精编2019年高考数学(文科)一轮复习通用版：第十二单元 直线与圆

第十二单元直线与圆
教材复习课“直线与圆”相关基础知识一课过
1．直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角
①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角；
②规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；
③范围：直线l的倾斜角的取值范围是[0，π)．
(2)直线的斜率
①定义：当直线l的倾斜角α≠π
2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，
斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan_α；
②斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－y1
x2－x1
. 2．直线方程的五种形式
1．已知A(m，－2)，B(3,0)，若直线AB的斜率为2，则m的值为()
A．－1B．2
C．－1或2 D．－2
解析：选B 由直线AB 的斜率k ＝－2－0
m －3
＝2， 解得m ＝2.
2．若经过两点(5，m )和(m,8)的直线的斜率大于1，则m 的取值范围是( ) A ．(5,8) B ．(8，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫132，8
D.⎝
⎛⎭⎫5，13
2 解析：选D 由题意知8－m m －5>1，
即2m －13m －5
<0，∴5<m <132.
3．过点C (2，－1)且与直线x ＋y －3＝0垂直的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋1＝0 C ．x －y －3＝0
D ．x －y －1＝0 解析：选C 设所求直线斜率为k ， ∵直线x ＋y －3＝0的斜率为－1，
且所求直线与直线x ＋y －3＝0垂直，∴k ＝1. 又∵直线过点C (2，－1)， ∴所求直线方程为y ＋1＝x －2， 即x －y －3＝0.
4．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1
D ．－2或1 解析：选D 由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2. 当y ＝0时，x ＝a ＋2
a
.
∴a ＋2
a ＝a ＋2，解得a ＝－2或a ＝1.
5．经过点(－4,1)，且倾斜角为直线y ＝－x ＋1的倾斜角的1
3的直线方程为________．
解析：由题意可知，所求直线方程的倾斜角为45°，即斜率k ＝1，故所求直线方程为y －1＝x ＋4，即x －y ＋5＝0.
答案：x －y ＋5＝0
[清易错]
1．用直线的点斜式求方程时，在斜率k 不明确的情况下，注意分k 存在与不存在讨论，否则会造成失误．
2．直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式． 1．过点(5,10)且到原点的距离是5的直线的方程为________． 解析：当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0； 当斜率存在时，设其为k ，
则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋10－5k ＝0. 由点到直线的距离公式，得|10－5k |
k 2＋1
＝5， 解得k ＝3
4
.
故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.
综上可知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0. 答案：x －5＝0或3x －4y ＋25＝0
2．经过点A (1,1)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________． 解析：当直线过原点时，方程为y ＝x ，即x －y ＝0； 当直线不过原点时，设直线方程为x ＋y ＝a ， 把点(1,1)代入直线方程可得a ＝2， 故直线方程为x ＋y －2＝0.
综上可得所求的直线方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0. 答案：
x －y ＝0或x ＋y －2＝0
圆的方程
[过双基]
1．圆的定义及方程
定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 标准方程
(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0) 圆心：(a ，b )，半径：r 一般方程
x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，(D
2
＋E 2－4F ＞0)
圆心：⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2， 半径：1
2
D 2＋
E 2－4F
点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2. [小题速通]
1．若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－2
3，0 C ．(－2,0)
D.⎝
⎛⎭⎫－2，23 解析：选D 由题意知a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)>0， 解得－2<a <2
3
.
2．(2018·天津模拟)若坐标原点在圆(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，则实数m 的取值范围是( )
A ．(－1,1)
B ．(－3，3)
C ．(－2，2)
D.⎝⎛
⎭
⎫
－
22，
22 解析：选C 因为(0,0)在(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，则有(0－m )2＋(0＋m )2<4，解得－2<m < 2.
3．(2015·北京高考)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2
解析：选D 圆的半径r ＝(1－0)2＋(1－0)2＝2，圆心坐标为(1,1)，所以圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.
