湖北省荆门市沙洋中学龙泉中学钟祥一中京山一中四校2019届高三下学期六月考前模拟数学(理)试题 含解析

龙泉中学钟祥一中京山一中沙洋中学2019届高三四校六月模拟考试理数试题
第I 卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.复数
5
1i i
-+（i 是虚数单位）的虚部是（ ） A. 3i B. 6i
C. 3
D. 6
【答案】C 【解析】 【分析】
直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．
【详解】解：复数()()()()515111i i i i i i ---==-++-2+3i ．复数5
1i i
-+（i 是虚数单位）的虚部是3． 故选：C ．
【点睛】本题考查复数的除法的运算法则以及复数的基本概念，是基础题．
2.已知集合{}
2
1M x x =<，{}2|log ,2N y y x x ==>，则下列结论正确的是（ ）
A. M N N =
B. ()R C M N ⋂=∅
C. M N U =
D. ()R C M N ⊆
【答案】D 【解析】 【分析】
分别对集合M 和集合N 进行化简，然后对选项分别研究，得到正确答案.
【详解】集合M 中：21x <，解得11x -<<，
集合N 中：2log y x =是单调递增函数2x >，所以1y > 即{}
11M x x =-<<，{}
1N y y => A 选项中，M N N ⋂=∅≠，所以错误；
B 选项中，{}
1R C N y y =≤，所以{}
11R M C N x x ⋂=-<<≠∅，所以错误； C 选项中，M N U ⋂=∅≠，所以错误
D 选项中，{}
11M x x =-<<，{}
1R C N y y =≤，所以()R C M N ⊆正确. 故选D 项.
【点睛】本题考查集合的交集运算，集合与集合之间的关系，属于简单题.
3.在等差数列{}n a 中，若351024a a a ++=，则13S =（ ） A. 13 B. 14
C. 15
D. 16
【答案】A 【解析】 【分析】
因为数列是{}n a 是等差数列，所以可将351024a a a ++=用首项和公差表示为14a 24d 4+=，即
1a 6d 1+=，然后用首项和公差表示13S ，即()13111312
S 13a d 13a 6d 2
⨯=+
=+，进而整体代入便可得结果。

【详解】解：因为数列是{}n a 是等差数列，设首项为1a ，公差为d 所以351024a a a ++=可转化为14a 24d 4+=，即1a 6d 1+= 所以()13111312
S 13a d 13a 6d 132
⨯=+=+= 故选A
【点睛】等差数列问题常见的解法是利用等差数列的基本量(,,)1a d n 来进行求解，也可以利用等差数列的性质来进行解题，解题时应灵活运用。

4.某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图所示的柱状图：
则下列结论正确的是（ ）
A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少
B. 与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍
C. 与2015年相比，2018年艺体达线人数相同
D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加 【答案】D 【解析】 【分析】
设2015年该校参加高考的人数为S ，则2018年该校参加高考的人数为1.5S . 观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.
【详解】设2015年该校参加高考的人数为S ，则2018年该校参加高考的人数为1.5S .
对于选项A.2015年一本达线人数为0.28S .2018年一本达线人数为0.24 1.50.36S S ⨯=，可见一本达线人数增加了，故选项A 错误；
对于选项B ，2015年二本达线人数为0.32S ，2018年二本达线人数为0.4 1.50.6S S ⨯=，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B 错误；
对于选项C ，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C 错误；
对于选项D ，2015年不上线人数为0.32S .2018年不上线人数为0.28 1.50.42S S ⨯=.不达线人数有所增加.故选D.
【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键．
5.在6
22x x ⎛⎫- ⎪
⎝
⎭展开式中，常数项为（ ）
A. 240-
B. 60-
C. 60
D. 240
【答案】D 【解析】 【分析】
写出6
22x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项，整理后令x 的指数为0，得到项数，然后计算出常数项，得到答案. 【详解】6
22x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的二项展开式的通项为
()
()6212316622r
r
r r r
r r T C x
C x x --+⎛⎫=-=- ⎪
⎝⎭
其常数项为，令1230r -=得4r = 即()4
4562240T C =-= 故选D 项.
【点睛】本题考查二项展开式的通项，求二项展开式中的常数项，属于简单题.
6.函数log ()(01)a x x f x a x
=
<<图象的大致形状是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C 【解析】
当0x > 时，()log a f x x =单调递减,去掉A,B; 当0x < 时，()log ()a f x x =-- ，单调递减，去掉D;选C.
