开江县XX中学2019年10月九年级上月考数学试卷(有答案)(精品文档)

2019-2020XXX年级（上）月考数学试卷（10月份）
一.填空题
1．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）
A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5
2．李明去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现共送礼物20件，若设有n人参加聚会，根据题意可列出方程为（）
A． =20 B．n（n﹣1）=20 C． =20 D．n（n+1）=20
3．在直角坐标系中，已知O（0，0），A（2，0），B（0，4），C（0，3），D为x轴上一点，若以D、O、C为顶点的三角形与△AOB相似，这样的D点有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
4．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边上一点，AB=5，AC=4，若△ABC∽△BDC，则CD=（）
A．2 B．C．D．
5．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（）
A．B．C．D．
6．如图，△ABC中，D为BC中点，E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，则为（）
A．1：5 B．1：4 C．1：3 D．1：2
7．如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是BC、CD上的点，且△AEF是等边三角形，则BE的长为（）
A．B．C．D．
8．已知，如图所示的一张三角形纸片ABC，边AB的长为20cm，AB边上的高为25cm，在三角形纸片ABC中从下往上依次裁剪去宽为4cm的矩形纸条，若剪得的其中一张纸条是正方形，那么这张正方形纸条是（）
A．第4张B．第5张C．第6张D．第7张
9．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25
10．如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG ⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：
①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ•AC，
其中正确的结论的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题
11．某印刷厂一月份印刷了科技书籍50万册，第一季度共印182万册，设平均每月的增长率是x，则列方
程为．
12．从1、2、3、4中任取一个数作为十位上的数，再从2、3、4中任取一个数作为个位上的数，那么组成的两位数是3的倍数的概率是．
13．如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且，过点D作DE∥BC交AB于点E，连接CE，过点D作DF∥CE交AB于点F．若AB=15，则EF= ．
14．如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为m．
15．正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG边长为2，正方形EIMN边长为4，以后的正方形边长按此规律扩大，其中点B、C、E、I…在同一条直线上，连接BF交CG于点K，连接CM交EN于点H，记△BCK的面积为S1，△CEH的面积为S2，…，依此规律，S n= ．
16．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：
①△ABE≌△DCF；②；③DP2=PH•PB；④．
其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）
三、解答题（共9小题，满分72分）
17．解方程
（1）2x2+1=3x（配方法）
（2）3x2+5（2x+1）=0（公式法）
（3）用适当的方法解方程：x2﹣2x﹣3=0．
18．有一枚均匀的正四面体，四个面上分别标有数字：1，2，3，4，小红随机地抛掷一次，把着地一面的数字记为x；另有三张背面完全相同，正面上分别写有数字﹣2，﹣1，1的卡片，小亮将其混合后，正面朝下放置在桌面上，并从中随机地抽取一张，把卡片正面上的数字记为y；然后他们计算出S=x+y的值．（1）用树状图或列表法表示出S的所有可能情况；
（2）分别求出当S=0和S＜2时的概率．
19．已知：▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣=0的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？
20．毕业在即，某商店抓住商机，准备购进一批纪念品，若商店花440元可以购进50本学生纪念品和10本教师纪念品，其中教师纪念品的成本比学生纪念品的成本多8元．
（1）请问这两种不同纪念品的成本分别是多少？
（2）如果商店购进1200个学生纪念品，第一周以每个10元的价格售出400个，第二周若按每个10元的价格仍可售出400个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出100个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售一周后，商店对剩余学生纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批纪念品共获利2500元，问第二周每个纪念品的销售价格为多少元？21．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，过点C作CE⊥AD，垂足为E，
CE的延长线交AB于点F，过点E作EG∥BC交AB于点G，AE•AD=16，．
（1）求AC的长；
（2）求EG的长．
22．某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米．
如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．
23．如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是DB延长线上一点，且△ACE是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠AEB=2∠EAB，求证：四边形ABCD是正方形．
