(江苏专用)高考数学总复习 (基础达标演练+综合创新备选)第十篇 圆锥曲线与方程《第61讲 直线与圆

2013高考总复习江苏专用（理科）：第十篇 圆锥曲线与方程《第61讲 直线与圆锥曲线》（基础达标演练+综合创新备选，含解析）
A 级 基础达标演练 (时间：45分钟 满分：80分)
一、填空题(每小题5分，共35分)
1．已知直线y ＝kx －1与椭圆x 24＋y 2
a
＝1(a ＞0)相切，给出下列k ，a 之间的关系________．
①4a ＋4k 2
＝1； ②4k 2
－a ＝1； ③a －4k 2＝1；
④a ＋4k 2
＝1.
其中正确的是________(填序号)．
解析 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx －1，
ax 2＋4y 2
－4a ＝0，
得(4k 2
＋a )x 2
－8kx ＋4(1－a )＝0. ∵直线与椭圆相切，∴Δ＝0，
即64k 2
＋4×(4k 2
＋a )×4(a －1)＝0.∴a ＋4k 2
＝1. 答案 ④
2．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2
＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有________条． 解析 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)． 答案 3
3．过抛物线y 2
＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若AB ＝7，则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为________．
解析 由题知抛物线的焦点为(1,0)，准线方程为x ＝－1.由抛物线定义知：AB ＝AF ＋BF ＝
x 1＋p 2
＋x 2＋p 2
＝x 1＋x 2＋p ，即x 1＋x 2＋2＝7，得x 1＋x 2＝5，于是弦AB 的中点M 的横坐标为5
2
，
因此M 到抛物线准线的距离为52＋1＝7
2.
答案 7
2
4．设双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2
＋1只有一个公共点，则双
曲线的离心率为________．
解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝b
a
x ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝b a
x ，y ＝x 2＋1消去y 得，x 2
－b
a
x
＋1＝0有唯一解，所以Δ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a 2－4＝0，b a ＝2，e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝
1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a
2＝ 5.
答案
5
5．若斜率为1的直线l 与椭圆x 2
4＋y 2
＝1交于不同两点A 、B ，则AB 的最大值为________．
解析 设直线l 的方程为y ＝x ＋t ，代入x 2
4＋y 2＝1消去y 得54x 2＋2tx ＋t 2
－1＝0，由题意得
Δ＝(2t )2
－5(t 2
－1)＞0，即t 2
＜5，弦长AB ＝2·4·5－t 2
5≤410
5
.
答案
410
5
6．已知双曲线方程是x 2
－y 2
2＝1，过定点P (2,1)作直线交双曲线于P 1，P 2两点，并使P (2,1)
为P 1P 2的中点，则此直线方程是________．
解析 设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则由x 21
－y 212＝1，x 22
－y 22
2＝1，得k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝2x 2＋x 1
y 2＋y 1
＝
2×42
＝4，从而所求方程为4x －y －7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x 2
－56x ＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件． 答案 4x －y －7＝0
7．(2011·苏州调研)已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (0，－1)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．若AB 的中点为(2，－2)，则直线l 的方程为________．
解析 由题意知，抛物线的方程为x 2
＝－4y ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1≠x 2，联立方
程得⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
1＝－4y 1
x 2
2＝－4y 2，两式相减得x 21－x 2
2＝－4(y 1－y 2)，
∴
y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 2
－4
＝－1， ∴直线l 的方程为y ＋2＝－(x －2)，即y ＝－x . 答案 x ＋y ＝0
二、解答题(每小题15分，共45分)
8．已知直线l 的方程为x ＝－2，且直线l 与x 轴交于点M ，圆O ：x 2
＋y 2
＝1与x 轴交于A ，
B 两点．
(1)过点M 的直线l 1交圆于P 、Q 两点，且圆弧PQ 恰为圆周的1
4，求直线l 1的方程；
(2)求以l 为准线，中心在原点，且与圆O 恰有两个公共点的椭圆方程． 解 (1)由题意知∠POQ ＝π
2，
∴点O 到直线l 1的距离为
22
. 设l 1的方程为y ＝k (x ＋2)， ∴
|2k |
k 2
＋1
＝22，∴k 2
＝17. ∴l 1的方程为y ＝±
7
7
(x ＋2)．
(2)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，半焦距为c ，则a 2
c
＝2.
