矢性函数

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2.矢端函数
将矢量(向量)r ( t )的起点放在原点o， 终点为M , 则r ( t ) OM , 由此可见, 向量 函数 r r ( t )在几何上表示空间曲线, 它 是向量 r r ( t )终端运动的轨迹, 所以又 叫矢端曲线(向量又称矢量 ).
图6-7
例2 当空间中的一质点M 沿着以Z 轴为中心, 底面半径 为a的圆柱面以角速度绕z轴旋转,同时又以速度v沿平 行于z轴的方向上升(其中和v都是常数), 则M 点的运 动轨迹是一条螺旋线, 它的参数方程是 x a cos t , y a sin t , z vt ,
定义 设G是数集，如果对每个变量t G , 都有唯一 确定的矢量(向量) A和它对应，则称A为t的矢性(矢量 或向量)函数，记为 A A( t ).
矢性函数A( t )在三维空间中， 写成 A( t ) ( Ax ( t ), Ay ( t ), Az ( t ))
例1 矢性函数A( t ) (sin t , cos t , t ) sin t i cos t j A1 ( t )i A2 ( t ) j A3 ( t )k , 则
dAy dAz dA dA x A (t ) i j k dt dt dt dt
例1 设A( t ) (sin t 2 , 1 5t , 3t ), 求A( t ).
i 解 B C cos t 2
j sin t 3
k 3 1
(9 sin t , cos t 6, 3cos t 2sin t ) i j k A ( B C ) sin t cos t t 9 sin t cos t 6 3cos t 2sin t
(3cos 2 t sin 2t t cos t 6t )i 3 ( 9t t sin t sin 2t 2sin 2 t ) j 2 (6sin t 9cos t )k
d [ A ( B C )] |t 0 (2 1 6, 9 3, 6) (7, 6, 6). dt
2 2 2
4.矢量函数的导数公式
设矢量函数A A( t ), B B( t ), 数量函数u u( t ) 在t 可导，则
dC (1) 0 (C为常向量 ); dt d ( A B) d A d B (2) ; dt dt dt d dA (3) ( k A ) k ( k为常数)； dt dt d du dA (4) ( u A ) A u ( k为常数)； dt dt dt
t t0
如果 A( t ) ( a1 ( t ), a2 ( t ), a3 ( t )), 则
t t0
lim A( t ) (lim a1 ( t ), lim a2 ( t ), lim a3 ( t ))
t t0 t t0 t t0
et 1 1 t2 1 例4 设A( t ) , , 2cos t , 求 lim A( t ). t 0 sin t t ln(1 t )
第一章 矢量分析
• 第一节 矢性函数 • 第二节 矢性函数的导数与微分 • 第三节 矢性函数的积分
第一节 矢性函数
1. 矢性函数的概念 2. 矢端函数 3. 矢性函数的极限和连续
1.矢性函数的概念
设质点在空间中运动, x时刻的位置M 可以用坐标 ( x ( t ), y( t ), z( t ))表示, 也可用向量r ( t ) OM 表示,即 r ( t ) x ( t )i y( t ) j z ( t )k 称向量 r ( t )是t的一个矢性(向量)函数。
例5 设矢量函数A A( t )在t 可导，则 dA( t ) |A( t )|=常数 A( t ) 0. dt
例6 质点运动轨迹 r r ( t ), 则r ( t )在t时刻的速度， r ( t )在t时刻的加速度.
例7 一质点以常角速度在圆周r ( ) a cos i a sin j , v2 证明其加速度为w 2 r , 其中v为速度v的模. a
用向量函数表示成 r ( t ) a cos ti a sin t j vtk
例3 摆线的参数方程 x a( t sin t ), y a(1 cos t )
摆线的矢量方程为 r ( t ) a( t sin t ) i a(1 cos t ) j
3.矢性函数的极限和连续
x x0
lim f ( x ) A
0, 0, 使当0 x x 0 时, 恒有 f ( x ) A .
定义 设矢性函数A( t )在t0的某邻域内有定义，A0为 常矢量。如果 0, 0, 使当0 t t0 时, 恒有 A( t ) A0 ，则称A0为A( t )当 t t0时的极限， 记为 lim A( t ) A0 .
d dA dB (5) ( A B) B A ; dt dt dt d dA dB (6) ( A B) B A ; dt dt dt
例4 设 A (sin t , cos t , t ), B (cos t , sin t , 3), d C (2, 3, 1), 求 [ A ( B C )] |t 0 . dt
3.矢量函数的微分
设有矢量函数 A( t ), 则称 A( t )dt 为矢量函数A( t ) 在t 的微分， 记为dA, 即 dA A( t )dt .
向经r x i y j z k 的微分 dr ( dx , dy, dz ),
dr 1, 其模|dr|= ( dx ) ( dy ) ( dz ) ds, 则 ds dr 即 为单位向量。 ds
矢量函数的极限、连续与一元函数类似。
第二节 矢性函数的导数与微分
1. 矢性函数的导数 2. 矢性函数导数的几何意义 3. 矢性函数的微分 4.矢性函数的导数公式
1.矢性函数的导数
定义 设矢性函数A( t )在t 的某邻域内有定义，如果 A( t t ) A( t ) 极限 lim 存在, 则此极限称为A( t )在t处 t 0 t dA 的导数，记为A( t )或 , 即 dt A( t t ) A( t ) A( t ) lim . t 0 t
线方向的向量 A( t )绕点M 转动(见图6 10)且以M 处 的切线为其极限位置，在几何上，A( t )是向量函数 A A( t )的矢端曲线L在点M 处的切向量, 方向指向 t增大的一方.
例3 证明圆柱螺旋线 r ( t ) a cos ti a sin t j btk 的切线与z轴之间成定角.
定义 设矢性函数A( t )在t0的某邻域内有定义，如果
t t0
lim A( t ) A( t0 ), 则称A( t )在t t0处连续.
如果 A( t ) ( a1 ( t ), a2 ( t ), a3 ( t )), 则A( t )在t t0处连续 等价三个函数a1 ( t ), a2 ( t ), a3 ( t )都在t t0处连续
例2 已知圆柱螺线的矢量方程为 r ( ) a cos i a sin j b k， 求 r ( )
2.矢量函数的导数的几何意义
A( t t ) A( t ) 由于矢量函数的导数为 A( t ) lim ， t 0 t A( t ) 而 A( t ) A( t t ) A( t )与 平行, 若t 0, 它 t 们方向相同, 若t 0, 它们方向相反,当t 0时沿割