2020版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第4讲课后作业理含解析

第2章 函数、导数及其应用 第4讲
A 组 基础关
1．幂函数y ＝m 2－4m (m ∈)的图象如图所示，则m 的值可以为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 答案 C
解析 由图象知，m 2－4m <0且m 2－4m 为偶数，结合四个选项可知，m ＝2.
2．已知α∈
⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫－1，2，12，3，13，若f ()＝α为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则实数α的值是( )
A ．－1,3 B.13，3 C ．－1，1
3，3
D.13，12
，3 答案 B
解析 因为f ()＝α
为奇函数，所以α∈⎩
⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，3，13.因为f ()＝α在(0，＋∞)上单调递增，
所以α∈⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫2，12，3，13，综上知α的值是13，3.
3．(2018·郑州模拟)设abc >0，二次函数f ()＝a 2＋b ＋c 的图象可能是( )
答案 D
解析 由A 中图象知，a <0，c <0，－b
2a <0，所以b <0，与abc >0矛盾；
由B 中图象知，a <0，c >0，－b
2a
>0，所以b >0，与abc >0矛盾；
由C 中图象知，a >0，c <0，－b
2a <0，所以b >0，与abc >0矛盾；
由D 中图象知，a >0，c <0，－b
2a >0，所以b <0，abc >0成立．
4．(2018·安阳模拟)下列选项正确的是( )
A ．0.20.2>0.30.2
B ．2－ 13 <3－ 13
C ．0.8－0.1>1.250.2
D ．1.70.3>0.93.1
答案 D
解析 y ＝0.2在(0，＋∞)上为增函数，且0.2<0.3，所以0.20.2<0.30.2，故A 错误； y ＝－ 13 在(0，＋∞)上为减函数，且2<3，所以2－ 13 >3－ 1
3 ，故B 错误； 因为0.8－0.1＝1.250.1<1.250.2，故C 错误；
因为1.70.3>1.70＝1,0.93.1<0.90＝1，所以1.70.3>0.93.1，故D 正确．
5．(2018·福建三明一中模拟)已知函数f ()＝(－1)·(a ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则f (3－)<0的解集为( )
A ．(2,4)
B ．(－∞，2)∪(4，＋∞)
C ．(－1,1)
D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
答案 B
解析 因为函数f ()＝(－1)(a ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，所以f ()在(－∞，0)上单调递增，又因为f (1)＝0，
所以由f (3－)<0得f (|3－|)<f (1)，
所以|3－|>1，解得>4或<2，
所以f (3－)<0的解集为(－∞，2)∪(4，＋∞)．
6．已知函数f ()＝a 2＋＋5的图象在轴上方，则a 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，120
B.⎝
⎛
⎭⎪⎫－∞，－120
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫120，＋∞ D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－120，0 答案 C
解析 ∵函数f ()＝a 2＋＋5的图象在轴上方， ∴⎩
⎨⎧
a >0，
Δ＝1－4a ×5<0，解得a >120.
7．已知二次函数f ()＝2a 2－a ＋1(a <0)，若1<2，1＋2＝0，则f (1)与f (2)的大小关系为( ) A ．f (1)＝f (2) B ．f (1)>f (2) C ．f (1)<f (2) D ．与a 值有关
答案 C
解析 ∵二次函数f ()＝2a 2－a ＋1(a <0)， ∴函数图象开口向下，对称轴为直线＝1
4.
∵1<2，1＋2＝0，∴1<0，2>0， ∴2－14<1
4
－1，∴f (1)<f (2)．
8．(2019·潍坊质检)已知函数f ()为幂函数，且f (4)＝1
2，则当f (a )＝4f (a ＋3)时，实数a
等于________．
答案
15
解析 设f ()＝α
，则4α
＝1
2，
所以α＝－1
2
.
因此f ()＝－12，从而a －12＝4(a ＋3)－12，解得a ＝1
5
.
9．(2019·安庆模拟)二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线y ＝＋1上，并且经
过点(3，－1)，则二次函数的解析式为________．
答案 y ＝－342＋32＋5
4
解析 由已知可求得顶点坐标为(1,2)，设二次函数的解析式为y ＝a (－1)2＋2(a <0)， 将(3，－1)代入得－1＝a (3－1)2
＋2，解得a ＝－3
4
.
所以二次函数的解析式为y ＝－3
4(－1)2＋2，
即y ＝－342＋32＋5
4
.
10．(2019·南阳模拟)设二次函数f ()＝a 2＋2a ＋1在[－3,2]上有最大值4，则实数a 的值为________．
答案 －3或3
8
解析 此函数图象的对称轴为直线＝－1， 当a >0时，图象开口向上，
所以当＝2时取得最大值，即f (2)＝4a ＋4a ＋1＝4， 解得a ＝3
8
；
当a <0时，图象开口向下，
所以当＝－1时取得最大值，即f (－1)＝a －2a ＋1＝4，解得a ＝－3.
