四川省攀枝花市2021届新高考模拟化学试题(校模拟卷)含解析

四川省攀枝花市2021届新高考模拟化学试题（校模拟卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别为棱1AA 、1CC 、11B C 、11A B 的中点，则下列各直线中，不与平面1ACD 平行的是（ ）
A ．直线EF
B ．直线GH
C ．直线EH
D ．直线1A B
【答案】C 【解析】 【分析】
充分利用正方体的几何特征，利用线面平行的判定定理，根据//EF AC 判断A 的正误.根据
1111//,//GH A C A C AC ，判断B 的正误.根据11//,EH C D C D 与 1D C 相交，判断C 的正误.根据
11//A B D C ，判断D 的正误.
【详解】
在正方体中，因为//EF AC ，所以//EF 平面1ACD ，故A 正确.
因为1111//,//GH A C A C AC ，所以//GH AC ，所以//GH 平面1ACD 故B 正确. 因为11//A B D C ，所以1//A B 平面1ACD ，故D 正确.
因为11//,EH C D C D 与 1D C 相交，所以 EH 与平面1ACD 相交，故C 错误. 故选：C 【点睛】
本题主要考查正方体的几何特征，线面平行的判定定理，还考查了推理论证的能力，属中档题. 2．在直角梯形ABCD 中，0AB AD ⋅=uu u r uuu r
，30B ∠=︒，23AB =2BC =，点E 为BC 上一点，且
AE xAB y AD =+u u u r u u u r u u u r
，当xy 的值最大时，||AE =u u u r ( )
A 5
B ．2
C ．
30
2
D ．23【答案】B
【解析】 【分析】
由题，可求出1,AD CD ==
2AB DC =u u u r u u u r
，根据共线定理，设(01)BE BC λλ=u u u r u u u r 剟，利用向量三
角形法则求出12AE AB AD λλ⎛⎫=-+ ⎪
⎝⎭
u u u u r u u u v u uv ，结合题给AE xAB y AD =+u u u r u u u r u u u r ，得出1,2x y λ
λ=-=，进而得出12xy λλ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，最后利用二次函数求出xy 的最大值，即可求出||AE =u u u r .
【详解】
由题意，直角梯形ABCD 中，0AB AD ⋅=uu u r uuu r
，30B ∠=︒
，AB =2BC =，
可求得1,AD CD ==
2AB DC =u u u r
u u u r
·
∵点E 在线段BC 上， 设(01)BE BC λλ=u u u r u u u r
剟 ， 则()AE AB BE AB BC AB BA AD DC λλ=+=+=+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
(1)12AB AD DC AB AD λλλλλ⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
，
即12AE AB AD λλ⎛⎫=-+ ⎪
⎝⎭
u u u u r u u u v u uv ， 又因为AE xAB y AD =+u u u r u u u r u u u r
所以1,2
x y λ
λ=-
=，
所以22
11111(1)1(1)22222
xy λλλλ⎛⎫
⎡⎤=-
=---=--+ ⎪⎣⎦
⎝
⎭
…， 当1λ=时，等号成立.
所以1||||22
AE AB AD =+=u u u r u u u r u u u r
.
故选：B. 【点睛】
本题考查平面向量线性运算中的加法运算、向量共线定理，以及运用二次函数求最值，考查转化思想和解题能力.