∵椭圆与圆O 恰有两个不同的公共点，则a ＝1或b ＝1. 当a ＝1时，c ＝12，b 2＝a 2－c 2＝3
4，
则椭圆方程为x 2
＋4y
2
3
＝1；
当b ＝1时，c ＝1，a 2
＝2，则椭圆方程为x 2
2＋y 2
＝1.
故所求椭圆方程为x 2
＋4y 2
3＝1或x 2
2
＋y 2
＝1.
9．设A 、B 分别为椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ，b ＞0)的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且x
＝4为它的右准线． (1)求椭圆的方程；
(2)设P 为右准线上不同于点(4,0)的任意一点，若直线AP 、BP 分别与椭圆相交于异于A 、B 的点M 、N ，证明：点B 在以MN 为直径的圆内．
解 (1)依题意得a ＝2c ，a 2c ＝4，解得a ＝2，c ＝1，从而b ＝ 3.故椭圆的方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)由(1)得A (－2,0)，B (2,0)．设M (x 0，y 0)． ∵M 点在椭圆上，∴y 0＝34(4－x 2
0)．
①
又点M 异于顶点A 、B ，∴－2＜x 0＜2， 由P 、A 、M 三点共线可以得P ⎝
⎛⎭
⎪⎫
4，
6y 0x 0＋2. 从而BM →＝(x 0－2，y 0)，BP →＝⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2，6y 0x 0＋2.
∴BM →·BP →＝2x 0－4＋6y 2
0x 0＋2＝2x 0＋2(x 20－4＋3y 2
0)．
②
将①代入②，化简得BM →·BP →＝5
2(2－x 0)．
∵2－x 0＞0，∴BM →·BP →
＞0，则∠MBP 为锐角， 从而∠MBN 为钝角．
故点B 在以MN 为直径的圆内．
10．(2011·苏锡常镇调研)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为2
2
，且过点P (2，2)，
设椭圆的右准线l 与x 轴的交点为A ，椭圆的上顶点为B ，直线AB 被以原点为圆心的圆O 所截得的弦长为45
5
.
(1)求椭圆E 的方程及圆O 的方程；
(2)若M 是准线l 上纵坐标为t 的点，求证：存在一个异于M 的点Q ，对于圆O 上任意一点N ，有MN NQ
为定值，且当M 在直线l 上运动时，点Q 在一个定圆上． 解 (1)因为e ＝
22＝c a
，所以a ＝2c ，因为a 2＝b 2＋c 2
，所以b ＝c . 因为x 2a 2＋y 2b 2＝1过点P (2，2)，所以4a 2＋2b
2＝1，解得a 2＝8，b 2＝c 2
＝4.
所以椭圆的方程为x 28＋y 2
4
＝1.
因为A (4,0)，B (0,2)，所以直线AB 的方程为y ＝－1
2x ＋2，即x ＋2y －4＝0，则O 到AB 的
距离d ＝
45，
所以圆O 的半径r ＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝
⎛⎭⎪⎫12×452＝2.
所以圆O 的方程为x 2
＋y 2
＝4. (2)椭圆E 的右准线的方程为x ＝4.
设l 上取定的点M 为(4，t )，圆O 上的任意一点N 为(x 0，y 0)，定点Q 为Q (x ，y )． 因为NM 与NQ 的比是常数且Q 不同于M ，所以NQ 2
＝λNM 2
，λ是正的常数(λ≠1)． 即(x 0－x )2
＋(y 0－y )2
＝λ(x 0－4)2
＋λ(y 0－t )2
，
x 20＋y 20－2xx 0－2yy 0＋x 2＋y 2＝λ(x 20＋y 20＋16＋t 2
－8x 0－2ty 0)．
将x 20＋y 20＝4代入有－2xx 0－2yy 0＋x 2＋y 2＋4＝－8λx 0－2λty 0＋(20＋t 2
)λ，
因为有无数组(x 0，y 0)，从而⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝4λ， ①y ＝tλ， ②
x 2＋y 2＋4＝20＋t 2λ， ③
由式①②代入式③得16λ2
＋t 2
λ2
＋4＝(20＋t 2
)λ， 即(16＋t 2
)λ2
－(20＋t 2
)λ＋4＝0， 所以(λ－1)[(16＋t 2
)λ－4]＝0. 因为λ≠1，所以λ＝4
16＋t
2.
