2017函数的对称性奇偶性.doc
函数的对称性与奇偶性
函数的对称性与奇偶性对于函数而言，它的对称性和奇偶性是一种重要的性质，可以帮助我们更好地理解和分析函数的特点。
在数学中，对称性指的是函数在某种变换下保持不变的性质，而奇偶性则是函数在自身的对称轴上的性质。
本文将重点讨论函数的对称性和奇偶性。
1. 函数的对称性函数的对称性是指在某种变换下，函数的图像能够保持不变。
常见的函数对称性包括中心对称和轴对称。
1.1 中心对称性中心对称性是指函数的图像以某个点为对称中心，对称轴上的任意两点关于对称中心对称。
形式化地说，对于函数f(x)，如果对于任意的x，有f(-x) = f(x)，则函数f(x)具有中心对称性。
例如，函数f(x) = x^2是一个具有中心对称性的函数。
我们可以将其图像想象成一个抛物线，以原点为对称中心，任意一点关于原点的对称点的函数值是相等的。
1.2 轴对称性轴对称性是指函数的图像以某条直线为对称轴，对称轴上的任意两点关于对称轴对称。
形式化地说，对于函数f(x)，如果对于任意的x，有f(-x) = f(x)，则函数f(x)具有轴对称性。
举个例子，函数f(x) = sin(x)是一个具有轴对称性的函数。
我们可以将其图像想象成一条波浪线，其对称轴为x轴，任意一点关于x轴的对称点的函数值是相等的。
2. 函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在自身的对称轴上的性质。
奇函数和偶函数是两种常见的奇偶性。
2.1 奇函数奇函数是指函数在自身的原点上具有对称性，即对于任意的x，有f(-x) = -f(x)。
奇函数的图像关于原点对称。
举个例子，函数f(x) = x^3是一个奇函数。
我们可以观察到，任意一点关于原点的对称点的函数值是相等的，而且函数的图像关于原点对称。
2.2 偶函数偶函数是指函数在自身的对称轴上具有对称性，即对于任意的x，有f(-x) = f(x)。
偶函数的图像关于对称轴对称。
例如，函数f(x) = x^2是一个偶函数。
我们可以观察到，任意一点关于y轴的对称点的函数值是相等的，而且函数的图像关于y轴对称。
函数奇偶性、周期性、对称性（一）
函数奇偶性、周期性、对称性（一）函数的奇偶性、周期性、对称性一、函数的奇偶性1．函数奇偶性的定义：函数f (x) 的定义域必须关于原点对称，对定义域内的任意一个x 都满足① f (x) f (x) 函数f (x) 为偶函数；② f (x) f (x) f (x) f (x) 0 函数f (x) 为奇函数.2．奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；反过来如果一个函数的图像关于原点对称，则该函数为奇函数，若该函数的图像关于y 轴对称，该函数为偶函数.3．函数奇偶性的性质①既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f (x) 0 ，xD ，其中定义域D 是关于原点对称的非空数集.②奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同.即奇函数 f (x) 在区间[a, b](0 a b) 上单调递增（减），则f (x) 在区间[b,a] 上也是单调递增（减）；③偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.即偶函数 f (x) 在区间[a, b](0 a b) 上单调递增（减），则f (x) 在区间[b,a] 上也是单调递减（增）；④任意定义在R 上的函数f (x) 都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和.即f (x) f (x) f (x) f (x) f (x) .2 2二、函数的周期性1．函数的周期性定义：对于函数f (x) ，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个个x 值，都满足f (x T ) f (x) ，那么函数f (x) 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，应注意nT （n Z 且n 0 )也是函数的周期．2．最小正周期：如果在周期函数f (x) 的所有周期中，存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f (x) 的最小正周期.并非所有的函数都有最小正周期，如 f (x) c （ c 为常数），任意一个实数x 都是该函数的一个周期，却没有最小正周期.三、函数的对称性1．函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴.2．中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心.【必记结论】1．奇函数f (x) 若在x 0 处有定义，则必有f (0) 0 ，但若不能判断奇函数 f (x) 的定义域中一定有x 0 ，则不能使用f (0) 0 ，求取参数的值.2．函数f (x) 的定义域关于原点对称，则函数F (x) f (x) f (x) 为偶函数，函数F (x) f (x) f (x) 为奇函数.3．几类函数的周期(约定a 0 )问题：① 若函数f (x) 满足：f (x a) f (x a) 或f (x a) f (x) 或f (x a) kf (x)( f (x) 0, k 0) ，或f (x a) kf (x) ( f (x) 0, k 0) ,或f (x a) 1 f (x) 或f (x a) f (x) b 等，则f (x) 的周期T 2a ；1 f (x)②若y f (x) 的图象关于直线x a , x b (a b) 对称，则函数y f (x) 是周期为2 a b 的周期函数；③若y f (x) 的图象关于(a,0) 对称，同时关于点(b,0) 对称，（ b a ），则函数y f (x) 是周期为2 | b a | ；④若y f (x) 的图象关于x a 对称，同时关于点(b,0) 对称，（ b a ），则函数y f (x) 是周期为4 | b a | .4．函数y f (x) 的图像的对称性①函数y f (x) 的图像关于直线x a 对称 f (a x) f (a x) f (2a x) f (x) .②函数y f (x) 的图像关于点(a,0) 对称 f (x)f (2ax) f (a x) f (a x) .③函数y f (x) 满足f (a x) f (b x) ，则y f (x) 的图像关于直线x b a2对称.④ 若函数y f (x) 对定义域中任意x 均有f (a x) f (b x)c 0 ，则函数y f (x) 的图像关于点( a b , c ) 成中心对称图形.5．高中涉及对称性问题的几个基本函数的对称轴、对称中心的问题①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴.②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴.③二次函数f (x) ax 2 bx c(a 0) ：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x b .2a k ④反比例函数y (k 0) ：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，x y x 与y x 均为它的对称轴.推广：函数a (cx d ) b ad b ady ax b c ca c c 2，由函数图象的平移知识易知：函数cx d cx d c x d c dax 2 的对称中心为(, ) .（思考：如何快速作出函数y c c 2x 5 的图象？找对称中心，化分母变量的系数为正，并将分母为零点时的自变量的值代入分子，看正负，从而快速画出图形.）⑤函数y a | x b | c 的图象关于直线x b 对称.b c ⑥函数y | ax b | | ax c | (a 0) 的对称轴为xa abc ；2 2a y | ax b | | ax c | (a 0) 的对称中心为( b c , 0) .⑦函数y x a (a 0) 是奇函数，图象关于原点(0, 0) 对称.x⑧函数y Asin( x ) k 、y A cos( x ) k 的图象既是轴对称图形，也是中心对称图形，它们的对称轴在函数取得最值（最大或最小）时取到，它们的对称中心是“平衡点”.⑨三次函数f (x) ax 3 bx 2 cx d (a 0) 的图象是中心对称图形，对称中心为( b3a, f ( b )) （二阶导数为零时的自变量的取值为对称中心的横坐标，在该点的函3a 数值是对称中心的纵坐标）.⑩绝对值函数：这里主要说的是y f (| x |) 和y | f (x) | 两类.前者显然是偶函数，它会关于y 轴对称；后者是把x 轴下方的图像对称到x 轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如y ln x 就没有对称性，而y | sin x | 却仍然是轴对称.6．两个函数图像的对称性①互为反函数的两个函数的图像关于直线y x 对称.如指数函数ya x 与对数函数y log a x 的图象关于直线y x 对称.②函数y f (a x) 与函数y f (b x) 的图像关于直线x b a对称.③函数y f (a wx) 与函数y f (b wx) 的图像关于直线x b a2w对称.【解题方法】1．定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件.2．函数奇偶性的判断方法：①定义法判断，步骤：1）求出函数的定义域；2）判断定义域是否关于原点对称；3）根据定义域化简函数的解析式，并求出f (x) ；4）判断f (x) f (x) 或f (x) f (x) 是否对定义域内的每一个x 恒成立（恒成立要给予证明，否则要举出反例，若在函数f (x) 的定义域内有 f (m) f (m) ，则可以断定 f (x) 不是偶函数，同样，若在函数 f (x) 的定义域内有 f (m) f (m) ，则可以断定 f (x) 不是奇函数）；（1）判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f (x) 与f (x) 的关系，只有对各段上的x 都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．（2）对于抽象函数奇偶性的判断，应充分利用定义，巧妙赋值，通过合理、灵活地变形配凑来判定．②函数的图像法判断（函数的图像是否关于原点对称；函数的图像是否关于y 轴对称）；③函数f (x), g(x) 的公共定义域关于原点对称1）若函数f (x), g(x) 都为奇函数或都为偶函数，则函数F (x) f (x)g(x) 为偶函数；2）若函数f (x), g(x) 其中一个为奇函数，另一个为偶函数，则函数F (x) 为奇函数；f (x)g(x)3）若函数f (x), g(x) 都为奇函数，则函数F (x) f (x) g(x) 为奇函数；4）若函数f (x), g(x) 都为偶函数，则函数F (x) f (x) g(x) 为偶函数.复合函数y f [g(x)] 的奇偶性原理：内偶则偶，两奇为奇.3．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数：常采用待定系数法，利用f (x) f (x) 0 产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值.4．如果函数f (x) 是偶函数，那么f (x) f (| x |) ，通常在求解与偶函数、单调性有关的不等式时，利用此公式进行转化所求解的不等式.5．周期性与奇偶性相结合的综合问题中，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用．6．对抽象函数的周期性、对称性问题的总结①当括号里面x 前面的符号一正一负时告诉我们的就是对称性，其中的对称为多少我们可以用特殊值代入来猜测,这里并不主张记结论，因为很容易与后面的结论相混淆.②而当x 前面的符号相同时告诉我们的是周期性.③当x 前面的符号相同，同时告诉我们奇偶性时我们也可以推出对称性，因为奇偶性有制造负号的能力.7．证明一个函数y f (x) 关于直线x a 对称的步骤：①设函数y f (x) 图像上的任意点(x, y) ；②找到点(x, y) 关于直线x a 的对称点(2a x, y) ；③设法证明点(2a x, y) 也在函数y f (x) 的图像上；④下结论.8．证明一个函数y f (x) 关于点(a, b) 对称的步骤：①设函数y f (x) 图像上的任意点(x, y) ；② 找到点(x, y) 关于点(a, b) 的对称点(2a x, 2b y) ；③ 设法证明点(2a x, 2b y) 也在函数y f (x) 的图像上；④下结论.9．