极坐标方程与参数方程-普通用卷
经典《极坐标及全参数方程》综合测试题含问题详解
适用标准文案《极坐标与参数方程》综合测试题1．在极坐标系中，已知曲线C：ρ=2cosθ，将曲线C 上的点向左平移一个单位，而后纵坐标不变，横坐标伸长到本来的 2 倍，获得曲线 C1，又已知直线 l 过点P（ 1,0 ），倾斜角为，且直线l与曲线C1交于A，B两点．3（1）求曲线 C1的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（2）求+．2．在直角坐标系xOy 中，圆 C 的参数方程（φ为参数），以O为极点， x 轴的非负半轴为极轴成立极坐标系．（ 1）求圆 C 的极坐标方程；（ 2）直线 l 的极坐标方程是2ρsin （θ +）=3，射线OM：θ =与圆C的交点为 O、P，与直线 l 的交点为 Q，求线段 PQ的长．3．在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为：ρ2=4ρ（ cosθ+sin θ）﹣ 6．若以极点 O为原点，极轴所在直线为 x 轴成立平面直角坐标系．（Ⅰ）求圆 C 的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点 P（x，y）是圆 C上动点，试求 x+y 的最大值，并求出此时点 P 的直角坐标．4．若以直角坐标系xOy 的 O为极点， Ox为极轴，选择同样的长度单位成立极坐标系，得曲线 C 的极坐标方程是ρ =．（ 1）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（ 2）若直线 l 的参数方程为（ t 为参数），P 3，当直线 l 与曲线 C ,02AB2.订交于 A，B 两点，求PA PB5．在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴，成立极坐标系，曲线x 3cos 为参数），曲线 C 的极坐标方C 的参数方程为(12sin2y 程为．（ 1）求曲线 C 1 的一般方程和曲线 C 2 的直角坐标方程；（ 2）设 P 为曲线 C 1 上一点， Q 曲线 C 2 上一点，求 |PQ|的最小值及此时 P 点极坐标．6．在极坐标系中，曲线 C 的方程为ρ 2= ，点 R （ 2 ，）．（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，成立平面直角坐标系，把曲线 C的极坐标方程化为直角坐标方程， R 点的极坐标化为直角坐标；（Ⅱ）设 P 为曲线 C 上一动点，以 PR 为对角线的矩形 PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形 PQRS 周长的最小值．7．已知平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）求曲线 C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线θ =（ρ∈ R）与曲线C1交于P，Q两点，求|PQ|的长度．8．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，以同样的长度单位成立极坐标系，己知直线 l 的极坐标方程为ρ cosθ﹣ρ sin θ =2，曲线 C 的极坐标方程为ρ sin 2θ=2pcosθ（ p＞ 0）．（ 1）设 t 为参数，若 x=﹣ 2+ t ，求直线 l 的参数方程；（2）已知直线 l 与曲线 C交于 P、Q，设 M（﹣ 2，﹣ 4），且 |PQ| 2 =|MP|? |MQ|，务实数 p 的值．9．在极坐标系中，射线l ：θ =与圆C：ρ =2交于点A，椭圆Γ的方程为ρ2=，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴成立平面直角坐标系xOy （Ⅰ）求点 A 的直角坐标和椭圆Γ的参数方程；（Ⅱ）若 E 为椭圆Γ的下极点， F 为椭圆Γ上随意一点，求?的取值范围．10．已知在直角坐标系中，曲线的 C 参数方程为（φ为参数），现以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ =．（1）求曲线 C 的一般方程和直线 l 的直角坐标方程；（2）在曲线 C 上能否存在一点 P，使点 P 到直线 l 的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点 P 的直角坐标；若不存在，请说明原因．11．已知曲线 C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（I ）求曲线 C2的直角坐标系方程；（II ）设 M1是曲线 C1上的点， M2是曲线 C2上的点，求 |M1M2| 的最小值．12．设点 A 为曲线 C：ρ=2cosθ在极轴 Ox上方的一点，且 0≤θ≤，以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴成立平面直角坐标系xOy，（1）求曲线 C 的参数方程；（2）以 A 为直角极点， AO为一条直角边作等腰直角三角形 OAB（B 在 A 的右下方），求 B 点轨迹的极坐标方程．13．在平面直角坐标系xOy中，曲线 C1：（φ为参数，实数a＞ 0），曲线 C2：（φ为参数，实数b＞ 0）．在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ =α（ρ≥ 0， 0≤α≤）与C1交于O、A 两点，与 C2交于 O、B 两点．当α =0 时，|OA|=1；当α =时，|OB|=2．（Ⅰ）求 a，b 的值；（Ⅱ）求 2|OA| 2 +|OA|? |OB| 的最大值．14．在平面直角坐标系中，曲线 C1：（a为参数）经过伸缩变换后，曲线为 C2，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建极坐标系．（Ⅰ）求 C2的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线C3的极坐标方程为ρ sin （﹣θ）=1，且曲线C3与曲线C2订交于 P，Q两点，求 |PQ| 的值．15．已知半圆 C 的参数方程为，a为参数，a∈[﹣，] ．（Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴成立极坐标系，求半圆 C 的极坐标方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设T 是半圆 C 上一点，且 OT= ，试写出 T 点的极坐标．16．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ =2sin θ．（Ⅰ）把 C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求 C1与 C2交点的极坐标（ρ≥ 0， 0≤θ＜ 2π）《极坐标与参数方程》综合测试题答案一．解答题（共16 小题）1．在极坐标系中，已知曲线 C：ρ =2cosθ，将曲线 C 上的点向左平移一个单位，而后纵坐标不变，横坐标伸长到本来的 2 倍，获得曲线 C1，又已知直线 l 过点 P （ 1,0 ），倾斜角为，且直线l与曲线C1交于A，B两点．3（ 1）求曲线 C1的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（2）求+．【解答】解：（1）曲线 C 的直角坐标方程为： x2+y2﹣2x=0 即（ x﹣1）2+y2=1．∴曲线 C1的直角坐标方程为=1，∴曲线 C 表示焦点坐标为（﹣，0），（， 0），长轴长为 4 的椭圆（ 2）将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的方程=1 中，得13t24t 12 0 ．设 A、B 两点对应的参数分别为t 1， t 2，∴+=210 ．32．在直角坐标系xOy 中，圆 C 的参数方程（φ为参数），以O为极点， x 轴的非负半轴为极轴成立极坐标系．（ 1）求圆 C 的极坐标方程；（ 2）直线 l 的极坐标方程是2ρsin （θ +）=3，射线OM：θ =与圆C的交点为 O、 P，与直线 l 的交点为 Q，求线段 PQ的长．【解答】解：（I ）利用 cos2φ +sin 2φ =1，把圆 C 的参数方程为参数）化为（ x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣ 2ρ cosθ =0，即ρ =2cosθ．