24．如图，已知：在正方形ABCD中，点P在AC上，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F．
（1）试判断线段EF与PD的长是否相等，并说明理由．
（2）若点O是AC的中点，判断OF与OE之间有怎样的位置和数量关系？并说明理由．
25．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，CD=4cm，BC=BD=10cm，点P由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD于Q，连接PE．若设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，PE∥AB；
（2）设△PEQ的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S△PEQ=S△BCD？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；
（4）连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE的面积是否发生变化？说明理由．
2019-2020江县XX中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一.填空题
1．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）
A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】根据方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，结合一元二次方程的定义以及根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，
∴，即，
解得：k＜5且k≠1．
故选B．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程根的个数结合一元二次方程的定义以及根的判别式得出不等式组是关键．
2．李明去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现共送礼物20件，若设有n人参加聚会，根据题意可列出方程为（）
A． =20 B．n（n﹣1）=20 C． =20 D．n（n+1）=20
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】设有n人参加聚会，则每人送出（n﹣1）件礼物，根据共送礼物20件，列出方程．
【解答】解：设有n人参加聚会，则每人送出（n﹣1）件礼物，
由题意得，n（n﹣1）=20．
故选B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
3．在直角坐标系中，已知O（0，0），A（2，0），B（0，4），C（0，3），D为x轴上一点，若以D、O、C为顶点的三角形与△AOB相似，这样的D点有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【考点】相似三角形的性质；坐标与图形性质．
【分析】由相似三角形对应边成比例且夹角相等的三角形相似，分别从若△OCD∽△OBA与若△OCD∽△OAB
去分析即可求得答案．
【解答】解：如图：
若△OCD∽△OBA，
则需=，
∴=，
∴OD=，
∴D与D′的坐标分别为（，0），（﹣，0），
若△OCD∽△OAB，
则需=，即=，
∴OD=6，
∴D″与D′″的坐标分别为（6，0），（﹣6，0）．
∴若以D、O、C为顶点的三角形与△AOB相似，这样的D点有4个．
故选C．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，根据对应顶点的情况讨论是解题关键．
4．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边上一点，AB=5，AC=4，若△ABC∽△BDC，则CD=（）
A．2 B．C．D．
【考点】相似三角形的性质．
【分析】根据△ABC∽△BDC，利用相似三角形对应边成比例解答即可．
【解答】解：∵∠C=90°，AB=5，AC=4
∴BC=3
∵△ABC∽△BDC
∴
∴
∴CD=．
故选D．
【点评】此题考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，还考查了勾股定理．5．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（）
A．B．C．D．
【考点】菱形的性质；勾股定理．
【分析】根据菱形的性质得出BO、CO的长，在RT△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AE，可得出AE的长度．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CO=AC=3cm，BO=BD=4cm，AO⊥BO，
∴BC==5cm，
∴S菱形ABCD==×6×8=24cm2，
∵S菱形ABCD=BC×AE，
∴BC×AE=24，
∴AE=cm，
故选D．
【点评】此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．
6．如图，△ABC中，D为BC中点，E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，则为（）
A．1：5 B．1：4 C．1：3 D．1：2
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】过D作BF的平行线，交AC边于G，即：DG∥BF，又D为BC中点可得出：△CDG∽△CBF，即：
==，CG=FC=FG；同理可得：△AEF∽△ADG，AF=AG=FG，所以AF=FG=GC，即： ==．【解答】解：过D作BF的平行线，交AC边于G，如下图所示：
∵D为BC中点，DG∥BF
∴∠CGD=∠CFB
又∵∠C=∠C
∴△CDG∽△CBF
∴==，即：CG=CF=FG
又E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，DG∥BF
同理可得：△AEF∽△ADG
∴==，即：AF=AG=FG
∴AF=FG=GC
∴===1：2
故选：D．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，关键在于找出条件判断两个三角形相似，再运用相似三角形的性质求解．
7．如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是BC、CD上的点，且△AEF是等边三角形，则BE的长为（）