对于证明两个函数的图像关于直线x a 对称或关于点(a, b) 对称的方法参照一个函数的证明方法进行即可.10．已知定义在R 上的周期函数f (x) ，周期为T ，函数f (x) 的一个对称中心为(a, b) 或对T T 称轴为x a ，则点(k a, b) 必是函数f (x) 的对称中心，直线x k a 必是函 2 2 数 f (x) 的对称轴（每相邻两个对称中心之间相差半周期，每相邻两条对称轴之间相差半周期，只要有有一个对称中心，根据周期就可求出所有的对称中心，只要知道一条对称轴，就可以根据周期找出所有的对称轴，但是由对称中心及周期，却不能找出对称轴，同样由对称轴及周期，也不能找到对称中心）.11．若函数y f (x) 有对称中心，则函数y f (x) 的对称中心求解类型有：①若函数y 的横坐标；②若函数y 坐标；f (x) 的定义域有对称中心，则对称中心的横坐标就是定义域的对称中心f (x) 的值域有对称中心，则对称中心的纵坐标就是值域的对称中心的纵③ 若函数y f (x) 的定义域与值域都是R ，则设对称中心为(a, b) ，由f (a x) f (a x) 2b 确定参数a, b 的值即可.④上些具体函数的对称中心问题：三次函数的对称中心，可通过二阶导数为零求出，对于一些明显可以来奇函数平移得来的函数，可以借用奇函数的性质与平移方法得到函数的对称中心.注：函数y 111 的对称中心为 n , 0 .x x 1 x n 2 【易错提醒】1．判断函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称.如函数f (x) x 2 (x 1) ，该函数是没有奇偶性，但如果没有判断函数的定义域，而直接f (x) (x) 2 x 2 f (x) ，容易得出错误的结论：f (x) x 2 (x 1) 是偶函数.2．奇函数f (x) 在x 0 处可以没有定义，如f (x) 定义，则f (0) 0 .1 ；但如果奇函数f (x) 在x 0 处有x3．周期函数f (x) 的定义域至少有一边是无界的.如：命题“ 函数f (x) sin x 在[1000 ,1000 ] 是周期函数”是错误的；命题“函数f (x) sin x 在[0, ) 是最小正周期为2 的周期函数”是正确的，该函数没有负周期；命题“函数f (x) sin x 在(, 0] 是周期为 2 的周期函数”是正确的，但该函数却没有最小正周期.4．有对称性（对称轴x a ，对称中心(a, b) ）的一个或两个函数的定义域必须关于x a对称.5．在具体练习中，务必注意一个函数的对称性还是两个函数对称性，这两者是有区别的.如函数y f (x) 满足 f (2 x) f (4x) ，则函数y f (x) 的图象关于直线x 2 4 3 对称；函数y 2 x 2 4 1 对称.2f (2 x) 的图象与函数y f (x 4) 的图象则关于直线。
函数的对称性与奇偶性的判定
函数的对称性与奇偶性的判定函数是数学中的重要概念，它描述了一种输入和输出之间的关系。
在函数的研究中，对称性和奇偶性是两个常见的性质。
函数的对称性可以告诉我们函数在某个坐标轴或者某个点上是否对称，而奇偶性则指函数在自身点上的性质。
本文将介绍函数对称性和奇偶性的判定方法。
一、函数的对称性函数的对称性是指函数在某个坐标轴或者某个点上保持不变的性质。
常见的对称性有关于x轴、y轴以及原点的对称性。
1. 关于x轴的对称性如果函数f(x)在x轴上对称，即对于任意x，有f(x) = f(-x)，那么称函数f(x)关于x轴对称。
这意味着函数图像关于x轴对称，即将函数图像沿x轴翻转180度后，图像与原图像完全一致。
2. 关于y轴的对称性如果函数f(x)在y轴上对称，即对于任意x，有f(x) = f(-x)，那么称函数f(x)关于y轴对称。
这意味着函数图像关于y轴对称，即将函数图像沿y轴翻转180度后，图像与原图像完全一致。
3. 关于原点的对称性如果函数f(x)在原点上对称，即对于任意x，有f(x) = -f(-x)，那么称函数f(x)关于原点对称。
这意味着函数图像关于原点对称，即将函数图像绕原点旋转180度后，图像与原图像完全一致。
二、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在自身点上的性质，即函数在(-x, f(-x))和(x, f(x))两点上的关系。
根据函数的奇偶性，可以将函数分为奇函数和偶函数。
1. 奇函数如果函数f(x)满足对于任意x，有f(-x) = -f(x)，那么称函数f(x)为奇函数。
换言之，奇函数关于原点对称，即函数图像关于原点对称。
2. 偶函数如果函数f(x)满足对于任意x，有f(-x) = f(x)，那么称函数f(x)为偶函数。
换言之，偶函数关于y轴对称，即函数图像关于y轴对称。
三、对称性与奇偶性的判定方法1. 对称性的判定方法对于函数的对称性判定，可以通过以下步骤进行：Step 1：将函数f(x)与f(-x)进行比较，判断是否相等。
函数的对称性与奇偶性
函数的对称性与奇偶性函数是一种数学工具，用于描述两个变量之间的关系。
函数的对称性与奇偶性是函数的重要性质之一，它们可以帮助我们简化函数的分析和计算。
下面将介绍函数的对称性与奇偶性的概念和特点，并通过实例来说明其应用。
1. 对称性的定义和性质函数的对称性是指函数在某种变换下保持不变的性质。
常见的对称性包括轴对称（即关于某一条轴的对称性）和中心对称（即关于某一中心点的对称性）。
1.1 轴对称性对于轴对称函数，其图像相对于某一条轴对称，也就是说，图像在镜像之后仍然保持不变。
轴对称函数可以表示为f(x) = f(-x)。
常见的轴对称函数有偶函数和周期为2π的周期函数。
1.2 中心对称性对于中心对称函数，其图像相对于某一中心点对称，也就是说，图像在中心点旋转180°之后仍然保持不变。
中心对称函数可以表示为f(x) = -f(-x)。
常见的中心对称函数有奇函数。
2. 奇偶性的定义和性质函数的奇偶性是指函数在代入负数或正数时的表现特点。
奇函数与轴对称性相关，而偶函数与中心对称性相关。
2.1 奇函数奇函数满足f(-x) = -f(x)，也就是说，当自变量取反时，函数值也取反。
奇函数的图像关于原点对称，具有轴对称性。
奇函数的常见特点是在原点处取值为零，而且在自变量为正负相等的情况下函数值相等。
2.2 偶函数偶函数满足f(-x) = f(x)，也就是说，当自变量取反时，函数值不变。
偶函数的图像关于y轴对称，具有中心对称性。
偶函数的常见特点是在y轴处取值为零，而且在自变量为相反数的情况下函数值相等。
3. 对称性和奇偶性的应用对称性和奇偶性是函数分析中常用的工具之一，它们可以帮助我们简化函数的计算和图像的绘制。
3.1 推导函数的性质通过对函数的奇偶性进行分析，我们可以推导出函数的其他性质。
例如，偶函数的奇次幂项的系数为零，奇函数的偶次幂项的系数为零。
这些推导可以帮助我们更快地分析函数的特点。
3.2 简化函数的计算对于奇函数，当我们需要计算积分、求解方程等操作时，可以从负数到正数的范围内进行计算，然后将结果乘以2即可。
函数的对称性与奇偶性判定
函数的对称性与奇偶性判定函数的对称性在数学中有着重要的地位，它是判断一个函数性质的重要方法之一。
其中，奇偶性是对称性的一种特殊情况，在函数的对称性中占据了重要的角色。
本文将讨论函数的对称性与奇偶性判定，并探究其在数学中的应用。
一、函数的对称性函数的对称性是指函数图像具备某种对称性质。
常见的对称性包括轴对称、中心对称和周期性对称等。
下面将分别介绍这些对称性及其判定方法。
1.1 轴对称轴对称是指函数的图像关于某条直线对称。
对于任意给定的函数，要判断其是否具有轴对称性，可以通过以下方法进行：首先，确定函数的定义域和值域。
然后选取一个点P(x,y)，利用函数关系式计算对称点P’(2a-x,y)的函数值。
如果P'也在函数的定义域中，并且函数值与P相等，那么函数具有轴对称性。
否则，函数不具有轴对称性。
1.2 中心对称中心对称是指函数的图像关于某个点对称。
对于任意给定的函数，要判断其是否具有中心对称性，可以采用以下方法：确定函数的定义域和值域。
然后选取一个点P(x,y)，利用函数关系式计算对称点P'(-x,-y)的函数值。
如果P'也在函数的定义域中，并且函数值与P相等，那么函数具有中心对称性。
否则，函数不具有中心对称性。
1.3 周期性对称周期性对称是指函数的图像在一定的区间内重复出现。
对于任意给定的函数，要判断其是否具有周期性对称性，可以采用以下方法：确定函数的定义域和值域。
然后选取一个点P(x,y)，利用函数关系式计算对称点P'(x+a,y)的函数值。
如果P'也在函数的定义域中，并且函数值与P相等，那么函数具有周期性对称性。
否则，函数不具有周期性对称性。
二、函数的奇偶性判定函数的奇偶性是对称性的一种特殊情况。
在函数的定义域内，如果对于任意的x，都有f(-x) = f(x)，那么函数具有偶对称性；如果对于任意的x，都有f(-x) = -f(x)，那么函数具有奇对称性。
根据这一定义，我们可以采用以下方法判断函数的奇偶性：2.1 奇对称性判定对于给定的函数，要判断其是奇对称还是非奇对称，可以采用以下步骤：首先，将函数关系式进行变形，得到f(x) - f(-x) = 0。
函数的对称性与奇偶性的判断方法
函数的对称性与奇偶性的判断方法在数学中，对称性和奇偶性是研究函数性质的重要概念。
判断函数的对称性与奇偶性有助于我们深入理解函数的特点和行为。
本文将介绍几种常见的方法来判断函数的对称性与奇偶性。
一、函数的对称性1. 关于y轴对称如果函数在y轴两侧的取值相同，即f(x) = f(-x)。
这意味着函数图像关于y轴对称。
为了判断该对称性，我们可以通过将x替换为-x，然后观察方程两边是否相等。
2. 关于x轴对称如果函数在x轴上和下两侧的取值相同，即f(x) = -f(-x)。
这表示函数图像关于x轴对称。
同样，我们可以通过将x替换为-x来验证该对称性。
3. 关于原点对称如果函数在原点两侧的取值相同，即f(x) = -f(-x)，这说明函数图像关于原点对称。
同样地，我们可以通过将x替换为-x来检验该对称性。
二、函数的奇偶性1. 关于y轴对称的奇函数如果函数关于y轴对称，并且满足f(-x) = -f(x)，则函数是奇函数。
换句话说，当x取相反数时，函数的函数值也取相反数。
2. 关于y轴对称的偶函数如果函数关于y轴对称，并且满足f(-x) = f(x)，则函数是偶函数。
这表示当x取相反数时，函数的函数值保持不变。
3. 奇偶函数的性质奇函数和偶函数有一些特殊的性质。
对于奇函数，它的反函数也是奇函数；对于偶函数，它的反函数也是偶函数。
此外，奇函数和奇函数的乘积是偶函数，偶函数和偶函数的乘积是偶函数，奇函数和偶函数的乘积是奇函数。
三、判断方法示例下面通过几个简单的例子来说明判断函数对称性和奇偶性的方法。
例1：判断函数f(x) = 2x^4 - 3x^2是否关于y轴对称和奇偶性。
由于f(x)是一个多项式函数，它的所有指数都是非负整数，因此它是一个偶函数。
将x替换为-x，我们可以验证f(-x) = f(x)。
所以该函数关于y轴对称。
例2：判断函数f(x) = sin(x)是否关于x轴对称和奇偶性。
由于f(x)是正弦函数，它的值在不同的x值处取正负值，因此它是一个奇函数。
函数的对称性与奇偶性
函数的对称性与奇偶性函数的对称性和奇偶性是数学中重要的概念，用来描述函数在某种变换下的性质。
本文将介绍函数的对称性和奇偶性的概念和性质，并举例说明它们在数学和实际问题中的应用。
一、函数的对称性函数的对称性是指函数图像在某个变换下具有不变性。
常见的对称性有关于x轴对称、y轴对称和原点对称。
下面分别介绍这三种对称性：1. 关于x轴对称当一个函数的图像在x轴上下对称时，我们称之为关于x轴对称。
具体来说，如果对于函数中的任意一个点(x,y)，该函数还包含另一个点(x,-y)，那么这个函数就是关于x轴对称的。
例如，函数y = x^2就是关于x轴对称的。
当x取任意值时，对应的y值都是相等的，即对于任意一个点(x,y)，图像上还存在一个对称的点(x,-y)。
2. 关于y轴对称当一个函数的图像在y轴左右对称时，我们称之为关于y轴对称。
具体来说，如果对于函数中的任意一个点(x,y)，该函数还包含另一个点(-x,y)，那么这个函数就是关于y轴对称的。
例如，函数y = sin(x)就是关于y轴对称的。
对于任意一个点(x,y)，图像上还存在一个对称的点(-x,y)。
3. 关于原点对称当一个函数的图像在原点对称时，我们称之为关于原点对称。
具体来说，如果对于函数中的任意一个点(x,y)，该函数还包含另一个点(-x,-y)，那么这个函数就是关于原点对称的。
例如，函数y = x^3就是关于原点对称的。
对于任意一个点(x,y)，图像上还存在一个对称的点(-x,-y)。
二、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在x轴上对称和y轴对称的性质。
