故选C。

９．小明通过做游戏的方式来确定周末的活动，他随机往单位圆内投掷一颗弹珠(大小忽略），
若弹珠到圆心的距离大于1
2
,则周末去逛公园;若弹珠到圆心的距离小于错误!未定义书签。

,则去踢足
球;否则,在家看书.则小明周末不在家看书的概率为（ ) A。

＼f(1,２）B。

＼ｆ(1,６)
C。

１３
16
D．＼f(5，12）
解析:选C．由题意画出示意图，如图所示．表示小明在家看书的区域如图中阴影部分所示,则他在家看书的概率为错误!＝错误!未定义书签。

,因此他不在家看书的概率为1－错误!＝错误!，故选C.
10.小莉与小明一起用A，Ｂ两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1，2,3，4，5，6)玩游戏,以小莉掷的A立方体朝上的数字为x,小明掷的B立方体朝上的数字为y,来确定点Ｐ（x,y),那么他们各掷一次所确定的点P（x，y）落在已知抛物线y＝-ｘ2＋4x上的概率为 ()
A.错误!未定义书签。

B.错误!
C。

＼ｆ(１，12）ﻩD。

错误!
解析：选C.根据题意，两人各掷立方体一次,每人都有6种可能性，则(x，y)的情况有3６种，即P点有3６种可能,而y=-x２+4x=-(ｘ－２)2＋4，即（ｘ-2）2＋y＝4,易得在抛物线上的点有(２，４),(1,3),（3,3)共3个，因此满足条件的概率为错误!未定义书签。

=错误!未定义书签。

.
ﻬ11．如果从不包括大、小王的一堆扑克牌中随机抽取一张,那么取到红心牌（事件A)的概率为错误!未定义书签。

，取到方片牌(事件B)的概率是错误!未定义书签。

,则取到红色牌(事件C)的概率和取到黑色牌（事件D)的概率分别是( ）
A。

错误!，错误!ﻩB。

错误!未定义书签。

,错误!未定义书签。

C.错误!，错误!ﻩ
D.错误!，错误!未定义书签。

解析:选A。

因为C=A+B，且A，B不会同时发生，即A，B是互斥事件,所以Ｐ(C）＝P（A)+P(B）=错误!＋错误!＝错误!．
又Ｃ，Ｄ是互斥事件，且C＋D是必然事件,
所以C,D互为对立事件，则P(Ｄ)=1-Ｐ(C）=1-错误!＝错误!。

12.从装有３个红球、２个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是(）
A。

＼f(１,10） B.错误!未定义书签。

C.３
5
ﻩＤ.错误!未定义书签。

解析:选D。

记3个红球分别为a1,ａ2,ａ３,2个白球分别为b1,b2.从3个红球、2个白球中任取3
个，则所包含的基本事件有(a1,a２,a3），(a1,a2，b1)，(a1，a２，b２),（ａ１,a３，ｂ1)，(a1,a3,ｂ2),(a
２，a3,b1），(a2，a3，b2),（a1,b1，b2)，(a2，ｂ１，b2),(a3，b1,ｂ2），共10个.由于每个基本事件发生的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．
用A表示“所取的3个球中至少有１个白球”,则其对立事件错误!表示“所取的3个球中没有白
球＂,则事件错误!包含的基本事件有1个：(a1,a2,ａ３).
所以P(错误!未定义书签。

)=错误!未定义书签。

.
故P(A)＝１－P(错误!未定义书签。

)＝1-1
10
＝错误!。

二、填空题:本题共４小题,每小题５分.
1３.在区间［－2，4]上随机地取一个数x,若ｘ满足|x｜≤m的概率为错误!未定义书签。

,则ｍ=＿_____＿_．
解析:显然m〉2，由几何概型知错误!=错误!未定义书签。

,得ｍ＝３。

ﻬ答案：3
14．（２01９·广西玉林市期末考试）在区间(０,１)中随机取出两个数,则两数之和小于错误!未定义书签。

的概率是_____＿__．
解析：设取出的两个数为x,y，则错误!未定义书签。

，若这两数之和小于错误!,则有错误!未定义书签。

,根据几何概型,原问题可以转化为求不等式组错误!表示的区域与错误!未定义书签。

表示区域的面积之比问题，如图所示．
易得其概率为错误!=错误!＝错误!。

答案:错误!
１５.若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为_____＿＿_.
解析:甲,乙，丙站成一排有（甲,乙,丙),(甲，丙,乙）,（乙，甲,丙），（乙，丙，甲),（丙,甲，乙)，(丙,乙，甲)，共6种.
甲,乙相邻而站有(甲,乙,丙）,(乙，甲,丙）,（丙，甲，乙），（丙，乙,甲），共4种.
所以甲,乙两人相邻而站的概率为＼f(4,６)＝错误!未定义书签。