A．B．C．D．
【考点】一元二次方程的应用；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；正方形的性质．【专题】几何图形问题．
【分析】由于四边形ABCD是正方形，△AEF是等边三角形，所以首先根据已知条件可以证明△ABE≌△ADF，再根据全等三角形的性质得到BE=DF，设BE=x，那么DF=x，CE=CF=1﹣x，那么在Rt△ABE和Rt△ADF利用勾股定理可以列出关于x的方程，解方程即可求出BE．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠D=90°，AB=AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=EF=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
设BE=x，那么DF=x，CE=CF=1﹣x，
在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2，
在Rt△CEF中，FE2=CF2+CE2，
∴AB2+BE2=CF2+CE2，
∴x2+1=2（1﹣x）2，
∴x2﹣4x+1=0，
∴x=2±，而x＜1，
∴x=2﹣，
即BE的长为=2﹣．
故选A．
【点评】此题主要考查了正方形、等边三角形的知识，把求线段长放在正方形的背景中，利用勾股定理列出一元二次方程解决问题．
8．已知，如图所示的一张三角形纸片ABC，边AB的长为20cm，AB边上的高为25cm，在三角形纸片ABC中从下往上依次裁剪去宽为4cm的矩形纸条，若剪得的其中一张纸条是正方形，那么这张正方形纸条是（）
A．第4张B．第5张C．第6张D．第7张
【考点】相似三角形的应用．
【分析】根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张．
【解答】解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3，
所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x，
则=，
解得x=5，
所以另一段长为25﹣5=20，
因为20÷4=5，所以是第5张．
故选：B．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用；由相似三角形的性质得出比例式是解决问题的关键．
9．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】根据相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根据相似三角形的性质定理得到=， = =，结合图形得到=，得到答案．
【解答】解：∵DE∥AC，
∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA=1：25，
∴=，
∵DE∥AC，
∴==，
∴=，
∴S△BDE与S△CDE的比是1：4，
故选：B．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
10．如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG ⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：
①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ•AC，
其中正确的结论的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【分析】由正方形的性质得出∠FAD=90°，AD=AF=EF，证出∠CAD=∠AFG，由AAS证明△FGA≌△ACD，得出AC=FG，①正确；
证明四边形CBFG是矩形，得出S△FAB=FB•FG=S四边形CBFG，②正确；
由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出∠ABC=∠ABF=45°，③正确；
证出△ACD∽△FEQ，得出对应边成比例，得出D•FE=AD2=FQ•AC，④正确．
【解答】解：∵四边形ADEF为正方形，
∴∠FAD=90°，AD=AF=EF，
∴∠CAD+∠FAG=90°，
∵FG⊥CA，
∴∠C=90°=∠ACB，
∴∠CAD=∠AFG，
在△FGA和△ACD中，，
∴△FGA≌△ACD（AAS），
∴AC=FG，①正确；
∵BC=AC，
∴FG=BC，
∵∠ACB=90°，FG⊥CA，
∴FG∥BC，
∴四边形CBFG是矩形，
∴∠CBF=90°，S△FAB=FB•FG=S四边形CBFG，②正确；
∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°，
∴∠ABC=∠ABF=45°，③正确；
∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°，
∴△ACD∽△FEQ，
∴AC：AD=FE：FQ，
∴AD•FE=AD2=FQ•AC，④正确；
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．
二．填空题
11．某印刷厂一月份印刷了科技书籍50万册，第一季度共印182万册，设平均每月的增长率是x，则列方程为50+50（1+x）+50（1+x）2=182 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题．
【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设平均每月的增长率是x，根据“第一季度共印182万册”可得出方程．
【解答】解：设平均每月的增长率是x，
根据“第一季度共印182万册”可得出方程50+50（1+x）+50（1+x）2=182．
故填空答案：50+50（1+x）+50（1+x）2=182．
【点评】本题可按照增长率的一般规律进行解答，此题要注意是一个季度共印182万册．
12．从1、2、3、4中任取一个数作为十位上的数，再从2、3、4中任取一个数作为个位上的数，那么组成
的两位数是3的倍数的概率是．
【考点】概率公式．
【分析】分析可得：从1，2，3，4中任取一个数作为十位上的数，再从2，3，4中任取一个数作为个位上
的数，共12种取法，其中4个两位数是3的倍数，故其概率为．
【解答】解：P（两位数是3的倍数）=4÷12=．
故本题答案为：．
【点评】本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
13．如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且，过点D作DE∥BC交AB于点E，连接CE，过点D作