7.已知sin α=
0,2a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 26a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）
【答案】A 【解析】
分析：根据同角三角函数关系由sin α=cos α=sin2,cos 2αϕ，然后再根据两角和的余弦公式求解即可．
详解：∵sin α=
0,2a π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，
∴cos α==
∴3sin22sin cos 210105ααα==⨯
=，
224
cos 212sin 12(
105
ϕα=-=-⨯=．
∴1413cos 22sin 262525πααα⎛
⎫
+=-=-⨯= ⎪
⎝
⎭ 故选A ．
点睛：本题属于给值求值的问题，考查同角三角函数关系、倍角公式、两角和的余弦公式的运用，考查学生的计算能力和公式变形能力．
8.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A. 6
B. 9
C. 12
D. 18
【答案】C 【解析】
由题设中提供的三视图可以看出这是一个底面边长为2的正方形高为1的四棱柱与一个底面是边长为4的等腰直角三角形高为1的三棱柱的组合体，其体积1
441221122
V =⨯⨯⨯+⨯⨯=，应选答案C 。

9.已知0a b >>，b x a be =+，a y b ae =+，b z b ae =+，则（ ） A. x z y << B. z x y << C. z y x << D. y z x <<
【答案】A 【解析】 【分析】
利用作差法，结合指数函数的图像与性质可得结果. 【详解】∵b
a
x a be y b ae =+=+，，b z b ae =+， ∴(
)a b
y z a e e
-=-
又0e 1a b >>，＞，∴a b e e ＞ ∴y z ＞
()()()()
x 1b b z b a a b e a b e -=-+-=--，
又01b a b e ，＞>> ∴x z ＞ 综上：x z y << 故选：A
【点睛】本题考查三个数的大小的判断，考查作差法，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.已知双曲线22
221x y a b
-=的左右焦点分别为12,,F F O 为双曲线的中心，P 是双曲线的右支上的点，12PF F ∆的
内切圆的圆心为I ，且圆I 与x 轴相切于点A ，过2F 作直线PI 的垂线，垂足为B ，若e 为双曲线的离心率，则（ ） A. |||=|OB e OA B. |||=|OA e OB
C. |=|||OB OA
D. ||OA 与OB 关系不确定
【答案】C 【解析】
试题分析：12(,0),(,0)F c F c -，内切圆与x 轴的切点是A ， ∵122PF PF a -=，由圆切线长定理有122AF AF a -=， 设内切圆的圆心横坐标为x ，则()()2x c c x a +--=，即x a =， ∴OA a =，即A 为右顶点，
在2PCF ∆中，由条件有2PC PF =， 在12F CF ∆中，有11121111
()()22222
OB CF PF PC PF PF a a ==-=-=⨯=， ∴OB OA =.
考点：双曲线的标准方程、向量的运算、圆切线长定理.
11.已知函数()sin(2)3
f x x π
=-
，若方程1
()3f x =在(0,)π的解为1212,()x x x x <，则12sin()x x -=（ ）
A. 3
-
B. 2
-
C. 12
-
D. 13
-
【答案】A
【分析】
结合正弦型函数的图像与性质可得125212x x π+=，进而可得()121sin ?
cos 23x x x π⎛
⎫-=-- ⎪⎝
⎭，明确1x 的范围得到结果.
【详解】因为0x π<<，所以52,333x π
ππ
⎛⎫-
∈- ⎪⎝⎭，又因为12,x x 是1sin 233
x π⎛
⎫-= ⎪⎝⎭的两根，
结合图像可知
125212x x π+=，所以2156
x x π
=-， 所以()12115sin sin 2cos 26
3x x x x ππ⎛
⎫⎛
⎫-=-=-- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭，
又因为122156x x x x π<=-，，所以15012
x π
<<，
所以12,332x π
ππ⎛⎫-
∈- ⎪⎝⎭，所以1cos 233x π⎛⎫-= ⎪⎝
⎭，
所以()12sin 3
x x -=-. 故选：A
【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，考查函数的对称性及取值范围，属于中档题.