4．若圆C 的圆心在x 轴上，且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为________________． 解析：设圆心坐标为C (a,0)， ∵点A (－1,1)和B (1,3)在圆C 上， ∴|CA |＝|CB |，
即(a ＋1)2＋1＝(a －1)2＋9， 解得a ＝2，所以圆心为C (2,0)， 半径|CA |＝(2＋1)2＋1＝10， ∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10. 答案：(x －2)2＋y 2＝10
1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：
①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直：
①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法
直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组
⎩⎪⎨⎪⎧
A 1x ＋
B 1y ＋
C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2
＝0的解． 3．距离
1．已知直线l 1：(3＋a )x ＋4y ＝5－3a 和直线l 2：2x ＋(5＋a )y ＝8平行，则a ＝( ) A ．－7或－1 B ．－7 C ．7或1
D ．－1
解析：选B 由题意可得a ≠－5，所以
3＋a 2＝4
5＋a
≠5－3a 8，解得a ＝－7(a ＝－1舍去)． 2．圆x 2＋y 2－6x －2y ＋3＝0的圆心到直线x ＋ay －1＝0的距离为1，则a ＝( ) A ．－43
B ．－34
C. 3
D ．2
解析：选B 圆x 2＋y 2－6x －2y ＋3＝0可化为(x －3)2＋(y －1)2＝7，其圆心(3,1)到直线x ＋ay －1＝0的距离d ＝
|2＋a |
1＋a
2＝1，解得a ＝－3
4. 3．已知直线l 1：(m ＋2)x －y ＋5＝0与l 2：(m ＋3)x ＋(18＋m )y ＋2＝0垂直，则实数m 的值为( )
A ．2或4
B ．1或4
C ．1或2
D ．－6或2
解析：选D 当m ＝－18时，两条直线不垂直，舍去； 当m ≠－18时，由l 1⊥l 2，
可得(m ＋2)·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－m ＋318＋m ＝－1， 化简得(m ＋6)(m －2)＝0，解得m ＝－6或2.
4．若两条平行直线4x ＋3y －6＝0和4x ＋3y ＋a ＝0之间的距离等于2，则实数a ＝________.
解析：∵两条平行直线的方程为4x ＋3y －6＝0和4x ＋3y ＋a ＝0， ∴由平行线间的距离公式可得2＝|－6－a |42＋32
，
即|－6－a |＝10， 解得a ＝4或－16. 答案：4或－16
[清易错]
1．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．
2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x ，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．
1．已知直线l 1：x ＋(a －2)y －2＝0，直线l 2：(a －2)x ＋ay －1＝0，则“a ＝－1”是“l 1
⊥l 2”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 解析：选A 法一：(1)当直线l 1的斜率不存在，即a ＝2时，有l 1：x －2＝0，l 2：2y －1＝0，此时符合l 1⊥l 2.
(2)当直线l 1的斜率存在，即a ≠2时，直线l 1的斜率k 1＝－1
a －2≠0，若l 1⊥l 2，则必有
直线l 2的斜率k 2＝－
a －2a ，所以⎝⎛⎭⎫－1a －2·
⎝
⎛⎭⎫－a －2a ＝－1，解得a ＝－1. 综上所述，l 1⊥l 2⇔a ＝－1或a ＝2.
故“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件． 法二：l 1⊥l 2⇔1×(a －2)＋(a －2)×a ＝0， 解得a ＝－1或a ＝2.
所以“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件．
2．若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( )
A.9
5
B.185
C.2910
D.295
解析：选C 因为36＝48≠－12
5，所以两直线平行．由题意可知|PQ |的最小值为这两条平
行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910
，所以|PQ |的最小值为29
10.
直线与圆的位置关系(半径r ，圆心到直线的距离为d )
1．直线y ＝ax ＋1与圆x 2＋y 2－2x －3＝0的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交
C ．相离
D ．随a 的变化而变化
解析：选B 因为直线y ＝ax ＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆x 2＋y 2－2x －3＝0的内部，故直线与圆相交．
2．(2018·大连模拟)若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )
A.1
2 B ．1 C.22
D. 2
解析：选D 因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝
|c |a 2＋b
2＝|c |2|c |＝2
2，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于 1－
⎝⎛⎭⎫222＝22
，所以弦长为 2.
3．已知圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8＝0，则圆心C 的坐标为______；若直线y ＝kx 与圆C 相切，且切点在第四象限，则k 的值为________．
解析：圆的方程可化为(x －3)2＋y 2＝1，故圆心坐标为(3,0)；由
|3k |1＋k 2
＝1，解得k ＝±2
4，
由切点在第四象限，可得k ＝－
2
4
. 答案：(3,0) －
2
4
圆与圆的位置关系(两圆半径r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)
1．若圆x 2＋y 2＝1与圆(x ＋4)2＋(y －a )2＝25相切，则实数a ＝________. 答案：±25或0
2．圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为________．
解析：由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2
－4＝0，
x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，
得x －y ＋2＝0.
又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x －y ＋2＝0的距离为2
2
＝ 2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2，所以所求弦长为2 2. 答案：22
一、选择题
1．直线 3x ＋y －3＝0的倾斜角为( ) A.π
6 B.π3 C.2π3
D.5π6
解析：选C ∵直线3x ＋y －3＝0可化为y ＝－3x ＋3， ∴直线的斜率为－3，
设倾斜角为α，则tan α＝－3， 又∵0≤α<π，
∴α＝2π3
.
2.如图，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则必有( ) A ．k 1＜k 2＜k 3 B ．k 3＜k 1＜k 2 C ．k 3＜k 2＜k 1 D ．k 1＜k 3＜k 2
解析：选D 由图可知k 1＜0，k 2＞0，k 3＞0，且k 2＞k 3，所以k 1＜k 3＜k 2. 3．经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为( ) A ．(x －1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2
解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＋y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，
y ＝1，
即所求圆的圆心坐标为(1,1)， 又由该圆过点(1,0)，得其半径为1， 故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1.