（ II ）设（ρ1，θ1）为点 P 的极坐标，由，解得．（ρ 2 ，θ 2 ）点Q 的极坐，由，解得．∵θ 1=θ2 ，∴|PQ|=|ρ1ρ 2|=2．∴|PQ|=2 ．3．在极坐系中， C 的极坐方程：ρ2=4ρ（ cosθ+sin θ） 6．若以极点 O原点，极所在直 x 成立平面直角坐系．（Ⅰ）求 C 的参数方程；（Ⅱ）在直角坐系中，点 P（x，y）是 C上点，求 x+y 的最大，并求出此点 P 的直角坐．【解答】（本小分 10 分）修 4 4：坐系与参数方程解：（Ⅰ）因ρ2=4ρ（ cosθ +sin θ） 6，因此 x2+y2=4x+4y 6，因此 x2+y24x 4y+6=0，即（ x 2）2+（y 2）2=2C的一般方程．⋯（ 4 分）因此所求的 C 的参数方程（θ 参数）．⋯（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，⋯（7 分）当，即点 P 的直角坐（3，3），⋯（9 分）x+y 取到最大 6．⋯（10 分）4．若以直角坐系xOy 的 O极点， Ox极，同样的度位成立极坐系，得曲 C 的极坐方程是ρ =．（ 1）将曲 C 的极坐方程化直角坐方程，并指出曲是什么曲；（ 2）若直线 l 的参数方程为（ t 为参数），P 3,0，当直线 l 与曲线 C 2AB2.订交于 A， B 两点，求PA PB【解答】解：（1）∵ρ =，∴ρ 2sin2θ =6ρcosθ，∴曲线 C 的直角坐标方程为y2=6x．曲线为以（，0）为焦点，张口向右的抛物线．（ 2）直线 l的参数方程可化为，代入 y2=6x 得 t 2﹣4t ﹣12=0．解得 t 1=﹣2，t 2=6．22AB∴ | |=|t 1﹣t 2|=8 ．3PA PB5．在平面直角坐标系xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴，成立x3cos为参数），曲线 C 的极坐标方程为极坐标系，曲线 C 的参数方程为(12sin 2y．（1）求曲线 C1的一般方程和曲线 C2的直角坐标方程；（2）设 P 为曲线 C1上一点， Q曲线 C2上一点，求 |PQ|的最小值及此时 P 点极坐标．【解答】解：（ 1）由消去参数α，得曲线C1的一般方程为．由得，曲线 C2的直角坐标方程为．（2）设 P（2 cosα， 2sin α），则点P到曲线C2的距离为．当时， d 有最小值，因此|PQ|的最小值为．6．在极坐标系中，曲线 C 的方程为ρ2=，点 R（2 ，）．（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，成立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；（Ⅱ）设 P 为曲线 C 上一动点，以 PR为对角线的矩形 PQRS的一边垂直于极轴，求矩形 PQRS周长的最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为 x=ρcosθ， y=ρsin θ，则：曲线 C 的方程为ρ2=，转变成．点 R 的极坐标转变成直角坐标为： R（2，2）．（Ⅱ）设 P（）依据题意，获得 Q（ 2， sin θ），则： |PQ|=，|QR|=2﹣sin θ，因此： |PQ|+|QR|=．当时，（ |PQ|+|QR| ）min=2，矩形的最小周长为 4．7．已知平面直角坐标系中，曲线 C1的参数方程为（φ为参数），以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为ρ2=2cosθ．（Ⅰ）求曲线 C1的极坐标方程与曲线 C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线θ =（ρ∈ R）与曲线 C1交于 P，Q两点，求 |PQ| 的长度．【解答】解：（I ）曲线 C1的参数方程为（φ为参数），利用平方关系消去φ可得：+（y+1）2 =9，睁开为： x2+y2﹣ 2 x+2y﹣ 5=0，可得极坐标方程：ρcosθ+2ρ sin θ﹣ 5=0．2曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ=2ρ cos θ，可得直角坐标方程：（ II ）把直线θ =（ρ∈ R）代入ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0，整理可得：ρ2﹣ 2ρ﹣ 5=0，∴ρ 1+ρ2 =2，ρ 1?ρ2=﹣5，∴ |PQ|=| ρ1﹣ρ2|===2．8．在直角坐标系中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，以同样的长度单位成立极坐标系，己知直线 l 的极坐标方程为ρ cosθ﹣ρ sin θ=2，曲线 C的极坐标方程为ρ sin 2θ=2pcosθ（ p＞0）．（ 1）设 t 为参数，若 x=﹣ 2+ t ，求直线 l 的参数方程；（2）已知直线 l 与曲线 C 交于 P、Q，设 M（﹣ 2，﹣ 4），且 |PQ| 2=|MP|? |MQ|，务实数 p 的值．【解答】解：（ 1）直线 l 的极坐标方程为ρ cosθ﹣ρ sin θ=2，化为直角坐标方程： x﹣y﹣2=0．∵ x=﹣2+ t ，∴ y=x﹣2=﹣ 4+ t ，∴直线l的参数方程为：（t为参数）．（2）曲线 C 的极坐标方程为ρ sin 2θ =2pcosθ（ p＞0），即为ρ2 sin 2θ=2pρ cos θ（ p＞0），可得直角坐标方程： y2=2px．把直线 l 的参数方程代入可得： t 2﹣（ 8+2p）t+8p+32=0．∴ t 1+t 2=（8+2p），t1t2=8p+32．不如设 |MP|=t 1， |MQ|=t 2．|PQ|=|t 1﹣ t 2 |===．∵|PQ| 2=|MP|? |MQ|，∴ 8p2+32p=8p+32，化为： p2+3p﹣4=0，解得 p=1．9．在极坐标系中，射线 l ：θ =与圆C：ρ =2 交于点 A，椭圆Γ的方程为ρ2=，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴成立平面直角坐标系 xOy （Ⅰ）求点 A 的直角坐标和椭圆Γ的参数方程；（Ⅱ）若 E 为椭圆Γ的下极点， F 为椭圆Γ上随意一点，求?的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）射线 l ：θ =与圆 C：ρ =2 交于点 A（ 2，），点 A 的直角坐标（，1）；椭圆Γ 的方程为ρ2=，直角坐标方程为+y2=1，参数方程为（θ为参数）；（Ⅱ）设 F（ cosθ， sin θ），∵ E（ 0，﹣ 1），∴=（﹣，﹣ 2）， =（cosθ﹣， sin θ﹣ 1），∴?=﹣3cosθ +3﹣2（sin θ﹣ 1）=sin （θ +α） +5，∴?的取值范围是 [5 ﹣，5+] ．10．已知在直角坐标系中，曲线的 C 参数方程为（φ为参数），现以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ=．（1）求曲线 C 的一般方程和直线 l 的直角坐标方程；（2）在曲线 C 上能否存在一点 P，使点 P 到直线 l 的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点 P 的直角坐标；若不存在，请说明原因．【解答】解：（1）曲线的 C 参数方程为（φ为参数），一般方程为（x﹣ 1）2+（y﹣ 1）2=4，直线 l 的极坐标方程为ρ =，直角坐标方程为x﹣ y﹣ 4=0；（ 2）点 P 到直线 l 的距离 d==，∴φ﹣=2kπ﹣，即φ =2kπ﹣（k∈ Z），距离的最小值为2﹣2，点P 的直角坐标（ 1+，1﹣）．11．已知曲线 C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（I ）求曲线 C2的直角坐标系方程；（II ）设 M1是曲线 C1上的点， M2是曲线 C2上的点，求 |M1M2| 的最小值．【解答】解：（I ）由可得ρ =x﹣2，∴ρ 2=（x﹣2）2，即y2=4（x﹣1）；（Ⅱ）曲线 C1的参数方程为（t为参数），消去t得：2x+y+4=0．∴曲线 C1的直角坐标方程为2x+y+4=0．∵ M1是曲线 C1上的点， M2是曲线 C2上的点，∴|M1M2| 的最小值等于 M2到直线 2x+y+4=0 的距离的最小值．设 M2（r 2﹣ 1，2r ）， M2到直线 2x+y+4=0 的距离为 d，则 d==≥．∴ |M1M2| 的最小值为．12．