人教A高中数学选修21新课改地区课时跟踪检测十 抛物线的简单几何性质 含解析

课时跟踪检测（十） 抛物线的简单几何性质
一、题组对点训练
对点练一 抛物线的方程及其几何性质
1．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )
A ．(6，＋∞)
B ．[6，＋∞)
C ．(3，＋∞)
D ．[3，＋∞)
解析：选D ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，∴p
2＝3，即p ＝6.又抛物线上的点到准
线的距离的最小值为p
2
，∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)．
对点练二 焦点弦问题
2．过抛物线y 2＝4x 的焦点，作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，若它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )
A ．有且仅有一条
B ．有两条
C ．有无穷多条
D ．不存在
解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义，知|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5＋2＝7.又直线AB 过焦点且垂直于x 轴的直线被抛物线截得的弦长最短，且|AB |min ＝2p ＝4，所以这样的直线有两条．故选B.
3．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作一直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则k OA ·k OB
的值为( )
A ．4
B ．－4
C ．p 2
D ．－p 2
解析：选B k OA ·k OB ＝＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2，
根据焦点弦的性质x 1x 2＝p 2
4，y 1y 2＝－p 2，
故k OA ·k OB ＝－p 2
p 24
＝－4.
4．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，
则|AB |＝________.
解析：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8. 答案：8
5．线段AB 是抛物线y 2＝x 的一条焦点弦，且|AB |＝4，则线段AB 的中点C 到直线x ＋1
2
＝0的距离为________． 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由于|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4， ∴x 1＋x 2＝4－12＝7
2
，
∴中点C (x 0，y 0)到直线x ＋12＝0的距离为x 0＋12＝x 1＋x 22＋12＝74＋12＝9
4.
答案：9
4
对点练三 直线与抛物线的位置关系
6．已知直线y ＝kx －k 及抛物线y 2＝2px (p >0)，则( ) A ．直线与抛物线有一个公共点 B ．直线与抛物线有两个公共点 C ．直线与抛物线有一个或两个公共点 D ．直线与抛物线可能没有公共点 解析：选C ∵直线y ＝kx －k ＝k (x －1)， ∴直线过点(1,0)．
又点(1,0)在抛物线y 2＝2px 的内部．
∴当k ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k ≠0时，直线与抛物线有两个公共点． 7．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )
A.⎣⎡⎦⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1]
D ．[－4,4]
解析：选C 准线x ＝－2，Q (－2,0)， 设l ：y ＝k (x ＋2)，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k 2＝0. 当k ＝0时，即交点为(0,0)，
当k ≠0时，Δ≥0，－1≤k <0或0<k ≤1. 综上，k 的取值范围是[－1,1]．
8．在抛物线y 2＝2x 上求一点P .使P 到直线x －y ＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．
解：法一：设P (x 0，y 0)是y 2＝2x 上任一点，则点P 到直线l 的距离d ＝|x 0－y 0＋3|2
＝
⎪⎪⎪
⎪y 2
02－y 0＋32
＝||(y 0
－1)2
＋522，
当y 0＝1时，d min ＝52
4
， ∴P ⎝⎛⎭⎫
12，1.
法二：设与抛物线相切且与直线x －y ＋3＝0平行的直线方程为x －y ＋m ＝0，
由⎩⎪⎨⎪⎧
x －y ＋m ＝0，y 2＝2x ，
得y 2－2y ＋2m ＝0， ∵Δ＝(－2)2－4×2m ＝0，∴m ＝12
.
∴平行直线的方程为x －y ＋1
2
＝0，此时点到直线的最短距离转化为两平行线之间的距
离，则d min ＝
⎪⎪⎪⎪
3－122＝
52
4
，此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫
12，1.
9．如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，求此抛物线的方程．
解：过A 、B 分别作准线的垂线AA ′、BD ，垂足分别为A ′、D ，则|BF |＝|BD |， 又2|BF |＝|BC |，
∴在Rt △BCD 中，∠BCD ＝30°. 又|AF |＝3，
∴|AA ′|＝3，|AC |＝6，|FC |＝3. ∴F 到准线距离p ＝12|FC |＝32.
∴y 2＝3x .
二、综合过关训练
1．设AB 为过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦，则|AB |的最小值为( ) A.p
2
B ．p
C ．2p
D ．无法确定
解析：选C 当AB 垂直于对称轴时，|AB |取最小值，此时AB 即为抛物线的通径，长度等于2p .
2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A ．x ＝1
B ．x ＝－1
C ．x ＝2
D ．x ＝－2
解析：选B 抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p 2，代入y 2＝2px 得y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 22＝
p ＝2(y 1，y 2分别为点A ，B 的纵坐标)，所以抛物线方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1.
3．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 在准线上的射影为A 1、B 1，则∠A 1FB 1等于( )
A ．45°
B ．90°
C ．60°
D ．120°
解析：选B 如图，由抛物线定义知|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，所以∠AA 1F ＝∠AFA 1. 又∠AA 1F ＝∠A 1FO ， 所以∠AFA 1＝∠A 1FO ， 同理∠BFB 1＝∠B 1FO . 于是∠AFA 1＋∠BFB 1
＝∠A 1FO ＋∠B 1FO ＝∠A 1FB 1， 故∠A 1FB 1＝90°.
4．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )
A.45
B.35 C ．－35
D ．－45
解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧
y 2＝4x ，
y ＝2x －4
得x 2－5x ＋4＝0，
∴x ＝1或x ＝4.
不妨设A (4,4)，B (1，－2)，则|FA ―→|＝5，|FB ―→|＝2，FA ―→·FB ―→
＝(3,4)·(0，－2)＝ －8.cos ∠AFB ＝FA ―→·FB ―→|FA ―→|·|FB ―→|
＝－85×2＝－45
. 5．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则k ＝________.
