天津育才中学必修第二册第二单元《复数》检测卷(有答案解析)

一、选择题
1．下列各式的运算结果为纯虚数的是 A ．(1+i)2 B ．i 2(1-i)
C ．i(1+i)2
D ．i(1+i)
2．已知复数12z =-，则z z +=（ ）
A ．12-
- B ．12-
+
C ．12+
D ．
12- 3．复数z 满足23z z i +=-，则z =（ ）
A ．1i +
B ．1i -
C ．3i +
D ．3i -
4．若C z ∈，且22i 1z +-=，则22i z --的最小值是（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
5．设复数()()2cos sin z a a i θθ=+++（i 为虚数单位）.若对任意实数θ，2z ≤，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．10,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．[]1,1-
C ．⎡⎢⎣⎦
D ．11,55
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
6．设i 是虚数单位，则2320192342020i i i i +++⋅⋅⋅+的值为（ ）
A ．10101010i --
B ．10111010i --
C ．10111012i --
D ．10111010i - 7．已知i 为虚数单位，（1＋i ）x ＝2＋yi ，其中x ，y ∈R ，则｜x ＋yi ｜＝
A ．
B ．2
C ．4
D
8．在下列命题中，正确命题的个数是（ ） ①两个复数不能比较大小；
②复数1z i =-对应的点在第四象限；
③若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±；
④若22
1223()()0z z z z -+-=，则123z z z ==.
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
9．在复平面内，复数20181
2z i i
=++对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
10．设复数11i
z i
，那么在复平面内复数1z -对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
11．已知复数z 满足()2z i i i -=+，则z =（ ）
A B
C D
12．若11i
ai
++是纯虚数（其中i 为虚数单位），则实数a 等于（ ） A ．1
B ．1-
C ．2
D ．2-
二、填空题
13．若i 为虚数单位，则计232020232020i i i i ++++=___________.
14．
若12ω=
+（i 为虚数单位），则3ω=_______. 15．在复变函数中，自变量z 可以写成(cos sin )i z r i r e θθθ=⨯+=⨯，其中||r z =，θ是z 的辐角．点(),x y 绕原点逆时针旋转θ后的位置可利用复数推导，点()2,3A 绕原点逆时针旋转3
arcsin
5
得A '_______；复变函数ln (,0)z z C z ω=∈≠，i ωπ=，z =_______．
16．已知复数z 满足|z 2-2i||z|+=（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点的坐标（x ，y ）的轨迹方程为__________.
17．复数2021
111i z i +⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭
的辐角主值为________.
18．设1x ，2x 是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的两个根，若1x 是虚数，21
2
x x 是实
数，则2481632
1111112222221x x x x x x S x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
______．
19．若复数z 满足||1z =，则()()z i z i +-的最大值是________. 20．复数(1)(z i i i =-为虚数单位）的共轭复数为________.
三、解答题
21．设复数(,0)z
a bi a
b R b =+∈≠且，且1z z
ω=+，12ω-<<.
（1）求复数z 的模；
（2）求复数z 实部的取值范围； （3）设11z
u z
-=
+，求证：u 为纯虚数. 22．已知复数z 使得2z i R +∈，2z
R i
∈-，其中i 是虚数单位. （1）求复数z 的共轭复数z ；
（2）若复数()2
z mi +在复平面上对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围. 23．已知关于t 的一元二次方程2(2)2()0(,)t i t xy x y i x y ++++-=∈R . (1)当方程有实根时,求点(,)x y 的轨迹; (2)求方程实根的取值范围.
24．在复平面内复数1z 、2z 所对应的点为1Z 、2Z ，O 为坐标原点，i 是虚数单位. （1）112z i =+，234z i =-，计算12z z ⋅与12OZ OZ ⋅；
（2）设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d ∈R ），求证：1212OZ OZ z z ⋅≤⋅，并指出向量1OZ 、2OZ 满足什么条件时该不等式取等号.
25．已知复数1sin 2i z x λ=+，2()i z m m x =+（,,m x λ∈R ），且12z z =. （1）若0λ=且0πx <<，求x 的值； （2）设()f x λ=；
①求()f x 的最小正周期和单调递减区间； ②已知当x α=时，1
2λ=
，试求cos(4)3
πα+的值.
