长泰一中2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)含答案

18(本小题满分13分)
A . 6
B . 5
C . 4
D . 3
8..若数列｛a n ｝的通项公式为a n = 2n + 2n —
1,则数列
｛ a
n ｝的前
n 项和为(
A . 2n + n 2— 1
B . 2n +
1 + n 2— 1 C . 2n +
1 + n 2— 2
D . 2n + n — 2
长泰一中2014/2015学年上学期期末考试
高二年理科数学试卷
命题：汤儒兴 审核：杨秀涓
2 2
地：P 是椭圆笃爲
a b
1(a b 0,b 2 c 2 a 2,xy 0)上的动点，F 1、F 2是椭圆的左右焦点,
M 是 F 1PF 2的平分线上一点，且 F 2M
MP ，则|OM |的取值范围是()
、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，共50 分. 1 •双曲线2x 2-y 2= 8的实轴长是( ) A • 2 B • 2 .''2 C . 4 D • 4 ,'2 2.在等差数列｛a n ｝中，a 2= 2, a 3= 4，贝U a 10=( ) A. (0, a)
B (0, b)
C (b ,a)
D (0, c)
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分
11.若点(m,1)在不等式2x + 3y — 5>0所表示的平面区域内，则
m 的取值范围是 _________
A . 12
B . 14
C . 16
D . 18
3.已知 a>b , c>d ,且 c ,
d 不为0, 那么下列不等式成立的是 (
A .
ad>bc B . ac>bd
C .
a — c>
b — d
D . a + c>b + d
4.下面四个条件中，使 a >b 成立的充分而不必要的条件是 ( ) A . a > b + 1 B . a > b — 1 C . a 2 >b 2 D . a 3> b 3
5.在厶 ABC 中，若 a = 2, c = 4, B = 60 ° 贝U b 等于( )
A . 2 .'3
B . 12
C . 2 .'7
D . 28 6•在锐角厶ABC 中，角A , B 所对的边长分别为 a , b.若2asin B = 3b ,则角A 等于(
n
C.6
7.已知F 1,
有两边之和是
n B.4
F 2是椭圆16+y9=1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于 10,则第三边的长度为( )
A ,
B 两点，在△ AF 1B 中，若
12 .不等式4x 2— mx + 1 > 0对一切x € R 恒成立，则实数 m 的取值范围是 ___________ . 13 .抛物线y = 2x 2的焦点坐标为 ___________ .
S 5
14 .设S n 为等比数列｛ a n ｝的前n 项和，8a 2+ a 5 = 0，则耳= ___________ .
15 .某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为 800元.若每批生产x 件，则平均仓储时间
为x 天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和
8
最小，每批应生产产品 _________ 件. 三、解答题：本大题共 6小题，共80分.
16(本小题满分13分)
已知命题 p ：" ? x € [1,2], x 2— a > 0”，命题 q ："? x 0 € R ,爲+ 2ax °+ 2— a = 0"，若命题"p 且 q ”是真命题，求实数 a 的取值范围.
9.若平面 a B 的法向量分别为 n 1 = (2, — 3,5), n 2= (— 3,1 , — 4)，则( C . a 、B 相交但不垂直 D .以上均不正确 2 2
10如图，P 是双曲线务E 1(a 0,b 0,xy a b
0)上的动点，F 1、F 2 是双曲线的左右焦点, M 是 FfF ?的平分线上一点，且F 2M MP.某 同学用以下方法研究 |OM | :延长F 2M 交PF 1于点N ，可知 等腰三角形, 且M 为F 2N 的中点，得|OM |
1 -.. (NF |,|||,|OM |
PNF 2 为 a.类似
17(本小题满分13分).等差数列｛a n ｝中，a 3 3 , a 1 a 4 5 .
(I)求数列｛a n ｝的通项公式；
1
(n)若b n
，求数列｛b n ｝的前n 项和S n .
a n a n 1
x—y+ 2 > 0,
已知x+ y— 4 > 0,
2x —y—5W 0, 求：(1)z= x+ 2y—4的最大值；
(2)z= x2+ y2—10y+ 25 的最小值;
(3)z= 2y¥的范围.
x+ 1
19(本小题满分13分)
•某海域内一观测站A,某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东50。

