(好题)高中数学必修五第三章《不等式》测试题(含答案解析)(1)

一、选择题
1．若正数x ，y 满足2
1y x
+=，则2x y +的最小值为（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
2．已知(
)
2
2log 31ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()0,4
B ．[)0,4
C ．()0,2
D ．[)0,2
3．己知x ，y 满足()240
3300220x y x y a x ay -+≥⎧⎪
--≤>⎨⎪+-≥⎩
，且22z x y =+，若z 的最大值是其最小值的
65
4
倍，则a 的值为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．已知0x >，0y >，21x y +=，若不等式221
2m m x y
+>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．4m ≥或2m ≤- B ．2m ≥或4m ≤- C ．24m -<< D ．42m -<<
5．若正数a ，b 满足111a b +=，则41611
a b +--的最小值为（ ） A ．16
B ．25
C ．36
D ．49
6．若,x y 满足条件11x y x y y ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
，则2z x y =-+的最大值为（ ）
A ．1
B ．12
-
C ．2
D ．-5
7．已知正项等比数列{}n a 中979a a =，若存在两项m a 、n a ，使2
127m n a a a =，则
116
m n
+的最小值为（ ） A ．5 B ．21
5
C ．
516
D ．
654
8．设,x y 满足约束条件0
{4312
x y x
x y ≥≥+≤，且23
1
x y z x ++=
+，则z 的取值范围是（ ） A ．[]1,5
B ．2,6
C ．[]
2,10
D ．[]
3,11
9．不等式ax 2+bx+2＞0的解集是，则a+b 的值是（ ） A ．10
B ．﹣10
C ．14
D ．﹣14
10．已知集合{
}
2
4120A x x x =--≤，{
}
440B x x =->，则A
B =（ ）
A ．{}12x x <≤
B ．{}2x x ≥-
C ．{}16x x <≤
D ．{}6x x ≥-
11．设函数2()1f x mx mx =--，若对于任意的x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3}，()4f x m <-+恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．m ≤0 B ．0≤m <
57
C ．m <0或0<m <
57
D ．m <
57
12．如果0a b >>，0t >，设b M a =，b t N a t
+=+，那么（ ） A ．M N < B ．M N >
C ．M
N
D ．M 与N 的大小关系和t 有关
二、填空题
13．若正实数x 、y 、z ，满足3z x y +=，4z y x +=，则x y x y z
++-的最小值为_______.
14．若x ，y 满足约束条件210,
10,2,x y x y x +-≥⎧-+≥≤⎪
⎨⎪⎩
则3z x y =-的最小值为______．
15．已知实数,x y 满足102801
x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则3y
x +的最大值为_______．
16．实数,x y 满足2025040x y x y x y -+≥⎧⎪
--≤⎨⎪+-≥⎩
,则24z x y =+-的最大值是___.
17．已知正数a ，b 满足(1)(1)1a b --=，则4a b +的最小值等于________.
18．已知变量,x y 满足约束条件04010x y x y y -≥⎧⎪
+-≤⎨⎪-≥⎩
，若目标函数(0)z ax by a b =+>>的最
小值为1，则
28
a b
+的最小值为__________．
19．已知0m >，0n >，且
111
223
m n +=++，则2m n
+的最小值为________. 20．当x ，y 满足270101x y x y x +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪⎩
时，|2|x y a -≤恒成立，则实数a 的取值范围是
________．
三、解答题
21．在“基本不等式”应用探究课中，甲和乙探讨了下面两个问题： （1）已知正数x 、y 满足21x y +=，求
12
x y
+的最小值. 甲给出的解法是：由2122x y xy +=≥，得22
xy ≤
，
则12222
2
8x y xy xy
+≥=≥，所以12x y +的最小值为8. 而乙却说这是错的.请你指出其中的问题，并给出正确解法； （2）结合上述问题（1）的结构形式，试求函数()1310122f x x x x ⎛⎫
=
+<< ⎪-⎝⎭
的最小值. 22．设矩形ABCD 的周长为20，其中AB AD >，如图所示，把它沿对角线AC 对折后，AB 交DC 于点P .设AD x =，DP y =.
