多铁性材料的自旋起源

多铁性材料的自旋起源
多铁材料由磁有序和铁电有序共同组成的，据信是在固体材料系统通过一个微小的能量消耗来完成磁与电的交叉控制的关键。

例如巨磁电效应在凝聚态物理中在很长一段时间内引起了大家强烈的兴趣，希望得到一个新兴自旋相关连电子的方程。

在这里我们以磁性材料中实现多铁性和自旋驱动铁的电性开始，以上已经通过精确地试验和理论被证实。

根据假设的机制，很多多铁性材料被开发与探索，最新的研究实现了巨磁电效应的控制，我们纵观多铁材料的各种基本机制的观点和基本的磁电特性。

多铁材料科学的一个最新的方向是动力学磁电效应，换句话说就是固体中动力学和电和磁偶极子快速交叉控制。

我们着重讨论多铁性畴壁的动力学有助于增大磁电响应，其可通过介电谱来显示。

另外的相关问题是活跃的电偶极子的磁共振，叫做电磁振子。

最后我们总结多铁材料从在固体中宽泛的新型电磁学何处可能对将来能量不耗散的电子的应用。

第一章多铁性材料
1.1什么是多铁性材料
在固体中，电场（E）诱导出电极化强度（P）并且磁场（H）诱导出磁化强
度（M ）。

E 与H 的运动关系可以由麦克斯韦方程描述，这使得P 和M 之间有了非常重要的联系，那就是P 与M 的耦合是通过晶格间的电子来传递的；换句话来说，电子的自旋、轨道和电荷的自由度在固体中是相关连的。

P-M 耦合，若存在于材料中的话可促使磁电效应，其可定义为同时控制磁与电；转变M 通过用E 与之相反P 的改变通过用H 。

一个世纪以前通过对Cr 2O 3的研究,固体中的磁电效应在理论[1]推测上和实验[2]上被证实。

这个现象被通过用一个线性交差响应磁电系数α来描述。

例如从对称分析的观点有u uv v P E α=和u vu u M E α=。

与最
近新观测的多铁性材料相比以前观测磁电效应非常小，虽然如此，关于多铁性样品的自旋微观起源的基本的组成已经被涉及在首次发现的磁电材料中。

例如一个存在相互作用的自旋与一个极化的化学晶格或存在相互作用的非共线的自旋在轨道耦合相互作用下耦合。

自此，巨磁电效应开始被广泛研究。

特别是在用E 高效的控制方面是一个需求函数在最小的能量耗散的二代电子自旋领域，因为能量损失产生H 或者用高电流来控制磁畴可以克服用电场的缺点[3-5]。

图1 多铁性材料中通过电磁场使P-M 交叉控制
多铁性材料这个术语被杜撰出代表材料是因为其有两个或更多铁性有序，如目前的铁电性与铁磁性。

在一般的条件下，我们叫那些同时拥有铁电有序和磁有序的材料为多铁性材料。

用更直接了当的方式来增强磁电耦合已经超出上述的线性响应所以要把目标集中在多铁性材料上。

在多铁性材料中同时存在的P 与M 有非常弱的与之相关的H 与E 响应，如图1所示，经由场的诱导畴壁的运动引起了滞后。

当M 与P 共同耦合就会更强叫巨磁电效应。

也就是H 控制P 同时E 控制M 成为可能。

M-P 共同耦合不仅仅在准静态磁电耦合中非常重要，在动态磁电耦合中也是如此，它的时间尺度的范围能从千兆赫兹到紫外光的频率。

所以现在的问题是如何去设计和实现多铁性材料强的磁电耦合。

这是研究多铁性材料的一个基本方面。

1.2多铁性材料的三种模型
在这篇文章中，我们集中注意力于多铁性材料自旋起源诱导的铁电性。

通过定义铁电与磁有序耦合是显而易见的。

换句话说，通过电激励改变铁电有序在多铁性样品的自旋起源应当伴随着磁结构和性质的改变。

各种形式的自旋起源可能打破反对称性并且自发的形成P 。

概括地说，自旋起源的铁电性的微观机制可以被总结为三种模型：
图2 多铁性材料的三种模型
（i ）对称自旋交换收缩模型()ij i j S S ∏（图2(a)-(c)）；（ii ）反对称自旋
交换收缩模型()ij i j e S S ⨯⨯（图2(d)-(f)）；（iii ） 自旋流模型()2il i il e S e （图2(g)-(i)）。