26．若z C ∈，42i z z +=，sin sin i ωθθ=-（θ为实数），i 为虚数单位. （1）求复数z ； （2）求z ω-的取值范围.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
利用复数的四则运算，再由纯虚数的定义，即可求解. 【详解】
由题意，对于A 中，复数2
(1)2i i +=为纯虚数，所以正确； 对于B 中，复数2
(1)1i i i ⋅-=-+不是纯虚数，所以不正确； 对于C 中，复数2
(1)2i i ⋅+=-不是纯虚数，所以不正确； 对于D 中，复数(1)1i i i ⋅+=-+不是纯虚数，所以不正确，故选A. 【点睛】
本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其四则运算技巧和常规思路． 其次要熟悉复数相关基本概念是解答此类问题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
2．C
解析：C 【解析】
分析：首先根据题中所给的复数z ，可以求得其共轭复数，并且可以求出复数的模，代入
求得12z z +=
+，从而求得结果.
详解：根据122z =-
-，可得12z =-+，且1z =
=，所以有
1112222
z z +=-++=+，故选C.
点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的共轭复数、复数的模、以及复数的加法运算，属于基础题目.
3．A
解析：A 【解析】
令22()331,1z a bi z z a bi a bi a bi i a b =+∴+=++-=-=-∴==
4．B
解析：B 【分析】
由复数的模的几何意义，可得z 在复平面的轨迹是以()2,2-为圆心，以1为半径的圆，根据圆的几何性质可得结果. 【详解】
设i z x y =+(),x y ∈R ，则()22i 22i 1z x y +-=++-=， 所以()()2
2
221x y ++-=，表示圆心为()2,2-，半径为1r =的圆.
()()22i 22i z x y --=-+-=
，表示点(),x y 和()2,2之间的距
离，
故()min 22i 22413z r --=---=-=. 故选：B. 【点睛】
本题考查复数的模的几何意义，考查圆的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
5．C
解析：C 【分析】
由1212z z z z +≤+可知()()cos sin 2cos sin 2i a ai i a ai θθθθ+++≤+++，令
max
2z
≤，即可求出a 的范围.
【详解】
因为对任意θ，2z ≤，则max
2z
≤,
()()
cos sin 2cos sin 21z i a ai i a ai θθθθ=+++≤+++=，
12∴≤，解得a ≤≤
故选：C. 【点睛】
本题考查向量模的大小关系，以及不等式的恒成立问题，属于中档题.
6．B
解析：B 【分析】
利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案. 【详解】
解：设2320192342020S i i i i =+++⋅⋅⋅+,
可得：24201920320023420192020iS i i i i i =++++⋅⋅⋅++，
则242019
23020(1)22020i S i i i i i
i -=++++⋅⋅⋅+-， 2019242019
2020
23020(1)
(1)202020201i i i S i i i i i i
i
i i i
--=+++++⋅⋅⋅+-+-=-，
可得：2
(1)(1)(1)20202020202112
i i i i i S i i i i ++-=+-=+-=-+-，
可得：2021(2021)(1)1011101012
i i i S i i -+-++===---， 故选：B. 【点睛】
本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题.
7．A
解析：A 【解析】 【分析】
首先求得x ,y 的值，然后求解复数的模即可. 【详解】
由题意可得：2x xi yi +=+，结合复数的充分必要条件可知：2x x y =⎧⎨=⎩
，
则2x y ==，22x yi i +=+== 本题选择A 选项. 【点睛】
本题主要考查复数相等的充分必要条件，复数模的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8．A
【解析】
对于选项①,不能说两个复数不能比较大小，如复数3和4就可比较大小，所以该命题是错误的.对于选项②，复数1z i =-对应的点在第二象限，所以该命题是错误的.对于选项③，若(
)(
)
2
2
132x x x i -+++是纯虚数，则21x -=0且232x x ++≠0，所以x=1,所以该命题是错误的. 对于选项④，若()()2
2
12230z z z z -+-=，可以123,0,1z i z z ===， 所以该命题是错误的. 故选A.