B 组 能力关
1．若关于的不等式2－4－2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－2，＋∞) C ．(－6，＋∞) D ．(－∞，－6)
答案 A
解析 令f ()＝2－4－2－a ，则函数的图象为开口向上且以直线＝2为对称轴的抛物线，故在区间(1,4)上，f ()<f (4)＝－2－a ，若不等式2－4－2－a >0在区间(1,4)内有解，则－2－a >0，解得a <－2.
2．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成二次函数图象的形状(如图所示)．若对应的两条曲线关于y 轴对称，AE ∥轴，AB ＝4 cm ，最低点C 在轴上，高CH ＝1 cm ，BD ＝2 cm ，则右轮廓线DFE 所在的二次函数的解析式为( )
A ．y ＝1
4(＋3)2
B ．y ＝1
2(－3)2
C ．y ＝1
2(＋3)2
D ．y ＝1
4
(－3)2
答案 D
解析 ∵高CH ＝1 cm ，BD ＝2 cm ，且B ，D 关于y 轴对称， ∴D 点坐标为(1,1)，∵AB ∥轴，AB ＝4 cm ， 最低点C 在轴上，∴AB 关于直线CH 对称， ∴左边抛物线的顶点C 的坐标为(－3,0)， ∴右边抛物线的顶点F 的坐标为(3,0)， 设右边抛物线的解析式为y ＝a (－3)2， 把D (1,1)代入得1＝a ×(1－3)2，解得a ＝1
4，
∴右边抛物线的解析式为y ＝1
4(－3)2.
3．(2018·天津高考)已知a ∈R ，函数f ()＝
⎩
⎨⎧
x 2
＋2x ＋a －2，x ≤0，
－x 2
＋2x －2a ，x >0，若对任意∈[－3，＋∞)，f ()≤||恒成立，则a 的取值范围是________．
答案 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤18，2
解析 当－3≤≤0时，由f ()≤||得，2＋2＋a －2≤－.即a ≤－2－3＋2，而－2－3＋2的最小值为2，所以a ≤2.当>0时，由f ()≤||得，－2＋2－2a ≤.即2a ≥－2＋，而－2＋的最大值为14，所以a ≥1
8
.
综上可知，1
8
≤a ≤2.
4．已知函数f ()＝a 2－2a ＋2＋b (a ≠0)，若f ()在区间[2,3]上有最大值5，最小值2. (1)求a ，b 的值；
(2)若b <1，g ()＝f ()－m 在[2,4]上单调，求m 的取值范围． 解 (1)f ()＝a (－1)2＋2＋b －a . 当a >0时，f ()在[2,3]上为增函数，
故⎩⎨⎧ f 35，f 2
2
⇒⎩⎨⎧ 3a ＋2＋b ＝5，2＋b ＝2⇒⎩⎨⎧
a ＝1，
b ＝0.
当a <0时，f ()在[2,3]上为减函数，
故⎩⎨⎧
f 3
2，f 2
5
⇒⎩⎨⎧
3a ＋2＋b ＝2，2＋b ＝5⇒⎩⎨⎧
a ＝－1，
b ＝3.
故当a >0时，a ＝1，b ＝0，当a <0时，a ＝－1，b ＝3. (2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0，即f ()＝2－2＋2.
g ()＝2－2＋2－m ＝2－(2＋m )＋2，
∵g ()在[2,4]上单调，∴2＋m 2≤2或m ＋2
2≥4.
∴m ≤2或m ≥6.
故m 的取值范围为(－∞，2]∪[6，＋∞)．
5.若二次函数f ()＝a 2＋b ＋c (a ≠0)满足f (＋1)－f ()＝2，且f (0)＝1.
(1)求f ()的解析式；
(2)若在区间[－1,1]上，不等式f ()>2＋m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)由f (0)＝1，得c ＝1，所以f ()＝a 2＋b ＋1. 又f (＋1)－f ()＝2，
所以a (＋1)2＋b (＋1)＋1－(a 2＋b ＋1)＝2，
即2a ＋a ＋b ＝2，所以⎩⎨⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，所以⎩⎨⎧
a ＝1，
b ＝－1，
因此，所求解析式为f ()＝2－＋1.
(2)f ()>2＋m 等价于2－＋1>2＋m ，即2－3＋1－m >0，要使此不等式在区间[－1,1]上恒成立，只需使函数g ()＝2－3＋1－m 在区间[－1,1]上的最小值大于0即可．
因为g ()＝2－3＋1－m 在区间[－1,1]上单调递减，所以g ()min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0，得m <－1.因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．。