在这我们先简明的给出其各自产生P 的机制的先决条件。

（i ）对称自旋交换收缩模型，相邻的自旋i S 和j S 之间的相互租用，可能引起沿一个特定的结晶方向
伸缩ij ∏。

对于产生宏观的P ，自旋调节应当与晶格相称并且诱导的伸缩应当在
对晶格的所有的键求和时不抵消。

例如，用上-上-下-下排布的自旋来代替其交替排布的A-B 晶格（如图2（b ）所示）其可以打破反对称性，非同值得交换收缩在自旋方向都向上的部分和自旋上下排列之间可产生P 。

在反对称交换收缩相互作用中（ii ），自旋流被认为是流动在倾斜的自旋点i S 和j S 之间的，它在自旋轨道耦合（SOC ）作用下可产生极化P （如图2(f)所示）。

这个P 是真正的电子来源，但是事实上交换收缩在决定P 的大小中扮演着重要角色。

因此，这个模型也叫做反Dzyaloshinskii –Moriya （DM ）相互作用。

在最近自旋流模型对多铁性材料的探索与研究中是非常有效的，特别是对横向旋转自旋的研究，例如摆线的和横向圆锥的自旋有序总是能自发的产生P 与磁调节矢量无关。

总之，多铁性材料可以被描述通过反对称自旋交换收缩作用来描述。

（iii ）自旋依靠p-d 杂化机制是基于局部极性键ij e 连接自旋点i 和配位点l 可以通过自旋方向依靠杂化引起的自旋轨道耦合被调制这个事实。

当对整个晶格加和不抵消可以获得一个宏观的P 。

总之，交换收缩机制（i ）不需要自旋轨道耦合除了同样的自旋有序、低对称性的特殊化学晶格和自旋流机制(ii)可以应用在各种晶格除了自旋轨道耦合和自旋依靠p-d 杂化机制(iii)同时需要自旋轨道耦合
和和特殊晶格但是可发生在各种相同和不同的有序。

因此，我们可以通过了解材料的晶格和磁结构来鉴别哪几种机制出现在了多铁性材料中。

要注意的是一种实际的多铁性材料中可以有多种机制。

图3 螺旋磁结构
为了增强多铁性材料中的磁电效应我们往往看到其伴随着多铁性材料的畴壁的运动，尤其是在分析铁磁体和铁电体中存在较大的滞后现象。

尽管磁有序和铁电有序微观的畴壁结构变化在实验上还有待解决，但是一些关于多铁性材料的畴壁重要的性质已经能够通过微观测量被研究。

多铁性材料科学的另一个重要的方向是动力学磁电响应。

磁电磁化率uv α可以被扩展到交流电和光频领域，例如(w)(w)H (w)u uv v P α=和(w)(w)E (w)u uv v M α=，(w)uv α呈现了磁电样品的共振结构。