设点 A 为曲线 C：ρ=2cosθ在极轴 Ox上方的一点，且 0≤θ≤，以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴成立平面直角坐标系xOy，（1）求曲线 C 的参数方程；（2）以 A 为直角极点， AO为一条直角边作等腰直角三角形 OAB（B 在 A 的右下方），求点 B 轨迹的极坐标方程．【解答】（1）x1 cos(0，θ为参数）y sin2（ 2）：设 A（ρ0，θ0），且知足ρ0=2cosθ0，B（ρ，θ），依题意，即代入ρ 0=2cosθ0 并整理得，，，因此点 B 的轨迹方程为，．13．在平面直角坐标系xOy中，曲线 C1：（φ为参数，实数a＞ 0），曲线 C2：（φ为参数，实数b＞0）．在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ =α（ρ≥ 0， 0≤α≤）与C1交于O、A两点，与 C2交于 O、 B 两点．当α =0 时， |OA|=1 ；当α =时，|OB|=2．（Ⅰ）求 a，b 的值；（Ⅱ）求 2|OA| 2 +|OA|? |OB| 的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由曲线 C1：（φ为参数，实数a＞0），化为一般方程为（ x﹣ a）2+y2 =a2，睁开为： x2+y2﹣ 2ax=0，其极坐标方程为ρ2=2aρ cos θ，即ρ =2acosθ，由题意可适当θ=0 时， |OA|=ρ =1，∴ a= ．曲线 C2：（φ为参数，实数b＞0），化为一般方程为x2 +（ y﹣ b）2=b2，睁开可得极坐标方程为ρ=2bsin θ，由题意可适当时， |OB|= ρ=2，∴ b=1．（Ⅱ）由（ I ）可得 C1，C2的方程分别为ρ =cosθ，ρ =2sin θ．∴2|OA| 2+|OA| ? |OB|=2cos 2θ+2sinθcosθ=sin2θ+cos2 θ+1=+1，∵ 2θ + ∈，∴+1 的最大值为+1，当 2θ+ =时，θ =时取到最大值．14．在平面直角坐标系中，曲线 C1：（a 为参数）经过伸缩变换后的曲线为 C ，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴成立极坐标系．2（Ⅰ）求 C2的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线 C3的极坐标方程为ρ sin （﹣θ） =1，且曲线 C3与曲线 C2订交于 P，Q两点，求 |PQ| 的值．【解答】解：（Ⅰ）C2的参数方程为（α为参数），一般方程为（ x′﹣ 1）2+y′2=1，∴ C2的极坐标方程为ρ =2cosθ；（Ⅱ）C2是以（1，0）为圆心， 2 为半径的圆，曲线 C3的极坐标方程为ρ sin （﹣θ） =1，直角坐标方程为x﹣y﹣2=0，∴圆心到直线的距离d== ，∴ |PQ|=2=．15．已知半圆 C 的参数方程为，a为参数，a∈[﹣，] ．（Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴成立极坐标系，求半圆 C 的极坐标方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设T 是半圆 C 上一点，且 OT=，试写出T点的极坐标．【解答】解：（Ⅰ）由半圆 C的参数方程为，a为参数，a∈[﹣，] ，则圆的一般方程为x2+（y﹣1）2=1（0≤x≤1），由 x=ρ cosθ， y=ρ sin θ， x2+y2=ρ2，可得半圆 C 的极坐标方程为ρ =2sin θ，θ∈ [0 ，] ；（Ⅱ）由题意可得半圆 C 的直径为 2，设半圆的直径为OA，则 sin ∠TAO=，因为∠ TAO∈ [0 ，] ，则∠ TAO=，因为∠ TAO=∠TOX，因此∠ TOX=，T 点的极坐标为（，）．16．已知曲线 C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ =2sin θ．（Ⅰ）把 C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求 C1与 C2交点的极坐标（ρ≥ 0， 0≤θ＜ 2π）【解答】解：（Ⅰ）曲线 C1的参数方程式（t为参数），得（ x﹣4）2+（y﹣5）2=25 即为圆 C1的一般方程，即 x2+y2﹣8x﹣10y+16=0．将 x=ρ cosθ， y=ρ sin θ代入上式，得．ρ2﹣8ρcosθ﹣ 10ρsin θ +16=0，此即为 C1的极坐标方程；（Ⅱ）曲线 C2的极坐标方程为ρ =2sin θ化为直角坐标方程为：x2+y2﹣2y=0，由，解得或．∴ C1与 C2交点的极坐标分别为（，），（2，）．。
极坐标与参数方程测试题(超级全面)
选修4-4复习1.已知直线的参数方程为：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为.（Ⅰ）求曲线C 的参数方程；（Ⅱ）当4πα=时，求直线与曲线C 交点的极坐标.2、已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．3、在极坐标系下，已知圆O 2：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin(θ－π4)＝22.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的极坐标．4、在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2.(1)求C 1与C 2的直角坐标方程(2)求过C 1与C 2交点的直线的极坐标方程 (3)求C 1与C 2交点的极坐标；5. 已知曲线C 的极坐标方程是. 以极点为平面直角坐标系的原点, 极轴为x轴的正半轴, 建立平面直角坐标系, 直线l的参数方程是: (是参数).(Ⅰ) 将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程, 将直线的参数方程化为普通方程; (Ⅱ) 若直线l与曲线C相交于A、B两点, 且, 试求实数m值.6.已知曲线(t为参数) ，(为参数) ．(I)化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;(Ⅱ) 过曲线的左顶点且倾斜角为的直线交曲绒于A，B 两点，求. 7、已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合．直线的参数方程是315415x ty t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（为参数），曲线C的极坐标方程为)4πρθ+．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与曲线C相交于M，N两点，求M，N两点间的距离．8、曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，直线C2的参数方程为⎩⎨⎧x＝3＋4t，y＝2＋3t(t为参数)．(1)将C1化为直角坐标方程．(2)C1与C2是否相交？若相交求出弦长，不相交说明理由．9、在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t(t 为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 的方程为ρ2＝123cos 2 θ＋4sin 2θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设曲线C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(2,1)，求|P A |＋|PB |.10、在极坐标系中，已知圆心C (3,)6π，半径r =1．（1）求圆的直角坐标方程；（2）若直线12(12x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）与圆交于B A ,两点，求弦AB 的长.11.在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为（为参数）。
全国卷极坐标与参数方程
极坐标与参数方程(全国卷高考题)(2007)坐标系与参数方程：口 01和口。
2的极坐标方程分别为p =4cos 0, p =-4sin 0 .(I)把口 01和口 02的极坐标方程化为直角坐标方程； (II)求经过口 01, 口 02交点的直线的直角坐标方程.(2008)坐标系与参数方程:1X :cos 0 （0为参数）,曲线C 2： y= sin 0 (1)指出C 1, C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数;(2)若把C 1, C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线q, C 2'。