3．已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足1
()(2)2
f x f x =
+，且当[)0,2x ∈时，2()2f x x x =-+.设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为n a （*n N ∈），且数列{}n a 的前n 项的和为n S .若对于任意正整数n 不
等式()129n k S n +≥-恒成立，则实数k 的取值范围为（ ）
A ．[)0,+∞
B ．1,32⎡⎫
+∞⎪⎢
⎣⎭
C ．3,64⎡⎫
+∞⎪⎢
⎣⎭
D ．7,64⎡⎫
+∞⎪⎢
⎣⎭
【答案】C 【解析】 【分析】
由已知先求出1
max ()2
n f x -=，即12n n a -=，进一步可得21n
n S =-，再将所求问题转化为29
2
n
n k -≥
对于任意正整数n 恒成立，设n c =29
2n
n -，只需找到数列{}n c 的最大值即可. 【详解】
当222n x n -≤<时，则0222x n ≤+-<，(22)(22)(2)f x n x n x n +-=-+--， 所以，1
1()2
[2(1)]2n n f x f x n --=--=-(22)(2)x n x n +--，显然当21x n =-时，
1
max ()2
n f x -=，故1
2
n n a -=，1(12)
2112
n n n S ⨯-=
=--，若对于任意正整数n 不等式 ()129n k S n +≥-恒成立，即229n k n ≥-对于任意正整数n 恒成立，即29
2n
n k -≥
对于任 意正整数n 恒成立，设n c =292n n -，111122n n n n c c ++--=，令1
11202n n +->，解得11
2
n <， 令1
11202n n +-<，解得11
2
n >，考虑到*n N ∈，故有当5n ≤时，{}n c 单调递增， 当6n ≥时，有{}n c 单调递减，故数列{}n c 的最大值为6633
264
c ==，
所以364
k ≥. 故选：C. 【点睛】
本题考查数列中的不等式恒成立问题，涉及到求函数解析、等比数列前n 项和、数列单调性的判断等知识，是一道较为综合的数列题.
4．已知,a r b r 是平面内互不相等的两个非零向量,且1,a a b =-r r r 与b r 的夹角为150o ,则b r 的取值范围是（ ）
A ．
B ．[1,3]
C ．
D ．[3,2]
【答案】C 【解析】
试题分析：如下图所示，,,AB a AD b ==u u u r u u u r r r 则AC DB a b ==-u u u r u u u r r r ，因为a b -r r 与b r 的夹角为150o ，即
150DAB ∠=︒，所以30ADB ∠=︒，设DBA θ∠=，则0150θ<<︒，在三角形ABD 中，由正弦定理得
sin 30sin b a θ
=
︒r r ，所以sin 2sin sin 30a b θθ=⨯=︒r r ，所以02b <≤r ，故选C ．
考点：1．向量加减法的几何意义；2．正弦定理；3．正弦函数性质．
5．已知0.2
12a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，120.2b -=，
13
log 2c =，则( )
A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．b c a >>
D ．a c b >>
【答案】B 【解析】 【分析】
利用指数函数和对数函数的单调性，将数据和0,1做对比，即可判断. 【详解】
由于0.2
110122⎛⎫⎛⎫
<<= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
， 12
0.2
5
1
5
-
=
=， 113
3
log 2log 10<=
故b a c >>. 故选：B. 【点睛】
本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题. 6．i 是虚数单位，21i
z i
=-则||z =（ ） A ．1 B ．2
C 2
D ．2【答案】C 【解析】 【分析】
由复数除法的运算法则求出z ，再由模长公式，即可求解.
【详解】 由2
2(1)
1,||21i
i z i z i
+=
=-+=-. 故选:C. 【点睛】
本题考查复数的除法和模，属于基础题. 7．关于函数()sin 6f x x π⎛⎫
=-- ⎪⎝
⎭
在区间,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
的单调性，下列叙述正确的是（ ） A ．单调递增 B ．单调递减
C ．先递减后递增
D ．先递增后递减
【答案】C 【解析】 【分析】
先用诱导公式得()sin cos 63f x x x ππ⎛
⎫
⎛
⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭,再根据函数图像平移的方法求解即可. 【详解】
函数()sin cos 63f x x x ππ⎛
⎫
⎛⎫=--
=+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
的图象可由cos y x =向左平移3π个单位得到,如图所示,()f x 在,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上先递减后递增.
故选：C 【点睛】
本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题.
