北京市北大附中2020届高三6月阶段性检测数学试题

北大附中2020届高三阶段性检测
数学
一、选择题共10题，每题4分，共40分.在每题列岀的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 复数
2
1i
-的共轭复数是（ ） A. 1i - B. 1i +
C. 1i --
D. 1i -+
【答案】A 【解析】 【分析】
根据复数的除法运算，先化简复数，再由共轭复数的概念，即可得出结果. 【详解】因为
()()()2122211112
i i i i i i ++===+--+， 所以其共轭复数为1i -. 故选：A.
【点睛】本题主要考查求复数的共轭复数，属于基础题型.
2. 设集合{13}A x x =∈-≤≤N
∣，{
}
2
1,B y y x x ==+∈R ∣，则A B =（ ）
A. {}0,1,2,3
B. {}1,2,3
C. []1,3
D. []0,3
【答案】B 【解析】 【分析】
确定集合A ，由二次函数性质确定集合B ，然后根据交集定义计算．
【详解】由题意{
}
2
1,B y
y x x ==+∈R ∣{|1}y y =≥，{0,1,2,3}A =， ∴{1,2,3}A B ⋂=． 故选：B ．
【点睛】本题考查集合的交集运算，解题关键是确定集合中的元素．
3. 设向量(1,1)a =，(1,3)=-b ，(2,1)c =，且()a b c λ-⊥，则λ=（ ） A. 3 B. 2
C. -2
D. -3
【答案】A
【解析】 【分析】
先计算出a b λ-的坐标表示，然后结合题意向量垂直 计算可得结果． 【详解】由题意(1,13)a b λλλ-=+-，
∵()a b c λ-⊥，∴()2(1)130a b c λλλ-⋅=++-=，解得3λ=． 故选：A ．
【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，掌握向量垂直的坐标运算是解题关键．
4. 10
1x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
的展开式中4x 的系数是（ ） A. 210- B. 120- C. 120 D. 210
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意，结合二项展开式的通项公式，可得2104r -=，则r ＝7，将r ＝7代入通项公式计算可得答案．
【详解】由二项展开式，知其通项为10210
110
101()(1)r
r r r r r r T C x C x
x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
， 令2104r -=，解得7r =.
所以4x 的系数为77
10(1)120C -=-.
故选B.
【点睛】本题考查指定项的系数，应该牢记二项展开式的通项公式，属于基础题． 5. 已知平面α，β，直线m ，n 满足m α⊂，n β⊂，则“//m n ”是“//αβ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D 【解析】 【分析】
利用平面与平面的位置关系判断充分条件和平面平面平行的性质定理判断必要条件. 【详解】m α⊂，n β⊂，若//m n ，则//αβ或相交，故不充分；
若//αβ，由面面平行的性质定理得m n ，平行或异面 ，故不必要； 故选：D
【点睛】本题主要考查以直线、平面的位置关系为载体的逻辑条件判断，属于基础题.
6. 已知正项数列{}n a 中，11a =，22a =，222
112(2)n n n a a a n +-=+≥，则6a 等于（ ）
A. 22
B. 4
C. 8
D. 16
【答案】B 【解析】 【分析】
由222
112(2)n n n a a a n +-=+≥可知数列{}2
n
a 为等差数列，利用等差数列的性质即可得到答案．
【详解】根据题意222
112(2)n n n a a a n +-=+≥可知数列{}2
n
a 为等差数列，且211a
=，224a =
所以公差为3，()2
11332n a n n =+-⨯=-
所以2
616a =
因为{}n a 是正项数列 所以64a = 故选B.
【点睛】本题考查等差中项，，以及等差数列的通项公式，属于简单题． 7. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是
3
2
，则正视图中的x 的值是（ ）
A. 2
B.
92
C.
