走向高考_一轮总复习人教A版数学文科4-3概要

KHQHZY课后强化作业
基础巩固强化
1. （文）（2011大纲全国卷理）设函数f（x）= cos®X3>0）,将y= f（x）
的图象向右平移3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则3的最小值等于（）
1
A. 3
B. 3
C. 6
D. 9
［答案］C
n 2 n
［解析］由题意知，3=：k（k€ Z）,
3= 6k,令k= 1,二3= 6.
（理）（2012浙江诸暨质检）函数f（x）= sin2x+ 3cos2x的图象可以
由函数y= 2sin2x的图象经哪种平移得到（）
A .向左平移：n个单位
B .向左平移专个单位
c.向右平移个单位D .向右平移n个单位
［答案］B
［解析］T f(x) = sin2x+ 3cos2x= 2sin(2x + » = 2sin2(x+》，二
f（x）的图象可以由函数y= 2sin2x向左平移6个单位得到，故应选B.
n
2. （文）（2012福建文，8）函数f（x）= sin（x—4）的图象的一条对称轴
n
n
C . x = — 4
D . x =— 2
［答案］C
［解析］本题考查了正弦型函数图象的对称轴问题. 函数f(x) = sin(x — n 的图象的对称轴是
x —n= k n+n ，k € Z ，即卩 x = k n+ 甕 k € Z .
4 2 4 当 k =—i 时，x =— n+3n=—n
［点评］正弦除弦)型函数图象的对称轴过图象的最高点或最低 (理)(2011海淀模拟)函数f(x)= sin(2x +n 图象的对称轴方程可以
n
C . x = 3
［答案］A
［解析］令 2x + n= k n+ n 得 x =罗+ i n, k € Z , 令k = 0得x = 12，故选A.
［点评］f(x)= sin(2x +n 的图象的对称轴过最高点将选项代入检
点
八
、、
・ n x
=6
验, •/
2X
n n n
+ 一 =—
12 + 3 2,
•••选
A.
上的最小值是一2,则3的最小值为（
）
3. （文）（2011唐山模拟）函数y = sin （2x +》的一个递减区间为
B. (
-5, n
D . (
n ，3n
)
［答案］A
n n
2k n+ 2W 2x + 6W 2k n+ n 2 n
k n+ &W X W k n+ — （k € Z ）,
令 k = 0 得，n< x W 1 2n ，故选 A.
（理）（2012新课标全国理，9）已知3>0,函数f （x ） = sin （3汁》在（才,
n 上单调递减，则3的取值范围是（
）
1
c . （0, 2】 D • （0,2］
［答案］A
［解析］本题考查了三角函数y = Asin （ 3x+©）的性质及间接法解 题.
3= 2? 3X+ n ［于爭不合题意，排除D ，3= 1? （ 3汁推谆, 争合题
意，排除B , C.
4. （2011大连模拟）已知函数f （x ） = 2sin ®X3>0）在区间［-才，力
［解析］
3
一A
4
上的最小值是一2,则3的最小值为（）
A-3 C . 2
B-2 D .
3
［答案］B
［解析］v f(x) = 2si 门3乂3>0)在区间［―
c n ,即 n <n ,
3，' 23 3，
3 3 「• 3> 2，即卩3的最小值为3，
2
T 4
n ，n 上的最小值为一2, 5 .（文）（2011 吉林一中月考）函数 y = sin （3x+ ©）（x € R ,
3 =
3>0,0<林2 n 的部分图象如图，贝S （ ）
n
3=4, G
J n =4,
［答案］ ［解析］
•/4 = 3- 1 = 2,二 T =8,「.3 = 2n
= n
4 ' ' T 4
令4^ 1 +戶才，得A4，二选C.
x
(理)函数 y = snx ，x € (— n 0)U (0,
［答案］
=孟〉1，故选C.
6. (文)(2011课标全国文)设函数f(x) = sin(2x +》+ cos(2x +》,
［解析］
x
依题意，函数y = snx ,x € (— n
， 0)U (0，n 为偶函数, 排除A ，当 x € (0, n 时，直线y = x 的图象在 y = sinx 上方，所以y
n 的图象可能是下列图象中
C
则()
A . y=f(x)在(0, 2)单调递增，其图象关于直线x=:对称
B. y=f(x)在(0, n单调递增，其图象关于直线x=2对称
C. y= f(x)在(0, 2)单调递减，其图象关于直线x=寸对称
D. y=f(x)在(0, 2)单调递减，其图象关于直线x=2对称
［答案］D
［解析］f(x)= sin?x+ n［+ cos?x+彳
=^2sin?x+ n V2cos2x.