写出C 1', q 的参数方程。
J 与C 2公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由。
已知曲线C 1： . 乙 (t 为参数)。
，2 -t 2I x = -4 + cos t ,(2009)已知曲线C ：〈 c .(t 为参数)，C ：1[ y = 3 + sin t ,2(I)化C 1, C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；冗I x = 3 + 21,(II)若C 上的点P 对应的参数为t = -, Q 为C 上的动点，求PQ 中点M 到直线J ： \( (t 1223 [y = -2 +1为参数)距离的最小值.x =1+1 cos a ,(2010)坐标系与参数方程：已知直线J ： {1[y = t sin a ,⑴当a =n 时，求C 1与c 2的交点坐标;(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A , P 为OA 的中点.当a 变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它 是什么曲线.x = 8cos 0,y 二 3sin0,（ ° 为参x =cos e(t 为参数),圆C 2：{y =sin 仇(e为参数)•(2011)坐标系与参数方程：在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为「= 2cos a (a为参数)，M是[y = 2 + 2sin aC1上的动点，P点满足OP = 2OM ,P点的轨迹为曲线C2(I )求C2的方程兀(II)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线e= y与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求|AB .'x=2cos0”为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐y=3sin (2012)已知曲线C1的参数方程是＜Q 标系，曲线C2的极坐标方程是p=2.正方形ABCD的顶点都在C2上，且A、B、C、D以逆时针次序排列，点n A的极坐标为(2, 5)(I)求点A、B、C、D的直角坐标；(II)设P为C1上任意一点，求IPAI2+ IPBI2 + IPCI 2+ |PD|2的取值范围。
极坐标与参数方程测试题(有详解答案)
极坐标与参数方程测试题一、选择题1.直线12+=x y 的参数方程是（ ）A 、⎩⎨⎧+==1222t y t x （t 为参数） B 、⎩⎨⎧+=-=1412t y t x （t 为参数）C 、 ⎩⎨⎧-=-=121t y t x （t 为参数） D 、⎩⎨⎧+==1sin 2sin θθy x （t 为参数） 2.已知实数x,y 满足02cos 3=-+x x ，022cos 83=+-y y ，则=+y x 2（ ）A ．0B ．1C ．-2D ．83.已知⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,5πM ，下列所给出的不能表示点的坐标的是( )A 、⎪⎭⎫⎝⎛-3,5πB 、⎪⎭⎫ ⎝⎛34,5πC 、⎪⎭⎫⎝⎛-32,5π D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛--35,5π 4.极坐标系中，下列各点与点P （ρ，θ）（θ≠k π，k ∈Z ）关于极轴所在直线对称的是（ ）A ．（-ρ，θ）B ．（-ρ，-θ）C ．（ρ，2π-θ）D ．（ρ，2π+θ）5.点()3,1-P ，则它的极坐标是( )A 、⎪⎭⎫⎝⎛3,2π B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2πC 、⎪⎭⎫⎝⎛-3,2πD 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π 6.直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A,B 分别在曲线13cos :sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩ （θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为( ).A.1B.2C.3D.47.参数方程为1()2x t t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是（ ）A ．一条直线B ．两条直线C ．一条射线D ．两条射线8.()124123x tt x ky k y t=-⎧+==⎨=+⎩若直线为参数与直线垂直，则常数（ ）A.-6B.16-C.6D.169.极坐标方程4cos ρθ=化为直角坐标方程是( )A ．22(2)4x y -+= B.224x y += C.22(2)4x y +-= D.22(1)(1)4x y -+-=10.柱坐标（2，32π，1）对应的点的直角坐标是（ ）. A.(1,3,1-) B.(1,3,1-) C.(1,,1,3-) D.(1,1,3-)11.已知二面角l αβ--的平面角为θ，P 为空间一点，作PA α⊥，PB β⊥，A ，B 为垂足，且4PA =，5PB =，设点A 、B 到二面角l αβ--的棱l 的距离为别为,x y ．则当θ变化时，点(,)x y 的轨迹是下列图形中的12.曲线24sin()4x πρ=+与曲线12221222x ty t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩的位置关系是（ ）。
极坐标参数方程全套试题
极坐标与参数方程单元练习1一、选择题（每小题5分，共25分）1、已知点M 的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛35π，，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是（ ）。
A. 53，-⎛⎝ ⎫⎭⎪πB. 543，π⎛⎝ ⎫⎭⎪C. 523，-⎛⎝ ⎫⎭⎪πD. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-355π， 2、直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心3、在参数方程⎩⎨⎧+=+=θθsin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ）4、曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ）A 、线段B 、双曲线的一支C 、圆D 、射线 5、实数x 、y 满足3x 2＋2y 2=6x ，则x 2＋y 2的最大值为（ ）A 、27 B 、4 C 、29D 、5二、填空题（每小题5分，共30分）1、点()22-，的极坐标为 。
2、若A 33，π⎛⎝ ⎫⎭⎪，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-64π，，则|AB|=___________，S AOB ∆=___________。
（其中O 是极点）3、极点到直线()cos sin 3ρθθ+=的距离是________ _____。
4、极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-⋅=表示的曲线是_______ _____。
5、圆锥曲线()为参数θθθ⎩⎨⎧==sec 3tan 2y x 的准线方程是 。
6、直线l 过点()5,10M ，倾斜角是3π，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM 的长为 。
三、解答题（第1题14分，第2题16分，第3题15分；共45分）1、求圆心为C 36，π⎛⎝ ⎫⎭⎪，半径为3的圆的极坐标方程。
2、已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角6πα=，（1）写出直线l 的参数方程。
极坐标和参数方程真题卷(含答案)
（2）设 为 上任意一点，求 的取值围.