（1）将y 表示成x 的函数，并求定义域； （2）求ADP △面积的最大值.
23．用铁皮做一个体积为350cm ，高为2cm 的长方体无盖铁盒，这个铁盒底面的长与宽各为多少cm 时，用料最省？
24．设函数()()()2
230f x ax b x a =+-+≠．
（1）若不等式()0f x >的解集()1,1-，求a ，b 的值； （2）若()12f =，
①0a >，0b >，求
14
a b
+的最小值； ②若()1f x >在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．
25．已知实数x ，y 满足不等式组204030x y x y x -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
，求目标函数23z x y =-的最值及相应
的最优解．
26．设函数2()(1)f x x m x m =-++． （1）若2m =，求不等式()0f x <的解集； （2）求不等式()0f x <的解集；
（3）若对于[1,2]x ∈，()4f x m >-恒成立，求m 的取值范围．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【分析】 由
21y x +=，对2x y +乘以2
1y x
+=，构造均值不等式求最值 .
【详解】
22242248x y x xy y x y xy ⎛⎫⎛⎫
+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当4
21
xy xy y x
⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即
4
12x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
时，等号成立，∴min
28x y ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭.
故选：D 【点睛】
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正、二定、三相等” (1) “一正”就是各项必须为正数；
(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．如果等号成立的条件满足不了，
说明函数在对应区间单调，可以利用单调性求最值或值域．
2．B
解析：B 【分析】
由对数函数的单调性可得210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，讨论0a =和0a ≠求解. 【详解】
()2
2log 31ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，
即232ax ax ++>，即210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立， 当0a =时，10>恒成立，满足题意，
当0a ≠时，则2
40a a a >⎧⎨∆=-<⎩
，解得04a <<， 综上，a 的取值范围为[)0,4. 故选：B. 【点睛】
本题考查一元二次不等式的恒成立问题，解题的关键是得出210ax ax ++>对于任意的
x ∈R 恒成立. 3．A
解析：A 【分析】
作出不等式组表示的图象，2
2
z x y =+可看作可行域内的点到原点距离的平方，由图可观察出最远的点和最近的点，分别求出距离做比值列出等式可得答案. 【详解】
根据不等式组作出图象，
则阴影部分即为可行域，
由240330x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得2
3x y =⎧⎨=⎩，即(2,3)A ， 220x ay +-≥恒过(1,0)且0a >，
因为22
z x y =+， z 的几何意义是可行域内的点到原点距离的平方， 由图点(2,3)A 到原点的距离的平方最大，
22max 2313z =+=，
z 的最小值为原点到直线BC 的距离的平方，
2
min
24
4z a ⎛⎫==+， 根据题意可得max
min
2
1365
444z z a =
=+，整理得245a +=，解得1a =或1a =-（舍去）. 故选：A. 【点睛】
本题考查简单的线性规划问题，关键点是作出可行域，利用z 的几何意义确定点，考查了数形结合思想，属于基础题.
4．D
解析：D 【分析】
先根据已知结合基本不等式得21
8x y
+≥，再解不等式228m m +<即可得答案.
【详解】
解：由于0x >，0y >，21x y +=， 所以
(
)212142448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当
4y x x y =，即1
22x y ==时等号成立， 由于不等式
221
2m m x y
+>+成立， 故228m m +<，解得：42m -<<. 故实数m 的取值范围是：42m -<<. 故选：D. 【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值，一元二次不等式的解法，考查运算能力，是中档题.
5．A
解析：A 【分析】
由
111a b +=得：(1,1)1a b a b a =>>-，代入416
11a b +--化简，利用基本不等式可求函数最小值.
由
111a b +=得：(1,1)1
a b a b a =>>-，代入416
11a b +--得到： 4164164416(1)216(1)16
111111
1
a a a a
b a a a a +=+=+-≥⋅-=------- 当且仅当：4=16(1)1
a a --即3
2a =时取等号.
故选：A 【点睛】
本题考查了均值不等式在求最值问题中的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.