具体来说，如果函数在关于y轴的对称下，即对于任意的x值，函数中的点(x,y)和(-x,y)相等，那么这个函数就是偶函数。
而如果函数在关于原点的对称下，即对于任意的x值，函数中的点(x,y)和(-x,-y)相等，那么这个函数就是奇函数。
例如，函数y = x^2是一个偶函数，因为对于任意的x，y = x^2和y = (-x)^2是相等的。
函数的对称性与奇偶性的判断
函数的对称性与奇偶性的判断函数是数学中的一个重要概念，描述了一种输入和输出之间的关系。
在研究函数的性质时，对称性和奇偶性是两个常见的概念。
本文将就函数的对称性和奇偶性进行详细的介绍和判断方法。
一、对称性的概念和判断方法对称性是指函数在定义域内关于某个中心对称轴对称的性质。
对称轴可以是x轴、y轴或者其他直线。
常见的对称性有偶对称和奇对称两种。
1. 偶对称性：若对于函数的定义域内的任意x，都有f(x) = f(-x)，即函数在关于y轴对称的情况下，称为偶对称函数。
判断函数是否具有偶对称性，可以通过以下步骤：(1) 将函数中所有的x换成-x；(2) 然后化简这个新的表达式；(3) 若化简后的表达式与原函数完全相同，则函数具有偶对称性。
例如，对于函数f(x) = x^2，将x替换成-x得到f(-x) = (-x)^2 = x^2。
与原函数表达式相同，因此该函数具有偶对称性。
2. 奇对称性：若对于函数的定义域内的任意x，都有f(x) = -f(-x)，即函数在关于原点对称的情况下，称为奇对称函数。
判断函数是否具有奇对称性，可以通过以下步骤：(1) 将函数中所有的x换成-x；(2) 然后将新表达式中的符号取相反数；(3) 若化简后的表达式与原函数完全相反，则函数具有奇对称性。
例如，对于函数f(x) = x^3，将x替换成-x得到f(-x) = (-x)^3 = -x^3。
化简后的表达式与原函数的相反数相同，因此该函数具有奇对称性。
二、奇偶性的概念和判断方法奇偶性是指函数在定义域内的某个位置对应的函数值的正负关系。
奇函数指函数在原点对应的函数值为0以及对任意非零x，f(-x) = -f(x)。
偶函数指函数在原点对应的函数值为0以及对任意x，f(-x) = f(x)。
判断函数的奇偶性，可以通过以下步骤：1. 判断函数在原点的函数值是否为0，若为0，则函数具有奇偶性，否则需继续下一步判断。
2. 将函数中所有的x换成-x，然后比较新表达式与原函数的关系。
函数的对称性与奇偶性
函数的对称性与奇偶性函数是数学中一个重要的概念，它描述了一种输入和输出之间的关系。
函数的对称性与奇偶性是研究函数特性和性质的重要方面。
在本文中，将介绍函数的对称性和奇偶性的概念、性质以及它们在数学和实际应用中的意义。
一、函数的对称性函数的对称性是指函数图像关于某个轴或点的对称性质。
常见的函数对称性有水平对称、垂直对称和中心对称。
1. 水平对称当一个函数的图像关于y轴对称时，就称该函数具有水平对称性。
具体地说，对于函数f(x)，当f(x) = f(-x)对于定义域内任意的x成立时，函数具有水平对称性。
水平对称性常见于偶函数，如y = x^2。
2. 垂直对称当一个函数的图像关于x轴对称时，就称该函数具有垂直对称性。
具体地说，对于函数f(x)，当f(x) = -f(-x)对于定义域内任意的x成立时，函数具有垂直对称性。
垂直对称性常见于奇函数，如y = x^3。
3. 中心对称当一个函数的图像关于某一点对称时，就称该函数具有中心对称性。
具体地说，对于函数f(x)，当f(x) = f(a - x)对于定义域内任意的x成立时，函数具有中心对称性。
中心对称性的一个例子是椭圆的方程。
二、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在定义域内满足的特定性质。
奇函数和偶函数是最常见的两种函数奇偶性。
1. 奇函数如果对于函数f(x)，当x属于定义域时，有f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。
奇函数具有关于原点对称的性质，如y = x^3。
2. 偶函数如果对于函数f(x)，当x属于定义域时，有f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数。
偶函数具有关于y轴对称的性质，如y = x^2。
三、对称性与奇偶性的意义函数的对称性和奇偶性在数学和实际应用中具有重要的意义。
1. 函数性质研究通过分析函数的对称性和奇偶性，可以得到函数的一些重要性质。
如奇函数的积分结果是偶函数，偶函数的积分结果是奇函数。
这些性质对于解决求积分、微分方程等数学问题具有指导作用。
函数的对称性和奇偶性
函数的对称性和奇偶性函数的对称性和奇偶性是数学中的重要概念，可以帮助我们研究函数的性质和特点。
在本文中，我们将探讨函数的对称性和奇偶性，并讨论它们在解题中的应用。
一、函数的奇偶性在数学中，如果对于函数 f(x)，满足 f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数。
换句话说，函数的图像关于 y 轴对称。
相反地，如果对于函数f(x)，满足 f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。
也就是说，函数的图像关于原点对称。
函数的奇偶性可以通过解方程 f(x) = 0 来判断。
如果解方程 f(-x) = f(x) = 0，则函数是偶函数；如果解方程 f(-x) = -f(x) = 0，则函数是奇函数。
此外，对于一些简单的函数，我们也可以通过观察函数的表达式来判断其奇偶性。
比如，多项式函数 f(x) = x^n（n为正整数）是奇函数当且仅当 n 是奇数，是偶函数当且仅当 n 是偶数。
奇偶函数的性质也非常有趣。
如果函数 f(x) 是奇函数，那么对于任意实数 a，有 f(a) = -f(-a)。
这意味着奇函数在原点对称，即通过原点的直线上的函数值相等。
相反地，如果函数 f(x) 是偶函数，那么对于任意实数 a，有 f(a) = f(-a)。
这意味着偶函数在 y 轴上的函数值相等。
二、函数的对称性除了奇偶性，函数还可以具有其他种类的对称性。
常见的对称性包括轴对称、中心对称和旋转对称。
1. 轴对称如果函数的图像关于某条直线对称，则称该函数具有轴对称性。
这条直线称为对称轴。
对称轴可以是 x 轴、y 轴，也可以是其他直线。
在解题中，我们可以根据函数的性质和方程来确定函数的对称轴。
比如，对于一般函数 f(x)，如果 f(a+x) = f(a-x)，则对称轴为直线 x = a。
2. 中心对称如果函数的图像关于某个点对称，则称该函数具有中心对称性。
这个点称为中心点。
常见的中心对称函数有圆和椭圆。
在解题中，我们可以通过观察函数的表达式和图形来确定函数的中心对称性。
函数对称性周期性和奇偶性规律总结
函数对称性、周期性和奇偶性关岭民中数学组一、同一函数的函数的奇偶性与对称性：奇偶性是一种特殊的对称性1、奇偶性:1 奇函数关于0,0对称,奇函数有关系式0)()(=-+x f x f2偶函数关于y 即x=0轴对称,偶函数有关系式 )()(x f x f =-2、奇偶性的拓展 : 同一函数的对称性1函数的轴对称：函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 若写成：)()(x b f x a f -=+,则函数)(x f y =关于直线22)()(b a x b x a x +=-++= 对称 证明：设点),(11y x 在)(x f y =上,通过)2()(x a f x f -=可知,)2()(111x a f x f y -==,即点)(),2(11x f y y x a =-也在上,而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称;得证;说明：关于a x =对称要求横坐标之和为2a ,纵坐标相等;∵1111(,)(,)a x y a x y +-与 关于x a =对称,∴函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+∵1111(,)(2,)x y a x y -与关于x a =对称,∴函数)(x f y =关于a x =对称⇔)2()(x a f x f -=∵1111(,)(2,)x y a x y -+与关于x a =对称,∴函数)(x f y =关于a x =对称⇔)2()(x a f x f +=-2函数的点对称：函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 若写成：c x b f x a f =-++)()(,函数)(x f y =关于点)2,2(c b a + 对称证明：设点),(11y x 在)(x f y =上,即)(11x f y =,通过b x f x a f 2)()2(=+- 可知,b x f x a f 2)()2(11=+-,所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-,所以点 )2,2(11y b x a --也在)(x f y =上,而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称 得证;说明: 关于点),(b a 对称要求横坐标之和为2a ,纵坐标之和为2b ,如())a x a x +-与（ 之和为 2a ;3函数)(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称,即关于任一个x 值,都有两个y 值与其对应,显然这不符合函数的定义,故函数自身不可能关于b y =对称;但在曲线cx,y=0,则有可能会出现关于b y =对称,比如圆04),(22=-+=y x y x c 它会关于y=0对称;4复合函数的奇偶性的性质定理：性质1、复数函数y ＝fgx 为偶函数,则fg －x ＝fgx;复合函数y ＝fgx 为奇函数,则fg －x ＝－fgx;性质2、复合函数y ＝fx ＋a 为偶函数,则fx ＋a ＝f －x ＋a ；复合函数y ＝fx ＋a 为奇函数,则f －x ＋a ＝－fa ＋x;性质3、复合函数y ＝fx ＋a 为偶函数,则y ＝fx 关于直线x ＝a 轴对称; 复合函数y ＝fx ＋a 为奇函数,则y ＝fx 关于点a,0中心对称;总结：x 的系数一个为1,一个为-1,相加除以2,可得对称轴方程总结：x 的系数一个为1,一个为-1,fx 整理成两边,其中一个的系数是为1,另一个为-1,存在对称中心;总结：x 的系数同为为1,具有周期性;二、两个函数的图象对称性1、()y f x =与()y f x =-关于X 轴对称;证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =,所以()y f x =-经过点11(,)x y -∵11(,)x y 与11(,)x y -关于X 轴对称,∴11()y f x =与()y f x =-关于X 轴对称. 注：换种说法：)(x f y =与()()y g x f x ==-若满足)()(x g x f -=,即它们关于2、()y f x =与()y f x =-关于Y 轴对称;证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =,所以()y f x =-经过点11(,)x y - ∵11(,)x y 与11(,)x y -关于Y 轴对称,∴()y f x =与()y f x =-关于Y 轴对称;注：因为11(,)x y -代入()y f x =-得111(())()y f x f x =--=所以()y f x =-经过点11(,)x y -换种说法：)(x f y =与()()y g x f x ==-若满足)()(x g x f -=,即它们关于0=x 对称;()(())()g x f x f x -=--=3、()y f x =与(2)y f a x =-关于直线x a = 对称;证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =,所以(2)y f a x =-经过点11(2,)a x y -∵11(,)x y 与11(2,)a x y -关于x a =轴对称,∴()y f x =与(2)y f a x =-关 于直线x a = 对称;注：换种说法：)(x f y =与()(2)y g x f a x ==-若满足)2()(x a g x f -=,即它们关于a x =对称;4、)(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称;证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =,所以)(2x f a y -=经过点11(,2)x a y -∵11(,)x y 与11(,2)x a y -关于y a =轴对称,∴)(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称.