4．过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线方程是( )
A ．2x ＋y －8＝0
B ．2x －y －8＝0
C ．2x ＋y ＋8＝0
D ．2x －y ＋8＝0
解析：选A 设过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点的直线方程为2x －y ＋4＋λ(x －y ＋5)＝0，
即(2＋λ)x －(1＋λ)y ＋4＋5λ＝0， ∵该直线与直线x －2y ＝0垂直， ∴k ＝2＋λ1＋λ
＝－2，解得λ＝－4
3.
∴所求的直线方程为⎝⎛⎭⎫2－43x －⎝⎛⎭⎫1－43y ＋4＋5×－4
3＝0， 即2x ＋y －8＝0.
5．已知直线l 1：x ＋2y ＋t 2＝0和直线l 2：2x ＋4y ＋2t －3＝0，则当l 1与l 2间的距离最短时t 的值为( )
A ．1
B.1
2
C.13
D ．2
解析：选B ∵直线l 2：2x ＋4y ＋2t －3＝0， 即x ＋2y ＋
2t －3
2
＝0. ∴l 1∥l 2，∴l 1与l 2间的距离d ＝
⎪
⎪⎪⎪t 2－2t －3212＋22
＝
⎝⎛⎭⎫t －122＋5
45
≥
54，当且仅当t ＝1
2
时取等号． ∴当l 1与l 2间的距离最短时t 的值为1
2
.
6．已知直线l 1：(a ＋3)x ＋y －4＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋4＝0垂直，则直线l 1在x 轴上的截距是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选B ∵直线l 1：(a ＋3)x ＋y －4＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋4＝0垂直， ∴a ＋3＋a －1＝0，解得a ＝－1， ∴直线l 1：2x ＋y －4＝0， ∴直线l 1在x 轴上的截距是2.
7．一条光线从A ⎝⎛⎭⎫－1
2，0处射到点B (0,1)后被y 轴反射，则反射光线所在直线的方程为( )
A ．2x －y －1＝0
B ．2x ＋y －1＝0
C ．x －2y －1＝0
D ．x ＋2y ＋1＝0
解析：选B 由题意可得点A ⎝⎛⎭⎫－12，0关于y 轴的对称点A ′⎝⎛⎭⎫1
2，0在反射光线所在的直线上，
又点B (0,1)也在反射光线所在的直线上，
则两点式求得反射光线所在的直线方程为y －10－1＝x －0
1
2
－0，即2x ＋y －1＝0.
8．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )
A ．(x －2)2＋()y －12＝1
B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1
C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 D.()x －32＋(y －1)2＝1
解析：选A 由于圆心在第一象限且与x 轴相切，故设圆心为(a,1)(a >0)，又由圆与直线
4x －3y ＝0相切可得|4a －3|
5
＝1，解得a ＝2，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.
二、填空题
9．已知直线l 过点A (0,2)和B (－3，3m 2＋12m ＋13)(m ∈R)，则直线l 的倾斜角的取值范围为________．
解析：设此直线的倾斜角为θ，0≤θ<π，
则tan θ＝3m 2＋12m ＋13－2－3－0＝－3(m ＋2)2＋33≤3
3.
因为θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎝⎛⎭⎫π
2，π. 答案：⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎝⎛⎭
⎫π
2，π 10．已知点A (－1，－2)，B (2,3)，若直线l ：x ＋y －c ＝0与线段AB 有公共点，则直线l 在y 轴上的截距的取值范围为__________．
解析：如图，
把A (－1，－2)，B (2,3)分别代入直线l ：x ＋y －c ＝0，得c 的值分别为－3,5.
故若直线l ：x ＋y －c ＝0与线段AB 有公共点，则直线l 在y 轴上的截距的取值范围为[－3,5]．
答案：[－3,5]
11．已知直线x ＋y －3m ＝0与2x －y ＋2m －1＝0的交点在第四象限，则实数m 的取值范围为________．
解析：联立⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y －3m ＝0，
2x －y ＋2m －1＝0，
解得⎩⎨⎧
x ＝m ＋1
3
，y ＝8m －1
3
.
∵两直线的交点在第四象限， ∴m ＋13>0，且8m －13<0，
解得－1<m <18
，
∴实数m 的取值范围是⎝
⎛⎭⎫－1，18.
答案：⎝
⎛⎭⎫－1，18 12．已知圆C ：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1与x 轴切于A 点，与y 轴切于B 点，设劣弧AB 的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是______________．
解析：因为圆C 与两坐标轴相切，且M 是劣弧AB 的中点， 所以直线CM 是第二、四象限的角平分线， 所以斜率为－1，所以过M 的切线的斜率为1. 因为圆心到原点的距离为2，所以|OM |＝2－1， 所以M
⎝⎛⎭⎫22
－1，1－22，
所以切线方程为y －1＋
22＝x －2
2
＋1， 整理得x －y ＋2－2＝0. 答案：x －y ＋2－2＝0 三、解答题
13．已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程；
(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．
解：(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点， 由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2
－2－2，
即x ＋2y －4＝0.