6．A
解析：A 【解析】
作出不等式组11x y
x y y ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
表示的平面区域，如图
，
得到如图的ABC 及其内部，其中()()111,1,2,1,,22A B C ⎛⎫
---
⎪⎝⎭
，设2z x y =-+，将直线:2l z x y =-+进行平移，当l 经过点A 时，目标函数z 达到最大值，∴()=211=1Z -⨯--最大值，故选A.
点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
7．A
解析：A 【分析】
根据条件可先求出数列的公比，再根据2
127m n a a a =可得出5m n +=，利用基本不等式即
可求出
116
m n
+的最小值.
正项等比数列中，29
7
9a q a ==，所以3q =. 因为1
122
2111127m n m n m n a a a q a q a q
a --+-=⋅==，所以5m n +=. 因为
1161116116116()()(17)(17)5555n m n m
m n m n m n m n m n
+=++=++≥⋅+=， 当且仅当16n m
m n
=，即4n m =时取等号，因为m 、n *N ∈，所以1m =，4n =， 所以
116
m n +的最小值为5. 故选：A. 【点睛】
本题考查等比数列的基本量的计算，考查利用基本不等式求最值，属于基础题.
8．D
解析：D 【分析】
试题分析：作出不等式组0
{4312
x y x
x y ≥≥+≤表示的平面区域，如下图阴影部分所示，目标函数
()()121231
12111
x y x y y z x x x ++++++=
==+⨯
+++表示可行域内的点到()1,1--的连线的斜率，其斜率的最小值为min 1,k =最大值为 ()()
max 41501k --=
=--，所以z 的取值范围是
[]3,11，故选D.
考点：简单的线性规划.
【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划，属于中档题.线性规划问题首先要作出准确、清晰的可行域，这是正确解题的前提，其次是找准目标函数的几何意义，常见的有“截距型”、“距离型”和“斜率型”，本题中通过吧目标函数23
1
x y z x ++=
+变形可知其表示可行
域内的点到点 ()1,1--连线斜率的2倍在加上 1，这样问题就转化为求可行域内的点与定点连线的斜率的范围问题，通过数形结合就容易解答了.
9．D
解析：D 【解析】
试题分析：不等式ax 2+bx+2＞0的解集是
，说明方程ax 2+bx+2=0的解为
，
把解代入方程求出a 、b 即可． 解：不等式ax 2+bx+2＞0的解集是
即方程ax 2+bx+2=0的解为
故
则a=﹣12，b=﹣2．
考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系．
10．C
解析：C 【分析】
根据不等式的解法，求得集合{}
26A x x =-≤≤，{}
1B x x =>，结合集合交集的运算，即可求解. 【详解】
由题意，集合{
}{}
2
412026A x x x x x =--≤=-≤≤，
{}{}4401B x x x x =->=>，
根据集合交集的概念与运算，可得{}
16A B x x ⋂=<≤. 故选：C. 【点睛】
本题考查集合的交集的概念及运算，其中解答中正确求解集合,A B ，结合集合的交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查运算求解能力，属于基础题.
11．D
解析：D 【分析】
将()4f x m <-+恒成立转化为g (x ) = mx 2－mx ＋m －5 < 0恒成立，分类讨论m 并利用一元二次不等式的解法，求m 的范围
【详解】
若对于任意的x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3}，()4f x m <-+恒成立 即可知：mx 2－mx ＋m －5 < 0在x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3}上恒成立 令g (x )＝mx 2－mx ＋m －5，对称轴为12
x = 当m ＝0时，－5 < 0恒成立
当m < 0时，有g (x )开口向下且在[1,3]上单调递减
∴在[1,3]上max ()(1)50g x g m ==-<，得m < 5，故有m < 0 当m >0时，有g (x ) 开口向上且在[1,3]上单调递增 ∴在[1,3]上max ()(3)750g x g m ==-<，得507
m << 综上，实数m 的取值范围为57
m < 故选：D 【点睛】
本题考查了一元二次不等式的应用，将不等式恒成立等价转化为一元二次不等式在某一区间内恒成立问题，结合一元二次不等式解法，应用分类讨论的思想求参数范围
12．A
解析：A 【分析】
对M 与N 作差，根据差值的正负即可比较大小. 【详解】
()()()()()
b a t a b t t b a b b t M N a a t a a t a a t +-+-+-=-==+++，因为0a b >>，所以0b a -<， 又0t >，所以0a t +>，所以()
()
0t b a a a t -<+，即0M N -<，所以M N <.