8．三棱锥S ABC -中，侧棱SA ⊥底面ABC ，5AB =，8BC =，60B ∠=︒，25SA =，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．
643
π B ．
256
3
π C ．
436
3
π D 2048
327
π 【答案】B 【解析】
由题，侧棱SA ⊥底面ABC ，5AB =，8BC =，60B ∠=︒，则根据余弦定理可得
221
5825872
BC =+-⨯⨯⨯
= ，ABC V 的外接圆圆心2sin 332
BC r r B =
==
三棱锥的外接球的球心到面ABC 的距离1
2
d SA =
= 则外接球的半径
R ==
，则该三棱锥的外接球的表面积为2
25643S R ππ== 点睛：本题考查的知识点是球内接多面体，熟练掌握球的半径R 公式是解答的关键． 9．
231+=-i
i （ ） A ．15i 22
-
+ B ．1522
i -
- C ．
5522
i + D ．
5122
i - 【答案】A 【解析】 【分析】
分子分母同乘1i +,即根据复数的除法法则求解即可. 【详解】 解:
23(23)(1)15
1(1)(1)22
i i i i i i i +++==-+--+, 故选:A 【点睛】
本题考查复数的除法运算,属于基础题.
10．i 是虚数单位，复数1z i =-在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】D 【解析】 【分析】
求出复数z 在复平面内对应的点的坐标，即可得出结论. 【详解】
复数1z i =-在复平面上对应的点的坐标为()1,1-，该点位于第四象限. 故选：D. 【点睛】
本题考查复数对应的点的位置的判断，属于基础题. 11．已知复数()()2019
311i i z i --=（
i 为虚数单位）
，则下列说法正确的是（ ） A ．z 的虚部为4
B ．复数z 在复平面内对应的点位于第三象限
C ．z 的共轭复数42z i =-
D ．z =
【答案】D 【解析】 【分析】
利用i 的周期性先将复数z 化简为42i z =-+即可得到答案. 【详解】
因为2i 1=-，41i =，5i i =，所以i 的周期为4，故45043
34i 24i 24i 2
42i i i i
z ⨯++++=
===-+-， 故z 的虚部为2，A 错误；z 在复平面内对应的点为(4,2)-，在第二象限，B 错误；z 的共 轭复数为42z i =--，C
错误；z ==D 正确. 故选：D. 【点睛】
本题考查复数的四则运算，涉及到复数的虚部、共轭复数、复数的几何意义、复数的模等知识，是一道基础题.
12．已知点P 在椭圆τ：22
22x y a b +=1(a>b>0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P
关于x 轴的对称点为Q ，设34
PD PQ =u u u r u u u r
，直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，若PA ⊥PB ，则椭圆τ
的离心率e=（ ） A ．
12
B
．
2
C
．
2
D
．
3
【答案】C 【解析】 【分析】
设()11,P x y ，则()11,A x y --，()11,Q x y -，11,2y D x ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，设()22,B x y ，根据PA PB ⊥化简得到2234a c =，得到答案.
【详解】
设()11,P x y ，则()11,A x y --，()11,Q x y -，34PD PQ =u u u r u u u r ，则11,2y D x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，设()22,B x y ，
则22
112222
2222
11
x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得到：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-，
21212
21212PB
y y x x b k x x a y y -+==-⋅-+，AD AB k k =，即112112
4y y y x x x +=+，()1211124PA y y y k x x x +==+，
PA PB ⊥，故1PA PB
k k ⋅=-，即2
241b a -=-，故2234a c =，故32
e =.
故选：C . 【点睛】
本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量()1,1,2a b ==r r ，且向量a r 与b r
的夹角为()
3,4
a a
b π⋅+=r r r _______. 【答案】1 【解析】 【分析】
根据向量数量积的定义求解即可． 【详解】
解：∵向量()112a b ==r r ，，，且向量a r 与b r
的夹角为34
π，
∴|a r
|22112=+=
；
所以：a r •（a b +r
r ）22a a b =+⋅=
r r r 2
22+⨯⨯cos
34
π
=2﹣2＝1， 故答案为：1． 【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积的定义，属于基础题．
14．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90CAB ∠=︒，2AC AB ==，12CC =，P 是1BC 的中点，则三棱锥11C A C P -的体积为________.
