【高考讲坛】2019届高三数学(理,山东版)一轮限时检测44 空间向量及其运算(含答案)

课时限时检测(四十四) 空间向量及其运算
(时间：60分钟 满分：80分)命题报告
一、选择题(每小题1．有四个
①若p ＝xa ＋yb ，则p 与a 、b 共面；
②若p 与a 、b 共面，则p ＝xa ＋yb ； ③若MP -→＝x MA -→＋y MB -→
，则P 、M 、A 、B 共面； ④若P 、M 、A 、B 共面，则MP -→＝x MA -→＋y MB -→
. 其中真
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【解析】 ①正确，②中若a 、b 共线，p 与a 不共线，则p ＝xa ＋yb 就不成立；③正确，④中若M 、A 、B 共线，点P 不在此直线上，则MP -→＝x MA -→＋y MB -→
不正确，故选B.
【答案】 B
2．设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG ＝3GG 1，若OG -→＝x OA -→＋y OB -→＋z OC -→
，则(x ，y ，z)为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，14，14
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，34，34
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，13，13 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，23，23 【解析】 OG 1-→＝OA -→＋AG 1-→＝OA -→＋23×12(AB -→＋AC -→)＝OA -→＋13[(OB -→－OA -→)＋(OC -→－OA -→)]＝13(OA -→＋OB -→
＋
OC -→)，由OG ＝3GG 1知，OG -→＝34OG 1-→＝14(OA -→＋OB -→＋OC -→)，∴(x ，y ，z)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，14，14.
【答案】 A
3．已知a ＝(－2,1,3)，b ＝(－1,2,1)，若a ⊥(a －λb)，则实数λ的值为( ) A ．－2 B ．－143 C.14
5
D ．2
【解析】 由题意知a·(a－λb)＝0，即a 2
－λa·b＝0， ∴14－7λ＝0，∴λ＝2.
【答案】 D
4．已知a ＝(2,1，－3)，b ＝(－1,2,3)，c ＝(7,6，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ＝( ) A ．9 B ．－9 C ．－3 D ．3
【解析】 由题意知c ＝xa ＋yb ，即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)， ∴⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －y ＝7，x ＋2y ＝6，－3x ＋3y ＝λ，解得λ＝－9.
【答案】 B
5．A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB -→·AC -→＝0，AC -→·AD -→＝0，AB -→·AD -→
＝0，M 为BC 中点，则△AMD 是( )
A ．钝角三角形
B ．锐角三角形
C ．直角三角形
D ．不确定
【解析】 ∵M 为BC 中点，∴AM -→＝12(AB -→＋AC -→
)．
∴AM -→·AD -→＝12(AB -→＋AC -→)·AD -→
＝12AB -→·AD -→＋12AC -→·AD -→
＝0. ∴AM ⊥AD ，△AMD 为直角三角形． 【答案】 C
6．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE -→·AF -→的值为( )
A ．a 2
B.12a 2
C.14a 2
D.34
a 2
【解析】 设AB -→＝a ，AC -→＝b ，AD -→
＝c ，
则|a|＝|b|＝|c|＝a ，且a ，b ，c 三向量两两夹角为60°. AE -→＝12(a ＋b)，AF -→＝1
2c ，
∴AE -→·AF -→＝12(a ＋b)·12
c
＝14(a·c＋b·c)＝14(a 2cos 60°＋a 2
cos 60°)＝14a 2. 【答案】 C
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．若三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(a,3，b ＋2)在同一条直线上，则a ＝________，b ＝________.
【解析】 AB -→＝(1，－1,3)，AC -→
＝(a －1，－2，b ＋4)， 因为三点共线，所以存在实数λ使AC -→＝λAB -→
， 即⎩⎪⎨⎪
⎧
a －1＝λ，－2＝－λ，
b ＋4＝3λ，
解得a ＝3，b ＝2.
【答案】 3 2
图7－6－7
8．空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，则OA 与BC 所成角的余弦值等于________．
【解析】 由题意知AO -→·BC -→＝AO -→·(AC -→－AB -→)＝AO -→·AC -→－AO -→·AB -→ ＝8×4×cos 45°－8×6×cos 60° ＝162－24.