即存在一个定点Q (不同于点M )，使得对于圆O 上的任意一点N ，均有NM
NQ
为定值． 又16＋t 2＝4λ，代入③得x 2＋y 2＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4λ＋4λ，即x 2＋y 2＝4λ，于是x 2＋y 2
＝x ，即⎝ ⎛⎭
⎪
⎫x －122
＋y 2
＝14
.
故点Q 在圆心⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，0，半径为12的定圆上． B 级 综合创新备选 (时间：30分钟 满分：60分)
一、填空题(每小题5分，共30分)
1．已知A ，B 为抛物线C ：y 2
＝4x 上的两个不同的点，F 为抛物线C 的焦点，若FA →＝－4FB →，则直线AB 的斜率为________．
解析 由题意知焦点F (1,0)，直线AB 的斜率必存在，且不为0，故可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入y 2
＝4x 中化简得ky 2
－4y －4k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1
＋y 2＝4k
① y 1y 2＝－4
②
又由FA →＝－4FB →
可得y 1＝－4y 2
③
联立①②③式解得k ＝±4
3.
答案 ±4
3
2．已知F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1作垂直于x 轴的直
线交双曲线于A 、B 两点，若△ABF 2为锐角三角形，则双曲线的离心率的范围是________．
解析 △ABF 2为锐角三角形，又AF 1＝b 2a ，F 1F 2＝2c ，tan ∠AF 2F 1＝b 2a 2c
＜tan 45°＝1，∴b 2
＜
2ac ，c 2
－a 2
＜2ac ，e 2
－2e －1＜0，解得1－2＜e ＜1＋ 2.又e ＞1，∴1＜e ＜1＋ 2. 答案 (1,1＋2)
3．(2011·苏北四市三调)已知点A (0,2)，抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，线段FA 交抛物线于点B ，过B 作l 的垂线，垂足为M ，若AM ⊥MF ，则p ＝________.
解析 依题意，设点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2
12p ，y 1，点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－p 2，y 1，
则AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2
12p ，y 1－2，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－2，
AM →
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－p 2
，y 1－2，FM →
＝()－p ，y 1.
由AB →∥AF →得y 2
1
2p ×(－2)－p 2(y 1－2)＝0，
即y 21
＋p 22
y 1－p 2
＝0.
①
由AM ⊥MF 得AM →·FM →＝p
2
2＋y 1(y 1－2)＝0，
即y 21
－2y 1＋p 2
2
＝0，
②
由①－②得y 1＝3p
2
p 2＋4③，把③代入②，解得p ＝ 2.
答案
2
4．过椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M ，与y
轴的交点为B ，若AM ＝MB ，则该椭圆的离心率为________．
解析 由题意知A 点的坐标为(－a,0)，l 的方程为y ＝x ＋a ，∴B 点的坐标为(0，a )，故M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a 2，代入椭圆方程得a 2＝3b 2，∴c 2＝2b 2
，∴e ＝63.
答案
6
3
5．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为3
3
，直线l ：y ＝x ＋2与以原点为圆心、椭
圆C 1的短半轴长为半径的圆相切，则椭圆C 1的方程为________． 解析 ∵e ＝33，∴e 2
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫c a 2＝a 2
－b 2
a 2＝13，
∴2a 2
＝3b 2
.∵直线l ：x －y ＋2＝0与圆x 2
＋y 2
＝b 2
相切， ∴2
2
＝b ，∴b ＝2，b 2
＝2，∴a 2
＝3，∴椭圆C 1的方程是x 23＋y 2
2＝1.