(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )， 则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32
＝2.
BC 边的中线AD 过点A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y
2
＝1，即2x －3y ＋6＝0.
(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－1
2，
则直线BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2. 由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．
由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)， 即2x －y ＋2＝0.
14．已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝1，直线l 的方程为2x －y ＝0，点P 在直线l 上，
过点P 作圆C 的切线PA ，PB ，切点为A ，B .
(1)若∠APB ＝60°，求点P 的坐标；
(2)求证：经过A ，P ，C (其中点C 为圆C 的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．
解：(1)由条件可得圆C 的圆心坐标为(0,4)，|PC |＝2， 设P (a,2a )，则a 2＋(2a －4)2＝2， 解得a ＝2或a ＝65
，
所以点P 的坐标为(2,4)或⎝⎛⎭⎫
65，125.
(2)证明：设P (b,2b )，过点A ，P ，C 的圆即是以PC 为直径的圆，其方程为x (x －b )＋(y －4)(y －2b )＝0，整理得x 2＋y 2－bx －4y －2by ＋8b ＝0，
即(x 2＋y 2－4y )－b (x ＋2y －8)＝0.
由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2
＋y 2
－4y ＝0，x ＋2y －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0，y ＝4
或⎩⎨⎧
x ＝8
5，
y ＝16
5，
所以该圆必经过定点(0,4)和⎝⎛⎭⎫
85，165. 高考研究课(一)
直线方程命题4角度——求方程、判位置、定距离、用对称 [全国卷5年命题分析]
[典例] (1)求过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的1
3的直线方程．
(2)求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程． [解] (1)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－4
3.又直线经过点A (1,3)，因此所
求直线方程为y －3＝－4
3
(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.
(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a
＋y
a ＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝
－1
2，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2，解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－2
5
x ，即2x ＋5y ＝0.
故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0. [方法技巧]
求直线方程的2个注意点
(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．
(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．
[即时演练]
1．若直线l 过点A (3,4)，且点B (－3,2)到直线l 的距离最远，则直线l 的方程为( ) A ．3x －y －5＝0 B ．3x －y ＋5＝0 C ．3x ＋y ＋13＝0
D ．3x ＋y －13＝0
解析：选D 当l ⊥AB 时满足条件． ∵k AB ＝
2－4－3－3＝1
3
，则k l ＝－3. ∴直线l 的方程为y －4＝－3(x －3)， 即3x ＋y －13＝0.
2．已知直线l 过点M (1,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程为____________．
解析：设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)．
设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，则1a ＋1b ＝1，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2·a b ·b
a
＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0. 答案：x ＋y －2＝0
两直线的位置关系
[典例] (1)若直线l 12－8＝0平行，则m 的值为( )
A ．－7
B ．－1或－7
C ．－6
D ．－6或－7
(2)已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则cos ⎝⎛⎭⎫2 017
2π－2α的值为( ) A.4
5
B ．－45
C ．1
D ．－12
[解析] (1)直线l 1的斜率一定存在，因为l 2：2x ＋(m ＋5)y －8＝0， 当m ＝－5时，l 2的斜率不存在，两直线不平行． 当m ≠－5时，由l 1∥l 2，得(m ＋3)(m ＋5)－2×4＝0， 解得m ＝－1或－7.
当m ＝－1时，两直线重合，故不满足条件；经检验，m ＝－7满足条件，故选A. (2)由已知得tan α＝2，则cos ⎝⎛⎭⎫2 0172π－2α＝sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2
α＋1＝4
5. [答案] (1)A (2)A [方法技巧]
由一般式确定两直线位置关系的方法
[提醒] 在判断两直线位置关系时，比例式A 1A 2与B 1B 2，C 1
C 2
的关系容易记住，在解答选择、填空题时，建议多用比例式来解答．
[即时演练]
1．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0
D ．x ＋2y －1＝0
解析：选A 依题意，设所求的直线方程为x －2y ＋a ＝0，由点(1,0)在所求直线上，得1＋a ＝0，即a ＝－1，则所求的直线方程为x －2y －1＝0.
