2020-2021学年重庆市梁平区八年级(上)期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年重庆市梁平区八年级第一学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.
1．在﹣2，3.14，，这4个数中，无理数是（）
A．﹣2B．3.14C．D．
2．下列运算正确的是（）
A．a6÷a3＝a2B．（a2）3＝a5
C．（﹣2a2）3＝﹣8a6D．（2a+1 ）2＝4a2+2a+1
3．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）
A．5，12，13B．20，30，40C．5，9，12D．3，4，6
4．某商品四天内每天每斤的进价与售价信息如图所示，则售出这种商品每斤利润最大的是（）
A．第一天B．第二天C．第三天D．第四天
5．如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（）
A．∠B＝∠E，BC＝EF B．BC＝EF，AC＝DF
C．∠A＝∠D，∠B＝∠E D．∠A＝∠D，BC＝EF
6．有40个数据，共分成6组，第1﹣4组的频数分别是10，5，7，6，第5组的频率为0.10，则第6组的频率为（）
A．0.25B．0.30C．0.15D．0.20
7．将一个含30°角的直角三角板ABC与一个直尺如图放置，∠ACB＝90°，点A在直尺边MN上，点B在直尺边PQ上，BC交MN于点D，若∠ABP＝15°，AC＝8，则AD 的长为（）
A．B．8C．8D．8
8．计算（）2017×1.52016×（﹣1）2017的结果是（）
A．B．C．﹣D．﹣
9．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为（）
A．7B．7或11C．11D．7或10
10．下列命题中真命题的个数（）
（1）面积相等的两个三角形全等
（2）无理数包含正无理数、零和负无理数
（3）在直角三角形中，两条直角边长为n2﹣1和2n，则斜边长为n2+1；
（4）等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5．
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．已知a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（）
A．0B．1C．2D．3
12．如图所示，OA平分∠NOP，OB平分∠MOP，AB⊥OP于点E，BC⊥MN于点C，AD ⊥MN于点D，下列结论错误的是（）
A．AD+BC＝AB B．∠CBO＝∠BAO
C．∠AOB＝90°D．点O是CD的中点
二、填空题（共6小题）.
13．命题“如果m是整数，那么m一定是有理数”；则它的逆命题是命题（填写“真”
或“假”）．
14．病毒2020年1月12日被世命名．科学家借助比光学显微镜更加厉害的电子显微镜发现病毒的大小约为0.000000125米．则数据0.000000125用科学记数法表示为．15．一个长方形的面积为12x2﹣3x，它的宽为3x，用代数式表示它的长为．16．如图，△ACE≌△DBF，如果∠E＝∠F，DA＝12，CB＝2，那么线段AB的长是．
17．对于非零的两个实数a，b，规定a⊗b＝a3﹣ab，那么将a⊗16进行分解因式的结果为．
18．如图，AO⊥OM，OA＝7，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB，AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，则PB的长度为．
三、解答题（本题共7个小题，每小题10分，共70分。

）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置.上.
19．计算下列各题：
（1）﹣12020+（）﹣2﹣|﹣3|+（4﹣5.67）0；
（2）9992﹣1002×998．
20．先化简，再求值：
（1）6x2y（﹣2xy+y3）÷xy2，其中x＝2，y＝﹣1；
（2）（x+2y）（x﹣2y）+（x﹣2y）2﹣（6x2y﹣2xy2）÷（2y），其中x＝﹣2，y＝．21．在大课间活动中，同学们积极参加体育锻炼，小明在全校随机抽取一部分同学就“我最喜欢的体育项目”进行了一次抽奖调查．如图是他通过收集的数据绘制的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）小明共抽取名学生；
（2）补全条形统计图并填写扇形统计图中的百分比；
（3）若全校共有2130人，请你估算“其他”部分的学生人数．
22．如图，方格中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，求：（1）△ABC的周长；
（2）请判断三角形ABC是否是直角三角形，并说明理由；
（3）△ABC的面积；
（4）点C到AB边的距离．
23．如图，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC＝6，CD＝CE，AE＝3，∠CAE＝45°．（1）求证△ACD≌△BCE；
（2）求AD的长．
24．证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等．按下列步骤证明上述命题（根据所画图形，用符号表示已知和求证，并写出证明过程）：已知：
求证：
证明：
25．观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的分解因式：
甲：x2+2ax﹣3a2
＝x2+2ax+a2﹣a2﹣3a2
＝（x+a）2﹣4a2（分成两组）
＝（x+a）2﹣（2a）2
＝（x+3a）（x﹣a）（平方差公式）
乙：a2﹣b2﹣c2+2bc
＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）
a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）
＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）（再用平方差公式）
请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：
（1）x2﹣4x+3；
（2）x2﹣2xy﹣9+y2．
四.解答题：（本大题共1小题，满分8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上.