参考答案
1．（Ⅰ） 的普通方程为 ， 的直角坐标方程为 ；（Ⅱ） ．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用同角三角函数基本关系中的平方关系化曲线C1的参数方程普通方程，利用公式 与 代入曲线C2的极坐标方程即可；（Ⅱ）利用参数方程表示出点 的坐标，然后利用点到直线的距离公式建立 的三角函数表达式，然后求出最值与相应的 点坐标．
（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
4．在直角坐标系 中，直线 : = 2，圆 ： ,以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求 ， 的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线 的极坐标方程为 ，设 与 的交点为 , ,求 的面积.
于是
由 得 ，
所以 的斜率为 或 .
【考点】圆的极坐标方程与普通方程互化， 直线的参数方程，弦长公式
【名师点睛】极坐标方程与直角坐标方程互化时注意：在将点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的围，否则点的极坐标将不唯一；在将曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的围，注意转化的等价性.
2015级《极坐标和参数方程》真题卷
班级____直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 .以坐标原点为极点，以 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（Ⅰ）写出 的普通方程和 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点P在 上，点Q在 上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.
可得 ，从而 ，解得 （舍去）， .
时，极点也为 的公共点，在 上.所以 .
极坐标与参数方程题型及答案
极坐标与参数方程题型及答案数学选择题：1. 下列哪个极坐标表示点(3, 5)？A. (5, 53.13°)B. (3, 53.13°)C. (5, 37.12°)D. (3, 37.12°)答案：A2. 唯一表示点(-4, 60°)的极坐标是A. (4, 60°)B. (4, 120°)C. (-4, 60°)D. (-4, 240°)答案：C3. 参数方程x = 2cosθ、y = 3sinθ (0 ≤ θ ≤ π/2) 表示的图形是A. 长方形B. 正方形C. 长椭圆D. 圆答案：C4. 必要条件方程x = 1 + cosθ、y = 2 + sinθ （0 ≤ θ ≤ 2π）表示的图形是A. 点B. 圆C. 椭圆D. 双曲线答案：B填空题：1. 将极坐标(4, 240°)转化为直角坐标形式，其对应的坐标为(______, ______)。
答案：(-2, -3.46)2. 给出参数方程x = 2cosθ、y = 5sinθ (0 ≤ θ ≤ π/2) 所表示直线的斜率，其斜率为 _______。
答案：2.5判断题：1. 下列哪些图形可以由参数方程表示？I. 点 II. 圆 III. 双曲线 IV. 三角形A. I、II、IIIB. I、II、IVC. II、III、IVD. I、II、III、IV答案：B2. 唯一表示点(4, 30°)的极坐标是(4, π/6) 。
答案：正确简答题：1. 极坐标系表示的是平面直角坐标系的哪些信息不同？答案：极坐标系表示的是点与极点之间的距离和点与极轴的夹角，而直角坐标系则表示的是点在x、y轴之间的坐标。
2. 怎样将一个极坐标转换为另一个等价的极坐标？答案：若(r, θ)为一个点在极坐标系中的坐标，则其等效于(r, θ + 2kπ) (k 为整数)。
3. 参数方程x = cosθ、y = sinθ 表示的图形是什么？有何特点？答案：参数方程x = cosθ、y = sinθ 表示的是单位圆，其特点是对于任意θ值，点到原点的距离都是1。
极坐标与参数方程题型大全及答案
参 数 方 程 集 中 训 练 题 型 大 全一、回归教材数学选修4-4 坐标系及参数方程[根底训练A 组]一、选择题1．假设直线的参数方程为12()23x tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数，那么直线的斜率为〔 〕A ．23 B ．23- C ．32 D ．32-2．以下在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是〔 〕A ．1(,2B ．31(,)42- C ． D ．3．将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为〔 〕 A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 4．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为〔 〕A ．201y y +==2x 或 B ．1x = C ．201y +==2x 或x D ．1y =5．点M 的直角坐标是(-，那么点M 的极坐标为〔 〕A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈ 6．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为〔 〕A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆二、填空题1．直线34()45x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数的斜率为______________________。
2．参数方程()2()t tt tx e et y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为__________________。
3．直线113:()24x tl t y t=+⎧⎨=-⎩为参数及直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，那么AB =_______________。
4．直线122()112x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数被圆224x y +=截得的弦长为______________。
极坐标与参数方程含答案
极坐标系与参数方程一．高考真题1．设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值（ C ）A ．22-B ．335-C ．－3D ．27-2.在极坐标系中，圆心在()2，π且过极点的圆的方程为（ B ）A.ρθ=22cosB.ρθ=-22c o sC.ρθ=22sinD.ρθ=-22s i n3.极坐标方程ρ＝cos θ与ρcos θ＝ 12的图形是( B )A.C.D.4.极坐标方程ρ２ｃｏｓ２θ＝１所表示的曲线是（ D ）A ．两条相交直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线5．在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin θ=3，则点(2，π/6)到直线l 的距离为 2 ．6．点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==ty t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为（ B ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）27.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为)(33R t t y t x ∈⎩⎨⎧-=+=参数，圆C 的参数方程为[])20(2sin 2cos 2πθθθ，参数∈⎩⎨⎧+==y x ，则圆C 的圆心坐标为 （0,2） ，圆心到直线l 的距离为22.二．极坐标与参数方程 知识点回顾及练习(一)极坐标1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点(,)P x y 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x x y yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩ 的作用下,点(,)P x y 对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.例1：在平面直角坐标系中，方程1y x 22=+所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧='='3y y 2x,x 后的图形所对应的方程是19422='+'y x .例2： 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy 3x,x 后，曲线C 变为曲线9y 9x 22='+'，则曲线C 的方程是122=+y x例3：在同一平面直角坐标系中，使曲线2sin3x y =变为曲线sinx y =的伸缩变换是⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 2132.极坐标系的概念如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ；以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对（ ， ）叫做点M 的极坐标.例1：极坐标系中，点M )4,4(π表示的意思是 在正方向45°处的距极点距离为4的点。
极坐标与参数方程专项训练及详细答案