2．若直线l 经过点P (1,2)，且垂直于直线2x ＋y －1＝0，则直线l 的方程是______________． 解析：设垂直于直线2x ＋y －1＝0的直线l 的方程为x －2y ＋c ＝0， ∵直线l 经过点P (1,2)， ∴1－4＋c ＝0，解得c ＝3， ∴直线l 的方程是x －2y ＋3＝0. 答案：x －2y ＋3＝0
距离问题
[典例] (1)过直线x －3y ＋1＝0与 3x ＋y －3＝0的交点，且与原点的距离等于1的直线有( )
A ．0条
B ．1条
C ．2条
D ．3条
(2)直线l 经过点P (2，－5)且与点A (3，－2)和点B (－1,6)的距离之比为1∶2，求直线l 的方程．
[解析] (1)解方程组⎩⎨
⎧
x －3y ＋1＝0，
3x ＋y －3＝0，
得⎩⎨⎧
x ＝1
2，y ＝3
2.
由于⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫322
＝1，则所求直线只有1条． [答案] B
(2)当直线l 与x 轴垂直时，此时直线l 的方程为x ＝2，点A 到直线l 的距离为d 1＝1，点B 到直线l 的距离为d 2＝3，不符合题意，故直线l 的斜率必存在．
∵直线l 过点P (2，－5)，
∴设直线l 的方程为y ＋5＝k (x －2)． 即kx －y －2k －5＝0.
∴点A (3，－2)到直线l 的距离 d 1＝
|3k －(－2)－2k －5|k 2＋1＝|k －3|
k 2＋1
，
点B (－1,6)到直线l 的距离 d 2＝
|－k －6－2k －5|k 2＋1＝|3k ＋11|
k 2＋1
.
∵d 1∶d 2＝1∶2， ∴|k －3||3k ＋11|＝1
2
， ∴k 2＋18k ＋17＝0，∴k 1＝－1，k 2＝－17. ∴所求直线方程为x ＋y ＋3＝0和17x ＋y －29＝0. [方法技巧]
求解距离问题的注意点
解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．
[即时演练]
1．已知点A (a,2)到直线l ：x －y ＋3＝0距离为2，则a 等于( ) A ．1 B ．±1 C ．－3
D ．1或－3
解析：选D ∵点A (a,2)到直线l ：x －y ＋3＝0距离为2， ∴|a －2＋3|
2＝2，
∴a ＋1＝±2. 解得a ＝1或－3.
2．直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为__________．
解析：当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)， 即kx －y ＋k ＋2＝0.
由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，
即|3k －1|＝|－3k －3|， ∴k ＝－1
3
.
∴直线l 的方程为y －2＝－1
3(x ＋1)，
即x ＋3y －5＝0.
当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意． 答案：x ＝－1或x ＋3y －5＝0
1．已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0上，且AB 线段的中点为P ⎝⎛⎭
⎫0，10
a ，则线段AB 的长为( ) A ．11
B ．10
C ．9
D ．8
解析：选B 依题意a ＝2，P (0,5)，设A (x,2x )，B (－2y ，y )，由⎩
⎪⎨⎪⎧
x －2y ＝0，
2x ＋y ＝10，得A (4,8)，
B (－4,2)，所以|AB |＝(4＋4)2＋(8－2)2＝10.
[方法技巧]
点P (x ，y )关于O (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足
⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y . 角度二：点关于线的对称问题
2．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝( )
A.345
B.365
C.283
D.323
解析：选A 由题意可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，
它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，于是⎩⎪⎨⎪⎧
3＋n 2＝2×7＋m
2
－3，n －3m －7＝－1
2，
解得⎩⎨⎧
m ＝3
5，
n ＝31
5，
故m ＋n ＝
34
5
[方法技巧]
解决点关于直线对称问题要把握两点，点M 与点N 关于直线l 对称，则线段MN 的中点在直线l 上，直线l 与直线MN 垂直．
角度三：线关于线对称问题
3．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (2)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程．
解：(1)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．
设对称点为M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧
2×a ＋22－3×b ＋02
＋1＝0，b －0a －2×2
3＝－1.
解得M ′⎝⎛⎭⎫
613，3013.
设直线m 与直线l 的交点为N ，则
由⎩
⎪⎨⎪⎧
2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)． 又∵m ′经过点N (4,3)，
∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.
(2)在直线l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如M (1,1)，N (4,3)，则M ，N 关于点A (－1，－2)的对称点M ′，N ′均在直线l ′上．易得M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，再由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0.
[方法技巧]
若直线l 1，l 2关于直线l 对称，则有如下性质：①若直线l 1与l 2相交，则交点在直线l 上；②若点B 在直线l 1上，则其关于直线l 的对称点B ′在直线l 2上．
角度四：对称问题的应用
4．已知有条光线从点A (－2,1)出发射向x 轴上的B 点，经过x 轴反射后射向y 轴上的C 点，再经过y 轴反射后到达点D (－2，7)．
(1)求直线BC 的方程；
(2)求光线从A 点到达D 点所经过的路程．
解：作出草图，如图所示， (1)∵A (－2,1),
∴点A 关于x 轴的对称点A ′(－2，－1), ∵D (－2,7),
∴点D 关于y 轴的对称点D ′(2,7).