【答案】23
【解析】 【分析】
证明AB ⊥平面11AAC C ，于是1111111
2
C A C P P A C C B A C C V V V ---==，利用三棱锥的体积公式即可求解. 【详解】
1AA ⊥Q 平面ABC ，AB Ì平面ABC ，
1AA AB ∴⊥，又1,AB AC AA AC A ⊥⋂=.
AB ∴⊥平面11AAC C ， P Q 是1BC 的中点，
1111111111222222323
C A C P P A C C B A C C V V V ---∴===⋅⋅⋅⋅⋅=.
故答案为：2
3
【点睛】
本题考查了线面垂直的判定定理、三棱锥的体积公式，属于基础题.
15．设α、β为互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若m ∥n ，则m ∥α；
②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ③若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n ；
④若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂α，m ⊥n ，则n ⊥β； 其中正确命题的序号为_____． 【答案】④ 【解析】 【分析】
根据直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案. 【详解】
对于①，当m ∥n 时，由直线与平面平行的定义和判定定理，不能得出m ∥α，①错误；
对于②，当m ⊂α，n ⊂α，且m ∥β，n ∥β时，由两平面平行的判定定理，不能得出α∥β，②错误； 对于③，当α∥β，且m ⊂α，n ⊂β时，由两平面平行的性质定理，不能得出m ∥n ，③错误；
对于④，当α⊥β，且α∩β＝m ，n ⊂α，m ⊥n 时，由两平面垂直的性质定理，能够得出n ⊥β，④正确； 综上知，正确命题的序号是④． 故答案为：④． 【点睛】
本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力. 16．已知()1n
x +的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则n =__________. 【答案】10
【解析】 【分析】
根据()1n
x +的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，得到46
n n C C =，再利用组合数公式求解.
【详解】
因为()1n
x +的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，
所以46
n n C C =，
即
()()!!
4!4!6!6!
n n n n =-- ， 所以()()
4
565n n --=⨯，
即 29100n n --= ， 解得10n =. 故答案为：10 【点睛】
本题主要考查二项式的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且()()3a b c a b c ab +++-=. （1）求角C 的值；
（2）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求+a b 的取值范围.
【答案】 (1) 3
C π
=.(2) .
【解析】 【分析】
（1）根据题意，由余弦定理求得1
cos 2
C =
，即可求解C 角的值； （2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到4sin 6a b A π⎛⎫
+=+ ⎪⎝
⎭
，再根据ABC ∆为锐角三角形，求得
6
2
A π
π
<<
，利用三角函数的图象与性质，即可求解.
【详解】
（1）由题意知()()3a b c a b c ab +++-=，∴222a b c ab +-=，
由余弦定理可知，222cos 1
22
a b c C ab +-==，
又∵(0,)C π∈，∴3
C π
=
.
（2
）由正弦定理可知，2sin sin sin 3
a b A B
π===
,a A b B ==
∴sin )a b A B +=
+2sin sin 3A A π⎤⎛⎫=+- ⎪⎥⎝⎭⎦
2cos A A =+4sin 6A π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
又∵ABC ∆为锐角三角形，∴02
2032A B A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<
⎪⎩
，即，
则
23
6
3A π
π
π<+
<
，所以4sin 46A π⎛
⎫<+≤ ⎪⎝
⎭，
综上+a b
的取值范围为. 【点睛】
本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.