一．选择题（共4小题）1．在极坐标系中，圆C ：ρ2+k 2cos ρ+ρsin θ﹣k=0关于直线l ：θ=（ρ∈R ）对称的充要条件是（ ）2．过点A （4，﹣）引圆ρ=4sin θ的一条切线，则切线长为（ ）． B C二．填空题（共11小题） 5．极坐标系下，直线与圆的公共点个数是 __ ．6．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 1、C 2的极坐标方程分别为，，则曲线C 1上的点与曲线C 2上的点的最远距离为 _________ ．7．在极坐标系中，点M （4，）到直线l ：ρ（2cos θ+sin θ）=4的距离d= _________ ． 8．极坐标方程所表示曲线的直角坐标方程是 _________ ．9．已知直线（t 为参数）与曲线（y ﹣2）2﹣x 2=1相交于A ，B 两点，则点M （﹣1，2）到弦AB 的中点的距离为 _________ ． 10．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程是ρ=6sin θ，以极点为坐标原点，极轴为x的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是为参数），则直线l 与曲线C 相交所得的弦的弦长为 _________ ． 11．（坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线C ：psin 2θ=2acos θ（a ＞0），过点P （﹣2，﹣4）的直线l 的参数方程为，直线l 与曲线C 分别交于M 、N ．若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，则实数a 的值为_________ ．12．已知曲线（t 为参数）与曲线（θ为参数）的交点为A ，B ，，则|AB|=13．在平面直角坐标下，曲线，曲，若曲线C 1、C 2有公共点，则实数a 的取值范围为 _________ ．14．（选修4﹣4：坐标系与参数方程） 在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为． （Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为，求|PA|+|PB|．15．已知过定点P （﹣1，0）的直线l ：（其中t 为参数）与圆：x 2+y 2﹣2x ﹣4y+4=0交于M ，N 两点，则PM ．PN= _________ ．三．解答题（共3小题）16．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C 的参数方程为．以直角坐标系原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．点P为曲线C上的一个动点，求点P到直线l距离的最小值．17．在平面直角坐标系xOy中，圆C 的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（1，1），倾斜角，（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆圆C相交与两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．18．选修4﹣4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为（θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为．（Ⅰ）求曲线C在极坐标系中的方程；（Ⅱ）求直线l被曲线C截得的弦长．参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．在极坐标系中，圆C：ρ2+k2cosρ+ρsinθ﹣k=0关于直线l：θ=（ρ∈R）对称的充要条件是（）在直线所以，即2．过点A（4，﹣）引圆ρ=4sinθ的一条切线，则切线长为（），运算求得结果．）即==43．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（﹣1，1），若取原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建（|OP|=﹣．∴圆心的极坐标二．填空题（共11小题）5．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线与圆的公共点个数是1．解：直线，即x+y=圆心到直线的距离等于=6．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 1、C 2的极坐标方程分别为，，则曲线C 1上的点与曲线C 2上的点的最远距离为．d=|CQ||PQ|=d+r=故答案为：7．（2004•上海）在极坐标系中，点M （4，）到直线l ：ρ（2cos θ+sin θ）=4的距离d=．，）化成直角坐标方程为（）==故填：8．极坐标方程所表示曲线的直角坐标方程是．解：∵极坐标方程=59．已知直线（t 为参数）与曲线（y ﹣2）2﹣x 2=1相交于A ，B 两点，则点M （﹣1，2）到弦AB 的中点的距离为 ．=，，根据中点坐标的性质可得中点对应的参数为中点的距离为×…故答案为：．10．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程是ρ=6sin θ，以极点为坐标原点，极轴为x的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是为参数），则直线l 与曲线C 相交所得的弦的弦长为 4 ．，我们可以求出直线的一般方程，代入点到圆心距为．所以11．（坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线C ：psin 2θ=2acos θ（a ＞0），过点P （﹣2，﹣4）的直线l 的参数方程为，直线l 与曲线C 分别交于M 、N ．若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，则实数a 的值为1 ．2|x 则由•，|x |x 12．已知曲线（t 为参数）与曲线（θ为参数）的交点为A ，B ，，则|AB|=．解：把曲线化为普通方程得：=，即把曲线联立得：，消去，﹣．213．在平面直角坐标下，曲线，曲线，若曲线C 1、C 2有公共点，则实数a 的取值范围为 ． 解：曲线曲线∴，﹣22，故答案为：14．（选修4﹣4：坐标系与参数方程） 在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为． （Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为，求|PA|+|PB|． 的方程为∴的直角坐标方程：（Ⅱ），即由于所以15．已知过定点P （﹣1，0）的直线l ：（其中t 为参数）与圆：x 2+y 2﹣2x ﹣4y+4=0交于M ，N 两点，则PM ．PN= 7 ．（其中×t=7=0三．解答题（共3小题）16．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为．以直角坐标系原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．点P为曲线C 上的一个动点，求点P 到直线l 距离的最小值．）=2化简为：ρ，即===﹣17．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为（θ为参数），直线l 经过点P （1，1），倾斜角，（1）写出直线l 的参数方程；（2）设l 与圆圆C 相交与两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积． 化为普通方程为，把直线，∴18．选修4﹣4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为．（Ⅰ）求曲线C在极坐标系中的方程；（Ⅱ）求直线l被曲线C截得的弦长．的距离为=。
近五年全国卷之极坐标与参数方程
2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数） M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =,P 点的轨迹为曲线C 2 (Ⅰ)求C 2的方程;(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .解析(Ⅰ)设(,),则由条件知(,),由于在上,∴,即,∴的参数方程为(为参数);(Ⅱ)曲线的极坐标方程为=,曲线的极坐标方程为=,∴射线与的交点的极径为=, 射线与的交点的极径为=, ∴==.2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学1（22）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）已知抛物线2:(1)C y x =+与圆2221:(1)()(0)2M x y r r -+-=>有一个公共点A ，且在点A 处两曲线的切线为同一直线l .（Ⅰ）求r ；（Ⅱ）设m 、n 是异于l 且与C 及M 都相切的两条直线，m 、n 的交点为D ，求D 到l 的距离。
2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学2(23)(本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 以逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π3)(Ⅰ)求点A 、B 、C 、D 的直角坐标；(Ⅱ)设P 为C 1上任意一点，求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2的取值范围.2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学1（23）（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为45cos ,55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=。
极坐标与参数方程测试题(有详解答案)
极坐标与参数方程测试题(有详解答案) 极坐标与参数方程测试题1.直线y=2x+1的参数方程是（）A、x=2t-1，y=4t+1（t为参数）B、x=t^2，y=2t+1（t为参数）C、x=sinθ，y=2t-1D、x=t-1，y=2sinθ+1（θ为参数）2.已知实数x,y满足x^3+cosx-2=π，8y^3-cos2y+2=π，则x+2y=（）A。