9．C
解析：C 【解析】
因为201812z i i =
++()()22231122555i i i i i i --=+=-=--+- ，复数201812z i i
=++对应的点的坐标为3
1,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ，故复数20181
2z i i
=
++对应的点位于第三象限,故选C. 10．C
解析：C 【分析】
先求出z i =-，11z i -=--，即得解. 【详解】
由题得
21(1)21(1)(1)2
i i i z i i i i ---====-++-， 所以11z i -=--，它对应的点的坐标为(1,1)--， 所以在复平面内复数1z -对应的点位于第三象限. 故选：C
11．A
解析：A 【分析】
首先求得复数z ，然后求解其共轭复数并确定模即可. 【详解】 由题意可得：2211i
z i i i i i
+=+=-++=-，
则1,z i z =+=
故选A . 【点睛】
本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12．B
【分析】
设11i
bi ai +=+，化简后利用复数相等列方程求解即可. 【详解】
设
()1,,1i
bi a b R ai
+=∈+， 所以()11i bi ai ab bi +=⋅+=-+，
所以11ab b -=⎧⎨=⎩，
解得11a b =-⎧⎨=⎩
，
故选：B ． 【点睛】
本题主要考查复数的乘法运算，考查复数相等的性质，属于基础题.
二、填空题
13．【分析】设两边乘以相减结合等比数列的求和公式和复数的乘除运算法则计算可得所求和【详解】设上面两式相减可得则故答案为：【点睛】本题考查数列的求和方法：错位相减法以及复数的运算考查等比数列的求和公式以及 解析：10101010i -
【分析】
设232020232020S i i i i =+++⋯+，两边乘以i ，相减，结合等比数列的求和公式和复数的乘除运算法则，计算可得所求和． 【详解】
设232020232020S i i i i =+++⋯+， 2342021232020iS i i i i =+++⋯+，
上面两式相减可得，2320202021(1)2020i S i i i i i -=+++⋯+-
20202021(1)(11)20202020202011i i i i i i i i
--=-=-=---，
则(1)
2020
20201010101012
i i i S i i +=-=-=--． 故答案为：10101010i -． 【点睛】
本题考查数列的求和方法：错位相减法，以及复数的运算，考查等比数列的求和公式，以及化简运算能力，属于中档题．
14．-1【分析】先把转化为复数的三角形式再利用复数三角形式乘法运算法则
进行解题即可【详解】解：复数对应的点在第一象限则所以所以所以故答案为：-1【点睛】本题主要考查由复数的代数形式转化为复数三角形式以及
解析：-1 【分析】
先把12ω=+转化为复数的三角形式，再利用复数三角形式乘法运算法则进行解题即可. 【详解】
解：复数12ω=对应的点在第一象限，则1r ==，1cos 2θ=， 所以arg 3
z π
=，
所以1cos isin 233
ππ
ω=
+=+， 所以3
3cos sin cos isin 133333333i ππππππππω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+++++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.
故答案为：-1. 【点睛】
本题主要考查由复数的代数形式转化为复数三角形式以及复数三角形式的乘法运算法则，属于基础题.
15．【分析】点对应的复数其中则对应的复数其中利用两角和差公式求得的坐标；由则化简可得【详解】点对应的复数其中则对应的复数其中则则故的坐标为；由则得故答案为：；【点睛】本题考查了复数的运算结合考查了两角和
解析：118
(,)55
-1-
【分析】
点A 对应的复数sin )z i αα=+，其中cos αα=
=
A '对
应的复数)sin()]z i αβαβ'=+++，其中34
sin ,cos 55
ββ=
=，利用两角和差公式求得A '的坐标；由ln (,0)z z C z ω=∈≠，i ωπ=，则i z e π=cos sin i ππ=+，化简可得z . 【详解】
点A 对应的复数sin )z i αα=+，其中cos ,sin 1313
αα=
=
，
则A '对应的复数)sin()]z i αβαβ'=+++，其中34
sin ,cos 55
ββ=
=，
则cos()cos cos sin sin 65
αβαβαβ+=-=-
，
sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+=
，
则118
)55
z i '=+=-+，故A '的坐标为118(,)55-；
由ln (,0)z z C z ω=∈≠，i ωπ=，则i z e π=cos sin i ππ=+， 得1z =-. 故答案为：118
(,)55
-；1- 【点睛】
本题考查了复数的运算，结合考查了两角和的正弦、余弦公式，还考查了学生阅读理解能力，分析能力，运算能力，属于中档题.