18．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为112212x t y t
⎧
=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
（t
为参数）和曲线1cos :sin x C y θθ=+⎧⎨
=⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；
（2）在极坐标系中，已知点M 是射线1:l θα=([0,
])2
π
α∈与直线l 的公共点，点N 是1l 与曲线C 的公
共点，求||
||
ON OM 的最大值．
【答案】（1
）sin 42
πρθ⎛
⎫
+= ⎪⎝
⎭，2cos ρθ=；（2
）max ()2ON OM = 【解析】 【分析】
（1）先将直线l 和圆C 的参数方程化成普通方程，再分别求出极坐标方程；
（2）写出点M 和点N 的极坐标，根据极径的定义分别表示出ON 和OM ，利用三角函数的性质求出
||
||
ON OM 的最大值.
【详解】
解：（1）1:2l x y +=
，1
cos sin 2ρθρθ+=，
即极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫
+
= ⎪
⎝
⎭， 22:(1)1C x y -+=，极坐标方程2cos ρθ=．
（2）由题可知1
2(,)
sin cos M ααα
+，(2cos ,)N αα ||2cos 1||2
sin cos N M
ON OM ρα
ραα
==
+
4cos (sin cos )ααα=+ 2sin 22(cos 21)αα=++
)24π
α=++，
∴当8
π
α=
时，
max ()2ON OM =. 【点睛】
本题考查了参数方程、普通方程和极坐标方程的互化问题，极径的定义，以及三角函数的恒等变换，属于中档题.
19．已知函数(
)f x =R . （1）求实数t 的取值范围；
（2）设实数R 为t 的最小值，若实数a ，b ，c 满足2222a b c m ++=，求222111
123
a b c +++++的最小值.
【答案】（1）4t ≥；（2）922
【解析】 【分析】
（1）首先通过对绝对值内式子符号的讨论，将不等式转化为一元一次不等式组，再分别解各不等式组，最后求各不等式组解集的并集，得到所求不等式的解集； (2)首先确定m 的值，然后利用柯西不等式即可证得题中的不等式.
【详解】
（1）因为函数定义域为R ，即2130t x x ++--=恒成立，所以213t x x ≥-++-恒成立
5,1,21313,13,5, 3.x x x x x x x x +≤-⎧⎪
-++-=--<<⎨⎪--≥⎩
由单调性可知当1x =-时，213x x -++-有最大值为4，即4t ≥； （2）由（1）知4m =，22216a b c ++=，
由柯西不等式知()()2222222
1111231119123a b c a b c ⎛⎫++⨯+++++≥++= ⎪+++⎝⎭
所以222111912322a b c ++≥+++，即222
111
123
a b c +++++的最小值为922. 当且仅当2193a =，2163b =，2
133
c =时，等号成立
【点睛】
本题主要考查绝对值不等式的解法，柯西不等式及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 20．设2()x f x xe ax =-，2
ln ()1(0)e
g x x x a a
x =+-+-> （1）求()g x 的单调区间；
（2）设()()()0h x f x ag x =-≥恒成立，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间为()0,1，单调递减区间为(1,)+∞；（2）0a e <≤ 【解析】 【分析】 （1）'
(21)(1)()x x g x x
-+-=
，令()'0g x >，()'
0g x <解不等式即可；
（2）'(1)()(1)(1)()x
x a x a h x x e x e x x
+=+-
=+-，令()0h x '=得0x ，即00x
a e x =，且()h x 的最小值为
()0
0000ln x h x x e a x ax a e =---+，令()00h x ≥，结合00
x
a
e x =
即可解决. 【详解】 （1）'
1(21)(1)()12x x g x x x x
-+-=+
-=，(0,)x ∈+∞ 当()0,1x ∈时，()'
0g x >，()g x 递增， 当(1,)x ∈+∞时，()'
0g x <，()g x 递减.
故()g x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为(1,)+∞.
（2）()()()ln x
h x f x ag x xe a x ax a e =-=---+，
'(1)()(1)(1)()x x a x a
h x x e x e x x
+=+-
=+-， 0a >，设()0h x '=的根为0x ，即有0
x a
e
x =
可得， 00ln ln x a x =-，当()00,x x ∈时，()'0h x <，()h x 递减，
当0(,)x x ∈+∞时，()'
0h x >，()h x 递增.