则函数在o n单调递减，其图象关于直线x=2对称.
(理)(2011河南五校联考)给出下列命题：
①函数y= cosgx+》是奇函数；②存在实数a使得sin a+ cos a
3 n
=2；③若a B是第一象限角且a< 3则tan a<tan p；④x=§是函数y =sin (2x +劭的一条对称轴方程；⑤函数y = sin(2x+》的图象关于点(寻0)成中心对称图形.
其中正确命题的序号为()
②④
A .①③B
.
C.①④D
④⑤
.
［答案］C
［解析］①y= cosgx+2）？ y=- -sinfx是奇函数;
3
②由sin a+ cos a=\/2sin(a+ n的最大值为V2<2,所以不存在实数
a,使得 Sin a+ COS a=㊁；
③ a, B 是第一象限角且 a 3例如：45°30° + 360° 但 tan45 >tan(30 + 360 °), 即tan a <tan 3不成立；
④ 把x = #弋入
所以x = 8是函数y = sin(2x +劭的一条对称轴； ⑤ 把 x = £代入 y = sin(2x + 33)得 y = sin2= 1, 所以点（i n ，0）不是函数y = sin （2x +n 的对称中心. 综上所述，只有①④正确.
［点评］作为选择题，判断①成立后排除B 、D ，再判断③（或④） 即可下结论.
1
7. ______________ （文）函数y = cosx 的定义域为［a , b ］,值域为［—①1］,贝S b —a 的最小值为 . ［答案］
2n 3
［解析］
1 2 n 4 n ’ 厂
cosx = — 2时,x = 2k n+ 3 或 x = 2k n+ 3 , k € Z , cosx =
3 时，x = 2k n k € Z .
由图象观察知，b — a 的最小值为2n
（理）（2011 江苏南通一模）函数 f （x ） = sin wx+ 3cos w ）（x € R ），又
y = sin( 2x +
y = s4n
=- 1,
［答案］1
［解析］f(x)= sin GJX+ ^3cos3x= 2sin( 3x+ 3),
由f( a = —2, f( 0= 0,且| 的最小值等于2可知，T=n T =
2 n所以3= 1.
8 .已知关于x的方程2sin2x—>/3sin2x + m—1 = 0在x€ (才，n 上有两个不同的实数根，则m的取值范围是_______ .
［答案］—2<m< — 1
［解析］m= 1 —2sin2x +」3si n2x= cos2x + ,3si n2x
=2sin(2x+ n),
T x€ (J n时，原方程有两个不同的实数根，
二直线y= m与曲线y= 2sin(2x+ n), x€ (扌，n有两个不同的交点，二—2<m< — 1.
9. (2011济南调研)设函数y = 2sin(2x +扌的图象关于点P(x o,O) 成中心对称，若x o € ［—n，0］,则x o= ________ .
［答案］—n
［解析］丁函数y= 2sin(2x+》的对称中心是函数图象与x轴的交点，二2sin(2x°+ 3)= 0,
n n
-x0€［—2 0］…x0= —6*
10.(文)(2011 北京文)已知函数 f(x) = 4cosxsin(x +1. (1)求f(x)的最小正周期；
⑵求f(x )在区间［—n n 上的最大值和最小值. ［解析］(1)因为 f(x)= 4cosxsin(x +》一1 1
=4cosx(-^sinx + qcosx) — 1
= 3si n2x + 2cos 4 5x — 1 = 3si n2x + cos2x
=2si n(2x + n.
所以f(x)的最小正周期为n.
⑵因为—x < n 所以—詐2x +n 3
于是，当2x +n= n 即x =n 寸，f (x )取得最大值2；
4 」 n =?s in2x —~2cos2x = sin(2x — 3),
当2x +n=—扌，即x
,f(x)取得最小值—1.
(理)(2011天津南开中学月考)已知a = (sinx ,— cosx), b = (cosx , .3cosx)，函数 f(x) = a b +〒
(1)求f(x)的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标;
A J 3
［解析］(1)f(x) = sin xcosx — 3cos 2x +~2" 1
3
3
=^si n2x —~2(cos2x + “ + 京
(2)当 0W x <
,求函数f(x)的值域.
所以f(x)的最小正周期为n. 令 sin(2x —扌=0,得 2x —扌=k n,
. k n n i 厂 _ (x)
= 2 + 6， k € Z .
故所求对称中心的坐标为(号+ n ，o )(k € Z ).
n n _ n,2 n
⑵ T o < x < 2，二—3= 2x —3< ~3.