第二章 多铁性的基本机制
在这章，我们研究自旋起源的多铁性现象的机制。

在这我们不提及多铁性，因为磁性与铁电性本质上相互独立并且他们的耦合很弱。

2.1 一般的观点
磁性和铁电性被认为是其各自独有的特性，因为其前者的形成需要部分的满d 和f 轨道但是后者首选被占据的带或存在孤对电子。

两者在很多方面存在区别，从对称的观点来看，前者与时间反演对称性有关Θ，后者与点群对称有关。

Θ是一个反幺正对称。

对于铁电性我们可以考虑一个经典的点电荷模型 ，尽管我们可以讨论经典自旋但磁性本质上是一个量子机制的现象。

这些本质上的不同阻碍了从事统一着两种现象的研究。

然而，麦克斯韦的电磁学统一了电磁场中的电场强度E 与磁感应强度B 的关系，它们可通过洛伦兹变换相互转化。

这个事实表明，磁与电的性质可以通过一个统一的方式被理解，并且他们之间的耦合一定是一个非常多产的研究领域。

尽管我们如此期望，但是其已经被居里[6]预测在有限的范围内磁矩与电极化强度的耦合非常弱。

这基本的原因是电子对电极化强度和磁矩的贡献是不同的，像上面所提到的那样。

如果它们由相同的电子携带并且长程有序的话，他们之间的耦合作用将会被增强。

因此多铁性材料成为了一个磁性与铁电性最大化的耦合的理想的材料。

根据朗道的观点，我们可以研究这个现象的理论根据磁化强度和电极化强度的晶格对称性来拓展自由能方程。

线性的磁电效应来自于交叉项
uv u v M P β（1）
其中uv β是张量1βα-=的一个分量，α是前面所提到的磁电磁化率张量。

这一项可以同时允许时间反演对称性和反对称性被打破，因为自由能方程应在对称性操作下保持系统地完整性从而不变。

另一个重要的发展与这个问题有关的是电子波函数的量子相位，如贝里相位。

贝里相位这个概念源于波函数被限制在希尔伯特空间内这个事实并且其普遍存在以带结构为基础凝聚态物理的各个分支中。

贝里相位关系和曲率对应着失势和U （1）规范场的场强。

这意味着我们可以考虑固体中突现的电磁场，它控制着凝聚态系统的电磁性质。

对于突现的电磁场其标识性的一个特点是光速c 不是一个耦合常数。

这意味着突现的电磁场中的电与磁的关系比麦克斯韦电磁场更合适，并且当使用突现的电磁场调节磁与电的耦合时可能会更强。

除了对U （1）规范场的讨论外，我们可以考虑非阿贝尔规范场。

这是与相对论自旋轨道相互作用密切相关的（SOI ）。

首先我们从凝聚态物理中的狄拉克方程开始，通常非相对论的薛定谔方程被用来描述电子的能量解。

当电子的余下质能22mc 远超我们感兴趣的现象的能量尺度时其将被调整。

换句话说，正电子的产生可以被忽略。

这再次说明电子的波函数受希尔伯特空间的限制，也就是狄拉克方程的正的能量解。

这个被限制的波函数很自然的导致了规范场，但是在这里使用一个22⨯的矩阵是因为自旋的简并。

电子的耦合在()2SU 非阿贝尔规范场中是不存在的，但在自旋轨道相互作用中可以给出
()()()()()()22
22
222 =2 =2SO e H p V r s m c e s p V r m c e V r s p m c =
⨯∇⨯∇∇⨯（2） 方程的右边由于()A V r s α∝∇⨯所以可以写成A α这一22⨯的规范势。

更重要的是A α能被耦合为自旋流密度，当其被写成A a
a a A αασ=∑ 其中a σ是泡利矩阵，
在自旋轨道相互作用中可以写成A a a j αα而a j α就是沿α空间方向的自旋流密度，以上对后面我们讨论电极化强度的自旋流机制是十分重要的。