故选：A 【点睛】
本题主要考查作差法比较大小，考查学生的化简分析能力，属于常规题型.
二、填空题
13．【分析】由已知条件得出由得出可得出利用基本不等式可求得所求代数式的最小值【详解】已知实数均为正实数且可得所以可得令则所以当且仅当时等号成立因此的最小值为故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最
解析：
13
- 【分析】
由已知条件得出43y x =，2443
z x x =-，由0z >得出03x <<，可得出71143
x y x y t z t ++-=+-，利用基本不等式可求得所求代数式的最小值. 【详解】
已知实数x 、y 、z 均为正实数，且3z x y +=，4z y x
+=，可得34z y xy x xy =-=-，
43y x ∴=，所以，2443
z x x =-， ()27171343
43343
x x y x y x x z x x x +∴+-=-=---， ()24443033
z x x x x =-=->，可得03x <<，令()30,3t x =-∈，则3x t =-， 所以，
()(
)717171311143343433x y x y x t t z x t t ++-=-=--=+-≥=--.
当且仅当2t =
时，等号成立， 因此，x y x y z ++-
的最小值为13
-.
故答案为：
13-. 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
14．【分析】由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解把最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】解：由约束条件作出可行域如图化目标函数为由图可知当直线过时直线在轴上的截距最大有最小 解析：1-
【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优
解的坐标代入目标函数得答案．
【详解】
解：由约束条件210102x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪⎩
作出可行域如图，
化目标函数3z x y =-为3y x z =-，由图可知，当直线3y x z =-过(0,1)A 时， 直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为1-．
故答案为：1-．
【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．
15．【分析】根据约束条件画出可行域目标函数可以看成是可行域内的点和的连线的斜率从而找到最大值时的最优解得到最大值【详解】根据约束条件可以画出可行域如下图阴影部分所示目标函数可以看成是可行域内的点和的连线 解析：78
【分析】
根据约束条件，画出可行域，目标函数可以看成是可行域内的点(),x y 和()3,0-的连线的斜率，从而找到最大值时的最优解，得到最大值.
【详解】
根据约束条件102801x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩
可以画出可行域，
如下图阴影部分所示， 目标函数
3
y x +可以看成是可行域内的点(),x y 和()3,0-的连线的斜率， 因此可得，当在点A 时，斜率最大 联立2801x y x +-=⎧⎨=⎩，得172x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
即
7
1,
2 A
⎛⎫
⎪
⎝⎭
所以此时斜率为
()
7
07
2
138
-
=
--
，
故答案为
7
8
.
【点睛】
本题考查简单线性规划问题，求目标函数为分式的形式，关键是要对分式形式的转化，属于中档题.
16．21【分析】画出满足的可行域当目标函数经过点时取得最大值求解即可【详解】画出满足的可行域由解得点则目标函数经过点时取得最大值为【点睛】本题考查的是线性规划问题解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化解析：21
【分析】
画出,x y满足的可行域，当目标函数24
z x y
=+-经过点()
7,9
B时，z取得最大值，求解即可．
【详解】
画出,x y满足的可行域，由
20
250
x y
x y
-+=
⎧
⎨
--=
⎩
解得点()
7,9
B，则目标函数24
z x y
=+-经过点()
7,9
B时，z取得最大值为718421
+-=.
【点睛】
本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想．需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得．
17．9【分析】将已知等式变形为然后利用乘1法将进行变形利用基本不等式即可求得【详解】因为所以即又ab 为正数所以当且仅当时等号成立故的最小值等于故答案为：9【点睛】本题考查利用基本不等式求最值关键是将已知 解析：9
【分析】 将已知等式变形为
111a b +=，然后利用“乘1法”将4a b +进行变形，利用基本不等式即可求得.