注：换种说法：)(x f y =与()2()y g x a f x ==-若满足a x g x f 2)()(=+,即它们关于a y =对称;5、)2(2)(x a f b y x f y --==与关于点a,b 对称;证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =,所以2(2)y b f a x =--经过点11(2,2)a x b y --∵11(,)x y 与11(2,2)a x b y --关于点a,b 对称,∴)2(2)(x a f b y x f y --==与关于注：换种说法：)(x f y =与()2(2)y g x b f a x ==--若满足b x a g x f 2)2()(=-+,即它们关于点a,b 对称;(2)2(2(2))2()g a x b f a a x b f x -=---=-6、)(x a f y -=与()y f x b =-关于直线2b a x +=对称; 证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =,所以()y f a x =-经过点11(,)a x y -,()y f b x =-经过点11(,)b x y +,∵11(,)a x y -与11(,)b x y +关于直线2b a x +=对称, ∴)(x a f y -=与()y f x b =-关于直线2b a x +=对称; 三、总规律：定义在Ｒ上的函数()x f y =,在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中,只要有两条存在,则第三条一定存在;一、 同一函数的周期性、对称性问题即函数自身一、函数的周期性：对于函数)(x f y =,如果存在一个不为零的常数T,使得当x 取定义域内的每一个值时,都有)()(x f T x f =+都成立,那么就把函数)(x f y =叫做周期函数,不为零的常数T 叫做这个函数的周期;如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期;1、周期性：1函数)(x f y =满足如下关系式,则T x f 2)(的周期为A 、)()(x f T x f -=+B 、)(1)()(1)(x f T x f x f T x f -=+=+或 C 、)(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或)(1)(1)2(x f x f T x f +-=+等式右边加负号亦成立 D 、其他情形2函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+且)()(x b f x b f -=+,则可推出 )](2[)]2([)]2([)2()(a b x f b x a b f b x a b f x a f x f -+=---=--+=-=即可以 得到)(x f y =的周期为2b-a,即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x 轴两条直线对称,则函数一定是周期函数”3如果奇函数满足)()(x f T x f -=+则可以推出其周期是2T,且可以推出对称 轴为kT T x 22+=)(z k ∈,根据)2()(T x f x f +=可以找出其对称中心为 )0(kT ，)(z k ∈以上0≠T如果偶函数满足)()(x f T x f -=+则亦可以推出周期是2T,且可以推出对称中心为)0,22(kT T +)(z k ∈,根据)2()(T x f x f +=可以推出对称轴为kT T x 2+=)(z k ∈ 以上0≠T4如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+0≠T ,则函数)(x f y =是 以4T 为周期的周期性函数;如果偶函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+ 0≠T ,则函数)(x f y =是以2T 为周期的周期性函数;定理1：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(,且()x b f x b f -=+)(其 中b a ≠,则函数()x f y =以()b a -2为周期.定理2：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f --=+)(,且()x b f x b f --=+)( 其中b a ≠,则函数()x f y =以()b a -2为周期.定理3：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(,且()x b f x b f --=+)(其 中b a ≠,则函数()x f y =以()b a -4为周期.定理4：若函数fx 的图像关于直线x=a 和x=b 都对称,则fx 是周期函数,2b-a 是它的一个周期未必是最小正周期;定理5：若函数fx 的图像关于点a,c 和b,c 都成中心对称,则fx 是周期函数,2b-a 是它的一个周期未必是最小正周期;定理6：若函数fx 关于点a,c 和x=b 都对称,则fx 是周期,4b-a 是它的一个周期未必是最小正周期;定理7：若函数fx 满足fx-a=fx+aa>0,则fx 是周期函数,2a 是它的一个周期;定理8：若函数fx 满足fx+a=-fxa>0或fx+a=)(1x f 或fx+a=－)(1x f 则fx 周期函数,2a 是它的一个周期; 定理9：若函数)0,1)(()(1)(1)(>≠-+=+a x f x f x f a x f ,则fx 是周期函数,4a 是它的一个周期;若fx 满足)0,1)(()(1)(1)(>≠+-=+a x f x f x f a x f ,则fx 是周期函数,2a 是它的一个周期;。
函数的基本性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）
函数的基本性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。
1. 奇偶性f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)÷f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数. （1）若定义域关于原点对称（2）若定义域不关于原点对称⾮奇⾮偶例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数常⽤性质：1．0)(=x f 是既奇⼜偶函数；2．奇函数若在0=x 处有定义，则必有0)0(=f ； 3．偶函数满⾜)()()(x f x f x f =-=；4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称；5．0)(=x f 除外的所有函数的奇偶性满⾜：（1）奇函数±奇函数=奇函数偶函数±偶函数=偶函数奇函数±偶函数=⾮奇⾮偶（2）奇函数×奇函数=偶函数偶函数×偶函数=偶函数奇函数×偶函数=奇函数 6．任何函数)(x f 可以写成⼀个奇函数2)()()(x f x f x --=和⼀个偶函数2)()()(x f x f x -+=ψ的和。
2. 单调性定义：函数定义域为A ，区间，若对任意且①总有则称在区间M 上单调递增②总有则称在区间M 上单调递减应⽤：（⼀）常⽤定义法来证明⼀个函数的单调性⼀般步骤：（1）设值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论（⼆）求函数的单调区间定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学) 注：常⽤结论（1）奇函数在对称区间上的单调性相同（2）偶函数在对称区间上的单调性相反（3）复合函数单调性-------同增异减3. 周期性（1）⼀般地对于函数内⼀切值时总有，那么叫做周期函数，T 叫做周期，kT （T 的整数倍）也是它的周期（2）如果周期函数在所有周期中存在⼀个最⼩正数，就把这个最⼩正数叫最⼩正周期。
函数的奇偶性与对称性
函数的奇偶性与对称性在数学中，函数的奇偶性与对称性是一些基本概念。
了解这些概念能够帮助我们更好地理解和分析函数的性质。
本篇文章将详细介绍函数的奇偶性与对称性，并讨论它们在数学中的应用。
一、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在坐标系中的对称性。
一个函数如果满足$f(x) = f(-x)$，则称该函数为偶函数；如果满足$f(x) = -f(-x)$，则称该函数为奇函数。
偶函数的图像在坐标系中具有关于y轴的对称性，即左右对称。
例如，$f(x) = x^2$是一个典型的偶函数。
我们可以观察到，对于函数图像上的任意一点$(x, y)$，如果存在另一个点$(-x, y)$也在图像上，那么这个函数就是偶函数。
奇函数的图像在坐标系中具有关于原点的对称性，即中心对称。
例如，$f(x) = x^3$是一个典型的奇函数。
我们可以观察到，在函数图像上，原点为中心，任意一点$(x, y)$和$(-x, -y)$对称。
二、函数的对称性除了奇偶性，函数还可以具有其他形式的对称性，如轴对称和中心对称。
轴对称是指函数图像具有关于某条垂直或水平直线的对称性。
例如，函数$y = f(x)$具有关于y轴对称性，而函数$x = f(y)$具有关于x轴对称性。
轴对称的性质对于解方程和图形绘制等问题具有重要意义。
中心对称是指函数图像具有关于坐标系原点的对称性。
例如，函数$y = \frac{1}{x}$具有关于原点的中心对称性。
中心对称和轴对称在几何和物理学等领域有广泛应用。
三、奇偶函数的性质奇函数和偶函数具有一些特殊的性质，这些性质可以帮助我们更好地理解和求解函数问题。
1. 偶函数的性质：- 偶函数在定义域内关于y轴对称，因此只需研究正半轴上的取值。
- 偶函数的图像关于y轴对称，即$(x, y)$在图像上，则$(-x, y)$也在图像上。
- 偶函数的奇数次幂为奇函数，偶数次幂为偶函数。
2. 奇函数的性质：- 奇函数在定义域内关于原点对称，因此只需研究第一象限上的取值。
函数的奇偶性与对称性分析
函数的奇偶性与对称性分析在数学领域中，函数的奇偶性以及对称性是重要的概念。
通过分析函数的奇偶性和对称性，我们可以推导出函数的性质和特点，进而解决一些相关的问题。
本文将介绍函数的奇偶性和对称性，并讨论它们对函数图像、奇偶函数的性质以及对称轴的位置等方面的影响。
一、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数的性质，即在自变量取相反数时，函数的值是否相等。
如果函数满足$f(-x) = f(x)$，则称该函数为偶函数；如果函数满足$f(-x) = -f(x)$，则称该函数为奇函数。
1. 奇函数的性质奇函数具有以下性质：- 奇函数在原点处对称，即图像关于原点对称。
- 当函数的定义域包含原点时，奇函数的值为零$f(0)=0$。
- 奇函数的图像在第一象限和第三象限中对称，即对于任意$x>0$，有$f(x)=-f(-x)$。
2. 偶函数的性质偶函数具有以下性质：- 偶函数在y轴上对称，即图像关于y轴对称。
- 当函数的定义域包含原点时，偶函数的值为零$f(0)=0$。
- 偶函数的图像在第一象限和第二象限中对称，即对于任意$x>0$，有$f(x)=f(-x)$。
二、函数的对称性函数的对称性是指函数的图像相对于某个轴线或点具有对称关系。
1. 关于y轴的对称性如果函数满足$f(-x) = f(x)$，则函数的图像关于y轴对称。
在坐标系中，可以通过将x坐标取相反数，观察函数值是否相等来判断函数是否关于y轴对称。
2. 关于x轴的对称性如果函数满足$f(x) = f(-x)$，则函数的图像关于x轴对称。
在坐标系中，可以通过将y坐标取相反数，观察函数值是否相等来判断函数是否关于x轴对称。
3. 关于原点的对称性如果函数满足$f(-x) = -f(x)$，则函数的图像关于原点对称。
在坐标系中，可以通过将x和y坐标取相反数，观察函数值是否相等来判断函数是否关于原点对称。
三、函数图像的绘制1. 偶函数的图像对于偶函数，可以仅绘制一侧的图像，然后通过关于y轴的对称性得到整个图像。
函数的奇偶性、周期性与对称性
f ( x ) ，那么函数 f ( x )就叫做奇函数
关于 原点
对称
知识点二 函数的周期性
1. 周期函数
设函数 f ( x )的定义域为 D ，如果存在一个非零常数 T ，使得对每一个 x
∈ D 都有 x ＋ T ∈ D ，且
f ( x ± T )＝ f ( x )
函数，非零常数 T 为这个函数的周期.
