初三数学数与式知识精讲 浙江版

初三数学数与式知识精讲
一. 本周教学内容：
数与式
二、重、难点：实数与代数式一系列相关的概念以及绝对值、平方根、整式的因式分解等知识内容。

三、知识回顾：
（一）1. 实数（有理数――有限小数或循环小数；无理数――无限不循环小数）与比较大小
2. 数轴（三要素――原点、方向、单位长度）
3. 相反数与倒数以及实数的绝对值（互为相反数的两数和为零，互为倒数的两数积为1） a ＝⎩
⎨⎧≤-≥0,0
,a a a a 且a a a a -≥≥,
4. 平方根，算术平方根和立方根（负数没有平方根；正数和零的平方根称算术平方根）
5. 科学记数法：
把一个数记作±a n 10⨯（n 为整数，且1a ≤<10），则称为用科学记数法表示这个数。

6. 近似数及有效数字
（二）代数式与运算
1. 用运算符号把数或表示数的字母连结起来的式子叫代数式（单项式、多项式、分式、根式）
2. 运算：指加、减、乘、除、乘方、开方这六种运算
3. 合并同类项与整式的加、减（包括去括号）
4. 幂运算：n m n m a a a +=•；n m n m a a a -=÷；mn n m a a =)(；m m m b a ab •=)(， )0()(≠=b b a
b a m m
m （其中m,n 为整数）；a 0＝1（a ≠0），m m a 1
a =-（m 为正整数）
5. 乘法公式与整式的乘法、除法。

其中：（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2
（a b ±）2＝222b ab a +±
（a ＋b ）（332)b a ab ab a +=+-
（a －b ）（332)b a ab ab a -=++
（x ＋a ）（x ＋b ）＝x 2＋（a ＋b ）x ＋ab
6. 整式的因式分解
原则：一提二用三分组。

特殊地：若x 1、x 2为ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，则ax 2
＋bx ＋c ＝a （x
－x 1）（x －x 2）
例1. 实数a 、b 、c 在数轴上相应的点的位置如图。

化简22223c ac a c b a b a a +--+++-+
解：由图易知：∵a<b<0<c ，∴a －b<0 a ＋b<0， a －c<0
∴原式＝
3333)(3=-+-=-++--+-=--+++-+a
c c a a c c b a a b a c
a c
b a b a a 例2. 设数N 的倒数是132-，求N 的相反数的平方
解：∵1321-=N ∴N ＝111321
321+=- ∴N 的相反数为11132+-
∴所求的数为121
3413,121)132(2++即
例3. 化简：315172116183
122322---⨯+-⨯+）（）（）（）（ 解：原式＝32332312231223
2312152216=⨯=⨯+⨯+--）（）（）（
例4. 设2
222)()3c b a c b a ++=++（。

求a:b:c 的值 解：∵展开左右式得， bc ac ab c b a c b a 222333222222+++++=++
∴整理得：022*******=-+-+-bc c ac b ab a
∴配方得：0)()()(222=-+-+-a c c b b a
∴a －b ＝0, b －c ＝0, c －a ＝0
∴a:b:c ＝1:1:1
例5. 试比较公式
2
312----x x x x 和的值的大小 解：∵设
F ＝)2)(1()3)(1()2(23122------=-----x x x x x x x x x ＝)
2)(1(1--x x ∴F ⎪⎩
⎪⎨⎧><<<2,021010x x x 大于，
小于，大于 ∴x<1或x>2时，
2312-->--x x x x ；1<x<2时2
312--<--x x x x
例6. 设0<x<1，化简式子4)(4)(2121-+-+---x x x x
解：原式＝ x x x x x x x x x x x x 11)1()1(421421222
222--+=--+=-++-+-+ ∵0<x<1 ∴x 1>x>0 ∴原式＝x ＋x 1－（x
1－x ）＝2x 例7. 因式分解：611623+++x x x
解：原式＝（3x ＋1）＋（51162++x x ）＝（x ＋1）（2x －x ＋1）＋（x ＋1）（6x ＋5）
＝（x ＋1）（2x ＋5x ＋6） ＝（x ＋1）（x ＋2）（x ＋3）
（答题时间：30分钟）
1. 设x ＝8，y ＝41x 且x y y x -=-，求x ＋y 的值。

2. 设b<0，a ＋b>0，试比较a 、b 、－a 、－b 四个实数的大小。

3. 计算①（－171）)7
5()25.0()5.2()32(65-÷-÷-⨯-÷⨯ ②求2
)32(1
+与2(2)3-的倒数之和。

4. 设a 、b 、c 为ΔABC 的三边，且ab ＋ac ＋bc －a 2
22c b --的值是个非负数，试判断ΔABC 的形状
5. 分解因式
① 44x ＋1 ②4x －72x ＋9 ③432234b b ab b a a a -++++
6. 化简： ①1
1111123++--+--n n n n n n a a a a a a
②若a<－b<1，化简1
2121222+++÷+++-++b b b a b b ab a b b a 7. 计算x
x y y x x y y x xy 1)22222(-++-+（其中2y ≥x>0）
[参考答案]
1. x ＋y ＝—6或—10
2. 用不等式的性质或利用数轴可得—a<b<—b<a
3. （1）—20 （2）14
4. ∆ABC 为正三角形
5. （1）原式＝4x 224x 41x 4-++＝（2x )12+)1x 2x 2)(1x 2x 2(x 42
222+-++=- （2）原式＝9x 7x 2
4+- )
3x x )(3x x (x )3x (x 9x 6x 222
222
24---+=--=-+-=
（3）原式＝（a )1)()(()()()223344+-++=++++-b a b a b a b a ab b a b
6. （1）1a n 2+
（2）由条件知：a ＋b<0且b ＋1>
∴原式＝ —1
1111+-=++•++-++b a b a b b b a b b a 7. 原式＝x
1x y 2y 2x x 1x y 2x 1y 2x x 1xy •-+•-•+• ＝y
21y 2x 1x y 2y 21y -+-+
＝y。