．
答案：错误!未定义书签。

16．袋中含有大小相同的总数为5个的黑球、白球,若从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是错误!,则从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为_____＿__．
解析：因为袋中装有大小相同的总数为５个的黑球、白球,若从袋中任意摸出2个球,共有10种
情况，没有得到白球的概率为错误!，设白球个数为ｘ,则黑球个数为5－ｘ，那么，可知白球有3个,黑球有2个,因此可知从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为错误!。

答案：错误!未定义书签。

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分１0分）随机地排列数字1,5,6得到一个三位数,计算下列事件的概率．
(1)所得的三位数大于４0０;
ﻬ(2)所得的三位数是偶数．
解:１,5,6三个数字可以排成156,165，５16，561,615,651,共6个不同的三位数．
（1)大于400的三位数的个数为4,所以P＝错误!未定义书签。

=错误!。

(2)三位数为偶数的有１５６，５１6,共2个,
所以相应的概率为P=错误!未定义书签。

＝错误!未定义书签。

．
18．（本小题满分１2分）（2019·湖北省荆州中学期末考试)某射击运动员进行射击训练,前三次射击在靶上的着弹点Ａ，B，C刚好是边长为３ cm的等边三角形的三个顶点．
(1)第四次射击时,该运动员瞄准△ＡBＣ区域射击(不会打到△ＡBC外)，则此次射击的着弹点距A,Ｂ，Ｃ的距离都超过１cm的概率为多少?(弹孔大小忽略不计）
(2)该运动员前三次射击的成绩（环数）都在区间［7.５，８．5)内,调整一下后,又连打三枪,其成绩(环数)都在区间[9。

5，1０。

5)内.现从这６次射击成绩中随机抽取两次射击的成绩（记为ａ和b)进行技术分析．求事件“｜ａ-b｜〉１”的概率.
解:(1)因为着弹点若与Ａ,B,C的距离都超过1 cm，
则着弹点就不能落在分别以A，Ｂ,C为中心,半径为1cm 的三个扇形区域内,
只能落在图中阴影部分内．
因为S△ABC＝错误!×3×3sin 6０°＝错误!，
图中阴影部分的面积为Ｓ′=Ｓ△ABC-3×错误!未定义书签。

×12×错误!未定义书签。

＝错误!未定义书签。

－＼f（π，2),
故所求概率为P ＝错误!未定义书签。

=1－2３π2７。

(2)前三次射击成绩依次记为x 1，x ２,x 3,后三次成绩依次记为y １,ｙ２，y 3
ﻬ,从这6次射击成绩中随机抽取两个,基本事件是:（ｘ1,x 2)，(x 1,x 3),（x 2,ｘ3）,(y １,y 2)，(y 1,y 3),（y 2，ｙ3）,(x 1,y 1）,(x 1，ｙ２），(x １,y 3)，（x ２,y １),(x 2,y 2),(ｘ2,ｙ３）,（ｘ3,y １),(ｘ3,y 2）,（x 3，ｙ3)，共15个，其中可使｜a -b |>1发生的是后9个基本事件,
故Ｐ(|a -b ｜>1）=错误!未定义书签。

＝＼f （３，５)。

19.(本小题满分１2分)（2０１8·高考北京卷)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:
（1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;
（2）随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率；
(3）电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加０。

1,哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论)
解:(1)由题意知,样本中电影的总部数是１40＋50＋3００＋2０0+800+５1０=2 ０00,
第四类电影中获得好评的电影部数是２00×0.25=５０．
故所求概率为＼f （50，２ 000)=０。

02５。

(2）由题意知，样本中获得好评的电影部数是
140×0。

4＋50×0。

2+３０0×0.1５+20０×0.２5＋80０×０．2＋510×0.１
=5６+１0+45+５０+1６0+51
=３72。

故所求概率估计为1-＼f (3７2，2 000）=0.814。

（3)增加第五类电影的好评率,减少第二类电影的好评率．
２０．(本小题满分12分)（2019·河北省枣强中学期末考试）质量监督局检测某种产品的三个质量指标ｘ,ｙ，z ，用综合指标Ｑ=x +y ＋z 核定该产品的等级.若Q ≤5，则核定该产品为一等品．现从一批该产品中,随机抽取1０件产品作为样本,其质量指标列表如下:
（2)在该样品的一等品中,随机抽取2件产品，设事件Ｂ为“在取出的２件产品中，每件产品的综合指标均满足Ｑ≤4”，求事件Ｂ的概率．
解:(1）计算１0件产品的综合指标Ｑ,如下表：
其中Q≤1246９10
故该样本的一等品率为错误!未定义书签。