••• —sin(2x —
1,即 f(x)的值域为[—¥，1].
能力拓展提升
［答案］ B
［解析］ ,co
sx y = sinx •.
sinx
n
cosx , 0<x<2
j c n =0, x = 2 I n
—cosx , 2<x< n
(理)(2011辽宁文)已知函数f(x) = Ata n (3x+讯20,州<》,y =f(x)
11.(文)(2011苏州模拟)函数y = sinx
cosx binx |(0<x<n 的图象大致是
的部分图象如图，则 f (24)=()
3
又•••图象过点(8n 0),
3 3
--A tan(2 n+ 妨=A tan (4 n+ ©)= 0,
•入n
(4)
n
又•••图象还过点(0,1),「. Atan(2X 0+ 4) = A = 1, • f(x) = tan(2x +》,
［答案］B
X 3n-n )
--3=〒=
2
,
A . 2+ 3
f（2沪tan（2x 盘+
=tan（i2 + n）=tan n= 3.
12.（文）为了使函数y = cos®X3>0）在区间［0,1］上至多出现50次
最小值，则3的最大值是（）
197
A . 98 n B. 2 n
C. 99 n
D. 100 n
［答案］C
1
［解析］由题意至多出现50次最小值即至多需用4%个周期，二992n> 1,二99 n,故选C.
2 3
（n \
（理）有一种波，其波形为函数y= sin^xj的图象，若在区间［0,t］（t>0）上至少有2个波谷（图象的最低点），则正整数t的最小值是（）
A . 5 B. 6 C. 7 D . 8
［答案］C
n、
［解析］T y= sin运x的图象在［0, t］上至少有2个波谷，函数y =sin^xj 的周期T=4,
二t>4T= 7,故选 C.
13. （文）（2011南昌调研）设函数y= sin（3汁枷3>0,贰（—才,
刖
的最小正周期为n且其图象关于直线x= 12对称，则在下面四个结
论中:
①图象关于点(n, o)对称；
②图象关于点(n, 0)对称；
③在［0, n上是增函数；
④在［—n，0］上是增函数中，
所有正确结论的编号为________ .
［答案］②④
2 n
［解析］由最小正周期为兀得，一=n二3= 2；再由图象关于直线x= 12对称，二2X召+片扌，二©= 3，,
二f(x)=sin(2x+n，当x=n寸，f(n=扌工o,故①错；当x=n寸，f(n = 0,故②正确；由2k n-詐2x+ 2k n+ 扌(k€ Z)得，k n—君
< x< k n+12令k= 0得，—x<$ 故③错，④正确，二正确结论为②④.
(理)(2011南京模拟)已知函数f(x) = xsinx，现有下列命题：
①函数f(x)是偶函数；②函数f(x)的最小正周期是2n③点(n
0)是函数f(x)的图象的一个对称中心；④函数f(x)在区间［o, n上单调递增，在区间［—n 0］上单调递减.
其中真命题是________ 写出所有真命题的序号).
［答案］①④
［解析］T y= x与y= sinx均为奇函数，二f(x)为偶函数，故①真；T f(n = n f(n + 2 详扌+ 2 n n
•••②假；T砖=2，, f(^2n)=-号,2+ 3n= 2n, 2+ (-劭工0,，. ③假；
设g X1VX2W n则卷=£衆<1，二f(X l)Vf(X2)(f(X2)>0)，二
n n
f(x)在［0 , 2】上为增函数，又T f(x)为偶函数，二f(x)在［-2，0］上为减函数，•••④真.
14. 函数f(x) = 2acoWx + bsinxcosx满足：f(0) = 2, f© = 2 + _23.
(1) 求函数f(x)的最大值和最小值；
(2) 若a［3€ (0, n) f( ” = f( 0，且a［3,求tan( a+ 0的值.
「f(0 = 2,
［解析］(1)由n 1 3
)= 2+2，
2a= 2,
得 1 1 _3 解得a= 1, b = 2,
a+ T b= 2 + 兀
2
f(x)= si n2x+ cos2x + 1 = 2si n( 2x +》+ 1,
T- 1< sin (2x + n< 1,
••• f(x)
max =2+ 1 , f(x)min = 1 — 2.
(2)由f( a = f( 0得，sin(2 a+ 4) = sin(2 0+ 4).
T 2a+n 20+n(；,竽，且a 3
二 2 a+ 4= n—(2 3+》或 2 a+ 4= 3 n—(2 0+ 4),
n
5 n
a+ A 4或 a+ [3= —4，故 tan( a+ p = 1.
n
15.