26．如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，AB＝AD，点E为AC上的一点，△CDE
为等边三角形，过点D作DF⊥CE于点F．
（1）若AB＝6，CD＝2，求AE的长；
（2）点G为AE上的一点，连接BG、BE，若BE＝BG，求证：AG＝EF+DF．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．在﹣2，3.14，，这4个数中，无理数是（）
A．﹣2B．3.14C．D．
解：A．﹣2是整数，属于有理数；
B.3.14是有限小数，属于有理数；
C.是无理数；
D.，是整数，属于有理数．
故选：C．
2．下列运算正确的是（）
A．a6÷a3＝a2B．（a2）3＝a5
C．（﹣2a2）3＝﹣8a6D．（2a+1 ）2＝4a2+2a+1
解：A．a6÷a3＝a3，故本选项不符合题意；
B．（a2）3＝a6，故本选项不符合题意；
C．（﹣2a2）3＝﹣8a6，故本选项符合题意；
D．（2a+1）2＝4a2+4a+1，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）
A．5，12，13B．20，30，40C．5，9，12D．3，4，6解：A、∵52+122＝132，
∴以5，12，13为边的三角形是直角三角形，故本选项符合题意；
B、∵202+302≠402，
∴以20，30，40为边的三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵52+92≠122，
∴以5，9，12为边的三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵32+42≠62，
∴以3，4，6为边的三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
4．某商品四天内每天每斤的进价与售价信息如图所示，则售出这种商品每斤利润最大的是（）
A．第一天B．第二天C．第三天D．第四天
解：由图象中的信息可知，
利润＝售价﹣进价，利润最大的天数是第二天，
故选：B．
5．如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（）
A．∠B＝∠E，BC＝EF B．BC＝EF，AC＝DF
C．∠A＝∠D，∠B＝∠E D．∠A＝∠D，BC＝EF
解：（1）在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；故A正确；
（2）在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）；故B正确；
（3）在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）；故C正确；
（4）无法证明△ABC≌△DEF，故D错误；
故选：D．
6．有40个数据，共分成6组，第1﹣4组的频数分别是10，5，7，6，第5组的频率为0.10，则第6组的频率为（）
A．0.25B．0.30C．0.15D．0.20
解：∵第5组的频率为0.10，
∴第5组的频数为40×0.1＝4，
∴第6组的频数为40﹣（10+5+7+6+4）＝8，
故第6组的频率为＝0.2．
故选：D．
7．将一个含30°角的直角三角板ABC与一个直尺如图放置，∠ACB＝90°，点A在直尺边MN上，点B在直尺边PQ上，BC交MN于点D，若∠ABP＝15°，AC＝8，则AD 的长为（）
A．B．8C．8D．8
解：由题意可得，MN∥PQ，
∴∠DAB＝∠ABP＝15°，
∵∠CAB＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴∠CAD＝∠CAB﹣∠DAB＝60°﹣15°＝45°，
∵∠ACD＝90°，
∴∠ADC＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD＝AC＝8．
故选：C．
8．计算（）2017×1.52016×（﹣1）2017的结果是（）
A．B．C．﹣D．﹣
解：（）2017×1.52016×（﹣1）2017
＝
＝
＝
＝
＝．
故选：C．
9．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为（）
A．7B．7或11C．11D．7或10
解：根据题意，
①当AC+AC＝15，解得AC＝10，
所以底边长＝12﹣×10＝7；
②当AC+AC＝12，解得AC＝8，
所以底边长＝15﹣×8＝11．
所以底边长等于7或11．
故选：B．
10．下列命题中真命题的个数（）
（1）面积相等的两个三角形全等
（2）无理数包含正无理数、零和负无理数
（3）在直角三角形中，两条直角边长为n2﹣1和2n，则斜边长为n2+1；
（4）等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5．
A．1个B．2个C．3个D．4个
解：（1）面积相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题；
（2）无理数包含正无理数和负无理数，原命题是假命题；
（3）在直角三角形中，两条直角边长为n2﹣1和2n，则斜边长为n2+1，是真命题；
（4）等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5，是真命题．
故选：B．
11．已知a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（）
A．0B．1C．2D．3
解：∵a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，
∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc
＝
＝
＝
＝
＝3，
故选：D．
12．如图所示，OA平分∠NOP，OB平分∠MOP，AB⊥OP于点E，BC⊥MN于点C，AD
⊥MN于点D，下列结论错误的是（）
A．AD+BC＝AB B．∠CBO＝∠BAO
C．∠AOB＝90°D．点O是CD的中点
解：∵OA平分∠NOP，OB平分∠MOP，
∴∠AOD＝∠AOP＝∠DOE，∠COB＝∠EOB＝∠COE，
∴∠AOB＝（∠COE+∠DOE）＝90°，故选项C不合题意，
在△AOD和△AOE中，
，
∴△AOD≌△AOE（AAS），
∴AE＝AD，OE＝OD，∠OAE＝∠OAD，
同理可得BC＝BE，CO＝OE，
∴AB＝BE+AE＝AD+BC，CO＝OE＝OD，
∴点O是CD的中点，故选项A、D不合题意，
故选：B．
二、填空题（共6小题）.
