高中数学四 2.2.3向量数乘运算及其几何意义(练)

人教版必修四
2。

2.3向量数乘运算及其几何意义（练)
一、选择题
1．下列叙述：
①若向量a∥b，则必存在唯一实数λ使b＝λa；
②若向量a，b不共线且m a＋n b＝0，则m＝n＝0；
③若m a＝n a（m，n∈R，a≠0），则m＝n。

其中正确叙述的个数是( ）
A．1 B．2
C．3 D．0
解析：选B.①中必须有a≠0，否则λ不确定，所以①错误，②③正确．
2．已知e1，e2不共线，a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，c＝6e1－2e2，则a＋b与c的关系是（）
A．不共线B．共线
C．相等D．无法确定
解析：选B。

∵a＋b＝e1－2e2＋2e1＋e2＝3e1－e2,
c＝6e1－2e2＝2（3e1－e2）＝2（a＋b)，
∴a＋b与c共线．
3．(2011年临沂高一检测）已知错误!＝a＋5b，错误!＝－2a＋8b,错误!＝3(a－b），则（）
A．A、B、D三点共线B．A、B、C三点共线
C．A、C、D三点共线D．B、C、D三点共线
解析：选A。

错误!＝错误!＋错误!＝－2a＋8b＋3(a－b）＝a＋5b，
又错误!＝a＋5b，∴错误!＝错误!，
又错误!、错误!有公共点B，∴A、B、D三点共线．
4．已知向量e1、e2不共线，a＝k e1＋e2,b＝e1＋k e2,若a与b共线,则k等于( )
A．±1B．1
C．－1 D．0
解析:选A。

∵a∥b,
∴存在唯一的实数λ，使a＝λb，
∴k e1＋e2＝λ（e1＋k e2)，
∴（k－λ)e1＋（1－λk)e2＝0，
∵e1，e2不共线，
∴错误!，∴k＝±1。

5．(2011年西安高一检测）已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：错误!＋错误!＋错误!＝0,若实数λ满足：错误!＋错误!＝λ错误!，则λ的值为（）
A。

错误!B。

错误!
C．2 D．3
解析：选D。

∵PA→＋错误!＋错误!＝0,
∴P为△ABC的重心,
设BC中点为D，∴AP，→＝错误!错误!，
∴错误!＝错误!错误!，
而错误!＋错误!＝2错误!＝2×错误!错误!＝3错误!，
∴λ＝3。

6．已知向量a、b不共线,c＝k a＋b（k∈R），d＝a－b，如果c∥d，那么( )
A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向
解析:选D。

∵c∥d，∴c＝λd，∴k a＋b＝λ(a－b），
∴错误!,∴k＝λ＝－1，所以k＝－1且c与d反向．
二、填空题
7．已知数轴上A、B两点的坐标分别为x1、x2，且x1＝3，｜BA|
＝5，则x 2＝________.
解析：|BA ｜＝｜x 2－x 1|＝｜x 2－3｜＝5。

∴x 2＝8或－2。

答案:8或－2
8．关于向量a ,b 有
①a ＝2e ，b ＝－2e ；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2；
③a ＝4e 1－错误!e 2，b ＝e 1－错误!e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2.(其中e 1，e 2不共线）
其中a ，b 共线的有________（填上所有正确的序号）． 解析：①中a ＝－b ，∴a ∥b ；
②中b ＝－2a ，∴a ∥b ;
③中a ＝4错误!＝4b ，∴a ∥b ；
④中不存在实数λ，使a ＝λb ,∴a 与b 不共线．
答案:①②③
9．已知错误!＝错误!错误!，错误!＝λ错误!,则λ的值为________．
解析:∵错误!＝错误!错误!,
∴C 为AB 的一个5等分点（如图），
∴错误!＝错误!，
∴错误!＝－错误!错误!，即λ＝－错误!.
答案:－32
三、解答题
10．设两个非零向量e 1，e 2不共线，已知错误!＝2e 1＋k e 2,错误!＝e 1＋3e 2，错误!＝2e 1－e 2.问：是否存在实数k ,使得A 、B 、D 三点共线,若存在，求出k 的值;若不存在，说明理由？
解：假设存在k ∈R ，使得A 、B 、D 三点共线,
∵错误!＝错误!－错误!＝(e 1＋3e 2）－(2e 1－e 2)＝－e 1＋4e 2，错误!＝2e 1＋k e 2. 又∵A 、B 、D 三点共线,∴错误!＝λ错误!，
∴2e1＋k e2＝λ（－e1＋4e2),∴错误!，∴k＝－8，
所以存在k＝－8,使得A、B、D三点共线．
11．如图,平行四边形ABCD中，点M在AB的延长线上，且BM
＝1
2
AB,点N在BC上，且BN＝错误!BC。

求证：M、N、D三点共线．证明：∵BC綊AD，∴错误!＝错误!。

∵错误!＝错误!错误!，错误!＝错误!错误!，
∴错误!＝错误!－错误!＝错误!错误!－错误!错误!
又错误!＝错误!－错误!＝错误!－错误!错误!
＝3(错误!错误!－错误!错误!）＝3错误!，
∴错误!∥错误!.
又错误!、错误!有公共点M，∴M、N、D三点共线．
12．已知任意两个非零向量a,b,作错误!＝a＋b，错误!＝a＋2b,错误!＝a
＋3b.试判断A,B，C三点之间的位置关系，并说明理由．
解：如图，利用向量求和的平行四边形法则,作出向量错误!，错误!，错误!，从图中可知A，B，C三点共线，证明如下:
因为错误!＝错误!－错误!＝（a＋2b)－（a＋b)＝b，
AC→＝错误!－错误!＝（a＋3b)－(a＋b)＝2b.
故有错误!＝2错误!,
所以错误!∥错误!,又因为有公共点A，
所以A，B，C三点共线．。