(文)(2011 长沙一中月考)已知 f(x)= sinx + sin$ — x). 1
(1)若 a€ [0 , n,且 Sin2a= 3,求 f("的值; ⑵若x € ［0 , n,求f(x)的单调递增区间.
［解析］(1)由题设知f (a= Sin a+ COS a
⑵由(1)知 f(x)= 2sin(x + n
，又 0w x < n ••• f(x )的单调递增区间为［0, n .
(理)在厶ABC
中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量 (b,2a — c), n = (cosB , cosC)，且 m II n .
(1) 求角B 的大小；
(2) 设 f(x)= cos ；3x — B!+ sin ®X w >0)，且 f(x)的最小正周期为 求f (x )在区间［0, n 上的最大值和最小值.
［解析］(1)由 m I n 得，bcosC = (2a — c)cosB ,
sin2 a= 2sin a coso>0, a€
,
二
a (0
，2),
sin a+
a
由(si n a+
=
1 + 2sin a cos a=
4
3
,
Sin a+ cos a=
bcosC + ccosB = 2acosB.
由正弦定理得，sin BcosC + si nCcosB= 2sinAcosB,
即sin(B+ C) = 2sinAcosB.
又B+ C= n—A,：• sinA= 2sinAcosB.
1 n
又sinA z0,：. cosB=3.又B€ (0,力，：.B=$•
⑵由题知f(x)= cos(3X—6) + sin®x
=_23coswx+|sin®x= 3sin(®x+》,
由已知得2f= n •: 3= 2, f(x) = J3sin(2x+》,
当x€ [0,》时,(2x+歆時,気,
sin(2x + 6) € [ —2 , 1]•
因此，当2x+n=n即x= 6时,f(x)取得最大值〔3.
当2x + n= 7;5,即x= 2时,f(x)取得最小值—扌
16 .(文)(2011福建四地六校联考)已知函数f(x) = —1 + 2丽sin xcosx+ 2co$x.
(1)求f(x)的单调递减区间；
⑵求f(x)图象上与原点最近的对称中心的坐标；
⑶若角a B的终边不共线，且f( a = f(0 ,求tan(a+3的值.
［解析］f(x)= 3si n2x+ cos2x= 2si n(2x+》,
n n 3 n
(1)由2k n+ 壬 2x+ 6< 2k n+~2(k€ Z)
得k n+ x< k n+ Z),
•: f(x)的单调减区间为［k n+ n k n+ 2n］(k€ Z).
3
(2)由sin(2x + n j = 0 得2x+ n= k n( Z),
k n n 即x=7 —乜
("Z),
••• f(x)图象上与原点最近的对称中心坐标是(—n 0).
⑶由f(”=f(®得：
2sin(2 a+ n j = 2sin(2 p+ 6),
又T角a与B的终边不共线，
(2 a+》+ (2 B+ 6)=2k n+ n k€ Z),
即a+ 片k；+ *k€ Z)，二tan(a+ B = 3.
(理)
n n (2011浙江文)已知函数f(x) = Asin( §x+ (0, x € R, A>0,0< ©<2$ =f(x)的部分图象如图所示，P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为(1, A).
(1) 求f(x)的最小正周期及0的值；
2 n
(2) 若点R的坐标为(1,0),/ PRQ=§，求A的值.
2兀
［解析］(1)由题意得，T= — = 6,
n
n . _
因为P(1, A)在y=Asin(3x+妨的图象上,
所以sin(f+([) = 1.
又因为o＜怀n，所以©=n
所以Q(4,—A).
2
连接卩0,在4 PRQ中，/ PRQ=由余弦定理得,
-RP2+ RQ2—PQ2 A2+ 9+ A2—(9 + 4A2) 1 cos/ PRQ= 2RpjRQ=2A<9+A= —2,
解得A2= 3又A>0,所以A= 3.
B 备选题库
1. (2012河北郑口中学模拟)已知函数f(x) = Asin(x+柳A＞0, ＜怀0)在x= 5n处取得最大值，则f(x)在［—n 0］上的单调增区间是
n
n
c . [—3, 0] D •[—6, 0]
[答案]D
[解析]T f(x) = Asin(x + ©)在x = 处取得最大值，A>0,—扌
< 怀0，二 ©=—才，二 f(x) = Asin(x — 31) , 由 2k n —詐 x —詐 2k n+ 拯
€ Z )得2k n-歆x < 2k n+帑令k = 0得-詐x <0,故选D.