且与A相距80海里的位置B，经过1小时又测得该船已行驶到点A北偏东50°+ B其中sin 丿5, 0°< 9< 90°且与
8
A相距60海里的位置C.
(1) 求该船的行驶速度;
(2) 若该船不改变航行方向继续向前行驶，求船在行驶过程中离观测站
如图，正方体ABCD-ABCD的棱长为2, P为棱CD上的一点，且三棱锥
(1 )求CP的长；
(2)求直线AD与平面APD所成的角的正弦值；
(3)请直接写出正方体的棱上满足CM//平面APD的所有点M的位置，并任
选其中的一点予以证明。

21(本小题满分14分)
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为-,短轴长为4,3.
2
(I) 求椭圆C的标准方程；
(II) 直线x=2与椭圆C交于P、Q两点,A、B是椭圆O上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的1
斜率为—•
2
①求四边形APBQ面积的最大值；
②设直线PA的斜率为k1,直线PB的斜率为k2,判断k1+k2的值是否为常数，并说明理由•
A的最近距离. A- CP D1的体积为-。

3
20(本小题满分14分)
长泰一中2014/2015学年上学期期末考试
17（（本小题满分13分）
、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，共50 分.
二、
填空题本大题共5小题，每小题4分，共20分
11 _________ . 12 _______ .
13 _______
14 _______ . 15 _______ .
三、
解答题：本大题共 6小题，共80分.
16（本小题满分13分）
题;
高二年理科数学答题卷
密
;
名 : 姓在;
勿;
19（本小题满分13分）
18（（本小题满分13分）
答］ 分
：
得 ； 内
i 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
长泰一中2014-2015学年度上学期高二期末考
试试题（数学理）答案
、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，共50 分.
20（本小题满分14分）
21（本小题满分14分）
1
(n 1) 1 n y
—
— 2
(3) z = 2 x
表示可行域内任一点(x , y)与定点
x — — 1
1
Q —1, —2连线的斜率的两倍,
1 11 . m >1 . 12.[ — 4,4] 13. 0,-
8
14. — 11 15 . 80
三、 解答题：本大题共 6小题，共 16(本小题满分13分) 解由“p 且q ”是真命题， 则 p 为真命题 题. 若p 为真命题，a < x 2恒成立，
x €
[1,2]
[6分] 若q 为真命题，
即 x 2 + 2ax + 2 — a = 0 有实根， △= 4a ?— 4(2— a)》0,
即 a > 1 或 [10 分] 综上，所求实数a 的取值范围为a w — 2或a = 1.
[13 分]
17(本小题满分13分) 解：(I )设数列
的公差为d ,由
a 1 2d 3,
1
.................................. 2分
a (a 1 3d) 5.
80分.
, q
也为真命
[3分]
a w 1.
a w
— 2 ,
解 得
a
1,
d
1.
•• 4分
所
以
(n) 因为 a n n , 所以a n 1 n1 b n
1 1
n 1
............. 9分
n(n 1)
n 1
所
以
1 1 1 1 1
1 1
S n (1 J J J ( )
( )
2 2
3 3
4 n n 1
1
1
n
•- 13 分
作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标 A(1,3)、B(3,1)、
C(7,9).
(1) 易知可行域内各点均在直线 x + 2y — 4= 0的上方，故x
+ 2y — 4>0,
将点C(7,9)代入z 得最大值为21 ........................... (4分)
(2) z = x 2 + y 2— 10y + 25 = x 2 + (y — 5)2 表示可行域内任一点 (x , y)到定点M(0,5)的距离的平方，过 M 作直线AC 的垂线， 易知垂足N 在线段AC 上，
故z 的最小值是|MN|2= |.(8分)
因此k QA = 4,
4 3 k QB =0
3 7
故z 的范围为-,-.(13分)
19(本小题满分 解：(1)如图, 由于0 ° 13分)
v 0< 90 °
所以 cos 0 = AB = 80, AC = 60,/BAC =
由余弦定理得 BC = ; AB 2+ AC 2— 2AB ACcos 0= 40 海里 / 小时，
sin B =
.15
AC sin 0 “8
3 ： 15
=60 X — BC 40
过A 作BC 的垂线，交BC 的延长线于 D ，则AD 的长是
16 ，
船离观测站的最近距离.
在 Rt △KBD 中，AD = AB sin B = 80X ^^= 15.15 海里, 故船在行驶过程中离观测站 A 的最近距离为15.15海里.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C
D
D A A
A
A
C
C
D
a i (n 1)d
a n 二、 填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分
2
20(本
小题
满分 14 分) 本小题主要考査直线与直线、直线与平面、平面与乎面的垃置关系華基础知识,考査空间想象 能力、推理论证能力和运算求解能力,考査化归与转 解；(I )依题意得忍。