【详解】
因为(1)(1)1a b --=，所以0ab a b --=，即
111a b +=. 又a ，b 为正数，所以11444(4)14529b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+⋅=
⎪⎝⎭， 当且仅当3a =，32
b =时，等号成立. 故4a b +的最小值等于9.
故答案为：9
【点睛】 本题考查利用基本不等式求最值，关键是将已知条件适当变形，得到111a b
+=，以便利用“乘1法”，利用基本不等式求4a b +的最小值.利用基本不等式求最值要注意“正、定、等”
的原则.
18．【解析】分析：画出不等式组表示的平面区域因为直线的斜率为由可得因为直线的斜率为-1所以当直线过点时取得最小值1可得利用基本不等式可得详解：画出不等式组表示的平面区域为及其内部如图由可得点当直线过点时 解析：【解析】
分析：画出不等式组表示的平面区域，因为直线(0)z ax by a b =+>>的斜率为a k b =-，由0a b >>可得10a k b
-<=-<，因为直线40x y +-=的斜率为-1，所以当直线z ax by =+过点(1,1)B 时，取得最小值1．可得
1a b +=．282828()()10b a a b a b a b a b
+=++=++，利用基本不等式可得2828281010218b a b a a b a b a b +=++≥+⨯=． 详解：
画出不等式组表示的平面区域为ABC ∆及其内部，如图．
由100
y x y -=⎧⎨-=⎩ 可得点(1,1)B ． 当直线z ax by =+过点(1,1)B 时，取得最小值1．所以1a b +=．
所以28282828()()101018b a b a a b a b a b a b a b +=++=++≥+⨯=． 当且仅当2810,0b a a b a b a b ⎧=⎪⎪+=⎨⎪>>⎪⎩
即12,33a b ==时，上式取“=”号． 所以28a b
+的最小值为18. 点睛：⑴ 线性规划问题应先画出平面区域，求(0)z ax by a b =+>>的最值时，当0b >时，直线z ax by =+越向上平移，z 取值越大；当0b <时，直线z ax by =+越向上平移，z 取值越小；
⑵ 用基本不等式求最值时，和定积最大，积定和最小．若,a b m m +=为常数，则111111()()(2)b a a b a b m a b m a b
+=++=++，然后利用基本不等式求最值即可．
19．【分析】先换元令则；再采用乘1法求出的最小值即可得解【详解】解：令则且而当且仅当即时等号成立的最小值为故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式求最值采用换元法和乘1法是解题的关键考查学生的转化思想分
解析：3+【分析】
先换元，令2s m =+，2t n =+，则1113
s t +=，226m n s t +=+-；再采用“乘1法”，求出2s t +的最小值即可得解．
【详解】
解：令2s m =+，2t n =+，则2s >，2t >，且1113
s t +=， 2(2)2(2)26m n s t s t ∴+=-+-=+-， 而112223(2)()3(12)3(32)3(322)s
t s t s t s t s t t s t s
+=++=
+++⨯+=+
，当且仅当2s t t s
=，即s =时，等号成立． 2s t ∴+的最小值为3(3
+，
2263(322)63m n s t ∴+=+-+-=+
故答案为：3+
【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值，采用换元法和“乘1法”是解题的关键，考查学生的转化思想、分析能力和运算能力，属于中档题．
20．【分析】先根据条件作出可行域然后求出的取值范围由恒成立即即可得出答案【详解】由满足作出可行域如图设则表示直线在轴上的截距的相反数则由得当直线过点时有最大值4当直线过点时有最小值所以所以故答案为：【点
解析：)4，
⎡+∞⎣ 【分析】
先根据条件作出可行域，然后求出2z x y =-的取值范围，由|2|x y a -≤恒成立，即max |2|x y a -≤，即可得出答案.
【详解】
由x ，y 满足270101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪⎩
，作出可行域，如图.
设2z x y =-，则2y x z =-，z 表示直线2y x z =-在y 轴上的截距的相反数.
则()()1,0,1,3A C ,由27010
x y x y +-=⎧⎨--=⎩，得()3,2B . 当直线2y x z =-过点()3,2B
时，z 有最大值4， 当直线2y x z =-过点()1,3C 时，z 有最小值-1.
