用函数思想解决有关不等式的解的问题

用函数思想解决有关不等式的解的问题
作者：单正才
来源：《文理导航》2011年第19期
不等式恒成立问题和存在性问题是关于不等式的解的两种基本类型。

从不等式知识本身看：
设f（x）>0的解集为A，则f（x）>0在区间I上恒成立 I A，f（x）>0在区间I上有解
I∩A≠。

但解含参不等式通常比较繁，所以往往要另辟蹊径。

而函数与不等式联系紧密。

如果用函数思想来处理上述问题，往往能达到曲径通幽的效果，下面4个定理就是解决不等式恒成立问题和存在性问题的有力武器。

设函数f（x）在区间I上有最大值和最小值。

定理1：f（x）>m在区间I上恒成立 f（x）>m。

证：f（x）>m在区间I上恒成立 f（x）>m。

反之，f（x）>m f（x）≥f（x）>m f（x）>m在区间I上恒成立。

定理2：f（x）
定理3：f（x）>m在区间I上有解 f（x）>m。

证：f（x）>m在区间I上有解，即 x∈I，使f（x）>m。

故有f（x）≥f（x）>m。

所以f（x）>m。

反之，
f（x）>m f（x）>m在区间I上有解。

定理4：f（x）
说明：
1.设命题p： x∈I，f（x）>m恒成立，则p： x∈I，使f（x）≤m成立。

2.以上定理原不等式右边必须是常数。

3.如果函数f（x）不存在最大值或最小值,但有正常上确界或下确界,原不等式可能带“=” 号, 结论是否带“=”号? 恒成立问题是三带一不带，一不带指函数f（x）有最值且原不等式不带“=”号；存在性问题是一带三不带, 一带指函数f（x）有最值且原不等式带“=”号。

下面略举数例，加以体会。

例一.（2008年江苏高考14题）设f（x）=ax-3x+1（x∈R）。

若对任意x∈[-1，1]，都有f（x）≥0成立。

则实数a的值为_____。

分析：本题属不等式恒成立问题,分离常数后,通过求函数的最值进行转化。

解1.当x=0时，f（x）=1≥0恒成立，a∈R。

ax
a≥-。

设g（x）=-。

则g′（x）=
所以g（x）在-上单调递增，在上单调递减。

因此g（x）=g-=4，从而a≥4。

3.当x
a≤-。

g（x）在[-1，0)上单调递增，因此g（x）=
g（-1）=4，从而，a≤4，以上三种情况应同时成立，所以a=4。

小结：将原不等式等价变形，使一边只含常数，将不等式恒成立问题或存在性问题，转化为求函数的最值或值域问题，这是求解不等式恒成立问题和存在性问题的常用方法。

（作者单位：江苏省滨海县明达中学）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。