2020年高考江苏版高考数学 第七节 正弦定理与余弦定理

第七节正弦定理与余弦定理
课时作业练
1.在△ABC中,AB=,∠A=75°,∠B=45°,则AC= .
答案2
=2.
解析由已知及三角形内角和定理得∠C=60°,由=知AC==°
°
2.在△ABC中,若a2-c2+b2=ab,则C= .
答案30°
解析cos C=-==,又0°<C<180°,所以C=30°.
3.(2019扬州高三模拟)在△ABC中,若sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6,则cos C的值
为.
答案
解析由已知及正弦定理可得a∶b∶c=4∶5∶6,不妨设a=4,b=5,c=6,则由余弦定理可得
cos C=-=-==.
4.(2018江苏南京高三上学期期中)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b-
c=a,2sin B=3sin C,则cos A的值为.
答案-
解析由正弦定理和2sin B=3sin C可得b=c,代入b-c=a,得a=2c,由余弦定理得cos
A=-=-.
5.(2018苏锡常镇四市高三情况调研(一))设三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
=-,则cos A= .
答案
解析由已知及正弦定理可得=-,则=-,又sin B>0,所以sin Acos
B+cos Asin B=sin(A+B)=sin C=3sin Ccos A,又sin C>0,所以cos A=.
6.(2018盐城时杨中学高三月考)在锐角△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知a,b是方程x2-2x+3=0的两个根,且2sin(A+B)-=0,则c= .
答案
解析由a,b是方程x2-2x+3=0的两个根得a+b=2,ab=3,由2sin(A+B)-=0及A+B+C=π
得sin(A+B)=sin C=,所以锐角△ABC中,C=,所以c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab=12-9=3,所以c=.
7.(2019江苏三校模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,则∠C的值为.
答案
解析在△ABC中,sin B=sin(A+C),
即sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,
则sin Ccos A+sin Asin C=0,又sin C≠0,所以cos A+sin A=0,tan A=-1,又A∈(0,π),所以A=,sin A=,因为=,a=2,c=,所以sin C=,因为C∈,,所以C=.
8.(2018苏锡常镇四市高三教学情况调研(二))设△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足acos B-bcos A=c,则= .
答案4
9.(2018江苏盐城中学高三上学期期末)如图,在△ABC中,∠B=,BC=2,点D在边AB
上,AD=DC,DE⊥AC,E为垂足.
(1)若△BCD的面积为,求CD的长;
(2)若ED=,求角A的大小.
解析(1)由已知得S
△BCD
=BC BD sin B=,又∠B=,BC=2,∴BD=,
在△BCD中,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC BD cos B=,∴CD=.
(2)∵在△CDE中,
∠=
∠
,AD=DC,∴∠A=∠DCE,
∴CD=AD==,在△BCD中,
∠
=,由∠BDC=∠DCA+∠A=2∠A,得=,∴CD=,∴=,解得cos A=,又A∈,,∴A=.
基础滚动练
(滚动循环夯实基础)
1.函数f(x)=-的定义域是.
答案(0,3]
2.设集合M=
-
,N={x|(x-1)(x-3)<0},则集合M∩N=.
答案(1,2)
3.曲线y=-5e x+3在点(0,-2)处的切线方程为.
答案5x+y+2=0
解析因为y'=-5e x,所以曲线在点(0,-2)处的切线斜率为-5,切线方程为y+2=-5x,即为5x+y+2=0.
4.已知函数f(x)=-,,
,,
若f(x)=,则实数x的值为.
答案3
解析当x≤0时, f(x)=2-x=,解得x=2(舍去);当x>0时, f(x)=log
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x=,解得x=3,符合题意,故实数x的值为3.
5.(2019陕西延安模拟)已知函数y=xe x+x2+2x+a恰有两个不同的零点,则实数a的取值范围
是.
答案- ,
解析令g(x)=xe x+x2+2x+a,
则g'(x)=e x+xe x+2x+2=(x+1)(e x+2),易知x<-1时,g'(x)<0,函数g(x)是减函数,x>-1时,g'(x)>0,函数g(x)是增函数,所以函数g(x)的最小值为g(-1)=-1-+a,要使函数y=xe x+x2+2x+a恰有两个不同的零点,只需-1-+a<0,即a<1+.
6.给出下列三个命题:(1)命题“∀x∈R,cos x>0”的否定是“∃x∈R,cos x≤0”;(2)若
f(x)=ax2+2x+1只有一个零点,则a=1;(3)在△ABC中,“A>45°”是“sin A>”的充要条件.其中正确的命题有.(填所有正确命题的序号)
答案(1)
解析命题“∀x∈R,cos x>0”的否定是“∃x∈R,cos x≤0”,(1)是真命题;若f(x)=ax2+2x+1只有一个零点,则a=1或a=0,(2)是假命题;在△ABC中,“A>45°”是“sin A>”的必要不充分条件,(3)是假命题,所以正确的命题有(1).
7.(2019江苏宿迁高三模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2cos A(bcos C+ ccos B)=a.
(1)求角A;
(2)若cos B=,求sin(B-C)的值.
解析(1)由已知及正弦定理可知,
2cos A(sin Bcos C+sin Ccos B)=sin A,
即2cos Asin A=sin A.因为A∈(0,π),所以sin A≠0,
所以2cos A=1,即cos A=.又A∈(0,π),所以A=.
(2)因为cos B=,B∈(0,π),所以sin B=-=.
所以sin 2B=2sin Bcos B=,cos 2B=1-2sin2B=-.
由(1)知A=,则B+C=π,故C=π-B.
所以sin(B-C)=sin--=sin-
=sin 2Bcos-cos 2Bsin=×---×
=-.。