丄平面CPD^AD = DD.=纭
所以卩三w ： =
・饥冲斗寺S
所以CP=1. ................................................ (为原点所在直线分别対工轴』
宮轴,建立如图所示的空间直角坐标系， A(0.0r 0)t D(0,2,0) t P( 1 f 2,0),D t (0.2,
A 3 = (0(2T 0) ,A? = (l f 2,0)f 4Df=(0,2f
ft 思想、分类与弦合思想•满分B 分. 分) 【答
案】
占已知可得 . ............. ....
......... 4分
设平面旳L 的一个法向量为川=(斗八打 严
宀令宀得
L2y +2J = 0, 一个法向量为« = (2, -1,1). ............ 则 ■ n =0,
* n =0 = 2分
6分
寺5"
..... 吕分 解：(I )设椭圆C 的方
2
(n )①由(I )可求得点 P 、Q 的坐标为P(2,3) , Q(2, 3), HM ,儿 IAD ml 2 掲 所以 如0 = -=3 —- = --------- - = Z
I A0丨・Ini 2和6 & 所以直鼓仞 与平面冋 所成角&的正玉道为% 则 |PQ| 6,
{ CDM 点的位置为俎线中点• ......
(i)选取山気中点为证明如下： 方法一;取G6中点他连搖円v/j 叮A,M JLC X N^-四边形A^fC.N
为平
又-AA X JL P N^\四边形为平疗四边形t .\A,N//AP t C^M//AP^ ....... ............
又MU 乎面沖卩耳,CN 處平面APD. 代 C X M//平面 方法二:由{ H)可得匚(2.益2) Jf(】 又平面APR 曲一个法向量为円=&
Cj^ * n = ( -1, -2,0) * (2t -1.： 又叮C :M(Z 平血APD lf ................. G 亞“孚面AP 也. .............
图L
数学(理科)试趙参考菩案
第3页(共6页)
-1」)、
)二Q* …………………………… M 分
12分 口分 10分 11分 12分 13分
2i(本小题满分i4
设A x i , y i , B( X 2, y 2),直线AB 的方程为y
2
人三
i6 得：X 2 t ,代
2
匕1
12
tx t 2
12
由△ >0,解得 4
X i X i X 2 X 2 t 2
t i2
4 ,由根与系数
四
1 s - 2
故当t
APBQ 的
X i X 2
' 2
.(X i X 2)
4X i X 2
3 48 3t 2
，S max 12 3
②由题意知，直线 PA 的斜率
-,直线PB 的斜率k 2上3
2
x 2 2 X 2
1
1
X i t 3 X 2 t 3
y i 3 y 2 3
2 _______ 2 __________ X i 2 X 2
2 X i 2
X 2 2
1 1 -(x 1 2) t
2 —(x 2 2) t 2 2 ___________ 2 _____________
x 1 2 x 2 2
=
1
(t 2)(x 1 x 2
4),由①知 x1 x2
2
t
x 1x 2 2( x 1 x 2) 4
x 1 x 2 t 12
可
得
k 1 2
k 2 1
(
；
2)( t 4)
1 2 2t 8
1 1 0 t 1
2 2t 4
t 2t 8
所以k 1 k 2的值为常数0
则 k 1 k 2
t 2 t 2 x 1 2 x 2
2。