DF∥CE交AB于点F．若AB=15，则EF= ．
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】计算题；线段、角、相交线与平行线．
【分析】由DE与BC平行，由平行得比例求出AE的长，再由DF与CE平行，由平行得比例求出EF的长即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴=，
∵=，
∴=，即=，
∵AB=15，
∴AE=10，
∵DF∥CE，
∴=，即=，
解得：AF=，
则EF=AE﹣AF=10﹣=，
故答案为：
【点评】此题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例性质是解本题的关键．
14．如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为 2 m．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何图形问题．
【分析】设人行道的宽度为x米，根据矩形绿地的面积之和为480米2，列出一元二次方程．
【解答】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，
（30﹣3x）（24﹣2x）=480，
解得x1=20（舍去），x2=2．
即：人行通道的宽度是2m．
故答案是：2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，利用两块相同的矩形绿地面积之和为480米2得出等式是解题关键．
15．正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG边长为2，正方形EIMN边长为4，以后的正方形边长按此规律扩大，其中点B、C、E、I…在同一条直线上，连接BF交CG于点K，连接CM交EN于点H，记△BCK的面积为
S1，△CEH的面积为S2，…，依此规律，S n= ．
【考点】正方形的性质．
【专题】规律型．
【分析】首先证明△BCK∽△CEH，得=（）2，求出S1、S2、S3、…探究规律后即可解决问题．
【解答】解：如图，∵CK∥EF，
∴=，
∴=，
∴CK=，
同理可得：EH=，
∴=，
∵∠BCK=∠CEH=90°，
∴△BCK∽△CEH，
∴=（）2，
∵S1=•1•=，
∴S2=•4，
S3=•（4）2，
…
S n=•（4）n﹣1=．
故答案为．
【点评】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用相似三角形的性质，记住相似三角形的面积比定义相似比的平方，属于中考常考题型．
16．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：
①△ABE≌△DCF；②；③DP2=PH•PB；④．
其中正确的是①③．（写出所有正确结论的序号）
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质．
【分析】①根据等边三角形的性质和正方形的性质，得到∠ABE=∠DCF，∠A=∠ADC，AB=CD，证得△ABE≌△DCF，①正确；
②由于∠FDP=∠PBD，∠DFP=∠BPC=60°，推出△DFP∽△BPH，得到===tan∠DCF=，②错误；
③由于∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC，推出△DPH∽△CPD，得到=，PB=CD，等量代换得到DP2=PH•PB，
③正确；
④设正方形ABCD的边长是3，则PB=BC=AD=3，求得∠EBA=30°，得出AE、BE、EP的长，由S△BED=S ABD﹣S ABE，S△EPD=S△BED，求得=，④错误；即可得出结论．
【解答】解：①∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△DCF（ASA），
故①正确；
②∵PC=CD，∠PCD=30°，
∴∠PDC=75°，
∴∠FDP=15°，
∵∠DBA=45°，
∴∠PBD=15°，
∴∠FDP=∠PBD，
∵∠DFP=∠FCB=∠BPC=60°，
∴△DFP∽△BPH，
∴===tan∠DCF=，
故②错误；
③∵∠FDP=15°，
∴∠PDH=30°
∴∠PDH=∠PCD，
∵∠DPH=∠DPC，
∴△DPH∽△CDP，
∴=，
∴DP2=PH•CD，
∵PB=CD，
∴DP2=PH•PB，
故③正确；
④设正方形ABCD的边长是3，
∵△BPC为正三角形，
∴∠PBC=60°，PB=BC=AD=3，
∴∠EBA=30°，
∴AE=ABtan30°=3×=，
BE===2，
∴EP=BE﹣BP=2﹣3，
S△BED=S ABD﹣S ABE=×3×3﹣×3×=，
S△EPD=S△BED=×=，
∴==，
故④错误；
∴正确的是①③；
故答案为：①③．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定、等边三角形的性质、正方形的性质、三角形面积计算、三角函数等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质、三角形面积计算、三角函数是解决问题的关键．
三、解答题（共9小题，满分72分）
17．解方程
（1）2x2+1=3x（配方法）
（2）3x2+5（2x+1）=0（公式法）
（3）用适当的方法解方程：x2﹣2x﹣3=0．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法．
【分析】（1）先移项化为：2x2﹣3x=﹣1，再两边除以2，将二次项系数化为1，同加进行配方；（2）化为一般式，计算△，代入求根公式即可；
（3）利用十字相乘分解因式解方程．
【解答】解：（1）2x2+1=3x（配方法），
x2﹣x=﹣，
x2﹣x+=﹣+，
（x﹣）2=，
x﹣=±，
x1=1，x2=；
（2）3x2+5（2x+1）=0（公式法），
3x2+10x+5=0，
△=102﹣4×3×5=100﹣60=40，
x=，
x=，
x=，
x1=，x2=；
（3）用适当的方法解方程：x2﹣2x﹣3=0，
（x﹣3）（x+1）=0，
x﹣3=0，x+1=0，
x1=3，x2=﹣1．
【点评】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．这些方法中配方法和公式法适合所有方程，但比较麻烦；用配方法解一元二次方程时要注意：①把原方程要化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②二次项系数需
化为1，方程两边同时加上一次项系数一半的平方；用公式法解一元二次方程时，必须将原方程化为一般式
后，再代入求根公式：x=解方程．