所以|2|4x y -≤，所以4a ≤
故答案为：[)4+∞，
. 【点睛】
本题考查简单的线性规划问题和恒成立求参数的问题，属于中档题.
三、解答题
21．（1）答案见解析；（2）最小值为526+.
【分析】
（1）本题可通过两次基本不等式取等号的情况不能同时成立判断出甲的解法错误，然后将12x y
+转化为2214y x x y +++，通过基本不等式即可求出最值； （2）本题首先可令x m =、12x n -=，将题意转化为“已知21m n +=，求
min 13m n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭”，然后将13+m n 转化为65n m m n
++，通过基本不等式即可求出最值. 【详解】
（1）甲的解法错误，
原因是：使用了两次基本不等式，两次基本不等式取等号的情况不能同时成立. 正确解法：
()1212222145249y x x y x y x y x y
⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭，
当且仅当13
x y ==时等号成立. （2）令x m =，12x n -=，则0m >，0n >，
即可将“求函数()1312f x x x
=+-最小值”转化为“已知21m n +=，求min 13m n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭”， 因为(
)13136255n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭
m =等号成立，
所以当x =
时，函数()1312f x x x =+-
取最小值，最小值为5+. 【点睛】
易错点睛：
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”：
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
22．（1）501010y x =-
-，(0,5)x ∈；（2
）75-【分析】
（1）由题意得10AB CD x ==-，则10CP x y =--，根据ADP Rt CBP ≌，可得DP BP y ==，所以222+(10)y x x y =--，化简整理，即可求得y 与x 的关系，根据AB AD >，即可求得x 的范围，即可得答案；
（2）由（1）可得501010y x
=--，(0,5)x ∈，则ADP △的面积12505(10)75210
S xy x x ==-++-，根据x 的范围，结合基本不等式，即可求得答案. 【详解】
（1）由题意得：10AB CD x ==-，则10CP x y =--，
因为在Rt ADP 和Rt CBP 中，,APD CPB AD BC ∠==，
所以ADP Rt CBP ≌，即DP BP y ==，
所以在Rt CBP 中，222+(10)y x x y =--，
所以2222+10020202y x x y x y xy =++--+， 化简可得501010y x
=--，
因为AB AD >，所以100x x ->>，解得05x <<， 所以501010y x
=--，(0,5)x ∈； （2）由（1）可得501010y x =-
-，(0,5)x ∈， 所以ADP △面积115025250(10)55(10)7522101010x S xy x x x x x x ==⋅-=-=-++---， 因为(0,5)x ∈，所以100x -<，
所以2502505(10)[5(10)]1010x x x x -+=--+≤-=---
当且仅当2505(10)10x x
-=-，即10x =-时等号成立，
此时面积250[5(10)]757510S x x =--+
+≤--
即ADP △面积最大值为75-【点睛】
解题的关键是根据条件，表示出各个边长，根据三角形全等，结合勾股定理，进行求解，易错点为：利用基本不等式求解时，需满足“①正”，“②定”，“③相等”，注意检验取等条件是否成立，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.
23．铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省.
【分析】
法一：因为体积为350cm 高为2cm ，所以底面积是定值25，设长为xcm ，则宽为25x ，列出表面积结合基本不等式即可；
法二：列出表面积后，利用求导函数的方法求最值.
【详解】
解法1：设铁盒底面的长为xcm ，宽为
25x ，则.. 表面积251002544425S x x x x
=++⨯=++..
2565≥=.. 当且仅当25x x
=，即5x =时，表面积有最小值65. 所以这个铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省.
答：这个铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省.
解法2：设铁盒底面的长为xcm ，宽为25x
，表面积为2ycm ，则.
()2510025444250y x x x x x
=++⨯=++> 22210041004x y x x
-'=-=.. 令2241000x y x
-'==得，5x =. 当()0,5x ∈时，0y '<，函数22
4100x y x -'=为减函数； 当()5,+∈∞x 时，0y '>，函数224100x y x
-'=为增函数； 所以当5x =时，y 有最小值65.
答：这个铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省.