考点四
函数的对称性及其应用
◉角度(一) 利用函数的对称性求函数值问题
例4
已知定义在R上的函数 f ( x )，对任意 x ∈R，都有 f ( x ＋6)＝
f ( x )＋ f (3)成立，若函数 y ＝ f ( x ＋1)的图象关于直线 x ＝－1对称，
则 f (2 025)＝( A
)
A. 0
B. 2 013
∴ f (－ x )＝ f ( x )对于任意 x ∈R都成立，
∴ f (－1)＝ f (1)，即2－｜ a －3｜＝2－｜ a ＋3｜，
解得 a ＝0.
D )
4. 已知函数 f ( x )是定义在R上的周期为4的奇函数，若 f (1)＝1，则
f (2 023)＝ －1
.
因为函数 f (方法总结
跟踪训练
2. (2023·新高考Ⅱ卷)若 f ( x )＝( x ＋ a )ln
A. －1
2−1
为偶函数，则 a ＝(
2+1
B. 0
D. 1
f (－ x )＝(－ x ＋ a )ln
−2−1
2+1
2−1
＝ (－ x ＋ a )ln
＝( x － a )ln
.
−2+1
函数性质专题 函数的奇偶性、周期性、对称性
函数性质专题 函数的奇偶性、周期性、对称性第一部分 函数的奇偶性一、奇偶函数的定义 偶函数 奇函数定义 设函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I且f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数且f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数 图象特征 关于y 轴对称 关于原点对称一、函数的奇偶性常用结论1、奇(偶)函数定义的等价形式①f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝1⇔f (x )为偶函数； ②f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝－1⇔f (x )为奇函数. 2、如果函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有定义，则一定有f (0)＝0.如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |).3、在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．二、函数的奇偶性常见题型（一）函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝x 3－1x； (2)f (x )＝x 2－1 ＋1－x 2 ；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x >0，x 2＋2x －1，x <0.跟踪练习1、下列函数中为偶函数的是( )A ．f (x )＝2x ＋1B ．f (x )＝x 3＋xC ．f (x )＝1x 2 D ．f (x )＝x ＋1x2、函数f (x )＝1x －x 的图像( )A ．关于y 轴对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝－x 对称3、已知函数f (x )＝x ·|x |－2x ，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数，递增区间是(－∞，0)B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1)C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1)D ．f (x )是奇函数，递增区间是(0，＋∞)4、设函数f (x )＝1－x1＋x ，则下列函数中为奇函数的是( )A ．f (x －1)－1B ．f (x －1)＋1C ．f (x ＋1)－1D ．f (x ＋1)＋15、设函数f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，下列函数必为奇函数的是( )A ．y ＝－|f (x )|B ．y ＝xf (x 2)C ．y ＝－f (－x )D ．y ＝f (x )＋f (－x )6、已知函数f (x )＝9－x 2|6－x |－6，则函数f (x )( )A ．既是奇函数也是偶函数B ．既不是奇函数也不是偶函数C ．是奇函数，但不是偶函数D ．是偶函数，但不是奇函数7、已知定义在R 上的函数f (x )满足对任意x 1，x 2∈R ，有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)－1，则() A ．f (x )是偶函数 B ．f (x )是奇函数C ．f (x )－1是偶函数D ．f (x )－1是奇函数8、(多选)下列函数是奇函数的是( )A ．y ＝2x 2－3B ．y ＝x 3C ．y ＝x 2，x ∈[0，1]D ．y ＝x9、(多选)下列说法中正确的是( )A ．图象关于坐标原点对称的函数是奇函数B ．图象关于y 轴对称的函数是偶函数C ．函数y ＝x 2在x ∈(0，＋∞)上是偶函数D ．若函数f (x )为奇函数，则一定有f (0)＝010、(多选)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝f (－x )C ．y ＝xf (x )D ．y ＝f (x )＋x11、(多选)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的有( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|＋g (x )是偶函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数12、(多选)如果f (x )是定义在R 上的奇函数，那么下列函数中，一定为具有奇偶性的函数的是( )A ．y ＝x ＋f (x )B ．y ＝xf (x )C ．y ＝x 2＋f (x )D ．y ＝x 2f (x )13、(多选)函数f (x )的定义域为R ，且f (x )与f (x ＋1)都为奇函数，则( )A ．f (x －1)为奇函数B ．f (x )为周期函数C ．f (x ＋3)为奇函数D ．f (x ＋2)为偶函数14、判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3；(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0；15、判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x 3－x 2x －1； (2)f (x )＝x 2－x 3；(3)f (x )＝|x －2|－|x ＋2|；(4)f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，a ∈R).16、(1)已知函数f (x )，x ∈R ，若∀a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )，求证：f (x )为奇函数；(2)已知函数f (x )，x ∈R ，若∀x 1，x 2∈R ，都有f (x 1＋x 2)＋f (x 1－x 2)＝2f (x 1)·f (x 2)，求证：f (x )为偶函数；(3)设函数f (x )定义在(－l ，l )上，证明：f (x )＋f (－x )是偶函数，f (x )－f (－x )是奇函数．17、已知f (x )是定义在R 上的函数，设g (x )＝f （x ）＋f （－x ）2，h (x )＝f （x ）－f （－x ）2. (1)试判断g (x )与h (x )的奇偶性；(2)试判断g (x )，h (x )与f (x )的关系；(3)由此你能猜想出什么样的结论？（二）根据奇偶性求函数值例2(2022·重庆模拟)已知函数f (x )＝ax 5＋bx 3＋2，若f (2)＝7，求f (－2)的值.跟踪练习1、(2022·青岛模拟)已知f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8(a ，b 是常数)，且f (－3)＝5，则f (3)＝( )A ．21B ．－21C ．26D ．－262、如图，给出奇函数y ＝f (x )的局部图像，则f (－2)＋f (－1)的值为( )A.－2 B ．2 C ．1 D ．03、已知f (x )为奇函数，在区间[3，6]上是增函数，且在此区间上的最大值为8，最小值为－1，则2f (－6)＋f (－3)＝( )A ．－15B ．－13C ．－5D ．54、已知f (x )＝ax 3＋bx ＋1(ab ≠0)，若f (2019)＝k ，则f (－2019)＝( )A ．kB ．－kC ．1－kD ．2－k5、已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－2)＝( )A ．－3B ．－54C ．54D ．36、已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (2－x )－f (x )＝0，f (0)＝3 ，则f (10)＝________．7、已知y ＝f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝x 2＋ax ，且f (3)＝6，则a 的值为________．8、若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )，x <0，2x －3，x >0为奇函数，则f (g (－1))＝________. 9、已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x (1＋x )，则f (－1)＝________．10、已知f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝x 2＋2x ，则f (1)的值是________．11、若f (x )＝(m －1)x 2＋6mx ＋2是偶函数，则f (0)，f (1)，f (－2)从小到大的排列是____________．（三）根据奇偶性求函数的解析式例3(1)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (x －2)，则当x ＜0时，求f (x )的表达式.(2)已知函数f (x )为偶函数，且当x <0时，f (x )＝x ＋1，则x >0时，求f (x )的表达式跟踪练习1、(2022·广东模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x 2－x －1，则当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝________．2、已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0，f (x )＝2x －2x ＋a ，则a ＝________；当x <0时，f (x )＝_______.3、已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，f (x )＝x (x ＋1)，f (x )＝_______.4、已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－2x .(1)求出函数f (x )在R 上的解析式；(2)画出函数f (x )的图像．5、已知函数f (x )＝x 2－mx (m >0)在区间[0，2]上的最小值为g (m )．求函数g (m )的解析式；6、设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式．7、已知函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1，1)上的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫12＝25. (1)求函数f (x )的解析式；(2)用定义证明f (x )在(－1，1)上是增函数；(3)解关于实数t 的不等式f (t －1)＋f (t )<0.（四）函数奇偶性的应用例4已知定义在(－1，1)上的函数f (x )＝x x 2＋1. (1)试判断f (x )的奇偶性及在(－1，1)上的单调性；(2)解不等式f (t －1)＋f (2t )<0.跟踪练习1、已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，f (x )＝x (x ＋1)，则下列说法正确的是( )A.函数f (x )有3个单调区间B ．当x >0时，f (x )＝x (x －1)C ．函数f (x )有最小值14D ．不等式f (x )<0的解集是(－1，1)2、已知定义在R 上的函数f (x )在(－∞，2)上单调递减，且f (x ＋2)为偶函数，则f (－1)，f (4)，f ⎝⎛⎭⎫112 的大小关系为( )A ．f (4)<f (－1)<f ⎝⎛⎭⎫112B ．f (－1)<f (4)<f ⎝⎛⎭⎫112 C ．f ⎝⎛⎭⎫112 <f (4)<f (－1) D ．f (－1)<f ⎝⎛⎭⎫112 <f (4) 3、定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －3)＝－f (x )，当x ∈[0，3]时，f (x )＝x 2－3x ，则以下关于f (x )的结论错误的是( )A ．周期为6B ．图象关于⎝⎛⎭⎫32，0 对称C ．f (2 021)＝2D ．图象关于x ＝32对称 4、若函数f (x )(f (x )≠0)为奇函数，则必有( )A ．f (x )·f (－x )>0B ．f (x )·f (－x )<0C ．f (x )<f (－x )D ．