12.已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A BCD -的外接球，3BC =，
AB =点E 在线段BD 上，且6BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ） A. 5,44ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
B. 7,44ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
C. 9,44ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
D. 11,44ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
【解析】
分析：过E 作球O 的截面中，面积最大的是过球心O 的截面，最小的是垂直于OE 的截面，求出球的半径，以及垂直于OE 的截面半径，从而可得结果. 详解：
显然过E 作球O 的截面中，面积最大的是过球心O 的截面，最小的是垂直于OE 的截面， 设三棱锥的外接球半径为R ，
()2
23R R +-=，解得
2R =，截面面积最大为4π，
如图，1OH =，2222cos30EH BH BE BH BE =+-⋅⋅
11
3242=+
-1367444
=
-=， 222711144
OE EH OH ∴=+=
+=， ∴垂直于OE 的截面半径r 满足222115
2444
r OE =-=-
=， 254S r ππ∴==
，即截面最小面积为54
π， 截面圆面积的取值范围是5,44ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
，故选A. 点睛：本题主要考球的性质及圆内接三角形的性质、棱锥的体积公式及球的体积公式，属于难题.球内接多面体问题是将多面体和旋转体相结合的题型，既能考查旋转体的对称形又能考查多面体的各种位置关系，做题过程中主要注意以下两点：①多面体每个面都分别在一个圆面上，圆心是多边形外接圆圆心；②注意运用性质
2221R r OO =+.
第II 卷
二、填空题:本小题共4小题，每小题共5分
13.若整数,x y 满足不等式组022020
x x y x y ≤≤⎧⎪+->⎨⎪-+>⎩
，则y
z x =的最小值为_______.
【答案】
12
【解析】 【分析】
画出可行域，由此判断出可行域内的点和原点连线的斜率的最小值.
【详解】画出可行域如下图所示，依题意只取坐标为整数的点.由图可知，在点()2,1处，目标函数取得最小值为
12
.
【点睛】本小题主要考查简单的线性规划问题，要注意不等式等号是否能取得，还要注意,x y 为整数，属于基础题.
14.从左至右依次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取2个人进行位置调换，则经过两次这样的调换后，甲在乙左边的概率是________. 【答案】
23
【解析】
从左至右依次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取2个人进行位置调换，则经过两次这样的调换，基本事件总
数为22
339n C C =⋅=，左至右依次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取2个人进行位置调换，第一次调换后，
对调后的位置关系有三种：甲丙乙、乙甲丙、丙乙甲，第二次调换后甲在乙左边对应的关系有：丙甲乙、甲乙丙；丙甲乙
、甲乙丙；甲丙乙、丙甲乙，∴经过两次这样的调换后，甲在乙左边包含的基本事件个数6m =，∴经
过这样的调换后，甲在乙左边的概率：62
93
m p n ===，故答案为23.
15.已知点A 是抛物线2
14
y x =
的对称轴与准线的交点，点F 为该抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PF m PA =,则m 的最小值为 ．
【解析】
过P 作准线的垂线，垂足为N ， 则由抛物线的定义可得|PN|=|PF|， ∵|PF|=m|PA|，∴|PN|=m|PA|，则
PN m PA
= ，
设PA 的倾斜角为α，则sin α=m ，
当m 取得最小值时，sin α最小，此时直线PA 与抛物线相切， 设直线PA 的方程为y=kx ﹣1，代入x 2=4y ，可得x 2=4（kx ﹣1）， 即x 2﹣4kx+4=0，
∴△=16k 2﹣16=0，∴k=±1，
∴m
故答案为： 点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是利用了抛物线的定义。

一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。

尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化。

16.已知函数()ln f x x a x =+，若()()()12121212
111,,1,2x x x x f x f x x x ⎛⎫∀∈≠->- ⎪⎝⎭,则正数a 的取值范围是_______． 【答案】3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【解析】
a ＞0，f （x ）=x+alnx ，()f 1a x x
='+
>, ∴f（x ）在1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，不妨设12x x < 则()()120f x f x -<，
12
11
0x x -> ()12121,,12x x x x ⎛⎫
∀∈≠ ⎪⎝⎭
，()()121211f x f x x x ->-，
即()()211211
f x f x x x ->-，∴()()2121
11
f x f x x x +>+， 即()()1
g x f x x =+在1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增 ∴()21g 10a x x x -'=+≥,即1a x x ≥-，又13x 2
x -≤ 故3a 2
≥
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须
作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17.已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，35a =，10100S =. （1）求数列{}n a 的
通项公式；
（2）设2
(5)
n n b n a =
+，记数列n b 的前n 项和n T ，求使得n T m <恒成立时m 的最小正整数.
【答案】(1) 21n a n =- (2)1 【解析】 【分析】
（1）先设设等差数列{}n a 的公差为d ，由35a =，10100S =列出方程组求出首项和公差即可； （2）由(1)先求出n b ，再由裂项相消法求数列的前n 项和即可.