∴cos 〈AO -→，BC -→〉＝AO -→·BC -→
|AO -→||BC -→|＝162－248×5＝22－3
5.
∴OA 与BC 所成角的余弦值为3－22
5
. 【答案】
3－22
5
图7－6－8
9．如图7－6－8所示，在45°的二面角α－l －β的棱上有两点A 、B ，点C 、D 分别在α、β内，且AC ⊥AB ，∠ABD ＝45°，AC ＝BD ＝AB ＝1，则CD 的长度为________．
【解析】 由CD -→＝CA -→＋AB -→＋BD -→
， cos 〈AC -→，BD -→〉＝cos 45°cos 45°＝12，
∴〈AC -→，BD -→
〉＝60°，
∴|CD -→|2＝CA -→2＋AB -→2＋BD -→2＋2(CA -→·AB -→＋AB -→·BD -→＋CA -→·BD -→
)＝3＋2×(0＋1×1×cos 135°＋1×1×cos 120°)
＝2－2， ∴|CD -→
|＝2－ 2.
【答案】 2－ 2
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)如图7－6－9所示，平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝1
3BB 1，DF
＝2
3
DD 1.
图7－6－9
(1)求证：A 、E 、C 1、F 四点共面；
(2)若EF -→＝x AB -→＋y AD -→＋zAA 1-→
，求x ＋y ＋z 的值．
【解】 (1)证明 ∵AC 1-→＝AB -→＋AD -→＋AA 1-→＝AB -→＋AD -→＋13AA 1-→＋23
AA 1-→
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB -→＋13AA 1-→＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫AD -→＋23AA 1-→
＝(AB -→＋BE -→)＋(AD -→＋DF -→
) ＝AE -→＋AF -→.
∴A 、E 、C 1、F 四点共面． (2)∵EF -→＝AF -→－AE -→ ＝AD -→＋DF -→－(AB -→＋BE -→) ＝AD -→＋23DD 1-→－AB -→－13BB 1-→
＝－AB -→＋AD -→＋13AA 1-→
.
∴x ＝－1，y ＝1，z ＝1
3.
∴x ＋y ＋z ＝1
3
.
11．(12分)已知a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)． (1)求|2a ＋b|；
(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE -→
⊥b ？(O 为原点) 【解】 (1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)， 故|2a ＋b|＝02
＋
－
2
＋52
＝5 2.
(2)令AE -→＝t AB -→(t ∈R)，所以OE -→＝OA -→＋AE -→＝OA -→＋t AB -→
＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t ，－
1－t,4－2t)，
若OE -→⊥b ，则OE -→
·b＝0，
所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t ＝9
5.
因此存在点E ，使得OE -→⊥b ，此时E 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6
5
，－145，25.
12．(13分)如图7－6－10，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M 、N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点．
图7－6－10
(1)求BN -→
的模；
(2)求cos 〈BA 1-→，CB 1-→
〉的值； (3)求证：A 1B ⊥C 1M.
【解】 如图，建立空间直角坐标系O —xyz.
(1)依题意得B(0,1,0)、N(1,0,1)， ∴|BN -→|＝
－
2
＋－1
2
＋－
2
＝ 3.
(2)依题意得A 1(1,0,2)、B(0,1,0)、C(0,0,0)、B 1(0,1,2)， ∴BA 1-→＝(1，－1,2)，CB 1-→＝(0,1,2)，BA 1-→·CB 1-→
＝3， |BA 1-→|＝6，|CB 1-→
|＝5，
∴cos 〈BA 1-→·CB 1-→〉＝BA 1-→·CB 1-→
|BA 1-→||CB 1-→|
＝1
1030.
(3)证明 依题意，得C 1(0,0,2)、M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，2，A 1B -→＝(－1,1，－2)，C 1M -→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0.
∴A 1B -→·C 1M -→＝－12＋1
2＋0＝0，
∴A 1B -→⊥C 1M -→.
∴A1B⊥C1M.。