f (x )>f (－x )5、(2022·白银模拟)已知f (x )＝a x －2x (a ≠2)为奇函数，则“m <－12”是“f (m )>0”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6、设f (x )是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f (－2)，f (－π)，f (3)的大小顺序是( )A ．f (－π)>f (3)>f (－2)B ．f (－π)>f (－2)>f (3)C ．f (3)>f (－2)>f (－π)D ．f (3)>f (－π)>f (－2)7、如果奇函数f (x )在[3,7]上单调递增且最小值为5，那么f (x )在区间[－7，－3]上( )A ．单调递增且最小值为－5B ．单调递减且最小值为－5C ．单调递增且最大值为－5D ．单调递减且最大值为－58、已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x 2＋ax ＋b ，则a ＋b 等于( )A ．0B ．－1C ．－2D ．29、已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( )A ．(－1,4)B ．(－2,0)C ．(－1,0)D ．(－1,2)10、设偶函数f (x )满足f (x )＝x 3－8(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( )A ．{x |x <－2或x >4}B ．{x |x <0或x >4}C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <－2或x >2}11、已知定义在R 上的偶函数f (x )满足在[0，＋∞)上单调递增，f (3)＝0，则关于x 的不等式f (x ＋2)＋f (－x －2)x>0的解集为( ) A ．(－5，－2)∪(0，＋∞)B ．(－∞，－5)∪(0,1)C ．(－3,0)∪(3，＋∞)D ．(－5,0)∪(1，＋∞)12、设f (x )为偶函数，且在区间(－∞，0)内是增函数，f (－2)＝0，则xf (x )<0的解集为( )A ．(－1，0)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0，2)C ．(－2，0)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(0，2)13、(多选)(2022·岳阳质检)设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，也叫取整函数．令f (x )＝x －[x ]，以下结论正确的有( )A ．f (－1.1)＝0.9B ．函数f (x )为奇函数C ．f (x ＋1)＝f (x )＋1D ．函数f (x )的值域为[0,1)14、(多选)已知定义在区间[－7，7]上的一个偶函数，它在[0，7]上的图象如图，则下列说法正确的有( )A ．这个函数有两个单调递增区间B ．这个函数有三个单调递减区间C ．这个函数在其定义域内有最大值7D ．这个函数在其定义域内有最小值－715、若函数f (x )＝ax ＋b ，x ∈[a －4，a ]的图象关于原点对称，则a ＝________，函数g (x )＝bx ＋a x，x ∈[－4，－1]的值域为________． 16、已知f (x )＝ax 2＋bx ＋1是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，则a ＋b ＝________.17、若函已知f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1，2a ]，则a ＋b ＝________18、单调递减区间是_______．数f (x )＝k －2x1＋k ·2x在定义域上为奇函数，则实数k ＝________． 19、已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝1，若f (x ＋a )≤1对x ∈[－1，1]恒成立，则实数a 的取值范围是________．20、若函数f (x －2)为奇函数，f (－2)＝0，且f (x )在区间[－2，＋∞)上单调递减，则不等式f (3－x )>0的解集为________．21、已知实数a ，b 满足(a －1)5＋(b －3)5＝2 020(1－a )3＋2 020(3－b )3，则a ＋b ＝________．22、函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是________．23、(2022·福建质检)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称．以下关于f (x )的结论：①f (x )是周期函数；②f (x )在(0,2)上单调递减；③f (x )满足f (x )＝f (4－x )；其中正确的结论是________(写出所有正确结论的序号)．24、设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成的图形的面积．25、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值； (2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．26、设函数f (x )＝x 2－2|x －a |＋3，x ∈R .(1)王鹏同学认为，无论a 取何值，f (x )都不可能是奇函数．你同意他的观点吗？请说明你的理由；(2)若f (x )是偶函数，求a 的值；(3)在(2)的情况下，画出y ＝f (x )的图象并指出其单调递增区间．第二部分 函数的周期性一、函数周期的定义(1)周期函数：一般地，设函数f (x )的定义域为D ，如果存在一个非零常数T ，使得对每一个x ∈D 都有x ＋T ∈D ，且f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫作周期函数．非零常数T 叫作这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f (x )的最小正周期．二、函数周期性常用结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ：(1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0).(2)若f (x ＋a )＝1f （x ），则T ＝2a (a >0). (3)若f (x ＋a )＝－1f （x ），则T ＝2a (a >0). 三、函数周期性的应用例1定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x <3时，f (x )＝x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 023)等于( )A ．336B ．338C ．337D ．339跟踪练习1、(2022·重庆质检)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意的实数x ，f (x －2)＝f (x ＋2)，当x ∈(0,2)时，f (x )＝x 2，则f ⎝⎛⎭⎫132等于( )A ．－94B ．－14 C.14 D.942、在R 上函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，|2－x |，0≤x <1， 其中a ∈R ，若f (－5)＝f (4.5)，则a ＝( )A ．0.5B ．1.5C ．2.5D ．3.53、定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x ).若f (2)>1，f (7)＝a ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－3)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)4、(2022·宿州市模拟(一))已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x )＝f (2－x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝4x －1，则在(1，3)上，f (x )≤1的解集是( )A ．⎝⎛⎦⎤1，32 B ．⎣⎡⎦⎤32，52 C ．⎣⎡⎭⎫32，3 D ．[2，3)5、已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (3－x )＝f (x )，则f (2 025)＝( )A ．－3B ．0C ．1D ．36、已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (2＋x )＋f (x )＝0，当x ∈[－2，0]时，f (x )＝－x 2－2x ，则当x ∈[4，6]时，y ＝f (x )的最小值为( )A ．－8B ．－1C ．0D ．17、已知函数f (x )的图象关于原点对称，且周期为4，f (3)＝－2，则f (2 021)等于( )A ．2B ．0C ．－2D ．－48、已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( )A ．(－1,4)B ．(－2,0)C ．(－1,0)D ．(－1,2)9、已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32 ，f (－1)＝1，f (0)＝－2，且f ⎝⎛⎭⎫x －34 为奇函数，则下列说法错误的是( )A ．f (x )为奇函数B ．f (x )为偶函数C ．f (x )是周期为3的周期函数D ．f (0)＋f (1)＋…＋f (2 021)＝010、函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋4)，若f (2)＝3，则f (2 022)＝( )A ．3B ．－3C ．6D ．2 02211、已知f (x )为R 上的偶函数，且f (x ＋2)是奇函数，则( )A ．f (x )的图象关于点(2,0)对称B ．f (x )的图象关于直线x ＝2对称C ．f (x )的周期为4D ．f (x )的周期为812、函数f (x )满足f (x )f (x ＋2)＝13，且f (1)＝2，则f (2 023)＝________.13、若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x >0，则f (2 023)＝________. 14、函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且f (x )为定义在R 上的奇函数，则f (2 021)＋f (2 022)＝________.15、已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为________．16、已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 有f (x ＋4)＝－f (x )，若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，f (－6)＝0，则f (2 022)＝________．17、已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 有f (x ＋4)＝－f (x )，若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，f (－2)＝2，则f (2 026)＝_______．18、已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2).若当x ∈[－3，0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________．19、设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式．第三部分 函数的对称性一、函数对称性常用结论(1)f (a －x )＝f (a ＋x )⇔f (－x )＝f (2a ＋x )⇔f (x )＝f (2a －x )⇔f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)f (a ＋x )＝f (b －x )⇔f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称． f (a ＋x )＝－f (b －x )⇔f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，0对称．(3) f (2a －x )＝－f (x )＋2b ⇔f (x )的图象关于点(a ，b )对称．二、函数对称性的应用例已知函数y ＝f (x )－2为奇函数，g (x )＝2x ＋1x，且f (x )与g (x )图象的交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 6，y 6)，则y 1＋y 2＋…＋y 6＝________.跟踪练习1、(2022·山东师大附中第二次月考)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －3)＝－f (x )，当x ∈[0，3]时，f (x )＝x 2－3x ，则以下关于f (x )的结论错误的是( )A ．周期为6B ．图象关于⎝⎛⎭⎫32，0 对称C ．f (2 021)＝2D ．图象关于x ＝32对称 2、已知函数f (x )的图象关于原点对称，且周期为4，f (3)＝－2，则f (2 021)等于( )A ．2B ．0C ．－2D ．