【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为35a =，10100S =， 所以11251045100a d a d +=⎧⎨
+=⎩ 解得11
2
a d =⎧⎨=⎩
所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. （2）由（1）可知()
()22524n n b n a n n =
=
++ ()1111222n n n n ⎛⎫
==- ⎪++⎝⎭
∴12n n T b b b =++
+= 111111[1232435⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-+-+-+
+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1
111]112n n n n ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭
()()1323
2212n n n ⎡⎤+=
-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦
, ∴34n T <
，∴3
4
m ≥，∴m 的最小正整数为1 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，以及裂项相消法求数列前n 项和的问题，熟记公式即可，属于基础题型.
18.如图,五边形ABSCD 中,四边形ABCD 为长方形,SBC ∆为边长为2的正三角形,将SBC ∆沿BC 折起,使得点S 在平面ABCD 上的射影恰好在AD 上.
（Ⅰ）当AB =
,证明:平面SAB ⊥平面SCD ；
（Ⅱ）若1AB =,求平面SCD 与平面SBC 所成二面角的余弦值的绝对值. 【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)13
. 【解析】 试题分析：
（Ⅰ）作SO AD ⊥，垂足为O ，依题意得SO ⊥平面ABCD ，则,SO AB AB AD ⊥⊥，AB ⊥平面SAD ，
AB SD ⊥，结合勾股定理可得SA SD ⊥，则SD ⊥平面SAB ，平面SAB ⊥平面SCD .
（Ⅱ）由几何关系，以,,OA OE OS 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，由题意可得平面SCD 的法向量
()2,0,1m =-，平面SBC 的法向量()
0,2,1n =.计算可得平面SCD 与平面SBC 所成二面角的余弦值的绝
对值为
13
. 试题解析：
（Ⅰ）作SO AD ⊥，垂足为O ，依题意得SO ⊥平面ABCD ，,SO AB SO CD ∴⊥⊥， 又AB AD ⊥，AB ∴⊥平面SAD ，,AB SA AB SD ⊥⊥
利用勾股定理得SA ==
SD =.
在SAD ∆
中，2,AD SA SD SA SD ===
∴⊥
SD ∴⊥平面SAB ，又SD ⊂平面SCD ，
所以平面SAB ⊥平面SCD
（Ⅱ）连结,BO CO ，SB SC =，Rt SOB Rt SOC ∴∆≅∆，
BO CO =，又四边形ABCD 为长方形，,Rt AOB Rt DOC OA OD ∴∆≅∆∴=.
取BC 中点为E ，得OE ∥AB
，连结,SE SE ∴=
其中1OE =，1OA OD ==
，OS 由以上证明可知,,OS OE AD 互相垂直，不妨以,,OA OE OS 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系
.
1,OE OS =∴=
()()
()
0,1,0,1,1,2,2,0,0DC SC BC ∴==--=-，
设()111,,m x y z =是平面SCD 的法向量，
则有00
m DC m SC ⎧⋅=⎨⋅=⎩即111100
y x y =⎧⎪
⎨-+-=⎪⎩，
令11z =得()
2,0,1m =-
设()222,,n x y z =是平面SBC 的法向量，
则有00n
BC n SC ⎧⋅=⎨⋅=⎩即2222200
x x y -=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩
令11z =得()
0,2,1n =. 则1
,3
33m n cosm n m n
⋅=
=
=⋅ 所以平面SCD 与平面SBC 所成二面角的余弦值的绝对值为13
.
19.已知点)
F
是椭圆()22
22:
10x y C a b a b
+=>>的一个焦点,点12M ⎫⎪⎭ 在椭圆 C 上.
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）若直线l 与椭圆 C 交于不同的,A B 两点,且1
2
OA OB k k +=-
( O 为坐标原点),求直线l 斜率的取值范围.
【答案】（1）2
214
x y +=（2）()1,01,4k ⎡⎫∈-⋃+∞⎪⎢⎣⎭
【解析】 【分析】
（1
）由题可知，椭圆的另一个焦点为()
，利用椭圆的定义，求得2a =，再理由椭圆中222c a b =-，求得b 的值，即可得到椭圆的方程；
（2）设l 直线的方程为y kx m =+，联立方程组，利用根与系数的关系，求得1212,x x x x +，在由1
2
OA OB k k +=-，进而可求解斜率的取值范围，得到答案。

【详解】（1
）由题可知，椭圆的另一个焦点为()
，
所以点M
1
42
=. 所以
2a =.