解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易知x 1>0，x 2>0，y 1>0，y 2>0，由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝k (x ＋2)，
y 2
＝8x ，得
k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，∴x 1x 2＝4，①
∵|FA |＝x 1＋p 2＝x 1＋2，|FB |＝x 2＋p
2＝x 2＋2，且|FA |＝2|FB |，∴x 1＝2x 2＋2.②
由①②得x 2＝1，
∴B (1,22)，代入y ＝k (x ＋2)，得k ＝22
3
.
答案：
22
3
6．抛物线x 2
＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 2
3＝1相交于A ，B 两点，若
△ABF 为等边三角形，则p ＝________.
解析：抛物线的焦点坐标F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，准线方程为y ＝－p 2.代入x 2
3－y
2
3
＝1得|x |＝3＋p 2
4
.
要使△ABF 为等边三角形，则tan π6
＝|x |
p ＝
3＋
p 24p ＝33
，解得p 2＝36，p ＝6. 答案：6
7．已知△AOB 的一个顶点为抛物线y 2＝2x 的顶点，点A ，B 都在抛物线上，且∠AOB ＝90°，证明：直线AB 必过一定点．
证明：设OA 所在直线的方程为y ＝kx ，则直线OB 的方程为y ＝－1
k
x ，由题意知k ≠0.
由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，y 2＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0，
y ＝0或⎩⎨⎧
x ＝2
k
2，y ＝2k ，
即点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫
2k 2，2k ，
同样由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝－1k x ，y 2＝2x ，解得点B 的坐标为(2k 2，－2k )．
故AB 所在直线的方程为y ＋2k ＝2
k
＋2k 2
k 2－2k 2(x －2k 2)，
化简并整理，得⎝⎛⎭⎫
1k －k y ＝x －2. 不论实数k 取任何不等于0的实数， 当x ＝2时，恒有y ＝0. 故直线过定点P (2,0)．
8．如图，已知两条抛物线E 1：y 2＝2p 1x (p 1>0)和E 2：y 2＝2p 2x (p 2>0)，过原点O 的两条直线l 1和l 2，l 1与E 1，E 2分别交于A 1，A 2两点，l 2与E 1，E 2分别交于B 1，B 2两点．
(1)证明：A 1B 1∥A 2B 2；
(2)过原点O 作直线l (异于l 1，l 2)与E 1，E 2分别交于C 1，C 2两点．记△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2
的面积分别为S 1与S 2，求S 1
S 2
的值．
解：(1)证明：设直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k 1x ，y ＝k 2x (k 1，k 2≠0)，
则由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k 1x ，y 2
＝2p 1x ，⇒A 1⎝⎛⎭⎫2p 1k 21，2p 1k 1， 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k 1x ，y 2
＝2p 2x ，
⇒A 2⎝⎛⎭⎫
2p 2k 21，2p 2k 1， 同理可得B 1⎝⎛⎭⎫2p 1k 22
，2p 1k 2
，B 2⎝⎛⎭⎫2p 2k 22
，2p 2k 2
，
所以A 1B 1―→＝⎝⎛⎭⎫2p 1k 22
－2p 1k 21
，2p 1k 2
－2p 1k 1
＝2p 1⎝⎛⎭⎫1k 22
－1k 21
，1k 2
－1k 1
，
A 2
B 2―→＝⎝⎛⎭⎫2p 2k 22
－2p 2k 21
，2p 2k 2
－2p 2k 1
＝2p 2⎝⎛⎭⎫1k 22
－1k 21
，1k 2
－1k 1
，
故A 1B 1―→＝p 1p 2A 2B 2―→
，所以A 1B 1∥A 2B 2.
(2)由(1)知A 1B 1∥A 2B 2，
同理可得B 1C 1∥B 2C 2，A 1C 1∥A 2C 2， 所以△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2， 因此S 1S 2＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎪⎫|A 1B 1―→||A 2B 2―→|2， 又由(1)中的A 1B 1―→＝p 1
p 2
A 2
B 2―→知|A 1B 1―→
||A 2B 2―
→|
＝p 1p 2，
故
S 1S 2＝p 21p 22
.
9．(2019·北京高考)已知抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)． (1)求抛物线C 的方程及其准线方程；
(2)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y ＝－1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．
解：(1)由抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)，得p ＝2. 所以抛物线C 的方程为x 2＝－4y ，其准线方程为y ＝1. (2)证明：抛物线C 的焦点为F (0，－1)． 设直线l 的方程为y ＝kx －1(k ≠0)，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx －1，x 2＝－4y 消去y ，得x 2＋4kx －4＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1x 2＝－4. 直线OM 的方程为y ＝y 1x 1
x .
令y ＝－1，得点A 的横坐标x A ＝－x 1
y 1.
同理得点B 的横坐标x B ＝－x 2
y 2.
设点D (0，n )，
则DA ―→＝⎝⎛⎭⎫－x 1y 1，－1－n ，DB ―→
＝⎝⎛⎭⎫－x 2y 2，－1－n ， DA ―→·DB ―→＝x 1x 2
y 1y 2＋(n ＋1)2＝x 1x 2⎝⎛⎭⎫－x 214⎝⎛⎭⎫
－x 224＋(n ＋1)2
＝
16
x 1x 2
＋(n ＋1)2＝－4＋(n ＋1)2. 令DA ―→·DB ―→＝0，即－4＋(n ＋1)2＝0，得n ＝1或n ＝－3. 所以以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1)和(0，－3)．。