13．命题“如果m是整数，那么m一定是有理数”；则它的逆命题是假命题（填写“真”
或“假”）．
解：命题“如果m是整数，那么m一定是有理数”；则它的逆命题如果m是有理数，那么m是整数，是假命题；
故答案为：假．
14．病毒2020年1月12日被世命名．科学家借助比光学显微镜更加厉害的电子显微镜发现病毒的大小约为0.000000125米．则数据0.000000125用科学记数法表示为 1.25×10﹣7．
解：数据0.000000125用科学记数法表示为1.25×10﹣7．
故答案为：1.25×10﹣7．
15．一个长方形的面积为12x2﹣3x，它的宽为3x，用代数式表示它的长为4x﹣1．解：∵一个长方形的面积为12x2﹣3x，它的宽为3x，
∴它的长为：（12x2﹣3x）÷3x＝4x﹣1．
故答案为：4x﹣1．
16．如图，△ACE≌△DBF，如果∠E＝∠F，DA＝12，CB＝2，那么线段AB的长是5．
解：∵△ACE≌△DBF，DA＝10，CB＝2，
∴AB＝CD＝＝＝5．
故答案为：5．
17．对于非零的两个实数a，b，规定a⊗b＝a3﹣ab，那么将a⊗16进行分解因式的结果为a（a+4）（a﹣4）．
解：a⊗16＝a3﹣16a
＝a（a2﹣16）
＝a（a+4）（a﹣4）．
故答案为：a（a+4）（a﹣4）．
18．如图，AO⊥OM，OA＝7，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB，AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，则PB的长度为．
解：如图，过点E作EN⊥BM，垂足为点N，
∵∠AOB＝∠ABE＝∠BNE＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝∠ABO+∠NBE＝90°，
∴∠BAO＝∠NBE，
∵△ABE、△BFO均为等腰直角三角形，
∴AB＝BE，BF＝BO；
在△ABO与△BEN中，
，
∴△ABO≌△BEN（AAS），
∴BO＝NE，BN＝AO；
∵BO＝BF，
∴BF＝NE，
在△BPF与△NPE中，
，
∴△BPF≌△NPE（AAS），
∴BP＝NP＝BN；而BN＝AO，
∴BP＝AO＝×7＝，
故答案为：．
三、解答题（本题共7个小题，每小题10分，共70分。

）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置.上.
19．计算下列各题：
（1）﹣12020+（）﹣2﹣|﹣3|+（4﹣5.67）0；
（2）9992﹣1002×998．
解：（1）原式＝﹣1+4﹣3+1
＝1；
（2）原式＝（1000﹣1）2﹣（1000+2）（1000﹣2）
＝10002﹣2000+1﹣10002+4
＝﹣1995．
20．先化简，再求值：
（1）6x2y（﹣2xy+y3）÷xy2，其中x＝2，y＝﹣1；
（2）（x+2y）（x﹣2y）+（x﹣2y）2﹣（6x2y﹣2xy2）÷（2y），其中x＝﹣2，y＝．解：（1）6x2y（﹣2xy+y3）÷xy2，
＝（﹣12x3y2+6x2y4）÷xy2
＝﹣12x2+6xy2，
当x＝2，y＝﹣1时，
原式＝﹣12×22+6×2×（﹣1）2
＝﹣36；
（2）（x+2y）（x﹣2y）+（x﹣2y）2﹣（6x2y﹣2xy2）÷（2y）
＝x2﹣4y2+x2﹣4xy+4y2﹣3x2+xy
＝﹣x2﹣3xy，
当x＝﹣2，y＝时，
原式＝﹣（﹣2）2﹣3×（﹣2）×
＝﹣4+3
＝﹣1．
21．在大课间活动中，同学们积极参加体育锻炼，小明在全校随机抽取一部分同学就“我最喜欢的体育项目”进行了一次抽奖调查．如图是他通过收集的数据绘制的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）小明共抽取50名学生；
（2）补全条形统计图并填写扇形统计图中的百分比；
（3）若全校共有2130人，请你估算“其他”部分的学生人数．
解：（1）根据题意得：15÷30%＝50（名），
则小明共抽取50名学生，
故答案为：50；
（2）根据题意得：踢毽子人数为50×18%＝9（名），其他人数为50×（1﹣30%﹣18%﹣32%）＝10（名），
补全条形统计图，如图所示：
（3）根据题意得“其他”部分的学生有2130×20%＝426（名）．
22．如图，方格中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，求：（1）△ABC的周长；
（2）请判断三角形ABC是否是直角三角形，并说明理由；
（3）△ABC的面积；
（4）点C到AB边的距离．
解：（1）根据勾股定理知，BC＝＝，AC＝＝，AB＝＝，
故△ABC的周长＝AB+BC+AC＝++；
（2）△ABC不是直角三角形，理由如下：
由（1）可知，BC＝，AC＝，AB＝，AC＜BC＜AB，
