2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第六章第6课时课后达标检测

[基础达标]
一、填空题
1．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b
的最小值是________． 解析：因为a >0，b >0，a ＋b ＝2，所以
y ＝1a ＋4b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ⎝⎛⎭⎫a 2＋b 2＝52＋b 2a ＋2a b ≥52＋2b 2a ·2a b ＝92，当且仅当b 2a ＝2a b ，即a ＝23，b ＝43时等号成立，故y ＝1a ＋4b 的最小值是92
. 答案：92
2．已知正整数a ，b 满足4a ＋b ＝30，则使1a ＋1b
取得最小值的有序数对(a ，b )是________． 解析：4a ＋b 30⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝130⎝
⎛⎭⎫5＋4a b ＋b a ≥130(5＋2 4a b ·b a )＝310
， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧
4a b ＝b a 4a ＋b ＝30，即a ＝5，b ＝10时“＝”成立． 即取得最小值的有序数对(a ，b )是(5,10)．
答案：(5,10)
3．已知x ，y 为实数，A ＝2x 2＋y 2＋1，B ＝2x (y －1)，则A ，B 的大小关系是A ________B . 解析：因为A －B ＝2x 2＋y 2＋1－2x (y －1)
＝(x 2－2xy ＋y 2)＋(x 2＋2x ＋1)
＝(x －y )2＋(x ＋1)2≥0，
所以A ≥B ，当且仅当x ＝y ＝－1时，等号成立．
答案：≥
4．(2014·荆州模拟)已知a ，b 均为正数，x ＝a 5＋b 5，y ＝a 3b 2＋a 2b 3，则有x ________y . 解析：a 5＋b 5－a 3b 2－a 2b 3
＝a 3(a 2－b 2)＋b 3(b 2－a 2)
＝(a 2－b 2)(a 3－b 3)
＝(a －b )2(a ＋b )(a 2＋ab ＋b 2)，
因为a >0，b >0，
∴a ＋b >0，a 2＋ab ＋b 2>0，(a －b )2≥0，
故a 5＋b 5≥a 3b 2＋a 2b 3，即x ≥y .
答案：≥
5．(2013·高考陕西卷)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )·(bm ＋an )的最小值为________．
解析：∵a ，b ，m ，n ∈R ＋，且a ＋b ＝1，mn ＝2，
∴(am ＋bn )(bm ＋an )
＝abm 2＋a 2mn ＋b 2mn ＋abn 2
＝ab (m 2＋n 2)＋2(a 2＋b 2)
≥2ab ·mn ＋2(a 2＋b 2)
＝4ab ＋2(a 2＋b 2)
＝2(a 2＋b 2＋2ab )
＝2(a ＋b )2＝2，
当且仅当m ＝n ＝2时，取“＝”．
∴所求最小值为2.
答案：2
6．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1
<n (n ∈N *且n >1)，第一步即证不等式________成立．
解析：由于n >1，则第一步即证当n ＝2时的不等式，又当n ＝2时，不等式即为1＋12
＋13<2，故第一步即证不等式1＋12＋13
<2. 答案：1＋12＋13
<2 7．若a ，x ，y ∈R ＋，且x ＋y ≤a x ＋y 恒成立，则a 的最小值是________．
解析：因为⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋y x ＋y 2＝1＋2xy x ＋y ≤1＋x ＋y x ＋y ＝2， 所以x ＋y x ＋y 的最大值为2，所以a 的最小值是 2. 答案： 2
8．若x ，y 是正数，则⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭
⎫y ＋12x 2的最小值是________． 解析：∵⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭
⎫y ＋12x 2 ＝x 2＋x y ＋14y 2＋y 2＋y x ＋14x
2 ＝⎝
⎛⎭⎫x 2＋14x 2＋⎝⎛⎭⎫x y ＋y x ＋⎝⎛⎭⎫y 2＋14y 2 ≥2x 2·14x 2＋2x y ·y x ＋2y 2·14y
2 ＝1＋2＋1＝4，
当且仅当x ＝y ＝22
时，等号成立． 即最小值是4.
答案：4
二、解答题
9．已知a >0，b >0，且2c >a ＋b ，求证：c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab .
证明：要证原不等式成立，只要证明－c 2－ab <a －c <c 2－ab ，
只需证|a －c |<c 2－ab ，
两边平方得a 2－2ac ＋c 2<c 2－ab ，
只需证a 2＋ab <2ac .