由对称性可得，A ′，D ′所在直线方程即为BC 所在直线方程， 由两点式得直线BC 的方程为y －7－1－7＝x －2－2－2
，
整理得2x －y ＋3＝0.
(2)由图可得，光线从A 点到达D 点所经过的路程即为 |A ′D ′|＝(－2－2)2＋(－1－7)2＝4 5. [方法技巧]
解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．
1．(2013·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF |＝3|BF |，则l 的方程为( )
A ．y ＝x －1或y ＝－x ＋1
B ．y ＝
33(x －1)或y ＝－3
3
(x －1) C ．y ＝3(x －1)或y ＝－3(x －1) D ．y ＝
22(x －1)或y ＝－2
2
(x －1)
解析：选C 法一：如图所示，作出抛物线的准线l 1及点A ，B 到准线的垂线段AA 1，BB 1，并设直线l 交准线于点M .
设|BF |＝m ，由抛物线的定义可知|BB 1|＝m ，|AA 1|＝|AF |＝3m .由BB 1∥AA 1可知|BB 1||AA 1|＝|MB ||MA |，即m 3m ＝|MB |
|MB |＋4m ，所以|MB |＝2m ，则|MA |
＝6m .故∠AMA 1＝30°，得∠AFx ＝∠MAA 1＝60°，结合选项知选C 项．
法二：由|AF |＝3|BF |可知AF ―→＝3FB ―→
，易知F (1,0)，设B (x 0，y 0)，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
1－x A ＝3(x 0－1)，－y A ＝3y 0，从而可解得A 的坐标为(4－3x 0，－3y 0)．因为点A ，B 都在抛物线上，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧
y 2
0＝4x 0，(－3y 0)2＝4(4－3x 0)，解得x 0＝13，y 0＝±23， 所以k l ＝y 0－0x 0－1
＝±3.
2．(2013·全国卷Ⅱ)已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )
A ．(0,1)
B.⎝⎛
⎭
⎫1－
22，12
C.⎝⎛⎦⎤1－
22，13 D.⎣⎡⎭⎫13，12
解析：选B 由⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝1，y ＝ax ＋b 消去x ，得y ＝a ＋b
a ＋1，当a ＞0时，直线y ＝ax ＋
b 与x 轴
交于点⎝⎛⎭⎫－b a ，0，结合图形知12×a ＋b a ＋1×⎝⎛⎭⎫1＋b a ＝1
2，化简得(a ＋b )2＝a (a ＋1)，则a ＝b 2
1－2b .∵a ＞0，∴b 21－2b
＞0，解得b ＜12.考虑极限位置，即a ＝0，此时易得b ＝1－2
2，故选B.
一、选择题
1．如果AB ＞0，BC ＜0，则直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选C 由AB ＞0，BC ＜0，可得直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率为－A
B ＜0，直线在y 轴上的截距－C
B
＞0, 故直线不经过第三象限．
2．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π
4，π C.⎣⎡⎦
⎤0，π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭
⎫π
2，π 解析：选B 直线x sin α＋y ＋2＝0的斜率为k ＝－sin α， ∵－1≤sin α≤1, ∴－1≤k ≤1,
∴直线倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭
⎫3π
4，π. 3．已知点M 是直线x ＋3y ＝2上的一个动点，且点P (3，－1)，则|PM |的最小值为( ) A.1
2 B ．1 C ．2
D ．3
解析：选B |PM |的最小值即点P (3，－1)到直线x ＋3y ＝2的距离，又|3－3－2|
1＋3＝
1，故|PM |的最小值为1.
4．(2018·郑州质量预测)“a ＝1”是“直线ax ＋y ＋1＝0与直线(a ＋2)x －3y －2＝0垂直”的( )
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选B ∵ax ＋y ＋1＝0与(a ＋2)x －3y －2＝0垂直， ∴a (a ＋2)－3＝0，解得a ＝1或a ＝－3. ∴“a ＝1”是两直线垂直的充分不必要条件．
5．已知点A (1，－2)，B (m,2)，若线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值为( )
A ．－2
B ．－7
C ．3
D ．1
解析：选C ∵A (1，－2)和B (m,2)的中点⎝⎛⎭⎫
1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上， ∴1＋m 2＋2×0－2＝0，
∴m ＝3.
6．已知直线l 过点P (1,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，则当△AOB 的面积取得最小值时，直线l 的方程为( )
A ．2x ＋y －4＝0
B ．x －2y ＋3＝0
C ．x ＋y －3＝0
D ．x －y ＋1＝0
解析：选A 由题可知，直线l 的斜率k 存在，且k <0，则直线l 的方程为y －2＝k (x －1)．
∴A ⎝⎛⎭
⎫1－2
k ，0，B (0,2－k )， ∴S △OAB ＝12⎝⎛⎭⎫1－2k (2－k )＝1
2⎝⎛⎭⎫4－k ＋4－k ≥12⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
4＋2 (－k )×⎝⎛⎭⎫4－k ＝4，当且仅当k ＝
－2时取等号．
∴直线l 的方程为y －2＝－2(x －1)，即2x ＋y －4＝0.