32
D. 3
【答案】C 【解析】
【详解】根据题中所给的几何体的三视图，
可知该几何体为底面是直角梯形的，且一条侧棱与底面垂直，结合三视图中数据， 可得113(12)2322
V x =
⋅⋅+⋅⋅=，即3
2x =，故选C ．
8. 若()sin cos f x x x =-在[,]a a -上是增函数，则a 的最大值是（ ）
A. 6
π
B.
4
π C.
3
π D.
2
π 【答案】B 【解析】 【分析】
把函数()f x 化为一个角的一个三角函数形式，然后求出增区间，再判断求解．
【详解】22()sin cos 2sin cos 2sin 224f x x x x x x π⎛⎫⎛
⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 222
4
2
k x k π
π
π
ππ-
≤-
≤+
，3224
4k x k π
π
ππ-
≤≤+
，∴增区间是32,244k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈，
则区间[,]a a -3,44ππ⎡⎤
⊆-⎢⎥⎣⎦
，∴a 的最大值为4π．
故选：B ．
【点睛】本题考查正弦型函数的单调性，考查两角差的正弦公式，掌握正弦函数的性质是解题关键． 9. 德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36的等腰三角形（另一种是顶角为108的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC 中，
51
2
BC AC -=
.根据这些信息，可得sin126=（ ）
A.
125
4
- B.
35
8
+ C.
15
4
+ D.
45
8
+ 【答案】C 【解析】 【分析】 计算出51
cos 724
-=
，然后利用二倍角公式以及诱导公式可计算得出sin126cos36=的值，即可得出合适的选项.
【详解】因为ABC 是顶角为36的等腰三角形，所以，72ACB ∠=，
则
1512cos72cos 4
BC
ACB AC -=∠==
，()sin126sin 9036cos36=+=， 而2cos722cos 361=-，所以，1cos723562551cos3628164
++++====.
故选：C
【点睛】本题考查利用二倍角公式以及诱导公式求值，考查计算能力，属于中等题.
10. 甲、乙、丙三人尝试在下面的表格中填入第二排的数字，使得第一个数字表明这一排中0的数量，第二个数字表明这一排中1的数量，第三个数字表明这一排中2的数量，依此类推，最后一个数字表明这一排中6的数量.
0 1
2
3
4
5
6
甲说：“第七个数字一定是0”；
乙说：“这些数字的和是7，所以第一个数字不能比3大”； 丙说：“这七个数字有且只有一种填法” 其中，说法正确的是（ ）
A. 甲
B. 乙
C. 甲 乙
D. 甲 乙 丙
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意，利用反证法可知，若第七个数字不是0，设第七个数字为()0n n ≠，从而推出矛盾，可知甲说法正确；同理可知第五个和第六个数字也如上述原因需填0，所以第四个数字不能填0，从而推出其他数字，得出最后答案，即可判断乙丙的说法，从而得出答案. 【详解】解：由题意可知，若第七个数字不是0，设第七个数字为()0n n ≠， 则就要求第二排要有n 个6，那就要在其他地方填上6，
对应着要有6个该数字，无法满足，所以第七个数字是0，则甲说法正确； 第五个和第六个数字也如上述原因需填0，所以第四个数字不能填0， 若是0则第一个数至少为4，需要在第二和第三个数字上填4，个数不够， 只能填1，若是填2，仍不成立，
所以最后答案仅为3211000，所以乙丙的说法正确， 所以说法正确的是甲 乙 丙. 故选：D.
【点睛】本题考查反证法的应用，以及合情推理和演绎推理的应用，考查学生逻辑推理能力，属于基础题.
二、填空题共5题，每题5分，共25分.
11. 双曲线2
2
14
y x -=的渐近线方程为________，焦距为________.
【答案】 (1). 2y x =± (2). 25 【解析】 【分析】
根据双曲线的方程，可直接得出渐近线方程，以及焦距.
【详解】令22
04y x -=得2y x =±，即双曲线22
14
y x -=的渐近线方程为2y x =±；
焦距为21425+=. 故答案为：2y x =±；25.