又因为c =，所以1b =，则椭圆C 的方程为2
214
x y +=.
（2）当直线l 的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知，0OA OB k k +=，不符合题意. 故设l 直线的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，
联立22
14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()()222
418410k x kmx m +++-=. 所以()
1222
1228,4141,41km x x k m x x k -⎧
+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩
而()()()()
2122112122
212121282221
41OA OB
kx m x kx m x m x x y y km k k k k k x x x x x x m m ++++--+=+==+=+=--， 由1
2
OA OB k k +=-，可得241m k =+. 所以14
k ≥-
，又因为()
22
16410k m -+>，所以2440k k ->. 综上，()1,01,4k ⎡⎫
∈-
⋃+∞⎪⎢⎣⎭
.
【点睛】本题主要考查椭圆的定义及标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等。

20.某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量()y g 与尺寸()x mm 之间近似满足关系式
b y
c x =⋅（,b c 为大于0的常数）．按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间,97e e ⎛⎫
⎪⎝⎭
内时为优等品．现
随机抽取6件合格产品，测得数据如下：
（Ⅰ）现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记ξ为取到优等品的件数，试求随机变量ξ的分布列和期望； （Ⅱ）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：
（ⅰ）根据所给统计量，求y 关于x 的回归方程；
（ⅱ）已知优等品的收益z （单位：千元）与,x y 的关系为20.32z y x =-，则当优等品的尺寸x 为何值时，收益z 的预报值最大？（精确到0.1） 附：对于样本(,)i i v u (1,2,
,)i n =，其回归直线u b v a =⋅+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
1
12
2
2
1
1
()()()
n n
i
i
i i i i n
n
i
i
i i v v u u v u
nvu b v v v
nv
∧
====---=
=
--∑∑∑∑，a u bv ∧∧=-， 2.7182e ≈.
【答案】（1）见解析（2）12
y ex =，x=72.3 【解析】 【分析】
()1由题意，首先确定ξ的取值，然后求解相应的分布列和数学期望即可 ()2 ()i 结合题中所给的数据计算回归方程即可
()ii 结合计算求得的回归方程得到收益函数，讨论函数的最值即可求得最终结果
【详解】（1）解：由已知，优等品的质量与尺寸的比在区间,
97e e ⎛⎫
⎪
⎝⎭
内，即()0.302,0.388y x ∈ 则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，3件为非优等品 现从抽取的6件合格产品中再任选3件，则取到优等品的件数0,1,2,3ξ=
()0333361020C C P C ξ===， ()12
333
69
120C C P C ξ===， ()2133369220C C P C ξ===， ()30333
61
320
C C P C ξ=== ξ的分布列为
()199130123202020202
E ξ∴=⨯
+⨯+⨯+⨯= （2）解：对b
y c x =⋅（,0b c >）两边取自然对数得ln ln ln y c b x =+， 令ln ,ln i i i i v x u y ==，得u b v a =⋅+，且ln a c =，
（ⅰ）根据所给统计量及最小二乘估计公式有，
122
2
175.324.618.360.271
101.424.660.542
n
i i i n i i v u nvu b v nv ∧==--⨯÷==
==-÷-∑∑
-
118.324.6612a u b v ∧
∧
⎛⎫
=-=-⨯÷=
⎪⎝⎭
，得ln 1ˆˆa c ==，故ˆc e = 所求y 关于x 的回归方程为1
2y ex = （ⅱ）由（ⅰ）可知，1
2
ˆy e x =⋅
，则.ˆ2032z
x =
由优等品质量与尺寸的比()1
2
,7,97ˆ9y ex e e x
x
⎛⎫==⇒
⎪⎝⎭
，即()49,81x ∈
令()7,9t =，()2
22
0.3220.320.32ˆ0.32
e e z t t et t ⎛⎫=-+=--+
⎪⎝⎭
当()8.57,90.32
e
t =
=
≈∈时，ˆz 取最大值 - 即优等品的尺寸72.3x ≈（mm ），收益ˆz 的预报值最大.
【点睛】本题考查了线性回归方程的实际运用，依据已知条件计算出随机变量ξ的分布列和期望；通过公式计算求得线性回归方程，本题为常考题型，注意解题方法。

21.已知函数()()ln x e f x a x x x
=-，a R ∈.