7．(2018·豫南九校质量考评)若直线x ＋ay －2＝0与以A (3,1)，B (1,2)为端点的线段没有公共点，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－2,1)
B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C.⎝
⎛⎭⎫－1，1
2 D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞
解析：选D 直线x ＋ay －2＝0过定点C (2,0)，直线CB 的斜率k CB ＝－2，直线CA 的斜率k CA ＝1，所以由题意可得a ≠0且－2<－1a <1，解得a <－1或a >1
2
.
8．已知P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示( )
A ．过点P 且与l 垂直的直线
B ．过点P 且与l 平行的直线
C ．不过点P 且与l 垂直的直线
D ．不过点P 且与l 平行的直线
解析：选D 因为P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，所以Ax 0＋By 0＋C ＝k ，k ≠0. 若方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0， 则Ax ＋By ＋C ＋k ＝0.
因为直线Ax ＋By ＋C ＋k ＝0和直线l 斜率相等， 但在y 轴上的截距不相等，
故直线Ax ＋By ＋C ＋k ＝0和直线l 平行． 因为Ax 0＋By 0＋C ＝k ，且k ≠0， 所以Ax 0＋By 0＋C ＋k ≠0，
所以直线Ax ＋By ＋C ＋k ＝0不过点P ，故选D. 二、填空题
9．已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为________．
解析：由题意及点到直线的距离公式得|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1，解得a ＝－13或－79.
答案：－13或－7
9
10．与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，且在两坐标轴上截距的和为6的直线方程是________________．
解析：由平行关系设所求直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0, 令x ＝0，可得y ＝－c 3；令y ＝0，可得x ＝－c
2，
∴－c 2－c 3＝6，解得c ＝－36
5，
∴所求直线方程为2x ＋3y －
36
5
＝0, 化为一般式可得10x ＋15y －36＝0. 答案：10x ＋15y －36＝0
11．已知直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l 1与l 2的距离为________．
解析：直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，即3x ＋4y ＋1
2
＝
0，∴直线l 1与l 2的距离为
⎪⎪⎪
⎪12＋732＋42＝32
. 答案：3
2
12．在平面直角坐标系中，已知点P (－2,2)，对于任意不全为零的实数a ，b ，直线l ：a (x －1)＋b (y ＋2)＝0，若点P 到直线l 的距离为d ，则d 的取值范围是____________．
解析：由题意，直线过定点Q (1，－2)，PQ ⊥l 时，d 取得最大值(1＋2)2＋(－2－2)2＝5,
直线l 过点P 时，d 取得最小值0, 所以d 的取值范围[0,5]． 答案：[0,5] 三、解答题
13．已知方程(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＋5－2m ＝0(m ∈R)． (1)求方程表示一条直线的条件；
(2)当m 为何值时，方程表示的直线与x 轴垂直；
(3)若方程表示的直线在两坐标轴上的截距相等，求实数m 的值．
解：(1)由⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2－2m －3＝0，
2m 2＋m －1＝0，解得m ＝－1，
∵方程(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＋5－2m ＝0(m ∈R)表示直线， ∴m 2－2m －3,2m 2＋m －1不同时为0，∴m ≠－1. 故方程表示一条直线的条件为m ≠－1. (2)∵方程表示的直线与x 轴垂直，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
m 2
－2m －3≠0，2m 2＋m －1＝0，
解得m ＝12.
(3)当5－2m ＝0，即m ＝5
2时，直线过原点，在两坐标轴上的截距均为0；
当m ≠5
2时，由2m －5m 2－2m －3＝2m －52m 2＋m －1，解得m ＝－2.
故实数m 的值为5
2
或－2.
14．已知直线m ：2x －y －3＝0与直线n ：x ＋y －3＝0的交点为P .
(1)若直线l 过点P ，且点A (1,3)和点B (3,2)到直线l 的距离相等，求直线l 的方程； (2)若直线l 1过点P 且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，△ABO 的面积为4，求直线l 1的方程．
解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －3＝0，x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，y ＝1，
即交点P (2,1)． 由直线l 与A ，B 的距离相等可知，l ∥AB 或l 过AB 的中点． ①由l ∥AB ，得k l ＝k AB ＝
2－33－1
＝－1
2，
所以直线l 的方程为y －1＝－1
2(x －2)，
即x ＋2y －4＝0，
②由l 过AB 的中点得l 的方程为x ＝2， 故x ＋2y －4＝0或x ＝2为所求．
(2)法一：由题可知，直线l 1的斜率k 存在，且k ＜0. 则直线l 1的方程为y ＝k (x －2)＋1＝kx －2k ＋1. 令x ＝0，得y ＝1－2k ＞0， 令y ＝0，得x ＝2k －1
k >0，
∴S △ABO ＝12×(1－2k )×2k －1k ＝4，解得k ＝－1
2，
故直线l 1的方程为y ＝－1
2
x ＋2，即x ＋2y －4＝0.