对于中心对称势()V r ，在自旋轨道相互作用中可以写为
SO H s λ=（3）
其中轨道角动量r p =⨯。

在这里我们让1=。

这里λ是自旋轨道耦合常量并且其正比于4Z ,这里Z 对应着原子序数。

电子的原子波函数随着原子序数Z 的增长越来越靠近原子核，并且自旋轨道耦合常量λ业逐渐增大。

相应的，束缚电子的速率也越来越快，并且自旋轨道相互作用（SOI ）对于重原子来说更强。

增强的自旋轨道耦合相互作用与真空中的自由电子相比几乎相差610倍。

在周期表中，从3d 、4d 到5d 电子自旋轨道相互作用（SOI ）增大同时与电子有关的能量U 减小。

过渡金属氧化物的3d 电子是我们研究的重点，其而λ的大小通常在10-20meV ，同时U 的大小在5-10meV 。

它小于晶场劈裂的能量，其大小在0.5-1eV ，但是它仍然有很大的作用，如上所述。

2.2 交换收缩模型和广义的派尔斯机制
众所周知，有不同化合价的二聚化的原子通常诱导出铁电性。

其可从经典模
型基于()P r r dr ρ=⎰这个方程被理解，也就是两个不同的二聚化电荷形成一个偶极矩，此外这些偶极矩的周期性排列形成铁电有序。

在一个一维系统中，这个二聚体将在固体中形成一条自旋单态对，如图1（c ）所示。

换句话说，当反铁磁性（AF ）的交换耦合作用,1i i J +在哈密顿哈数中
,11sp i i i i i
H J S S ++=∑（4）
由原子的位移i u 调节其可写为
,101(u u )i i i i J J g ++=++（5），
交错排列的二聚体(1)i i u u =-自发的形成单态形式的能量，这个现象叫做自旋派尔斯失稳[7]。

其与周期性排列的自旋单态对相一致通过强度交替排列自旋耦合相互作用。

基态和低能光谱的一维反铁磁性海森堡模型的统一交换耦合相互作用0J 取决于自旋量子数S 。

由于量子涨落，即使在温度为零时也没有磁的长程有
序。

对于半整数S ，基态是一无间隙的量子自旋流；同时对应有间隙的量子自旋流对应着整数S 。

考虑一个具有代表性的例子关于1/2S =的无间隙流体；这基本粒子也叫做自旋为1/2的自旋振子。

其基态表示为自旋振子的费米简并态，其展示了派尔斯失稳是由于堆积的自旋振子费米面与前面原子的位移耦合，如方程
（5）。

如果磁性离子是相同的，则这个二聚体不会产生任何的电极化强度。

然而两种不同的磁性离子交替排列，则电极化强度就会由自旋派尔斯机制诱导出，它通过一个独特的方式给出了自旋起源的铁电性。

换句话说代替磁的长程有序，自旋单态二聚体能产生电极化强度。

混合堆积如电荷转移化合物，例如TTFC 就对应着这种情况[8,9]。

这些材料是由交替排列的供体与受体分子组成的准一维链。

有两种不同的基态同时存在，即离子态与中性态。

在中性态中忽略其杂化，对于HOMO 供体分子是双占据的同时LUMO 受体分子是空的，即一个绝缘带。

另一方面，在离子态中HOMO 与LUMO 是同时单占据的并且为1/2自旋坐落于每一个分子，即一个莫特绝缘体。

这两个基态之间的相位转变可以通过施加压力来触发，并且对于二聚化供体和受体分子出现在离子状态下是由于自旋派尔斯机制以及电偶极相互作用。

这可以从离子态的自旋哈密顿量方程即使磁性离子是交替排列的其还是精确的方程（4）中理解。

有人指出，即使没有二聚化，也可出现自旋起源的电极化强度P ，当磁点交替排列（S=1/2），有
()11i
i i i P S S α+=-∑（6）
其中系数α来源于数量，它指出两种磁离子（分子）的不同，如图2（b ）所示。

这个方程(6)由于红外活动要在自旋为1/2的一维量子系统中被讨论，从中可以获
得一些精确的解[10]。

为了理解这个方程(6)，由自旋交换相互作用引出的有两个离子的哈伯德模型应该被考虑进去所。

以离子1（2）点处的能量可以被写成()12e e ϕϕ∆--∆-，其中1ϕ（2ϕ）是在离子1（2）处的势.接下来中间态的能量
可以分别被写成()122U e ϕϕ+∆--和()122U ϕϕ-∆+-，换句话说，交换耦合相互作用12J 可被估算为
()()2
1212121122J t U e U ϕϕϕϕ⎛⎫∝+ ⎪ ⎪+∆---∆+-⎝⎭（7）
在电场E 中，12eEa ϕϕ-=，其中a 是离子1与离子2之间的距离。