π/2B。
πC。
-π/2D。
-π3.已知M(-5,3)，下列所给出的不能表示点的坐标的是()A、(5,-3)B、(5,4π/3)C、(5,-2π/3)D、(-5,-5π/4)4.极坐标系中，下列各点与点P(ρ,θ)（θ≠kπ，k∈Z）关于极轴所在直线对称的是（）A。
(-ρ,θ)B。
(-ρ,-θ)C。
(ρ,2π-θ)D。
(ρ,2π+θ)5.点P1,-3，则它的极坐标是A、(2,π/3)B、(2,4π/3)C、(2,-π/3)D、(2,-4π/3)6.直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A,B分别在曲线C1：(x=3+cosθ。
y=sinθ)（θ为参数）和曲线C2：ρ=1上，则AB的最小值为( ) A。
1B。
2C。
3D。
47.参数方程为x=t+1.y=2(t为参数)表示的曲线是（）A．一条直线B．两条直线C．一条射线D．两条射线8.若直线{t为参数}与直线4x+ky=1垂直，则常数k=（）A。
-6B。
-1/11C。
6D。
119.极坐标方程ρ=4cosθ化为直角坐标方程是()A。
(x-2)+y=4B。
x+y=4C。
x+(y-2)=4D。
(x-1)+(y-1)=410.柱坐标（2，2π/3，1）对应的点的直角坐标是（）A。
(-1,3,1)B。
(1,-3,1)C。
(3,-1,1)D。
(-3,1,1)11.已知二面角$\alpha-\ell-\beta$的平面角为$\theta$，点$P$为空间一点，作$PA\perp\alpha$，$PB\perp\beta$，$A$，$B$为垂足，且$PA=4$，$PB=5$，设点$A$、$B$到二面角$\alpha-\ell-\beta$的棱$\ell$的距离分别为$x$、$y$。
极坐标与参数方程(经典39题)(整理版)
( Ⅱ ) 设圆 C 与直线 l 交于点 A ， B ．若点 P 的坐标为 (3 ， 5 ) ，求 PA PB 与
PA PB ．
32．已知 A,B 两点是椭圆 x 2 y 2 1 与坐标轴正半轴的两个交点 . 94
(1) 设 y 2sin , 为参数，求椭圆的参数方程；
(2) 在第一象限的椭圆弧上求一点 P，使四边形 OAPB的面积最大，并求此最大值 .
标；
（Ⅱ） 点 M （ x0 ，y0 ）在 e O1 上运动， 点 P (x, y) 是线段 AM 的中点， 求点 P 运
动轨迹的直角坐标方程．
x 3cos
15．已知曲线 C :
，直线 l : (cos
y 2sin
2sin ) 12 ．
（ 1）将直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程； （ 2）设点 P 在曲线 C 上，求 P 点到直线 l 距离的最小值．
2．在极坐标系中，曲线 L : sin 2 2cos ，过点 A（ 5 ， ）（ 为锐角且
3
tan
）作平行于
4
( Ⅰ ) 以极点为原点，极轴为
( R) 的直线 l ，且 l 与曲线 L 分别交于 B， C两点 . 4
x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直
角坐标系，写出曲线 L 和直线 l 的普通方程；
（ 2）若把 C1，C2 上各点的纵坐标都拉伸为原来的两倍， 分别得到曲线 C1， C2 ．写
出 C1， C2 的参数方程． C1 与 C2 公共点的个数和
同？说明你的理由．
C1 与 C2 公共点的个数是否相
28．已知圆的方程为 y2 6 y sin x2 8x cos 7cos 2 8 0 求圆心轨迹 C 的参数方程 ; 点 P(x, y) 是（ 1）中曲线 C上的动点，求 2x y 的取值
极坐标与参数方程高考真题
极坐标1、 定义设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫作点M 的极径，记为ρ，以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角叫作点M 的极角，记为θ，有序实数对(,)ρθ叫作点M 的极坐标，记为(,)M ρθ（1） 当M 在极点时，它的极坐标为(0,)θ（R θ∈）（2） 一般地，如果规定0,02ρθπ>≤<，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示，同时极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一的 2、 极坐标与平面直角坐标的转化设点M 直角坐标为()x y ，，极坐标为(,)ρθ（0ρ≥），则有cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩或者tan y xρθ==⎪⎩（0x ≠）参数方程1、 概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点P 的坐标x y 、都是某个变数t 的函数：()()x f t y g t =⎧⎨=⎩，并且对于t 的每一个允许的取值，由方程组确定的点(,)x y 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，变数t 叫作变参数，简称参数。
相对而言，直接给出点的横纵坐标之间的关系的方程叫普通方程 3、 圆与椭圆参数方程圆222x y r +=的参数方程为cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩；（θ为参数）圆22200()()x x y y r −+−=的参数方程00cos sin x x r y y r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）椭圆22221x y a b +=的参数方程cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）4、 直线参数方程过点000(,)P x y 、倾斜角为θ的直线l 的参数方程为00cos [0,)sin x x t y y t θθπθ=+⎧∈⎨=+⎩，其中t 表示点(,)P x y 与0P 之间的有向线段的数量（有正负）。
当0PP 与(cos ,sin )θθ方向一致时，t 为正；方向相反时，t 为负当已知直线的方向向量为(,)a b 时，直线的参数方程也可以写成00x x aty y bt =+⎧⎨=+⎩，此时t 的正负由0PP 与(,)a b向量的方向相同还是相反决定，且有0|||PP t = 已知直线y kx b =+，则此直线的一个方向向量为(1,)k ；已知直线0ax by c ++=，则此直线的一个方向向量为(,)b a −，法向量为(,)a b极坐标与参数方程高考真题1、 （2018全国1）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+−=. （1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.2、 （2018全国2）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为2cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩，（t 为参数） （1） 求C 和l 的直角坐标方程（2） 若曲线C 截直线l 所得线段中点坐标为(1,2)，求直线l 的斜率3、 （2018全国3）在平面直角坐标系xOy 中，圆O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(0,且倾斜角为α的直线l 与圆O 交于A B 、两点 （1） 求α的取值范围（2） 求AB 的中点P 的轨迹的参数方程4、 （2016全国1）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a ty a t =⎧⎨=+⎩（t 为参数，0a >）。
极坐标和参数方程真题卷(含答案)
2015级《极坐标和参数方程》真题卷班级___________________________1．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为()sin x y ααα⎧⎪⎨=⎪⎩，为参数，.以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+= .（Ⅰ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求|PQ|的最小值及此时P 的直角坐标.2．在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为（x+6）2+y 2=25.（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的参数方程是cos ,sin ,x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，∣AB ∣求l 的斜率.3．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩（t 为参数，a ＞0）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cosθ. （Ⅰ）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C 3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a.4．在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M,N ,求2C MN ∆的面积.5．在直角坐标系xoy 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，曲线3:C ρθ=．（Ⅰ）．求2C 与1C 交点的直角坐标；（Ⅱ）．若2C 与1C 相交于点A ，3C 与1C 相交于点B ，求AB 的最大值．6．已知曲线221:149x y C +=，直线l ：2,22,x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. （I ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（II ）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30︒的直线，交l 于点A ，PA 的最大值与最小值．7．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ,[0,]2πρθθ=∈．（1）求C 得参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标．8．已知曲线C 1的参数方程为45cos 55sin x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sinθ。