16．【分析】设复数根据模的计算公式得到化简即可求解【详解】设复数则所以整理得即在复平面内对应的点的坐标的轨迹方程为故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的模的运算以及复数的表示及应用其中解答中熟记复数的模 解析：20x y -+=
【分析】
设复数(,)z x yi x y R =+∈=简即可求解. 【详解】
设复数(,)z x yi x y R =+∈，
则z =
22(2)(2)z i x y i +-=++-=
=20x y -+=，即z 在复平面内对应的点的坐标(,)x y 的轨迹方程为20x y -+=. 故答案为：20x y -+=. 【点睛】
本题主要考查了复数的模的运算，以及复数的表示及应用，其中解答中熟记复数的模的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力.
17．【分析】先化简再根据辐角主值的定义求解即可【详解】因为所以所以所以复数z 的辐角主值为故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的基本运算与辐角主值的辨析属于基础题
解析：
34
π 【分析】
先化简2021
111i z i +⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭
再根据辐角主值的定义求解即可.
【详解】
因为11i i i +=-,所以2021
202111i i i i +⎛⎫
== ⎪-⎝⎭
所以331cos sin
44z i i ππ⎫
=-+=
+⎪
⎭
,所以复数z 的辐角主值为34π. 故答案为：34
π
【点睛】
本题主要考查了复数的基本运算与辐角主值的辨析,属于基础题.
18．-2【分析】设（s ）则则利用是实数可得于是取则代入化简即可得出【详解】设（s ）则则∵是实数∴∴∴∴∴取则∴则故答案为：【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对定理考查了复数的概念考查了复数的性
解析：-2 【分析】
设1i x s t =+（s ，t ∈R ，0t ≠）．则2i x s t =-．则122x x s +=，22
12x x s t =+．利用
212
x x 是实数，可得223s t =．于是122x x s +=，22
12x x s t =+．2
1122
10x x x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，取1
2
x x ω=，则210ωω++=，31ω=．代入化简即可得出． 【详解】
设1i x s t =+（s ，t ∈R ，0t ≠）．则2i x s t =-．
则122x x s +=，22
12x x s t =+．
∵()2
23223122222i 33i i s t x s st s t t x s t s t s t
+--==+-++是实数， ∴2330s t t -=， ∴223s t =．
∴122x x s +=，22
12x x s t =+．
∴()2
222
1212121242s x x x x x x x x =+=++=，
∴
12
21
10x x x x ++=， 取1
2
x x ω=， 则210ωω++=，
∴31ω=． 则
2
4
8
16
32
248163211111122222211x x x x x x S x x x x x x ωωωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=++++++=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
220ωωωω=++++
2=-．
故答案为：2-． 【点睛】
本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对定理，考查了复数的概念，考查了复数的性质
210ωω++=，属于中档题.
19．【分析】设求出后再求其模利用可求模的最大值【详解】设则故其中当时故答案为：2【点睛】本题考查复数的乘法共轭复数以及复数的模处理复数的模的问题有两个思路：（1）利用复数的几何意义求解；（2）复数问题实 解析：2
【分析】
设,,z a bi a b R =+∈，求出()()z i z i +-后再求其模，利用221a b +=可求模的最大值. 【详解】
设,,z a bi a b R =+∈，则()()()2
2
()()111z i z i a b i a b i a b +-=+-+-=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，
故()()z i z i +-=
=[]1,1b ∈-.
当1b =-时，max ()()2z i z i +-=， 故答案为：2. 【点睛】
本题考查复数的乘法、共轭复数以及复数的模，处理复数的模的问题有两个思路：（1）利用复数的几何意义求解；（2）复数问题实数化即把复数的模的问题归结实部和虚部的问题（即实数范围内的问题），本题属于中档题.
20．【分析】根据复数的乘法运算可求z 写出其共轭复数即可【详解】因为所以故填【点睛】本题主要考查了复数的运算共轭复数属于中档题 解析：1i -
【分析】
根据复数的乘法运算可求z,写出其共轭复数即可. 【详解】
因为()1z i i =-1i =+， 所以 1z i =-， 故填1i - 【点睛】
本题主要考查了复数的运算，共轭复数，属于中档题.