当0∆≠时，在电场E 下的12J 是线性的，当低价项在E 中是2(E )O 对应0∆=。

另一个准一维系统展示了多铁性材料是一个四分之一满电荷转移的盐，例如（TMTTF ）2，它同时有电荷密度波和键序波。

最简单的情况，一个无自旋的一维费米模型并假设U 有限制（U 为当时的库伦相互作用），在这种情况下电荷与自旋的自由度是不耦合的。

对于这个电荷函数，它对应着如下半填充满的简单模型：
,111sp i i i i i i i i
H t c c h c V n n ++++=-++∑∑（8）
其中i i i n c c +=并且 (),101i i i i t t u u γ++=+-（9）
与方程（5）相似。

系统通过以上方程（8）被描述存在2F K 的不稳定性，其既不存在于电荷密度波也不存在于键序波中。

当这两种有序共存时，铁电性就会展现出来。

电极化强度可以从贝里相位的角度去讨论基于King-Smith –Vanderbilt 和Resta 的观点，利用参数空间的规范场分布[11]。

方程（5）是交换收缩模型的一个例子，即原子的位移依靠交换耦合，这是一个普遍存在的机制关于在任何空间维度自旋起源的电极化强度。

在高维，磁被看做是长程有序的除了几个自旋流的例子。

因此海森堡相互作用(),ij ij ij i j J r S S θ
一旦出现0i S ≠可以促使铁电性，其中(),ij ij ij J r θ的大小依赖于键角ij θ和键长
ij r 。

我们可以将键角ij θ和键长ij r 分别写成()0ij ij ij θθδθ=+和()0
ij ij ij r r r δ=+的形式，其中()0ij θ（()0
ij r ）是没有自旋有序时的键角（键长），ij δθ（ij r δ）是在自旋有序下的修正项。

接下来我们将(),ij ij ij i j J r S S θ展开成()0ij r 和()0
ij θ的相关项，有两种情况：（i ）线性项()0ij r 和()0ij θ出现（ii ）其展开出现()0ij r 和()0
ij θ的二次方程或更高次。

因为弹性能以()0ij r 和()0
ij θ的二次项开始，位移的发生总是对应着情况（i ），当我们需要强耦合时用情况（ii ）。

由于键长与键角通常由电子的能量大小决定并且他的自旋只是一个小的修正项，所以交换收缩通常发生在情况（i ）。

在几何上，
M –X –M （M ，TM 磁离子；X ，配位离子）键角不同于180度键角。

它指出，交换收缩不需要自旋轨道相互作用（SOI ）。

因此，它通常比那些基于SOI 的三维TM 氧化物大。

从这个角度来看，它很容易将交换收缩归纳为几个方向。

首先是考虑自旋哈密顿函数引出的t 的高阶项。

特别是三个原子组成的环其环间的交换过程。

这个过程是在非共面的自旋立体基阵霍尔效应的背景下被考虑的和同时磁振子的霍尔效应是在磁场下的[12]。

Bulaevskii 等[13]认为轨道电流和电荷分布是由于在一个半满的哈伯德模型（Hubbard model ）并且得到位置1处的变化为
()122331112323318
2t t t n n S S S S S U δ=-=+-⎡⎤⎣⎦（10） 位置1、2、3构成一个三角形。

这个机制由于自旋有助于电极化强度即使是相同的磁性离子下。

其他的方向就是去考虑交换相互作用引出的非绝热效应[14]，它将导致如下的拉格朗日项
()[]1212E L n n n n ε=+⨯（11） 其中()2213t eE x x U ε-=
'，2x 和1x 是两个离子的位置。