∵AC2+BC2≠AB2，
∴△ABC不是直角三角形；
（3）如图，
S△ABC＝S正方形BDEF﹣S△BCD﹣S△ACE﹣S△ABF
＝3×3﹣×1×3﹣×1×2﹣×2×3
＝；
（3）设点C到AB的距离是h．
由（3）知，三角形ABC的面积是，则AB•h＝，即×h＝，
解得，h＝，即点C到AB的距离为．
23．如图，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC＝6，CD＝CE，AE＝3，∠CAE＝45°．（1）求证△ACD≌△BCE；
（2）求AD的长．
【解答】（1）证明：如图，连接BE，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，
即∠BCE＝∠ACD，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
（2）解：∵△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE，
∵AC＝BC＝6，
∴AB＝6，
∵∠BAC＝∠CAE＝45°，
∴∠BAE＝90°，
在Rt△BAE中，AB＝6，AE＝3，
∴BE＝＝＝9，
∴AD＝BE＝9．
24．证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等．按下列步骤证明上述命题（根据所画图形，用符号表示已知和求证，并写出证明过程）：已知：
求证：
证明：
解：已知：在△ABC和△A'B'C'中，AB＝A'B'，BC＝B'C'，AD与A'D'分别是BC，B'C'边上的中线，且AD＝A'D'，
求证：△ABC≌△A'B'C'，
证明：∵AD，A'D'分别是BC和B'C'边上的中线，
∴BD＝BC，B'D'＝B'C'，
∵BC＝B'C'，
∴BD＝B'D'，
在△ABD和△A'B'D'中，
，
∴△ABD≌△A'B'D'（SSS），
∴∠B＝∠B'，
在△ABC和△A'B'C'中，
，
∴△ABC≌△A'B'C'（SAS）．
25．观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的分解因式：
甲：x2+2ax﹣3a2
＝x2+2ax+a2﹣a2﹣3a2
＝（x+a）2﹣4a2（分成两组）
＝（x+a）2﹣（2a）2
＝（x+3a）（x﹣a）（平方差公式）
乙：a2﹣b2﹣c2+2bc
＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）
a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）
＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）（再用平方差公式）
请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：
（1）x2﹣4x+3；
（2）x2﹣2xy﹣9+y2．
解：（1）x2﹣4x+3
＝x2﹣4x+4+3﹣4
＝（x﹣2）2﹣1
＝（x﹣2+1）（x﹣2﹣1）
＝（x﹣1）（x﹣3）；
（2）x2﹣2xy﹣9+y2
＝（x2﹣2xy+y2）﹣9
＝（x﹣y）2﹣9
＝（x﹣y+3）（x﹣y﹣3）．
四.解答题：（本大题共1小题，满分8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上.
26．如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，AB＝AD，点E为AC上的一点，△CDE 为等边三角形，过点D作DF⊥CE于点F．
（1）若AB＝6，CD＝2，求AE的长；
（2）点G为AE上的一点，连接BG、BE，若BE＝BG，求证：AG＝EF+DF．
解：（1）∵△CDE为等边三角形，DF⊥CE，
∴CF＝EF＝1，∠EDF＝30°，
∴DF＝EF＝，
∴AF＝＝＝，
∴AE＝﹣1；
（2）如图，在AG上截取GN＝EC，连接BN，
∵BE＝BG，
∴∠BGE＝∠BEG，
∴∠BGN＝∠BEC，
∵△DEC是等边三角形，
∴DE＝EC＝DC，∠C＝∠DEC＝∠EDC＝60°，
在△BGN和△BEC中，
，
∴△BGN≌△BEC（SAS），
∴BC＝BN，∠C＝∠BNG＝60°，∴∠NBC＝∠C＝60°，
∵∠ABD＝∠ADB，
∴∠ABN+∠NBC＝∠C+∠DAC，
∴∠ABN＝∠DAC，
∵∠BNC＝∠DEC＝60°，
∴∠ANB＝∠AED＝120°，
在△ABN和△DAE中，
，
∴△ABN≌△DAE（AAS），
∴AN＝DE，
∴AG＝AN+NG＝DE+EC＝2EC，
∵△DEC是等边三角形，DF⊥CE，∴EF＝EC，DF＝EF＝EC，∴EF+DF＝EC+EC＝2EC，∴AG＝EF+DF．。