【点睛】本题主要考查求双曲线的渐近线方程，以及双曲线的焦距，属于基础题型.
12. 设n S 为等比数列{}n a 的前项和，若11a =，且13S ，22S ，3S 成等差数列，则n a = . 【答案】.
【解析】 试题分析：∵，
，成等差数列，
∴，
又∵等比数列
，∴
.
考点：等差数列与等比数列的性质.
【名师点睛】本题主要考查等差与等比数列的
性质，属于容易题，在解题过程中，需要建立关于等比数列
基本量的方程即可求解，考查学生等价转化的思想与方程思想.
13. 不恒为常数的函数()f x 的定义域为R ，且()f x 为奇函数，(1)f x +为偶函数，写出一个满足条件的()f x 的解析式________. 【答案】()sin 2
f x x π
=
【解析】 【分析】
考虑到正弦函数sin y x =是奇函数，把它向左平移2π个单位即变为偶函数，把2
π转化为1即可得． 【详解】sin y x =是奇函数，把它向左平移
2
π
个单位即变为偶函数， ()sin
2
f x x π
=即为满足题意的一个函数．
故答案为：()sin
2
f x x π
=
【点睛】本题考查函数的奇偶性，函数的图象变换，掌握函数的基本性质是解题基础，解题的一种思路：()f x 为奇函数，(1)f x +为偶函数，实质就是()f x 有对称轴1x =，又原点为对称中心，可得函数是周期函数，这样联想三角函数可作为模型进行变换即可得． 14. 已知函数2
,0
(),0
x x f x x x ≤⎧=⎨
>⎩，若()(1)5f x f x +->，则x 的取值范围是________.
【答案】()2,+∞ 【解析】 【分析】
讨论x 与1x -的取值范围，代入解析式，解不等式即可求解.
【详解】由2,0
(),0x x f x x x ≤⎧=⎨>⎩
当10x x -<≤，即0x ≤时，
则15x x +->，解得3x >，此时x 无解， 当10x x -≤<，即01x <≤时，
则215x x +->，解得2x >或3x <-，此时x 无解， 当01x x <-<，即1x >时，
则()2
215x x +->，解得2x >或1x <-，此时2x >. 综上所述，x 的取值范围是()2,+∞. 故答案为：()2,+∞
【点睛】本题考查了分段函数，考查了分类讨论的思想，属于基础题.
15. 已知曲线C 是平面内到定点(0,1)F 和定直线:1l y =-的距离之和等于3的动点P 的轨迹，则曲线C 的一条对称轴方程是________，||PF 的最小值是________. 【答案】 (1). 0x = (2). 12
【解析】 【分析】
设(),P x y ，由题意可得13PF y ++=，分13y +>，12y -≤≤，41y -≤<-三种情况讨论，求出轨迹方程，即可得出对称轴以及||PF 的最小值.
【详解】设(),P x y ，由题意可得13PF y ++=，即()2
2113x y y +-++=，
当13y +>，即2y >或4y <-时，无解；
当12y -≤≤时，()2
212x y y +-=-，则232312x y y ⎛⎫=-+-≤≤ ⎪⎝
⎭，此时曲线C 的一条对称轴方
程是0x =；()22
31||12222PF x y y =+-=-≥-=；即此时||PF 的最小值是12
；
当41y -≤<-时，()2
214x y y +-=+，则23101512x y y ⎛⎫=+-≤<- ⎪⎝⎭
，此时曲线C 的一条对称轴
方程是0x =；()22
35||14422PF x y y =+-=+≥-=；即此时||PF 的最小值是52
；
综上，||PF 的最小值是1
2
. 故答案为：0x =；
12
. 【点睛】本题主要考查求抛物线的轨迹方程，考查抛物线的对称性，以及求抛物线上的点到定点的距离问题，属于常考题型.
三、解答题共6题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，BC PB ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，且3PC =
，E 为棱PC 的中点.