获得这个项的必要条件是有多轨道模型为的是允许中间态的自旋动力学和U '轨道间的库伦相互作用。

在一个缓慢变化的近似中，()[]()1212x n n n n n n n +⨯∝⨯∂与依赖时间的自旋组态n 相关的突变电磁场有关。

因此，方程（11）预示着突变电场中可在没有自旋轨道相互作用（SOI ）的莫特绝缘体中出现电极化强度。

2.3 自旋流模型和反DM 相互作用
如前所述的方程SO H s λ=，自旋流 a a j P αασ= 被耦合为矢势a a A
E αβαβε=，其中a αβε是三位空间坐标的完全反对称张量。

然我们去考虑更深一层的自旋流。

自旋流对于反对称I 是奇数的但对于时间反演对称性Θ是偶数的，因为其由动量产生（I 对称 和Θ对称都为奇）和自旋算符（偶的I 对称 和奇的Θ对称）。

因此自旋流与电场和电极化强度有相同的对称性，所以由于这两种结果对于I 对称
和Θ对称是不变的。

耦合的直接结果a a j A αα是电极化强度 a a P J ααββε∝（12） 其中极化被通过拉格朗日L 中L P E αα∂=∂给出。

因此，自旋流在同时垂直于自旋极化方向和自旋流方向产生电极化强度。

这些一般的讨论来自于自旋轨道相互作用方程的形式，接下来我们讨论一种更加直接明了的机制关于自旋流诱导电极化强度。

在磁性绝缘体中，动量p 被库伦相互作用U 调制，也就是莫特绝缘态。

然而，原子间虚拟的跳跃过程导致了
自旋间的交换相互作用，其可被写成,spin ij i j i j H J S S =-∑，也就是海森堡哈密顿
量。

在这种情况下，自旋流可以被从自旋守恒定律中被定义。

我们以z i S 的海森堡运动方程开始。

,1,2z z z i i spin i i i i dS S H J S S dt i αβαβδδδ
ε++⎡⎤==-⎣⎦∑（13） 其中i δ+是i 的最近邻位。

我们可以定义自旋流算符为
()(),2z x y y x i i i i i i j i J S S S S δδδδ+++=-（14）
所以方程（13）可以被写成(i)0z z i dS j dt δδ+=∑。

这是晶格的连续方程。

接下来，结合方程（12）和方程（14），我们可以获得电极化强度的如下表达式。

()abc b c a i i i i i i P S S e S S ααββββα
εε++⎡⎤∝∝⨯⎣⎦∑∑（15）
其中e β是β方向的单位矢量。

换句话说，
()i i P e S S αββ+∝⨯（16）
这就是自旋流诱导电极化强度的表达式。

值得注意的是这个极化来自自旋轨道相互作用（SOI ）。

方程（16）意味着矢量旋手性i j S S ⨯，也就是相位的转折，产生了正则共轭
量的超流。

将这种方法应用到方程（13），我们可以推断出通过交换相互作用的两个非共线的自旋耦合导致自旋流[15]。

这个位置i 和j 间的超自旋流产生电极化强度P ，P 被写为
()ij i j P e S S η=⨯⨯（17）
其中η是一个耦合常数正比于自旋轨道相互作用（SOI ）在弱耦合的条件下。