答案
x 23
＋y 2
2
＝1
6．已知抛物线y 2
＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则
x 21＋x 2
2的最小值是________．
解析 设过点P 的直线为y ＝k (x －4)， 当k 不存在时，A (4,4)，B (4，－4)， 则x 2
1＋x 2
2＝32，
当k 存在时，有k 2x 2
－(8k 2
＋4)x ＋16k 2
＝0， 则x 1＋x 2＝8＋4
k
2，x 1·x 2＝16，
故x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2
－2x 1x 2＝32＋16k 4＋64k
2＞32，
故(x 21＋x 2
2)min ＝32. 答案 32
二、解答题(每小题15分，共30分)
7．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，△ABC 的三个顶点都在抛物线上，且△ABC 的重心为抛物线的焦点，若BC 所在直线l 的方程为4x ＋y －20＝0. (1)求抛物线C 的方程；
(2)若O 是坐标原点，P ，Q 是抛物线C 上的两动点，且满足PO ⊥OQ ，证明：直线PQ 过定点． (1)解 设抛物线C 的方程为y 2
＝2mx ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩
⎪⎨⎪⎧
4x ＋y －20＝0，
y 2
＝2mx ，得2y
2
＋my －20m ＝0，
∵Δ＞0，∴m ＞0或m ＜－160.
解得y 1,2＝－m ±161m 2
4，则y 1＋y 2＝－m
2，
∴x 1＋x 2＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫5－y 14＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
5－y 24＝10＋m
8.
再设A (x 3，y 3)，由于△ABC 的重心为
F ⎝ ⎛⎭⎪⎫m
2，0，则⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＋x 2＋x 33＝m
2，y 1
＋y 2
＋y
3
3＝0，
解得
⎩⎪⎨⎪⎧
x 3＝11m
8－10，y 3
＝m 2.
∵点A 在抛物线上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＝2m ⎝ ⎛⎭
⎪⎫11m 8－10.∴m ＝8，抛物线C 的方程为y 2
＝16x .
(2)证明 当PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为y ＝kx ＋b ，显然k ≠0，b ≠0，∵PO ⊥OQ ，∴
k PO k OQ ＝－1，设P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，
∴x P x Q ＋y P y Q ＝0，
将直线y ＝kx ＋b 代入抛物线方程，得ky 2
－16y ＋16b ＝0， ∴y P y Q ＝16b k .从而x P x Q ＝y 2P y 2
Q 162＝b
2
k
2，
∴b 2k 2＋16b
k
＝0，∵k ≠0，b ≠0，∴直线PQ 的方程为y ＝kx －16k ，PQ 过点(16,0)； 当PQ 的斜率不存在时，显然PQ ⊥x 轴，又PO ⊥OQ ，
∴△POQ 为等腰三角形，由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝|x |，y 2
＝16x ，得P (16,16)，Q (16，－16)，此时直线PQ 过点(16,0)，
∴直线PQ 恒过定点(16,0)．
8．(2011·苏州调研)如图，椭圆x 24＋y 2
3＝1的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 作直线AF 的
垂线分别交椭圆、x 轴于B 、C 两点．
(1)若AB →＝λBC →
，求实数λ的值；
(2)设点P 为△ACF 的外接圆上的任意一点，当△PAB 的面积最大时，求点P 的坐标．
解 (1)由条件，得F (－1,0)，A (0，3)，直线AF 的斜率k 1＝ 3.因为AB ⊥AF ， 所以直线AB 的斜率为－
33
. 则直线AB 的方程为y ＝－3
3
x ＋ 3. 令y ＝0，得x ＝3.
所以点C 的坐标为(3,0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝－3
3x ＋3，
x 2
4＋y 2
3＝1，
得13x 2
－24x ＝0，
解得x 1＝0(舍)，x 2＝2413
.
所以点B 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2413，5313.
因为AB →＝λBC →， 所以λ＞0，且λ＝AB BC
. 所以λ＝24133－2413
＝8
5.
(2)因为△ACF 是直角三角形，
所以△ACF 外接圆的圆心为D (1,0)，半径为2. 所以圆D 的方程为(x －1)2
＋y 2
＝4. 因为AB 是定值，
所以当△PAB 的面积最大时，点P 到直线AC 的距离最大． 过点D 作直线AC 的垂线m ，则点P 为直线m 与圆D 的交点，如图 所以直线m 的方程为y ＝3(x －1)． 代入圆D 的方程，得(x －1)2
＋3(x －1)2
＝4. 所以x ＝0，或x ＝2(舍)． 则点P 的坐标为(0，－3)．。