三、解答题
21．（1）1；（2）1,12⎛⎫
- ⎪⎝⎭
；（3）见解析
【解析】
分析：（1）由222211a b z a bi a b i z a bi a b a b ω⎛⎫⎛⎫=+
=++=++- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭
，由12ω-<<得R ω∈，从而虚部为0，得221a b +=，进而可得解；
（2）由（1）知()21,2a ω=∈-，从而求a 范围即可；
（3）化简()
()
2
22
2
121a b bi
u a b ---=
++，由（1）知221a b +=，则
()
2
2
211b
b
u i i a
a b
=-
=-+++，从而得证. 详解：（1）
22222211a bi a b z a bi a bi a b i z a bi a b a b a b ω-⎛⎫⎛⎫=+
=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝
⎭⎝⎭， 由12ω-<<得R ω∈， 则22
0b
b a b
-
=+， 由0b ≠，解得221a b +=，
所以1z =
=，
（2）由（1）知()21,2a ω=∈-，所以1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝
⎭
，
即复数z 的实部的取值范围是1,12⎛⎫
-
⎪⎝⎭
. （3）()()()()(
)()()
()22
22
12111111111a b bi a bi a bi a bi z u z a bi a bi a bi a b ---⎡⎤⎡⎤--+----⎣⎦⎣⎦====+++⎡⎤⎡⎤+++-++⎣⎦⎣⎦ ， 由（1）知2
2
1a b +=，则()
2
2
211b
b
u i i a
a b
=-
=-+++， 应为0b ≠，所以u 为纯虚数.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
22．（1）42i +；（2）()2,2-. 【分析】 (1)根据2z i R +∈、
2z
R i
∈-，结合复数的加法、除法运算即可求出z ，进而由共轭复数的概念求得z ；(2) 复数()2
z mi +在复平面上对应的点在第四象限，即对应复数的实部、虚部都小于0，解不等式即可求得m 的范围 【详解】
（1）设(),z x yi x y R =+∈，则()22z i x y i +=++ ∵2z i R +∈ ∴2y =-
又
22242255z x i x x i R i i -+-==+∈--， ∴4x =
综上，有42z i =- ∴42z i =+
（2）∵m 为实数，且()()()
()2
2
2
4212482z mi m i m m m i +=+-=+-+-⎡⎤⎣⎦
∴由题意得()2
1240
820m m m ⎧+->⎪⎨-<⎪⎩
，解得22m -<<
故，实数m 的取值范围是()2,2- 【点睛】
本题考查了复数，利用复数的四则运算及共轭复数的概念求复数，另外依据复数所处的象限求参数范围
23．(1)轨迹是以点(1,1)-为圆心
.(2)[4,0]-. 【分析】
(1)由复数相等的定义化简得出0t y x =-，将其代入2
00220t t xy ++=中即可得出所求点
的轨迹方程；
(2)将方程的根转化为直线与圆的交点问题，由圆心到直线的距离小于等于半径，即可求得方程实根的取值范围. 【详解】
解:(1)设方程实根为0t .
根据题意得2
00(2)2()0(,)t i t xy x y i x y ++++-=∈R ,
即()
()2
000220t t xy t x y i ++++-=.
根据复数相等的充要条件,得2000
220
0t t xy t x y ⎧++=⎨
+-=⎩①
由①得0t y x =-,代入2
00220t t xy ++=得2()2()20y x y x xy -+-+=
即22
(1)(1)2x y -++=.
所以所求的点的轨迹方程是2
2
(1)(1)2x y -++=,
轨迹是以点(1,1)-为圆心为半径的圆.
(2)由(1)得圆心为(1,1)-,半径r =
直线0t y x =-与圆有公共点,
2,即022t +,所以040t -.
故方程实根的取值范围是[4,0]-. 【点睛】
本题主要考查了复数相等的定义以及直线与圆的位置关系，属于中档题.