这种情况下展现通过磁性离子中加入氧原子形成集群模型。

局部自旋间的磁交换相互作用在物理的电子强关联系统中是一个重要的话题。

安德森（Anderson ）的超交换相互作用的思想是考虑磁性离子的d 轨道与氧原子的p 轨道的杂化。

d 轨道的库伦相互作用导致磁矩的形成。

总能量依赖于两个自旋通过氧原子的相对方向，其被叫做超交换相互作用[16]。

我们将这个考虑推广去考虑相对论的自旋轨道相互作用（SOI ），尽管自旋的方向影响p 、d 轨道的杂化并且产生电极化强度[15]。

我们考虑一个简单的例子，在一个立方晶体场中的三重退化的2g t 轨道进一步通过自旋轨道耦合分裂成7Γ和8Γ态。

集中注意力于双重退化7Γ态并且假设其
被单独占据，我们为p 、d 轨道杂化构造一个哈密顿函数，此外它们磁有序所以以上我们可以通过平均场理论来描述。

换句话说，我们在1e 和2e 个自的方向的每
个磁点处应用外斯场，它们通常是不共线的。

此外，耦合常数不包含自旋轨道相互作用，因此它相当于一个强耦合限制。

在这些近似下，问题被化简为一个单粒子的问题，并且可通过对角化一个哈密顿矩阵来获得基态。

电极化强度来自于矩阵元x zx I p z d =等等，总贡献为
()3121249e V P Ie e e ⎛⎫≅-⨯⨯ ⎪∆⎝⎭
（18） 其中12e 是连接两个磁性离子的单位矢量，(V)∆是p 轨道与d 轨道的能量差。

这个结论与前面2.1章节所提的完美符合并且自旋流在这是一个关键概念。

这也证实了双交换相互作用的例子中的7Γ态对于每个点是半满的。

以上分析预言了各种各样的螺旋磁体的多铁性表现。

对于方程（16）和（17），其总结出有自旋螺旋平面的螺旋磁结构中的螺旋波矢垂直于铁电力矩（如图3（b ）所示）。

这区别于传统上不正确的铁电性——不均匀的结构引起极化。

另一方面，有些螺旋结构不能产生电极化强度，如图3（a ）。

自旋与极化很强的方向依赖是自旋流诱导铁电性的一个重要推断。

Mostovoy [17]在多铁性行为方面研发了一套机制相似的唯象理论。

因此，一个考虑原子位移的理论被拟建[18]；例如，配位体氧沿着
P ()1212e e e ⨯⨯移动为了与DM 相互作用相匹配。

一个基于群理论的多铁性行为的系统讨论已经被发展[19,20]。

2.4 自旋依靠p-d 杂化机制
交换收缩机制和自旋流机制对于自旋起源中电极化强度的产生不是唯一可能的机制。

对于所有经典的微观机制，有两个TM 磁性离子和一个配位氧原子（L ）在其之间，其一般电子结构已经被分析[21,22]，至于V 和λ使用微扰理论来研究，其中V 是TM d 与L p 轨道之间的杂化，λ是自旋轨道相互作用能[21,22]。

基于这个分析，在键r 和r e +之间的杂化2e r P
+可以被写成 ()()()()2 +P ms sp e r r e r r e r orb r r r e r e P P m m e P m m e m m e m m +++++=+⨯⨯-⎡⎤⎣⎦
（19）
其中r m 是在r 处的自旋方向。

()3/ms P V ∝∆其中∆是p 、d 轨道之间的电荷转移
能，ms P 杂化由于交换收缩，()()3
//sp P V λ∝∆∆来自于自旋流机制，
()()min /,1/orb P V V λ∆的作用来自p-d 杂化，其是非零的对于部分占据的2g t 轨道并且不依赖于两自旋r m 与r e m +的相对方向[21]。

对于一对TM 和L 我们可以获
得orb P 的纵向组成[23]，
()2
pd P S e e ∝（20） 其中e 是TM 和L 间的矢量如图2（h ）所示。

这个机制由上述方程给出叫做自旋依靠p-d 杂化。

当我们考虑周期排列的TM 和L 原子，来自方程（19）的极化P 的傅里叶分量被总结在图表1。

值得注意的是三部分贡献ms P 、sp P 和orb P 依靠波矢出现差异。

因此用动量实验归结原理如X 射线和中子散射尤祖宇电极化强度的微观机制辨别。

下面是一些关于文章中出现的物理量的单位的说明。

我们使用SI 单位制，其中所有物理量由kg （千克），m （米），s （秒），A （安培）给出，其分别对应着质量、长度、时间和电流。

在这些单位下，[]31 A E kg m s --=，
[][]2 s A D P m -==，[][]21 s A B P kg --==，
并且[]1 A H m -=。

因此，磁电张量v μα的大小有[][][][]1// s v B E D H m μα-⎡⎤===⎣⎦。

图表1。