（Ⅰ）当e a =-时，求()f x 的最小值； （Ⅱ）若()f x 有两个零点，求参数a 的取值范围 【答案】（Ⅰ）0； （Ⅱ）e a <-. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）求函数的定义域，再求导，判别导函数的正负可得原函数的单调性，可求得最小值；
（Ⅱ）对a 进行分类讨论，分别利用其导函数的应用，判别其单调性，求其最值，可得参数a 的范围.
【详解】（Ⅰ）()(ln )x e f x a x x x
=+-,定义域(0,)+∞
()
22
(1)(1)(1)()x x x e ax e x x f x a x x x
'-+--=+= 当e a =-时, (
)2
(1)()x x e ex
f x x
'--=
,由于x
e
ex > 在(0,)+∞恒成立
故()f x 在(0,1)单调递减, ()f x 在(1,)+∞单调递增. 故 min ()(1)0f x f a e ==+= （Ⅱ）(
)2
(1)()x x e ax
f x x '-+=
当e a =-时, ()f x 在(0,1)单调递减, ()f x 在(1,)+∞单调递增min ()(1)0f x f a e ==+=,()f x 只有一个零点 当a e >-时,ax ex >- ,故0x x e ax e ex +>-≥ 在(0,)+∞恒成立, 故()
f x (0,1)单调递减, ()f x 在(1,)+∞单调递增min ()(1)0f x f a e ==+=,
故当a e >-时, ()f x 没有零点.
当e a <-时,令 0x
e ax +=,得2
(1),(),()x x x
e e x e
a x x x x x
ϕϕ-'=-==, ()x ϕ在(0,1)单调递减, ()f x 在(1,)+∞单调递增. min ()(1)x e ϕϕ==, ()x ϕ在(0,)+∞有两个零点，1212,,01x x x x <<<
()f x 在1(0,)x 单调递减,在1(,1)x 单调递增,在2(1,)x 单调递减,在2(,)x +∞单调递增，(1)0f a e =+< ,又
0,(),,(),x f x x f x →→+∞→+∞→+∞
此时()f x 有两个零点， 综上()f x 有两个零点,则e a <-
【点睛】本题考查了导函数的应用，掌握好分类讨论思想和导函数的应用是解题的关键，属于难题.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题计分. 选修4-4：坐标系与参数方程
22.在直角坐标系xOy 中，直线1;2C x =-，圆()()2
2
2:121C x y -+-=,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求1C ，2C 的极坐标方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为()4
R π
θρ=
∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆的面积．
【答案】(1)cos 2ρθ=-,2
2cos 4sin 40ρρθρθ--+=；(2)
12
． 【解析】
试题分析：（1）将c o s ,s i n x y ρθ
ρθ==代入12,C C 的直角坐标方程，化简得cos 2ρθ=-，
2
2cos 4sin 40ρρθρθ--+=；
（2）将4
π
θ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=得
12ρρ= 所以MN =1
2
.
试题解析：
（1）因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-， 2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=
（2）将4
π
θ=
代入2
2cos 4sin 40ρρθρθ--+=
得240ρ-+=得12ρρ== 所以MN =
因为2C 的半径为1，则2C MN ∆的面积为111sin 4522
⨯= 考点：坐标系与参数方程.
选修4-5：不等式选讲
23.已知()()f x x a a R =+∈．
（Ⅰ）若()21f x x ≥-的解集为[]0,2，求a 的值；
（Ⅱ）若对任意x R ∈，不等式()1)4
f x x π
=+
'恒成立，求实数a
取值范围．
【答案】（1）1a =；（2）(]-2∞，
【解析】 【分析】
（1）利用两边平方法解含有绝对值的不等式，再根据根与系数的关系求出a 的值；（2）利用绝对值不等式求出
()f x x a +-
的最小值，把不等式()1)4
f x x π
=++'化为只含有a 的不等式，求出不等式解集即可．
【详解】（1）不等式()21f x x ≥-，即21x a x +≥- 两边平方整理得()2
2
32410x a x a -++-≤
由题意知0和2是方程()2
2
32410x a x a -++-=的两个实数根
即2
240231023a a +⎧
+=⎪⎪⎨-⎪⨯=
⎪⎩
，解得1a = （2）因为()()()2f x x a x a x a x a x a a +-=++-≥+--=
所以要使不等式()1)4
f x x π
=+
'恒成立，只需232a a ≥-
当0a ≥时，232a a ≥-，解得2a ≤，即02a ≤≤； 当0a <时，232a a -≥-，解得2
5
a ≤，即0a <； 综上所述，a 的取值范围是(],2-∞
【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．。