=0．6,
从而估计该批产品的一等品率为０。

6.
(2）在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为（A1，A2),(Ａ１,A4)，（A1，A6），(A1，A9)，(A1，A1０)，（Ａ２,Ａ4）,(A2,A6）,(A２,A9)，（A2，A1０）,(A4，A6）,(Ａ4，A9），（A
４,A10),（A6，A9)，(A6,Ａ１０),(A9，A10）共１5种.
在该样本的一等品中,综合指标均满足Q≤４的产品编号分别为Ａ１,Ａ9,Ａ10,
则事件B发生的所有可能结果为（A１，Ａ9)，(A1,A10），(Ａ９,A１0)共３种,
所以P（Ｂ)=错误!＝错误!.
２1．（本小题满分１2分)(201９·辽宁省凌源三校联考）某研究机构为了了解各年龄层对高考
改革方案的关注程度,随机选取了200名年龄在[20,4５]内的市民进行了调查,并将结果绘制成如图所
示的频率分布直方图（第一~五组区间分别为[20,2５），［25,30）,［30，35),[３５,４0），
［40,45]）.
ﻬ
（1）求选取的市民年龄在［4０，4５］内的人数;
（２)若从第3，４组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈,再从中选取2人在座谈会中做重
点发言,求做重点发言的市民中至少有一人的年龄在［35，4０）内的概率.
解：（1）由题意可知，年龄在[４0，45]内的频率为P=0。

0２×５＝0。

1，
故年龄在[40,４5]内的市民人数为２00×0。

１=２0。

（２)易知,第3组的人数，第4组人数都多于20,且频率之比为3∶2,
所以用分层抽样的方法在第3，4两组市民抽取5名参加座谈，应从第3,4组中分别抽取3人，２人.
记第3组的3名市民分别为Ａ1，Ａ２,A３,第４组的2名市民分别为Ｂ1,B2，
则从5名中选取２名做重点发言的所有情况为(A1，A2),（A１，A３),(A1,B1),（A1,Ｂ2),（A2,A3），(Ａ2,B１),(A2，B2），(A3，Ｂ1)，(A３，B2),(B１,B2),共有10种.
其中第4组的2名Ｂ1,B2至少有一名被选中的有：(Ａ1,B1),（A1,Ｂ２)，(A2,B１),(A2，B2),(A3，B1),（A3,B２），(Ｂ1,Ｂ2),共有7种，
所以至少有一人的年龄在［35,4０）内的概率为错误!。

２2.(本小题满分1２分）(2０19·安徽省黄山市期末考试）如图,森林的边界是直线l,图中阴影部分是与l垂直的一道铁丝网，兔子和狼分别位于草原上点A和点B处,其中AB=BＣ＝1 ｋm，现兔子随机的沿直线AD,以速度2v准备越过森林边界ｌ逃入森林,同时，狼沿线段BM以速度v进行追击，若狼比兔子先到或同时到达点M处，狼就会吃掉兔子,某同学为了探究兔子能否逃脱狼的追捕，建立了平面直角坐标系xＣy（如图)，并假设点M的坐标为(x，y).
（１）求兔子的所有不幸点M(即可能被狼吃掉的地方)组成的区域的面积S;
ﻬ(2)若兔子随机沿与ＡC成锐角θ（θ＝∠ＣAD)的路线越过l向森林逃跑,求兔子能够逃脱的概率.
解：(1)如图所示,狼要想吃掉兔子,就必须先到达M点或与兔子同时到达Ｍ点,
即有：ｔ狼＝＼f(｜BＭ|,v）≤ｔ兔=错误!未定义书签。

化简得２｜BＭ｜≤|AM|，
即2错误!未定义书签。

≤错误!未定义书签。

,
两边平方并整理得3x2＋３y２－4ｙ≤0。

即x2＋错误!未定义书签。

错误!未定义书签。

≤错误!.
所以,兔子的所有不幸点构成的区域为半圆及其内部．
所以S=错误!未定义书签。

π·错误!未定义书签。

错误!＝错误!未定义书签。

π．
(2)如图，过点Ａ作半圆P:x2+错误!未定义书签。

错误!未定义书签。

＝错误!未定义书签。

的切线，切点为F，
在Ｒt△APF中，ｓｉn∠PAＦ=＼f（|PＦ|,|AP｜）=错误!=错误!未定义书签。

,所以∠PAF＝错误!.
兔子要想不被狼吃掉，则不能沿∠CAF以内的方向跑．则θ∈错误!未定义书签。

.
又θ∈错误!未定义书签。

,
故兔子能逃脱的概率是P＝错误!÷错误!未定义书签。

=错误!。