()0min 0000()ln x h x h x x e a x ax a e ∴==---+
()0
000
ln a
x a x a ax a e x =+---+ ln 0e a a =-≥，
所以ln a a e ≤，
①当(0,1],ln 0a a a e ≤≤<；
②当1a >时，设()ln a a a ϕ=，()1ln 0a a ϕ'=+>
()ln a a a ϕ=递增，ln a a e ≤，所以1a e <≤.
综上，0a e <≤. 【点睛】
本题考查了利用导数研究函数单调性以及函数恒成立问题，这里要强调一点，处理恒成立问题时，通常是构造函数，将问题转化为函数的极值或最值来处理.
21．如图，已知四边形ABCD 的直角梯形，AD ∥BC ，AD DC ⊥，4=AD ，2DC BC ==，G 为线段AD 的中点，PG ⊥平面ABCD ，2PG =，M 为线段AP 上一点（M 不与端点重合）．
（1）若AM MP =，
（ⅰ）求证：PC ∥平面BMG ；
（ⅱ）求平面PAD 与平面BMD 所成的锐二面角的余弦值；
（2）否存在实数λ满足AM AP λ=u u u u r u u u r ，使得直线PB 与平面BMG 所成的角的正弦值为105
，若存在，
确定的λ值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）11
11
（2）存在，13λ=
【解析】 【分析】
（1）（i ）连接AC 交BG 于点O ，连接OM ，CG ，依题意易证四边形ABCG 为平行四边形，从而有
AO OC =，MO PC P ，由此能证明PC ∥平面BMG
（ii ）推导出BG GD ⊥，以G 为原点建立空间直角坐标系O xyz -，利用向量法求解；
（2）设(0,2,2)(0,2,2),(0,1)AM AP λλλλλ===∈u u u u r u u u r
，求出平面BMG 的法向量，利用向量法求解.
【详解】
（1）（ⅰ）证明：连接AC 交BG 于点O ，连接OM ，CG ， 因为G 为线段AD 的中点，4=AD 所以1
22
AG AD =
=, 因为2DC BC ==，所以AG BC = 因为AD ∥BC
所以四边形ABCG 为平行四边形． 所以AO OC = 又因为PM MA =， 所以MO PC P
又因为MO ⊂平面BMG ，PC ⊄平面BMG ， 所以PC P 平面BMG ．
（ⅱ）解：如图，在平行四边形BCDG 中 因为BG CD P ，CD GD ⊥， 所以BG GD ⊥
以G 为原点建立空间直角坐标系O xyz - 则(0,0,0)G ，(0,0,2)P ，(0,2,0)D ，
(0,2,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,1,1)A B C M --
所以(2,0,2)PB =-u u u r ，(2,0,0)GB =u u u r ，(0,1,1)GM =-u u u u r ，(2,2,0),=(2,1,1)BD BM =---u u u r u u u u r
平面PAD 的法向量为(1,0,0)n =r
设平面BMD 的法向量为(,,)m x y z =u r
，
则00
m BD m BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u u v v ，即22020x z x y z -+=⎧⎨--+=⎩，取1x =，得(1,1,3)m =u r ，
设平面PAD 和平面BMD 所成的锐二面角为θ，则11
cos 1111m n m n
θ
⋅===⋅u r r u
r r 所以锐二面角的余弦值为
11
（2）设(0,2,2)(0,2,2),(0,1)AM AP λλλλλ===∈u u u u r u u u r
所以(0,22,2)M λλ-，(2,22,2),(2,0,0)BM BG λλ=--=-u u u u r u u u r
， 设平面BMG 的法向量为(,,)p a b c =u r
，则
20(22)20p BG a p BM b c λλ⎧⋅=-=⎨⋅=-+=⎩
u u u v v u u u u v v ，取b λ=，得(0,,1)p λλ=-u r ， 因为直线PB 与平面BMG 所成的角的正弦值为
10
， 所以PB p PB p
⋅⋅u u u r u r u u u r u r 2210
8(1)λλ==⋅+- 解得13
λ=
所以存在13λ=
满足AM AP λ=u u u u r u u u r ，使得直线PB 与平面BMG 所成的角的正弦值为
10
.