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极坐标方程与参数方程一、解答题（本大题共12小题，共144.0分）1.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin （θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．2.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）若a=-1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．3.已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ-16cosθ=0，直线l与曲线C交于A，B两点，点P（1，3）．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）求的值．4.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．5.已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（1）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（2）若把曲线C1上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最大值．6.已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．7.已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标是ρ=2a sinθ，直线l的参数方程是（t为参数）．（1）若a=2，M为直线l与x轴的交点，N是圆C上一动点，求|MN|的最大值；（2）若直线l被圆C截得的弦长为，求a的值．8.已知直线l的参数方程为 (t为参数),曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ=1.（1）求曲线C的直角坐标方程.（2）求直线l被曲线C截得的弦长.9.（选修4-4：坐标系与参数方程）已知直线l过点P（-1，2），且倾斜角为，圆方程为．（1）求直线l的参数方程；（2）设直线l与圆交与M、N两点，求|PM|•|PN|的值．10.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ．（I）求直角坐标下圆C的标准方程；（Ⅱ）若点P（l，2），设圆C与直线l交于点A，B，求|PA|+|PB|的值．11.已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．12.已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．答案和解析1.【答案】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，即有椭圆C1：+y2=1；曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，即有ρ（sinθ+cosθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y-4=0，即有C2的直角坐标方程为直线x+y-4=0；（2）由题意可得当直线x+y-4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y-4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2-3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2-16（3t2-3）=0，解得t=±2，显然t=-2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2-12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．2.【答案】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），化为标准方程是：+y2=1；a=-1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y-3=0；联立方程，解得或，所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（-，）．（2）l的参数方程（t为参数）化为一般方程是：x+4y-a-4=0，椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），所以点P到直线l的距离d为：d==，φ满足tanφ=，且的d的最大值为．①当-a-4≤0时，即a≥-4时，|5sin（θ+4）-a-4|≤|-5-a-4|=5+a+4=17解得a=8≥-4，符合题意．②当-a-4＞0时，即a＜-4时|5sin（θ+4）-a-4|≤|5-a-4|=5-a-4=1-a=17解得a=-16＜-4，符合题意．综上，a的值为8或-16.3.【答案】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数，可得直线l的普通方程y=2x+1，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ-16cosθ=0，即ρ2sin2θ=16ρcosθ，得y2=16x即直线l的普通方程为y=2x+1，曲线C的直角坐标方程为y2=16x；（2）直线的参数方程改写为（t为参数），代入y2=16x，得，，，．即的值为.4.【答案】解：（1）曲线C1的直角坐标方程为：x=4，设P（x，y），M（4，y0），则，∴y0=，∵|OM||OP|=16，∴=16，即（x2+y2）（1+）=16，∴x4+2x2y2+y4=16x2，即（x2+y2）2=16x2，两边开方得：x2+y2=4x，整理得：（x-2）2+y2=4（x≠0），∴点P的轨迹C2的直角坐标方程：（x-2）2+y2=4（x≠0）．（2）点A的直角坐标为A（1，），显然点A在曲线C2上，|OA|=2，∴曲线C2的圆心（2，0）到弦OA的距离d==，∴△AOB的最大面积S=|OA|•（2+）=2+．5.【答案】解：（1）由题意，消去参数t，得直线l的普通方程为，根据sin2θ+cos2θ=1消去参数，曲线C1的普通方程为x2+y2=1，联立得解得A（1，0），，，∴|AB|=1．（2）由题意得曲线C2的参数方程为（θ是参数），设点，，∴点P到直线l的距离=，当时，．∴曲线C2上的一个动点它到直线l的距离的最大值为．6.【答案】解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由①得：t=x-2，代入②并整理得：2x+y-6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）=-1时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．7.【答案】解：（1）直线l的参数方程是，a=2时，化为普通方程：（x-2）．令y=0，解得x=2，可得M（2，0）．圆C的极坐标是ρ=2a sinθ，即ρ2=4ρsinθ，可得直角坐标方程：x2+y2-4y=0，即x2+（y-2）2=4．|MC|=2，∴|MN|的最大值为2+2．（2）圆C的方程为：x2+（y-a）2=a2，直线l的方程为：4x+3y-4a=0，圆心C到直线l的距离d==．∴=2，解得a=．8.【答案】解:（1）由ρ2cos2θ=1,得ρ2(cos2θ−sin2θ)=1，…①，将ρcosθ=x,ρsinθ=y代入上式中,得曲线C的普通方程为x2−y2=1.（2）由直线l的参数方程，消去t,得普通方程为y=(x−2).…②，将②式代入①式中,整理得2x2−12x+13=0，设直线l与曲线C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)，由韦达定理得，又由②式得直线l的斜率k=，所以直线l被曲线C截得的弦长为.9.【答案】解：（1）直线l过点P（-1，2），且倾斜角为，故直线l的参数方程为，即为参数）．（2）圆方程=2（-），即ρ2=2（-）=ρcosθ-，化为直角坐标方程为+=1．把代入+=1化简可得t2+（3+2）t+=0．设此一元二次方程式的两个根分别为t1和t2，则由根与系数的关系可得t1•t2=．由题意可得|PM|•|PN|=|t1|•|t2|=|t1•t2|=．10.【答案】解：（I）圆C的方程为ρ=6sinθ，即ρ2=6ρsinθ，利用互化公式可得直角坐标方程：x2+y2=6y，配方为x2+（y-3）2=9．（II）直线l的参数方程为（t为参数），代入圆的方程可得：t2-7=0，解得t1=，t2=-．∴|PA|+|PB|=|t1-t2|=2．11.【答案】解：（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x-1）2+y2=1；（2）直线l：（t为参数），普通方程为，（5，）在直线l上，过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2=（5-1）2+3-1=18，由切割线定理，可得|MT|2=|MA|•|MB|=18．12.【答案】解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程：：．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程：x+2y-3=0．（2），，直角坐标为（2，2），，，，，∴M到l的距离≤，从而最大值为．。