2. (2011长沙二模)若将函数y = sin ”汁才(3>0)的图象向右平移 4个单位长度后，与函数y = sin ^x+訂的图象重合，贝S 3的最小值为 ()
A . 1
B . 2 1 23 C.
12 D. 3
［答案］D
向右平移手个单位
( n n ___________ 6 7
_______ -
［解析］y = sin 严+ 4
丿
y = sin 3
二才一+ 2k n= ^, - 3= 8k — *k € Z ),
6 (2011北京大兴区模拟)已知函数f(x) = .3sin 「n x 图象上相邻的 一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆 x 2 + y 2= R 2上，则f(x)的最 小正周期为( )
n n
x —
4 + 4 =sin ,3 汁 3 ,
又T 3>0,
3
min
23
3.
C . 3
析知R> ,3,则2R>2 3>3,只有2R = 4这一种可能，故选D. 4. (2012河北保定模拟)已知向量a = (cos0, sin ®与b = (cosB,
—sin 0互相垂直，且0为锐角，则函数f(x)= sin(2x — 0的图象的一条 对称轴是直线
()
A . x = n
c
7n B . x
= 8 n
C
. x =4
［答案］B
D . x =n
［解析］a b = cos 2 0— sin 2 0= cos2 0^ 0,
T 0为锐角，0=才，二 f(x) = sin(2x — 4).
n di k n 3 n
由 2x — 4= k n+ 2得,x =2 + ©， 令k = 1得x = f 故选B. 5.
［解析］
2 n
f(x)的周期T = 2n= 2R , f(x)的最大值是，3,结合图形分
R
D
［答案］
（2011北京西城模拟）函数y = sin （ n 柳卩0）的部分图象如图所 示，设P 是图象的最高点，A , B 是图象与x 轴的交点，贝S tan / APB =（）
A . 10
B . 8 8 4 C.7 D.y
［答案］B
［分析］利用正弦函数的周期、最值等性质求解.
［解析］如图，过P 作PC 丄x 轴，垂足为C ,设/ APC = a, / 2 n
BPC =
APB = a+ B, y = sin （ x ^ ©, T = — = 2, tan a=
丁 n
1 3
AC 2 1 , BC 2 3 tan a+ tan B
PC =1 = 2 , tan B = PC = 1= 2，则 tan(a
+ B = 1- tan a tan B 1 3 _ + 2 +
2
厂=8,二选B.
1
―1X
3
6.对任意 X 1, x ?€ 0,
冗
2, X 2>X 1,
y 1 = 1
+ sinx
X
1
y 2= 1 + si nx X 2
A. y1 = y2
B. y i>y2
C. y i<y2
D. y1, y2的大小关系不能确定
［答案］B
1 | sinx
［解析］取函数y= 1 + sinx,则一x—的几何意义为过原点及点x1
(x11 + sinxj的直线斜率，1 + SinX2的几何意义为过原点及点(x21 + sinx2) X2 的直线斜率，由X1VX2，观察函数y= 1 +sinx的图象可得ypy?.选B.
sinx, sinx< cosx
7. (2011 •泽模拟)对于函数f(x)= ，给出下
Icosx, sinx>cosx
列四个命题：
①该函数是以n为最小正周期的周期函数；
②当且仅当x= n+ k n K€ Z)时，该函数取得最小值是—1;
③该函数的图象关于直线x= 54n+ 2k n k€ Z)对称；
④当且仅当2k n<<n + 2k n K€ Z)时，0<f(x)W今.
其中正确命题的序号是 _________ (请将所有正确命题的序号都填上)
［答案］③④
［解析］画出函数f(x)的图象，易知③④正确.
8. 已知函数f(x)= 3sin(2x—》+ 2sin2(x—12)(x€ R).
(1)求函数f(x)的最小正周期；
⑵求使函数f(x)取得最大值的x的集合.
［解析］(1)f(x) = 3 sin(2x —g) + 1 —cos2(x —)=
c 1：^. i；n 1 ； n i
2厉玉门2x—6丿一^cos 2x—召丿+ 1
=2si n( 2x—》+ 1.
所以最小正周期为T= n.
(2)当f(x)取最大值时，只要sin(2x—扌=1,得出x= k n+彖“
5 n
Z)，二x 值的集合为{x|x= kn+12, k€ Z}.
［点评］差异分析是解答数学问题的有效方法.诸如：化复杂为简单，异角化同角，异名化同名，高次化低次，化为一个角的同名三角函数的形式等等.
f（a）= —2, f（® = 0,且|a— B的最小值等于2则正数3的值为。