18．有一枚均匀的正四面体，四个面上分别标有数字：1，2，3，4，小红随机地抛掷一次，把着地一面的数字记为x；另有三张背面完全相同，正面上分别写有数字﹣2，﹣1，1的卡片，小亮将其混合后，正面朝下放置在桌面上，并从中随机地抽取一张，把卡片正面上的数字记为y；然后他们计算出S=x+y的值．（1）用树状图或列表法表示出S的所有可能情况；
（2）分别求出当S=0和S＜2时的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．
【解答】解：（1）画树状图
（2）由图（或表）可知，所有可能出现的结果有12种，其中S=0的有2种，S＜2的有5种，2分
∴P（S=0）==，2分
P（S＜2）=． 2分
【点评】树状图法适用于两步或两步以上完成的事件．解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19．已知：▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣=0的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？
【考点】一元二次方程的应用；平行四边形的性质；菱形的性质．
【专题】应用题；压轴题．
【分析】（1）让根的判别式为0即可求得m，进而求得方程的根即为菱形的边长；
（2）求得m的值，进而代入原方程求得另一根，即易求得平行四边形的周长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∴△=0，即m2﹣4（﹣）=0，
整理得：（m﹣1）2=0，
解得m=1，
当m=1时，原方程为x2﹣x+=0，
解得：x1=x2=0.5，
故当m=1时，四边形ABCD是菱形，菱形的边长是0.5；
（2）把AB=2代入原方程得，m=2.5，
把m=2.5代入原方程得x2﹣2.5x+1=0，解得x1=2，x2=0.5，
∴C▱ABCD=2×（2+0.5）=5．
【点评】综合考查了平行四边形及菱形的有关性质；利用解一元二次方程得到两种图形的边长是解决本题的关键．
20．毕业在即，某商店抓住商机，准备购进一批纪念品，若商店花440元可以购进50本学生纪念品和10本教师纪念品，其中教师纪念品的成本比学生纪念品的成本多8元．
（1）请问这两种不同纪念品的成本分别是多少？
（2）如果商店购进1200个学生纪念品，第一周以每个10元的价格售出400个，第二周若按每个10元的价格仍可售出400个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出100个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售一周后，商店对剩余学生纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批纪念品共获利2500元，问第二周每个纪念品的销售价格为多少元？【考点】一元二次方程的应用；一元一次方程的应用．
【分析】（1）可设学生纪念品的成本为x元，根据题意列方程即可求解；
（2）第二周销售的销量=400+降低的元数×100；第二周每个旅游纪念品的销售价格降x元，根据纪念品的进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润，进而得出等式求出即可．
【解答】解：（1）设学生纪念品的成本为x元，根据题意得：
50x+10（x+8）=440，
解得：x=6，
∴x+8=6+8=14．
答：学生纪念品的成本为6元，教师纪念品的成本为14元．
（2）第二周单价降低x元后，这周销售的销量为400+100x，由题意得出：
400×（10﹣6）+（10﹣x﹣6）（400+100x）+（4﹣6）[（1200﹣400）﹣（400+100x）]=2500，
即1600+（4﹣x）（400+100x）﹣2（400﹣100x）=2500，
整理得：x2﹣2x+1=0，
解得：x1=x2=1，
则10﹣1=9元．
答：第二周每个纪念品的销售价格为9元．
【点评】考查了一元一次方程的应用和一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
21．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，过点C作CE⊥AD，垂足为E，
CE的延长线交AB于点F，过点E作EG∥BC交AB于点G，AE•AD=16，．
（1）求AC的长；
（2）求EG的长．
【考点】相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；三角形中位线定理．
【专题】几何图形问题．
【分析】（1）∠CAD是公共角，∠ACB=∠AEC=90°，所以△ACE和△ADC相似，根据相似三角形对应边成比例，列出比例式整理即可得到AC2=AE•AD，代入数据计算即可；
（2）根据勾股定理求出BC的长度为8，再根据AD平分∠CAB交BC于点D，CE⊥AD证明△ACE和△AFE全等，根据全等三角形对应边相等，CE=EF，最后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半EG=BC．
【解答】解：（1）∵CE⊥AD，
∴∠AEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠AEC=∠ACB，
又∠CAE=∠CAE，
∴△ACE∽△ADC，
∴，
即AC2=AE•AD，
∵AE•AD=16，
∴AC2=16，
∴AC=4；
（2）在△ABC中，BC===8，
∵AD平分∠CAB交BC于点D，
∴∠CAE=∠FAE，
∵CE⊥AD，
∴∠AEC=∠AEF=90°，
在△ACE和△AFE中，
，
∴△ACE≌△AFE（ASA），
∴CE=EF，
∵EG∥BC，
∴EG=BC=×8=4．
【点评】本题主要考查两角对应相等，两三角形相似，相似三角形对应边成比例，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键，难度适中．
22．某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米．
如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．
【考点】相似三角形的应用．
【分析】根据镜面反射原理结合相似三角形的判定方法得出△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH，进而利用相似三角形的性质得出AB的长．
【解答】解：由题意可得：∠ABC=∠EDC=∠GFH=90°，
∠ACB=∠ECD，∠AFB=∠GHF，
故△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH，。