【点睛】
此题二查线面平行的证明，考查锐二面角的余弦值的求法，考查满足线面角的正弦值的点是否存在的判断
与求法，考查空间中线线，线面，面面的位置关系等知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 22．有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪80元，送餐员每单制成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分送餐员每单抽成6元，超过40单的部分送餐员每单抽成7元.现从这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数分布表：
（1）从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天，求这3天的送餐单数都不小于40单的概率； （2）假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题： ①求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；
②小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由. 【答案】（1）29
140
；（2）①分布列见解析，()238.6E X =；②小张应选择甲公司应聘. 【解析】 【分析】
（1）记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件A ，可得P （A ）的值．
（2）①设乙公司送餐员送餐单数为a ，可得当38a =时，386X =⨯，以此类推可得：当39a =时，当40
a =时，X 的值．当41a =时，X 的值，同理可得：当42a =时，X ．X 的所有可能取值．可得X 的分
布列及其数学期望．
②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数．可得甲公司送餐员日平均工资，与乙数学期望比较即可得出． 【详解】
解：（1）由表知，50天送餐单数中有30天的送餐单数不小于40单， 记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件A ，
则()3
3035029
140
C P A C ==．
（2）①设乙公司送餐员的送餐单数为n ，日工资为X 元，则
当38n =时，386228X =⨯=；当39n =时，39
6234X =⨯=；当40n =时，406240X =⨯=； 当41n =时，4067247X =⨯+=；当42n =时，40614254X =⨯+=． 所以X 的分布列为
13111
()228234240247254238.65105510
E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．
②依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为 380.2390.2
400.3410.2420.1
39.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，
所以甲公司送餐员的日平均工资为80439.8239.2+⨯=元， 因为238.6239.2<，所以小张应选择甲公司应聘． 【点睛】
本题考查了随机变量的分布列与数学期望、古典概率计算公式、组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
23．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系；曲线C 1的普通方
程为(x-1)2
+y 2
=1，曲线C 2的参数方程为.
x y θθ
⎧=⎪⎨=⎪⎩（
θ为参数）.
（Ⅰ）求曲线
C 1和C 2的极坐标方程： （Ⅱ）设射线θ=
6
π
(ρ>0)分别与曲线C 1和C 2相交于A ，B 两点，求|AB|的值． 【答案】（Ⅰ）2cos 0ρθ-=，2222
2cos 3sin 60ρθρθ+-=;（Ⅱ）||3
AB = 【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据2
2
2
,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，可得曲线C 1的极坐标方程，然后先计算曲线C 2的普通方程，最后根据极坐标与直角坐标的转化公式，可得结果. （Ⅱ）将射线θ=6
π
分别与曲线C 1和C 2极坐标方程联立，可得A ，B 的极坐标，然后简单计算，可得结果. 【详解】
（Ⅰ）()2
2221120x y x y x -+=⇒+-=
由222
,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==
所以曲线1C 的极坐标方程为2cos 0ρθ-=， 曲线2C 的普通方程为2
3
2360x y +-=
则曲线2C 的极坐标方程为2
2
2
2
2cos 3sin 60ρθρθ+-=
（Ⅱ）令(0)6π
θρ=>，则1,6A πρ⎛⎫ ⎪⎝
⎭，2,6B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
则22
22
222cos
3sin 606
6
π
π
ρρ+-=，即22924ρ=，
所以2||OB ρ=
=
1||2cos 6OA πρ===
故||||||AB OA OB =-=． 【点睛】
本题考查极坐标方程和参数方程与直角坐标方程的转化，以及极坐标方程中ρ的几何意义，属基础题.。