（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；
（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）1
3
．
【解析】 【分析】
（1）先证明BC ⊥平面PAB ，得BC PA ⊥，再由面面垂直得线面垂直得AB PA ⊥，从而可证结论线面垂直；
（2）以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，由空间向量法求线面角． 【详解】（1）∵,BC AB BC PB ⊥⊥，AB PB B ⋂=，,AB PB ⊂平面PAB ， ∴BC ⊥平面PAB ，又PA ⊂平面PAB ，∴BC PA ⊥， ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，面PAD
平面ABCD AD =，AB AD ⊥，AB
平面ABCD ，
∴AB ⊥平面PAD ，而PA ⊂平面PAD ，∴AB PA ⊥， 又∵AB BC B ⋂=，,AB BC ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥平面ABCD ．
（2）以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，
由（1）22222()1PA PC AC PC AB BC =-=-+=，
(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)A B C D P ，则111(,,222E ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
111,,222BE ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，(0,1,1)DP =-，(1,1,0)DB =-，
设平面PBD
的
一个法向量是(,,)n x y z =，
则00
n DP y z n DB x y ⎧⋅=-+=⎨
⋅=-=⎩，取1x =，则1,1y z ==，即(1,1,1)n =，
设直线BE 与平面PBD 所成角为θ，
则111
1222sin cos ,3111
111444
BE n BE n BE n
θ-++
⋅=<>=
=
=++⨯++．
【点睛】本题考查证明线面垂直，考查用向量法求直线与平面所成的角．掌握线线垂直、线面垂直、面面垂直间的相互关系证明空间垂直的关键．求空间角的常用方法是空间向量法，关键是建立空间直角坐标系．
17. 在ABC 中，3
A π
∠=
，7a =，________，求AB 边上的高.从
①21sin 7
C =
②2c b -=③332ABC S =△，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
【答案】答案见详解. 【解析】 【分析】
选择①，利用正弦定理求出2c =，再利用余弦定理即可求解；选择②：利用余弦定理求出1b =即可求解；选择③：利用三角形的面积公式可得6bc =，再利用余弦定理即可求解.
【详解】选择①： 在ABC 中，由正弦定理
sin sin a c
A C
=， 得732127
c =，所以2c =，
由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，
得
222172222
b b =+-⨯⨯⨯， 2230b b --=，解得3b =，
AB 边上的高333
sin 322
h b A ==⨯
=
. 选择②：在ABC 中，由2c b -=，得2c b =+， 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 得()()2
2
2
1
72222
b b b b =++-⨯+⨯⨯
， 化简2230b b +-=，解得1b =，
AB 边上的高333
sin 322
h b A ==⨯
=
. 选择③： 在ABC 中，由133
sin 22
ABC
S
bc A =
=
， 得1333
222
bc ⋅=，所以6bc =， 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 得()2
222cos a b c bc bc A =+--，
()22
1712122
b c =+--⨯，
解得5b c +=，
所以23b c =⎧⎨=⎩或32b c =⎧⎨=⎩
，
AB 边上的高333
sin 322
h b A ==⨯
=
. 【
点睛】本题考查了余弦定理、正弦定理解三角形，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 18. 某学校对甲、乙、丙、丁四支足球队进行了一次选拔赛，积分前两名的球队将代表学校参加上级比赛.选拔赛采用单循环制（每两个队比赛一场），胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分.经过三场比赛后，积分状况如下表所示：
甲
乙
丙
丁
积
分
名次
甲
3:3 5:3
4:1 7
乙 3:3 1 丙 3:5
0 丁
1:4
根据以往的比赛情况统计，乙队与丙队比赛，乙队胜或平的概率均为
1
4
，乙队与丁队比赛，乙队胜、平、负的概率均为1
3
，且四个队之间比赛结果相互独立. （1）求选拔赛结束后，乙队与甲队并列第1名的
概率；
（2）设随机变量X 为选拔赛结束后乙队的积分，求随机变量X 的分布列与数学期望； （3）在目前的积分情况下，不论后面的比赛中丙队与丁队相互比赛的结果如何，乙队一定能代表学校参加上级比赛的概率是多少？说明理由.