因为a >0，a ＋b <2c ，
所以a 2＋ab <2ac 成立．
所以原不等式成立．
10．已知a i >0(i ＝1,2，…，n )，考查
①a 1·1a 1
≥1； ②(a 1＋a 2)·⎝⎛⎭
⎫1a 1＋1a 2≥4； ③(a 1＋a 2＋a 3)·⎝⎛⎭
⎫1a 1＋1a 2＋1a 3≥9， 归纳出对a 1，a 2，…，a n 都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明．
解：归纳得(a 1＋a 2＋…＋a n )·⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n
≥n 2.下面用数学归纳法证明： (1)由已知，n ＝1,2,3时，不等式成立．
(2)假设n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即有∑i ＝1k a i ∑i ＝1k 1a i
≥k 2， 则当n ＝k ＋1时，∑i ＝1k ＋1a i ∑i ＝1k ＋1
1a i
＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1k a i ＋a k ＋1⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫∑i ＝1k 1a i ＋1a k ＋1 ＝∑i ＝1k a i ∑i ＝1k
1a i ＋1a k ＋1∑i ＝1k a i ＋a k ＋1∑i ＝1k 1a i ＋1
＝∑i ＝1k a i ∑i ＝1k 1a i ＋∑i ＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a i
＋a i a k ＋1＋1 ≥k 2
＋∑i ＝1k 2＋1＝k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2.
综合(1)(2)可知，(a 1＋a 2＋…＋a n )·⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n
≥n 2成立． [能力提升]
一、填空题
1．(2014·荆门模拟)已知p ＝x 6＋1，q ＝x 4＋x 2，x ∈R ，则p 、q 的大小关系是________．
解析：p －q ＝x 6＋1－(x 4＋x 2)
＝x 6－x 4－(x 2－1)
＝(x 2－1)(x 4－1)
＝(x 2－1)2(x 2＋1)，
因为x ∈R ，x 2＋1>0，(x 2－1)2≥0，
∴p －q ≥0，即p ≥q .
答案：p ≥q
2．若a >b >0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )
的最小值是________． 解析：∵a >b >0，∴a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝ab ＋1ab
＋a (a －b )＋1a (a －b )
≥2＋2＝4，当且仅当ab ＝1且a (a －b )＝1，即a ＝2，b ＝22时取等号． 即a 2＋1ab ＋1a (a －b )
的最小值是4. 答案：4
3．若log x y ＝－2，则x ＋y 的最小值是________．
解析：由log x y ＝－2得y ＝1x
2， 而x ＋y ＝x ＋1x 2＝x 2＋x 2＋1x 2≥33x 2·x 2·1x 2＝3314＝3322，故x ＋y 的最小值是3322
. 答案：3322
4．若a ，b ，c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23，则2a ＋b ＋c 的最小值为________．
解析：若a ，b ，c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23，即a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝4－23，则4
－23＝a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝14(4a 2＋4ab ＋4ac ＋2bc ＋2bc )≤14
(4a 2＋4ab ＋4ac ＋2bc ＋b 2＋c 2)＝14
(2a ＋b ＋c )2， 所以(23－2)2≤(2a ＋b ＋c )2，则2a ＋b ＋c ≥23－2.
故2a ＋b ＋c 的最小值为23－2.
答案：23－2
二、解答题
5．设a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6
，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0.
证明：设a ，b ，c 中都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，
∴a ＋b ＋c ≤0.
而a ＋b ＋c ＝(x 2－2y ＋π2)＋(y 2－2z ＋π3)＋(z 2－2x ＋π6
)＝(x 2－2x )＋(y 2－2y )＋(z 2－2z )＋π ＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3
∴a ＋b ＋c >0，这与a ＋b ＋c ≤0矛盾，
故a ，b ，c 中至少有一个大于0.
6．(选做题)求证：1n ＋1＋1n ＋2
＋…＋13n >56(n ≥2，n ∈N *)． 证明：(1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16>56
，不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时命题成立，即1k ＋1＋1k ＋2
＋…＋13k >56. 则当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2
＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13(k ＋1) ＝1k ＋1＋1k ＋2
＋…＋13k ＋ ⎝⎛⎭
⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k －1 >56＋⎝⎛⎭
⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1 >56＋⎝⎛⎭⎫3×13k ＋3－1k ＋1＝56
， 所以当n ＝k ＋1时不等式也成立．
由(1)和(2)可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N *成立．。