－43、已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x 2＋ax ＋b ，则a ＋b 等于( )A ．0B ．－1C ．－2D ．24、(多选)(2022·湖北新高考9＋N 联盟模拟)已知f (x )为R 上的偶函数，且f (x ＋2)是奇函数，则( )A ．f (x )的图象关于点(2,0)对称B ．f (x )的图象关于直线x ＝2对称C ．f (x )的周期为4D ．f (x )的周期为85、(2022·承德模拟)已知函数f (x )的定义域为R ，对任意x 都有f (2＋x )＝f (2－x )，且f (－x )＝f (x )，则下列结论正确的是( )A ．f (x )的图象关于直线x ＝2对称B ．f (x )的图象关于点(2,0)对称C ．f (x )的周期为4D ．y ＝f (x ＋4)为偶函数6、已知定义在R 上的奇函数f (x )对∀x ∈R 都有f (x ＋2)＝－f (x )，则下列判断正确的是( )A ．f (x )是周期函数且周期为4B ．f (x )的图象关于点(1,0)对称C ．f (x )的图象关于直线x ＝－1对称D ．f (x )在[－4,4]上至少有5个零点7、函数f (x )的周期为6，且f (x ＋2)为偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －1，则f (2 025)＝________.8、已知函数f (x )满足对∀x ∈R ，有f (1－x )＝f (1＋x )，f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈(0,1)时，f (x )＝x 2＋mx ，若f ⎝⎛⎭⎫352＝12，则m ＝______.9、函数f (x )的周期为6，且f (x ＋2)为偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －1，则f (2 025)＝______.10、已知函数f (x )满足：①f (0)＝0；②在[1,3]上是减函数；③f (1＋x )＝f (1－x )．请写出一个满足以上条件的f (x )＝_______．11、已知函数y ＝f (x )－2为奇函数，g (x )＝2x ＋1x，且f (x )与g (x )图象的交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 6，y 6)，则y 1＋y 2＋…＋y 6＝________.12、函数y ＝f (x )对任意x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (－x )成立，且函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，f (1)＝4，则f (2 020)＋f (2 021)＋f (2 022)＝________．13、若函数f (x )＝ax ＋b ，x ∈[a －4，a ]的图象关于原点对称，则a ＝________，函数g (x )＝bx ＋a x，x ∈[－4，－1]的值域为________．。
对称性、奇偶性和周期性的综合运用
函数的对称性、奇偶性和周期性的综合运用一．函数的对称性（一）函数)(x f y = 的图象自身对称 1、轴对称对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，)()(x b f x a f -=+ ⇔)(x f y =图象关于直线22)()(ba xb x a x +=-++=对称.推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称.推论2：)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称.推论3：)2()(x a f x f +=-⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称.求对称轴方法：22)()(ba xb x a x +=-++=2、中心对称对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，c x b f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),2(c ba +对称. 推论：b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称.推论：bx a f x f 2)2()(=-+⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称.推论：b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称.求对称中心方法：.22,2)()(c c y x b x a x ==-++=纵坐标横坐标小结: 轴对称与中心对称的区别轴对称：f(a+x)= f(b-x)中，自变量系数互为相反数（内反），函数值相等(差为零)； 中心对称：f(a+x)= - f(b-x)+2c 中，自变量系数互为相反数（内反），函数值和为定值.（二）两个函数的图象相互对称 1、函数)(x a f y +=与函数)(x b f y -=图象关于直线2ab x -=对称；特别地，函数y ＝f(a ＋x)与y ＝f(a －x)关于直线x=0(y 轴)轴对称；函数)(x f y=与函数)(x f y -=图象关于y 轴对称；求对称轴方法：令a+x=b-x,得 2a b x -=.2、函数y ＝f(a ＋x)+c 与y ＝－f(b －x)+d 关于点)2,2(d c a b +-中心对称；特别地，函数y ＝f(a ＋x)与y ＝－f(a －x)关于点（0,0）（原点）中心对称.函数)(x f y=与函数)(x f y --=图象关于原点对称函数.求对称中心方法：横坐标令a+x=b-x,得2ab x -=，纵坐标y=.2d c +二． 函数的奇偶性1. 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(－x)＝f(x) （f(x) －f(－x)＝0），那么函数f(x)叫做偶函数．偶函数的图象关于y 轴（x=0）对称．推论：若y ＝f(x ＋a)为偶函数，则f(x ＋a)＝f(－x ＋a)，即y ＝f(x)的图像关于直线x ＝a轴对称.2. 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(－x)＝－f(x) （f(x) +f(－x)＝0），那么函数f(x)叫做奇函数．奇函数的图象关于原点(0,0)对称.推论：若y ＝f(x ＋a)为奇函数，则f(－x ＋a)＝－f(a ＋x)，即y ＝f(x) 的图像关于点（a ，0）中心对称.三．函数的周期性 1. 定义：对于()fx 定义域内的任意一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期.2. 推论：①()()f x T f x ±=( 0T ≠)⇔)(x f y =的周期为T.②()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=③)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为aT 2=④)(1)(x f a x f =+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= ⑤)(1)(x f a x f -=+⇔)(x f y =的周期为a T 2=⑥)(1)(1)(x f x f a x f +-=+⇔)(x f y =的周期为.2a T =⑦1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 2= ⑧)(1)(1)(x f x f a x f -+=+⇔)(x f y =的周期为aT 4=⑨)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6=⑩若.),()(,0p a T a px f px f p =+=>则⑾若函数y ＝f(x)同时关于直线x ＝a 与x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a －b|. 推论：偶函数)(x f y=满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期aT 2=⑿若函数y ＝f(x)同时关于点（a ，0）与点（b ，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a －b|. 推论：奇函数)(x f y =满足0)()(=-++x a f x a f ⇔)(x f y =周期aT4=⒀)(x f y =有一条对称轴a x =和一个对称中心)0,(b ⇔()f x 的周期T ＝4|a －b|.小结：①函数对称性、奇偶性和周期性定义共同点：“对于函数f(x)定义域内任意一个x ”；②对称性、周期性定义中条件，“内反表示对称性，内同表示周期性”； ③定义在Ｒ上的函数)(x f y =，在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条一定存在.题型分类1. 求函数值例1. 设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，),()2(x f x f -=+当10≤≤x 时，xx f =)(，则)5.7(f 等于（-0.5）（A ）0.5; （B ）-0.5; （C ）1.5; （D ）-1.5.例2.偶函数y ＝f(x)满足条件f(x ＋1)＝f(x －1)，且当x ∈[－1,0]时，f(x)＝3x则的值等于( )A ．－1 D ．1解：由于偶函数y ＝f(x)满足条件f(x ＋1)＝f(x －1)，，说明函数的周期为2，f(-x)=f(x) 当x∈[－1,0]时，f(x)＝3x则对)=f(2- 3log 5)=33log 5＋故可知答案为D.2．比较函数值大小 例3.若))((R x x f ∈是以2为周期的偶函数，当[]1,0∈x 时，,)(19981xx f =试比较)1998(f 、)17101(f 、)15104(f 的大小.解：))((R x x f ∈Θ是以2为周期的偶函数，又19981)(xx f =Θ在[]1,0上是增函数，且1151419161710<<<<，).15104()1998(17101(),1514()1916()171(f f f f f f <<<<∴即 3、求函数解析式例4. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当[]0,2-∈x 时，f(x)=－2x+1，求当[]6,4∈x 时求f(x)的解析式. 例5．设)(x f 是定义在),(+∞-∞上以2为周期的周期函数，且)(x f 是偶函数，在区间[]3,2上，.4)3(2)(2+--=x x f 求[]2,1∈x 时，)(x f 的解析式.解：当[]2,3--∈x ，即[]3,2∈-x ，4)3(24)3(2)()(22++-=+---=-=x x x f x f又)(x f 是以2为周期的周期函数，于是当[]2,1∈x ，即243-≤-≤-x 时，[]).21(4)1(243)4(2)()4()(22≤≤+--=++--=⇒-=x x x x f x f x f 有).21(4)1(2)(2≤≤+--=∴x x x f4、判断（证明）函数性质 例6.已知)(x f 的周期为4，且等式)2()2(x f x f -=+对任意R x ∈均成立，判断函数)(x f 的奇偶性.解：由)(x f 的周期为4，得)4()(x f x f +=，由)2()2(x f x f -=+得)4()(x f x f +=-，),()(x f x f =-∴故)(x f 为偶函数.例7.已知f(x)是定义在R 上的函数，且满足f(x+999)=)(1x f -，f(999+x)=f(999－x)， 试判断函数f(x)的奇偶性.例8.已知f(x)是定义在R 上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当[]0,2-∈x 时，f(x)是减函数，求证当[]6,4∈x 时f(x)为增函数 解：设1246x x ≤<≤则212440x x -≤-+<-+≤∵ f(x)在[-2，0]上是减函数∴ 21(4)(4)f x f x -+>-+又函数f(x)是定义在R 上的偶函数，f(x)= f(4-x)，类比命题3（1）知函数f(x)的周期为4故f(x+4)=f(x) ∴21()()f x f x ->- ∵ f(-x)=f(x) ∴21()()f x f x >故当[]4,6x ∈时f(x)为增函数例9.设f(x)是定义在R 上的偶函数，其图象关于x ＝1对称，证明f(x)是周期函数 例10.设f(x)是定义在R 上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)，f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（C ）A ．偶函数，又是周期函数B ．偶函数，但不是周期函数C ．奇函数，又是周期函数D ．奇函数，但不是周期函数例11.设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且满足对任意x ∈R 都有f(2+x)=-f(x)，又当x ∈[-1,1]时 f(x)=x 3，⑴ 证明：直线x=1是f(x)图像的一条对称轴； ⑵ 当x ∈[1,5]时，求函数f(x)的解析式．判断函数的单调性 5、确定函数零点个数 例12.设函数)(x f 对任意实数x 满足)2()2(x f x f -=+，),7()7(x f x f-=+且,0)0(=f 判断函数)(x f 图象在区间[]30,30-上与x 轴至少有多少个交点.解：由题设知函数)(x f 图象关于直线2=x 和7=x 对称，又由函数的性质得)(x f 是以10为周期的函数.在一个周期区间[)10,0上，,)(0)0()22()22()4(,0)0(不能恒为零且x f f f f f f ==-=+==故)(x f 图象与x 轴至少有2个交点.而区间[)30,30-有6个周期，故在闭区间[]30,30-上)(x f 图象与x 轴至少有13个交点.6、求参数的值（范围）例13.①若函数f(x)=|x+a|，且f(x)满足对x ∈R 都有f(3+x)=f(2-x)，则实数a=______．②若函数f(x)=(x+a)3，且f(x)满足对x ∈R 都有f(3+x)=-f(2-x)，则实数a=______． 例14.f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a ∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调.求a 的值.例15．设()x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，()2x x f =.若对任意的[]2,+∈a a x ,,则实数a 的取值范围是( )A ．0≤aBCD ．0≥a7. 两个函数图像的对称性例16.函数y ＝f(x)是定义在实数集R 上的函数，那么y ＝－f(x ＋4)与y ＝f(6－x)的图象之间（D ）A．关于直线x＝5对称B．关于直线x＝1对称C．关于点（5，0）对称D．关于点（1，0）对称解：据复合函数的对称性知函数y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)之间关于点（（6－4）/2，0）即（1，0）中心对称，故选D.例17.求与函数y=lg(1+x)的图像关于点（2,1）成中心对称的函数解析式.。