【答案】（1）1
12
；（2）分布列见解析，()103E X =；（3）14，理由见解析.
【解析】 【分析】 （1）由题意得乙队的积分为7分，即乙队胜丙队和丁对，由相互独立事件同时发生的概率公式可
得结果；
（2）随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4，5，7，计算其对应的概率可得分布列和期望； （3）分为当乙队积7分时，当乙队积5分时，当乙队积分小于5分时三种情形分析即可得结果.
【详解】（1）设乙队胜、平、负丙队分别为事件123,,A A A ，乙队胜、平、负丁队分别为事件123,,B B B ，
则()()1214P A P A ==
，()31=2P A ，()()()12313
P B P B P B ===， 设事件C 为“选拔赛结束后，乙队与丙队并列第一名”
由目前比赛积分榜可知，甲队一定是第一名，所以“乙队与甲队并列第一名”， 即乙队的积分为7分，即乙队胜丙队和丁对， 所以()()()11111
4312
P C P A P B ==
⨯=， （2）随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4，5，7
()()()33111
1236
P X P A P B ===⨯=；
()()()()()233211111
2++43234P X P A P B P A P B ===⨯⨯=；
()()()22111
34312
P X P A P B ===⨯=；
()()()()()133111111
4++43234P X P A P B P A P B ===⨯⨯=；
()()()()()122111111
5++43436P X P A P B P A P B ===⨯⨯=；
()()()11111
74312
P X P A P B ===⨯=；
随机变量X 的分布列为：
X
1 2 3 4 5 7
P
16 14 112 14 16 112
所以()11111110123457641246123
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （3）乙队一定能代表学校参加上级比赛的概率是
1
4
，理由如下： 当乙队积7分时，乙队与丙队并列第1名，满足题意；
当乙队积5分时，丙队或丁对的可能积分为4，3，2，1，0，乙队一定为第2名，满足题意； 当乙队积分小于5分时，丙队或丁对均有可能积分6分，不合题意，
所以，当乙队的积分为5分或7分时，一定能代表学校参加上级比赛， 其概率为：()()111751264
P X P X =+==
+=. 【点睛】本题主要考查了相互独立事件同时发生的概率，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，属于中档题.
19. 已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>经过点(2,0)A -，(0,1)B -.
（1）求椭圆C 的方程及其离心率；
（2）若P 为椭圆C 上第一象限的点，直线PA 交y 轴于点M ，直线PB 交x 轴于点N .求证：四边形MABN 的面积S 为定值.
【答案】（1）2
214
x y +=；
（2）证明见解析． 【解析】 【分析】
（1）由题意有2,1a b ==，即得椭圆方程；
（2）设00(,)P x y ，写出直线,PA PB 方程，求出,M N 点坐标，求出四边形MABN 的面积，利用点P 在椭圆上代入后可得定值．
【详解】（1）由题意2,1a b ==，椭圆标准方程为2
214
x y +=；
（2）设00(,)P x y ，000,0x y >>，22
0014
x y +=，∴220044x y +=，
直线PA 方程为00(2)2y y x x =
++，令0x =得0022y y x =+，即0020,2y M x ⎛⎫
⎪+⎝⎭
， 直线PB 方程为00
11y y x x +=
-，令0y =得001x x y =+，即00,01x N y ⎛⎫
⎪+⎝⎭
，
∴0000211212212MABN x
y S AN MB y x ⎛⎫⎛⎫=
⨯=++ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭
222
000
00000000000(22)44448112(2)(1)222
x y x y x y x y x y x y x y +++++++=⨯=⨯+++++
00000000448812222
x y x y x y x y +++=⨯=+++为定值． 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查椭圆中的面积与定值问题，定值问题的解题思路是，引入参数（本题中引入点P 的坐标00(,)x y ，然后把要证定值的量用参数表示后，根据参数满足的条件化简变形，证得其为常数（与参数无关）． 20. 已知函数()()1
ln 10f x a x a x
=+
-≠. （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若()1f x a >-对()0,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围； （3）当a e =时，关于x 的方程()()2
0f b c x f x ++=有7个不同实数根，写出b c +的值.（结
论不要求证明）
【答案】（1）答案见解析；（2）()0,1；（3）1b c +=-. 【解析】 【分析】
（1）求得函数()f x 的定义域，分0a <、0a >两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()f x 的单调区间；
（2）由题意可得出()min 1f x a >-，利用（1）中的结论可得出关于实数a 的不等式，进而可求得实数a 的取值范围；
（3）利用导数分析函数()f x 的单调性与极值，令()t f x =，由题意可知，方程20t bt c ++=的两根1t 、2t 满足101t <<，21t =，由此可求得b c +的值. 【详解】（1）当0a ≠时，函数()1ln 1f x a x x
=+
-的定义域为()0,∞+，且()2211
a ax f x x x x -'=-=.
①当0a <时，对任意的0x >，()0f x '<，此时函数()f x 在()0,∞+上单调递减； ②当0a >时，由()0f x '>可得1x a >
；由()0f x '<可得1
0x a
<<. 此时，函数()f x 的单调递减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
.
综上所述，当0a <时，函数()f x 的单调递减区间为()0,∞+；
当0a >时，函数()f x 的单调递减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
； （2）①当0a <时，
1
10a
-<，则1101a e -<<， 111
11111121a a a
f e a e a e a a ---⎛⎫⎛⎫=-+-=+-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
所以，不等式()1f x a >-在区间()0,∞+上不恒成立，不合乎题意； ②当0a >时，由（1）可知，函数()f x 的单调递减区间为10,
a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，
则()min 1ln 11f x f a a a a a ⎛⎫
==-+->-
⎪⎝⎭
，即ln 0a a <，即ln 0a <，解得01a <<. 综上所述，实数a 的取值范围是()0,1； （3）当a e =时，()1
ln 1f x e x x
=+
-， 由（1）可知，函数()f x 的单调递减区间为10,
e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，单调递增区间为1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭， ()min 1110f x f e e e ⎛⎫
∴==-+-=-< ⎪⎝⎭
，
又221210f e e e ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭
，当0x →时，()f x →+∞，当x →+∞时，()f x →+∞， 对于方程()()2
0f
b c x f x ++=，令()t f x =，
作出函数()t f x =的图象如下图所示：
由于关于x 的方程()()2
0f
b c x f x ++=有7个不同的实数根，
所以，关于t 的二次方程20t bt c ++=必有两根1t 、2t ，
由题意可知，101t <<，21t =，所以，10b c ++=，可得1b c +=-.
【点睛】本题考查利用导数求解含参函数的单调区间、以及函数不等式恒成立，同时也考查了利用导数求解复合函数的零点问题，考查计数能力，属于难题. 21. 已知{}
,i j
m n
A a ⨯=为m 行n 列的数表(2,2)m n ≥≥，称第i 行j 列的数,i j a 为数表A 的一个元
素.现给定A 中所有元素,1i j a ≥，定义A 中第i 行最大的数与第二大的数（这两数可以相等）的比值为i R ，第j 列的最大数与第二大的数（两数也可以相等）的比值为j C ，{}
,min ,i j i j b R C =，记
1A A =，由1A 生成{}
2,i j
m n
A b ⨯=，同样的方法，由2A 生成3A ，3A 生成4A ，……为了方便，我
们可以把k A 中的,i j a ，i R ，j C 记为,,i j k a ，,i k R ，,j k C . 1 2 3 6
5
4
表1 1
1
(1)
1a 2a …
n a
表2
（1）若1A 如表1所示，直接写出2A ； （2）证明：3A 中一定有一行或者一列为1；
（3）若1A 如表2所示，2n ≥，且121n a a a <≤≤⋅⋅⋅≤，证明：存在k ，k A 中所有元素都为1. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析． 【解析】 【分析】
（1）由定义直接写出2A ；
（2）1,1i j R C ≥≥，由于数表的行行交换，列列交换，行列互换（行换成列，列换成行）不影响生成下一个数表，因此可以在1A 中让1,1R 为所有第一行的j R 和第一列的i C 中的最小值，这样2A 中
第一行全为1，3A 中第一行也全为1；
（3）首先证明k A 中第一行全为1，第二行都是不减的，接着考虑第2行最后两个数，k A 中最大的数就是第2行最后两数，设其分别为,k k u v ，k k u v ≤，先研究22,u v ，211min ,
n n n a u a a --⎧⎫=⎨⎬⎩⎭
，211min ,n n
n n n a a v a a a --⎧⎫==⎨⎬⎩
⎭，若11n n n a a a --≥，则221n n a u v a -==，21n n a v a -=，即2A 中最大两数相等，则3A 中第二行全为1，若11n n n a a a --<
，则211n u a -=>，21
n
n a v a -=，即第二大数不变，最大数缩小，这样总会有k A ，k k u v =，然后k 1A +中所有元素全为1． 【详解】（1）2A 如下：
3
2 32 43
65 65 65
（2）证明：由定义，1i R ≥，1j C ≥，行行交换，列列交换，行列互换（行换成列，列换成行）不影响结果．
因此在1A 中，不妨设1,11,12,1,11,12,1,1min{,,
,,,,,}m n R R R R C C C =，
2A 中，1,,21,1,11,1min{,}j j a R C R ==，即2A 中第一行元素全为1,1R ， 2A 中，因此对应的1,21R =，
所以3A 中，1,,31,2,21,2min{,}1j j a R C R ===，即第一行所有元素全为1； （3）由定义知k A 中第一行均为1，在2A 中第2行任取相邻的两数，
2,,22,1,1min{,}j j a R C =，2,1,22,11,1min{,}j j a R C ++=，
因为,11,11j j j j C a C a ++=≤=， 所以2,,22,1,2j j a a +≤，
因此2A 中，第2行也是不减的顺序， 同理k A 中，第2行都是不减的顺序．
因此k A 中最大的数就是第2行最后两数，设其分别为,k k u v ，k k u v ≤， 先考虑2A 中的最后两个数，设为22,u v ，211min ,
n n n a u a a --⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，211min ,n n
n n n a a v a a a --⎧⎫==
⎨⎬⎩
⎭， 若11n n n a a a --≥
，则221n n a u v a -=
=，21n n a
v a -=，即2A 中最大两数相等，则3A 中第二行全为1， 若11n n n a a a --<
，则21
1n u a -=>，21
n
n a v a -=，即第二大数不变，最大数缩小， 存在正整数p 满足，1
11p p n n n a a a +--≤<，
则在数表p A 中，最大两数为1p n u a -=，1
1n
p p n a v a --=
， 在数表1p A +中，111111min ,min ,n n n p n p n p p
p n n n a a a u a v a a a a +-+---⎧⎫⎧⎫
====⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
， 因此1p A +中，第二行所有数相等，2p A +中全为1． 由上面两种情况，存在2k p ≥+，k A 中所有元素都为1．
【点睛】本题考查新定义问题，解题关键是理解数表的生成规则，特别是对规则的理解，如可以进行行行、列列交换，行列置换后结果不变，从而可以调整数表使得最左上角的数1,1R 最小，然后对数表分析．生成新数表时，数的变化，最大的数逐渐减小，这样最后可变为相同，从而都变为1．旨在考查学生的创新意识，逻辑推理能力．。