24．（1）32a b =-⎧⎨
=⎩
；（2）①9；
②33a -<+． 【分析】
（1）由已知可得，()2230ax b x +-+=的两根是1-，1，然后可求出答案； （2）由条件可得1a b +=，①用基本不等式可求出
14a b +的最小值，②()()22231220ax b x ax b x +-+>⇒+-+>在R 上恒成立，然后可得00a >⎧⎨∆<⎩
，结合1a b +=可求出实数a 的取值范围．
【详解】
（1）由已知可得，()2230ax b x +-+=的两根是1-，1 所以()21103111b a a
-⎧-=-+=⎪⎪⎨⎪=-⨯=-⎪⎩，解得32a b =-⎧⎨=⎩． （2）①()12321f a b a b =+-+=⇒+=
(
)14144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭， 当4b a a b
=时等号成立， 因为1a b +=，0a >，0b >，解得13a =，23b =时等号成立， 此时14a b +的最小值是9．
②()()22
231220ax b x ax b x +-+>⇒+-+>在R 上恒成立， ∴()202800
a b a >⎧⇒--<⎨∆<⎩， 又因为1a b +=代入上式可得()22180610a a a a +-<⇒-+< 解得：322322a -<<+．
【点睛】
本题考查的是一元二次不等式和一元二次方程的关系、利用基本不等式求最值和一元二次不等式的恒成立问题，考查了学生对基本知识的掌握情况，属于典型题.
25．在35x y =⎧⎨=⎩时，取得最小值min 9z =-，在31
x y =⎧⎨=⎩时，取得最大值max 3z =． 【分析】
作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移直线可得最优解．
【详解】
作出可行域，如图ABC 内部（含边界），
由2=030x y x -+⎧⎨-=⎩得()3A ，5，由+4=030x y x -⎧⎨-=⎩得()31B ，，由2=0+40x y x y -+⎧⎨-=⎩
得()13C ，， 作直线:230l x y -=，向上平移直线l ，z 减小，当l 过点()3A ，5时，z 取得最小值23359⨯-⨯=-；
向下平移直线l ，z 增大，当l 过点()31B ，时，z 取得最大值23313⨯-⨯=；
所以目标函数23z x y =-在35x y =⎧⎨=⎩时，取得最小值min 9z =-，在31x y =⎧⎨=⎩
时，取得最大值max 3z =．
【点睛】
本题考查简单的线性规划问题，解题方法是作出可行域，作出线性目标函数对应的直线，平移直线求得最优解，如果目标函数不是线性的，则可根据其几何意义求解，如直线的斜率、两点间的距离等，属于中档题．
26．（1）(1,2)；（2）答案见解析；（3）(,3)-∞．
【分析】
（1）当2m =时，2()32f x x x =-+，则不等式()0f x <即为 2320x x -+<，利用一元二次不等式的解法求解.
（2）()0f x <即为2(1)0x m x m -++<，转化为()(1)0x m x --<，再分 1m <，
1m =和1m 三种情况讨论求解.
（3）将[1,2]x ∈时，2(1)40x m x -++>恒成立，转化为[1,2]x ∈时，41m x x <+-恒成立． 利用基本不等式求得41x x
+
-的最小值即可. 【详解】
（1）当2m =时，2()32f x x x =-+，
所以不等式()0f x <即为： 2320x x -+<，
即 ()()120x x --<
解得12x <<，
所以不等式()0f x <的解集是(1,2).
（2）∵()0f x <，
∴2(1)0x m x m -++<，
∴()(1)0x m x --<
当1m <时，不等式()0f x <的解集为(,1)m
当1m =时，原不等式为2(10)x -<，该不等式的解集为∅；
当1m 时，不等式()0f x <的解集为(1,)m ．
（3）由题意，当[1,2]x ∈时，2(1)40x m x -++>恒成立， 即[1,2]x ∈时，41m x x <+
-恒成立．
由基本不等式得4113x x +
-≥=，当且仅当2[1,2]x =∈时，等号成立， 所以，3m <， 所以实数m 的取值范围是(,3)-∞．
【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的解法和不等式恒成立问题以及基本不等式的应用，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.。