函数的对称性和奇偶性
函数的对称性和奇偶性函数的对称性和奇偶性是数学中重要的概念，用于描述函数的性质和特点。
通过研究函数的对称性和奇偶性，我们可以更深入地了解函数的行为和图像的形状。
本文将详细介绍函数的对称性和奇偶性的定义、性质以及在实际问题中的应用。
一、对称性的定义和性质函数的对称性是指函数在某些变换下具有不变性的性质。
常见的对称性包括关于y轴的对称、关于x轴的对称和关于原点的对称。
下面将分别介绍这三种对称性的定义和性质。
1. 关于y轴的对称性如果对于函数中的任意x值，都有f(-x) = f(x)，则称函数关于y 轴对称。
也就是说，函数图像相对于y轴是对称的。
例如，函数y = x^2就是关于y轴对称的，因为对于任意x值，都有(-x)^2 = x^2。
2. 关于x轴的对称性如果对于函数中的任意x值，都有f(x) = -f(-x)，则称函数关于x轴对称。
也就是说，函数图像相对于x轴是对称的。
例如，函数y = sin(x)就是关于x轴对称的，因为对于任意x值，都有sin(x) = -sin(-x)。
3. 关于原点的对称性如果对于函数中的任意x值，都有f(-x) = -f(x)，则称函数关于原点对称。
也就是说，函数图像相对于原点是对称的。
例如，函数y = x^3就是关于原点对称的，因为对于任意x值，都有(-x)^3 = -x^3。
对于一个函数而言，可能同时具有以上三种对称性，也可能只具有其中一种对称性。
在实际应用中，我们可以根据函数的对称性来简化计算和分析。
二、奇偶性的定义和性质函数的奇偶性是指函数在某些变换下具有不变性的性质。
奇函数和偶函数是最常见的具有奇偶性的函数。
下面将分别介绍奇函数和偶函数的定义和性质。
1. 奇函数如果对于函数中的任意x值，都有f(-x) = -f(x)，则称函数为奇函数。
也就是说，奇函数关于原点对称。
例如，函数y = sin(x)就是奇函数，因为对于任意x值，都有sin(-x) = -sin(x)。
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函数的对称性、周期性知识点及方法对称性、周期性的概念；函数的奇偶性；二次函数的对称性；对称性、周期性与函数的解析式；化归思想二次函数的对称性1． 已知)(x f 是二次函数，图象开口向上,)2()2(x f x f -=+, 比较)22(),1(f f 大小。
2． 若二次函数)(x f 的图象开口向下，且f(x)=f(4-x),比较)22(),1(),0(f f f -的大小。
3． 二次函数32)(22+-+-=m mx x x f 满足)2()2(--=-x f x f ,求)(x f 的顶点的坐标。
4． 已知)0()(2>++=a c bx ax x f ,且)7()3(x f x f +=-.（1）写出b a ,的关系式 （2）指出)(x f 的单调区间。
5． 设二次函数)(x f 满足)2()2(+=-x f x f ,图象与y 轴交点为（0, 2），与x 轴两交点间的距离为2，求)(x f 的解析式。
函数的对称性、周期性与函数的解析式1． 已知)(x f 是奇函数，当0≥x 时，)1lg()(2++=x x x f ,求)(x f 的解析式. 2． 已知)(x f 是偶函数，当0≤x 时，1)(3+=x x f ,求)(x f 的解析式.3． 已知函数的)(x g 图象与函数29)(2+-=x x x f 的图象关于原点成中心对称, 求)(x g 的解析式。
4． 设函数y =f (x )的图象关于直线x =1对称，若当x ≤1时，y =x 2＋1，求当x >1时, ,f (x )的解析式. 5． 设 1)(+=x x f , 求 )1(+x f 关于直线2=x 对称的曲线的解析式. 6． 已知函数)1(-=x f y 是偶函数，且x ∈(0,+∞)时有f (x )=x1, 求当x ∈(－∞,－2)时, 求)(x f y = 的解析式.7． 已知函数)(x f 是偶函数，当)1,0[∈x 时，,1)(x x f -=又)(x f 的图象关于直线1=x 对称，求)(x f 在)6,5[的解析式. 定义在R 上的偶函数)(x f 满足).2()2(x f x f -=+且当]0,2[-∈x 时,45)21()(-=x x f .（1）求)(x f 的单调区间;（2）求)60(log 2f 的值.8． 定义在R 上的函数f (x )以4为周期,当x ∈[－1,3]时,f (x )=|x －1|－1, 求当x ∈[－1621,－1421]时f (x )的最小值。
9． 设f (x )是定义在区间(－∞,＋∞)上以2为周期的函数,对k ∈Z ,用k I 表示区间(2k －1,2k +1],已知x ∈I 0时,2)(x x f =, 求f (x )在I k 上的解析式.10．设)(x f 是定义在（-∞,+∞）上的函数，对一切x ∈R 均有0)2()(=++x f x f ，当1-＜≤x 1时，12)(-=x x f 求当31≤<x 时，函数)(x f 的解析式。
11． 设f (x )是定义在(－∞,+∞)上以2为周期的周期函数,且f (x )是偶函数,当x ∈[2,3]时,f (x )=2(x －3)2+4.（1）求x ∈[1,2]时,f (x )的解析式. （2）若矩形ABCD 的两个项点A 、B 在x 轴上,C 、D 在函数y =f (x )有图像上(0≤x ≤2),求这个矩形面积的最大值.函数图象变换与函数解析式1． 设函数y =arc tg x 的图像沿x 轴正方向平移2个单位所得的图像为C ,又设图像C ′与C 关于原点对称, 求C ′所对应的函数解析式.2． 将函数x y 2=的图像向左平移一个单位，得到图像1c ；再将1c 向上平移一个单位得到2c ，作出2c 关于直线x y =对称的图像3c ，求3c 的解析式.3． 把函数11+=x y 的图像沿x 轴向右平移1个单位,所得图像记为C , 求C 关于原点对称的图像的函数表达式.4． 将函数)(x f y =的图像沿x 轴向左平移一个单位,再沿y 轴翻折180o ,得到x y lg =的图像, 求)(x f y =的解析式.5． 将函数x y cos =的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小为原来的一半，再将所得图象，沿x 轴方向向右平移4π个单位长度，求所得新图象对应的函数解析式. 6． 将函数y =cos x 的图像沿x 轴向左平移4π得到曲线C ,又设曲线C 与C ′关于原点对称, 求C ′对的函数解析式.7． 已知函数y =3x 的图象为C 1，曲线C 2与C 1关于原点对称，求C 2的解析式.8． 将函数)(x f y =的图象向左移a (a ＞0)个单位得到图象C 1，又C 1和C 2的图象关于原点对称，求C 2的解析式.第七讲 函数的图象知识点及方法函数图象的初等变换；作函数的图象；函数的图象的应用（解不等式、解方程） 函数图象的初等变换 给出下列函数间的初等变换 1． 211-+=→=x x y x y 2． )1lg(2lg -=→=x y x y 3． 1)34sin(22cos ++-=→=πx y x y4． 3)12()1(-+--=→+=x f y x f y函数的图象的选择题函数1. 函数y =f (x )与函数y =f (a －x )的定义域均为R (a 为常数),这两个函数的图象( ) (A )关于y 轴对称 (B )关于x =a 对称 (C )关于x =2a对称 (D )关于x =2a 对称 2. 设f (x )=x +1,那么f (x +1)关于直线x =2对称的曲线的解析式是 ( ) (A )y =x －6 (B )y =6+x (C )y =6－x (D )y =－x －23. 如果函数y =f (x )有反函数y =f －1(x ).给出以下四个命题：①若y =f (x )是增函数,则y =f －1(x )是减函数;②若y =f (x )的图像与y =f －1(x )的图像有公共点,则公共点必在直线y =x 上;③若y =f (x )的图像与直线y =x 没有公共点,则y =f (x )与y =f －1(x )的图像也没有公共点;④若y =f (x )与y =f －1(x )的图像没有公共点,则y =f (x )与y =x 的图像也没有公共点.其中正确命题的个数为 ( )(A )0 (B )1 (C )2 (D )34. 对任意的函数y =f (x )，在同一坐标系中，函数y =f (x -1)与函数y =f (1-x )的图像恒 (A )关于x 轴对称 (B )关于直线x =1对称 (C )关于y 轴对称 (D )以上结论都不对5. 方程lo g 2(x +4)=(31)x的实数解的个数是 ( ) （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）0 6. 函数f (x )=5si n (2x ＋θ)的图象关于y 轴对称的充要条件是 ( ) (A )θ=2k π＋2π (B )θ=2k π＋π (C ) θ=k π＋2π(D )θ=k π＋π，k ∈Z 7. y =(a -1)x -b -1(a >1)的图象过第二、三、四象限，那a 、b 的取值范围是( ) (A )a >0且b >0 (B )a >2且b <0 (C )1<a <2且b <0 (D )1<a <2且b >0 8. 要作出函数y =sin(2x ＋3π)的图像，只须将函数y =sin x 的图像作变换 ( ) (A )先把各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移6π个单位 (B )先把各点的横坐标缩小到原来的21(纵坐标不变)，再向右平移3π个单位(C )先把各点向右平移6π个单位，再使纵坐标不变，横坐标缩小到原来的21 (D )先把各点向左平移3π个单位，再使纵坐标不变，横坐标缩小到原来的219. 下列四个函数图象中，满足lg x 31，lg y ，lg x 成等差数列的点M (x ，y )的轨迹是10. 在同一坐标系中，函数y =mx +n , y =x n , y =m x的图像不可能是 （ ）11. 在下列图像中，二次函数bx ax y +=2与指数函数x aby )(=的图像只可能是（ ）12. y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图，下列式子成立的有 ( )(A )a +b +c ＜0 (B )2a +b ＜0 (C )abc ＞0 (D )b ＞a +c13. 已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象过(－1,3) 和(1,1)两点,并且在y 轴上的截距大于0小于1,则实 数a 的取值范围是 ( )(A )1＜a ＜3 (B )1＜a ＜2 (C )2≤a ＜3 (D )1≤a ≤314. 在国内投寄外埠挂号信，每封信不超过20克 重付邮资5角，超过20克重而不超过40克重付邮资7 角，超过40克重而不超过60克重付邮资9角，设信的 重量为x (0＜x ≤60)克时，应付的邮资为f (x )角，则这个 函数y =f (x )的图像是( )15. 把函数y =f (x )在x ∈[a ,b ]之间的一段图像近似地看作线段(如图),设a ＜m ＜b ,则f (m )的近似值表示为( )(A )f (a )+a b a m --[f (b )－f (a )] (B )f (b )－ab am --[f (b )－f (a )] (C )21[f (a )+f (b )] (D ))()(b f a f16. 函数y =f (x )的图象如图所示,则y =lo g 0.2f (x ) 的示意图是 ( )17. 二次函数y =n (n ＋1)x 2－(2n ＋1)x ＋1当n =1,2,…时,其图象在x 轴上截得线段长度的总和是 (A ))1(1+n n (B )1+n n(C )1 (D )21函数图象与方程、不等式1． 讨论下列方程的实根个数（1）222=+x （2）x x )31()4(log 2=+ （3）33lg =+x （4）x a ax 1log =2． 关于x 的方程3)1(+-=x a x 只有正根没有负根，求a 的范围。
3． 已知x 的方程1+=ax x 有一负根且无正根，求实数a 的取值范围。
4． 已知a 、b 、c 依次为方程02=+x x 、x x =2log 和x x =21log 的实根，给出a 、b 、c 之间的大小关系。
5． 不等式ax x x >-24的解集为]4,0(，求实数a 的取值范围。