法二：由题可知，直线l 1的横、纵截距a ，b 存在，且a ＞0，b ＞0，则l 1：x a ＋y
b ＝1.
又l 1过点(2,1)，△ABO 的面积为4，
∴⎩⎨⎧
2a ＋1
b
＝1，1
2ab ＝4，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝4，
b ＝2，
故直线l 1的方程为x 4＋y
2
＝1，即x ＋2y －4＝0.
1．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )(点P 与点A ，B 不重合)，则△PAB 的面积最大值是( )
A ．2 5
B ．5 C.52
D. 5
解析：选C 由题意可知，动直线x ＋my ＝0过定点A (0,0)． 动直线mx －y －m ＋3＝0⇒m (x －1)＋3－y ＝0， 因此直线过定点B (1,3)．
当m ＝0时，两条直线分别为x ＝0，y ＝3，交点P (0,3)，
S △PAB ＝12×1×3＝3
2
.
当m ≠0时，两条直线的斜率分别为－1
m ，m ， 则－1m ·m ＝－1，因此两条直线相互垂直． 当|PA |＝|PB |时，△PAB 的面积取得最大值． 由2|PA |＝|AB |＝12＋32＝10， 解得|PA |＝ 5. ∴S △PAB ＝12|PA |2＝52
.
综上可得，△PAB 的面积最大值是5
2
.
2．已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为( )
A ．(－2,4)
B ．(－2，－4)
C ．(2,4)
D ．(2，－4)
解析：选C 设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪
⎧
y －2
x ＋4
×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x
2
，解得⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝4，y ＝－2，即(4，－2)．
∴直线BC 所在方程为y －1＝－2－1
4－3
(x －3)， 即3x ＋y －10＝0.
联立⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y －10＝0，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，y ＝4，
可得C (2,4)． 3．在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．
解析：设平面上任一点M ，因为|MA |＋|MC |≥|AC |，当且仅当A ，M ，C 共线时取等号，同理|MB |＋|MD |≥|BD |，当且仅当B ，M ，D 共线时取等号，连接AC ，BD 交于一点M ，若|MA |＋|MC |＋|MB |＋|MD |最小，则点M 为所求．
∵k AC ＝
6－2
3－1
＝2， ∴直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.①
又∵k BD ＝
5－(－1)
1－7
＝－1， ∴直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0.②
由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，∴⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝2，y ＝4，即M (2,4)．
答案：(2,4) 高考研究课(二)
圆的方程命题3角度——求方程、算最值、定轨迹 [全国卷5年命题分析]
[解] 法一：用“几何法”解题
由题意知k AB ＝2，AB 的中点为(4,0)，设圆心为C (a ，b )， ∵圆过A (5,2)，B (3，－2)两点， ∴圆心一定在线段AB 的垂直平分线上． 则⎩⎪⎨⎪⎧
b a －4＝－12，2a －b －3＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝1，∴C (2,1)，
∴r ＝|CA |＝(5－2)2＋(2－1)2＝10. ∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10. 法二：用“代数法”解题
设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧
2a －b －3＝0，(5－a )2＋(2－b )2＝r 2
，(3－a )2＋(－2－b )2＝r 2，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝2，
b ＝1，
r ＝10，
故圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10. 法三：用“代数法”解题
设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)， 则⎩⎪⎨
⎪⎧
25＋4＋5D ＋2E ＋F ＝0，9＋4＋3D －2E ＋F ＝0，2×⎝⎛⎭⎫－D 2＋E 2
－3＝0，解得⎩⎪⎨⎪
⎧
D ＝－4，
E ＝－2，
F ＝－5，
∴所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －5＝0. [方法技巧]
求圆的方程的方法
(1)方程选择原则
若条件中圆心坐标明确时，常设为圆的标准方程，不明确时，常设为一般方程． (2)求圆的方程的方法和步骤
确定圆的方程的主要方法是代数法，大致步骤如下： ①根据题意，选择标准方程或一般方程；
②根据条件列出关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组； ③解出a ，b ，r 或D ，E ，F 代入标准方程或一般方程． [即时演练]
根据下列条件，求圆的方程．
(1)已知圆心为C 的圆经过点A (0，－6)，B (1，－5)，且圆心在直线l ：x －y ＋1＝0上； (2)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)．
解：(1)法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则圆心坐标为
⎝⎛⎭⎫－D 2
，－E 2.
由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧
(－6)2
－6E ＋F ＝0，12
＋(－5)2
＋D －5E ＋F ＝0，
D －
E －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪
⎧
D ＝6，
E ＝4，
F ