椭圆及其标准方程(二)

∴ BA CA 10 . ∴由椭圆定义及标准方程知识可知 x2 y2 1
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又∵A、B、C 三点不共线，∴ y 0 .
∴所求的点的轨迹方程为 x2 y2 1( y 0)
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课后作业： 作业本：第22-23页
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圆心Q(3，0)，所以P在定圆内 x 设动圆圆心为M(x,y)
则 MP 为半径
又圆M和圆Q内切，所以 MQ 8 MP
即|MP|+|MQ|=8，故M的轨迹是以P，Q为焦点的
故椭动圆圆，圆且心PQM中的点轨为迹原方点程.是：x2 y2 1
16 7
8
例2、长度为2的线段AB的两个端点A、B分别 在x、y轴上滑动，M点在线段AB上，且 |AM|=2/5y |AB|,求点M的轨迹方程。
B M
解：设动点M的坐标为(x,y),则
O
A x A ( 5 x ,0) ,B(0, 5 y),
3
2
因为 AB 2
所以有 (5 x)2 (5 y)2 4
3
2
即 25 x2 25 y2 4
9
4
所以点的轨迹方程是 25 x2 25 y2 4
9
4
9
练习 (课本P41):将圆 x2 y2 4 上的点的横坐标
保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得的曲线
的方程，并说明它是什么曲线.
解:设所得曲线上任一点坐标为P(x,y),圆 y
上的对应点的坐标P’(x’,y’),
P′
由题意可得： x' x
y'
2
y
Px o
所因以这为就x是2x变'2 4换y后y2'2所得44曲即线:的方x42程，y它2 表1示一个椭圆 2
2.如图，F1，F2分别为椭圆
x2 9
y2 2
1
的左、右焦点，点P在椭圆上， P F1 =4，
求∠F1PF2
120
5
3.如图，F1，F2
分别为椭圆
x a
2 2
y2 b2
1
的左、右焦点，点 P 在椭圆上，△POF2
是面积为 3 的正三角形，
则 b 2 的值是____________.
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点P在椭圆上，两种用法： （1）用定义：到两焦点的距离之和为2a;
(2)点的坐标满足椭圆方程。
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典例分析: 例 1.已知圆 B: ( x 1)2 y2 16 及点 A(1, 0) ,C 为 圆 B 上任一点,求 AC 的垂直平分线与线段 BC 的交 点 P 的轨迹方程.
分析条件发现: x2 y2
AP BP 4
1 43
∴点 P 的轨迹是以 A、B 为 焦点的椭圆.
这种求轨迹方程的方法称为定义法.
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变1.已知定圆Q:x2 y2 6x 55 0 ，动圆M和
已知圆内切且过点P(-3，0)，求圆心M的轨迹及其
方程 y
解: 已知圆可化为 (x 3)2 y2 64
r＝ 8 M
P
OQ
椭圆及其标准方程 (二)
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温故知新
1、椭圆的定义：
平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常 数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse)
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间 的距离叫做椭圆的焦距。
（1）常数> |F1F2|时，点的轨
M
迹为椭圆
（2）常数=|F1F2|时，点的轨 迹为线段F1F2
相关点分析法:即利用中间变量求曲线方程.
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例 3(课本 P41):如图,设点 A、B 的坐标分别为 (5, 0), (5, 0) ,直线 AM，BM 相交于点 M，且它们的 斜率之积是 4 ，求点 M 的轨迹方程.
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分析:把题目条件直接用 x 、y 表示出来, x 、y 之间的 关系式就显示出来了.
a2 c2 b2(a c 0,a b 0)
看分母的大小,焦点在分母 大的那一项对应的坐标轴上.
牛刀小试
1.若方程 x2 + y 2 =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实 25 m 16 m
B 数 m 的取值范围是( )
(A)(-16,25)
(B)( 9 ,25) 2
(C)(-16, 9 )∪( 9 ,25) 22
这种求轨迹的方法──直接法
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课堂练习
已知 B、C 是两个定点， BC 6 ，且△ABC 的周长等于
16，求顶点 A 的轨迹方程.
解:如图,以直线 BC 为 x 轴,线段 BC 的中点为原点,建立 平面直角坐标系,则 B(3, 0),C(3, 0) . 设顶点 A 的坐标为 ( x, y) ∵ AB AC BC 16 ,
F1
F2
（3）常数<|F1F2|时，点的轨
迹不存在
椭圆的定义
图形
标准方程 焦点坐标 a,b,c的关系 焦点位置的
判断
MF1 MF2 2a(2a 2c 0)
y
a F1 c
M
b o
M F2
x
y
F2 M
ox
F1
x2 y2 a2 b2
1
a b 0
y2 a2
x2 b2
1
a b 0
F1(-c,0)，F2(c,0) F1(0,-c)，F2(0,c)