24．（1）12112z z i ⋅=+，125OZ OZ ⋅=-；（2）证明详见解析，当ab cd =时. 【分析】
（1）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出12z z ⋅，可知()11,2OZ =，
()23,4OZ =-，然后进行数量积的坐标运算即可；
（2）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出12z z ⋅，以及复数的几何意义表示出
1OZ 、2OZ 计算其数量积，利用作差法比较2
21212,||z z OZ OZ ⋅⋅的大小，并得出何时取
等号. 【详解】
解：（1）()()121234112z z i i i ⋅=+⋅-=+
()11,2OZ =，()23,4OZ =-
所以125OZ OZ ⋅=- 证明（2）
1z a bi =+，2z c di =+
()()12ac bd ad z i z bc =-++∴⋅
()()2
2
2
12z z ac bd ad bc ∴⋅=-++
()1,OZ a b =，()2,OZ c d =
12OZ OZ ac bd ∴⋅=+，()2
2
12
OZ OZ ac bd ⋅=+
()()()2
2
2
2
21212||z z OZ OZ ac bd ad bc ac bd ∴-⋅-⋅=-+++ ()()2
2
40ad bc ac bd ad cb =--=+⋅≥
所以1212OZ OZ z z ⋅≤⋅，当且仅当ad cb =时取“=”，此时12OZ OZ .
【点睛】
本题考查了复数的乘法运算法则，向量坐标的数量积运算，复数的模长的计算公式，考查了计算能力，属于基础题． 25．（1）6π，23π；（2）①周期T π=，单调减区间511[,]1212
k k ππππ++，k ∈Z ；②78
-
【分析】
根据复数相等的概念列方程，求得关于,,sin 2,cos 2m x x λ的关系式. （1）将0λ=代入上述求得的关系式，由此解出x 的值. （2）由上述求得的关系式，求得()f x λ=的表达式.
①利用辅助角公式和三角函数最小正周期和的单调减区间的求法，求得()f x 的最小正周期和单调递减区间.
②利用二倍角公式和诱导公式，求得cos(4)3
π
α+的值.
【详解】
由于12z z =
，所以sin 22x m m x
λ=⎧⎪
⎨=⎪⎩
，故sin 22x x λ=.
（1）当0λ=
时，sin 220x x -=
，则tan 2x =
0πx <<所以
022πx <<，所以π23x =
或4π23x =，所以π6x =或2π
3
x =
. （2
）由于sin 22x x λ=，故(
)πsin 222sin 23f x x x x ⎛
⎫=-=- ⎪⎝
⎭
. ①函数()f x 的最小正周期为2ππ2T =
=.由ππ3π
2π22π232
k x k +≤-≤+，解得5π11πππ1212k x k +
≤≤+，所以函数()f x 的单调递减区间为511[,]1212
k k ππ
ππ++，k ∈Z . ②
依题意π1sin 222sin 232x αα⎛
⎫=-
= ⎪⎝
⎭，所以π1sin 234α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
.所以ππcos 4cos 2236αα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22ππ2cos 212sin 21
63αα⎛⎫⎛⎫
=+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1721168=⨯-=-.
【点睛】
本小题主要考查复数相等的概念，考查辅助角公式，考查三角函数最小正周期、单调区间的求法，考查二倍角公式和诱导公式，考查运算求解能力，属于中档题. 26．（1
）1
i 2
z =+；（2）[]0,2. 【分析】
（1）设(),z a bi b a =+∈R ，根据复数相等，得出关于实数a 、b 的方程组，解出这两个未知数，即可得出复数z 的值；
（2
）利用复数的模长公式以及辅助角公式得出z ω-=，利用正弦函
数的值域可求出z ω-的取值范围. 【详解】
（1）设(),z a bi b a =+∈R ，则z a bi =-，()(
)42a bi a bi i ++-=∴，
即62a bi i +=
，所以621a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩
212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
，
122z i ∴=+；
（2）(
)11sin cos sin cos 222
z i i i ωθθθθ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝-=
+⎭---+
=== 1sin 16πθ⎛⎫ ≤⎝--⎪⎭≤，022sin 46πθ≤--⎛
⎫ ⎪⎝⎭≤∴，
02z ω∴≤-≤，故z ω-的取值范围是[]0,2.
【点睛】
本题考查复数的求解，同时也考查了复数模长的计算，涉及复数相等以及辅助角公式的应用，考查计算能力，属于中等题.。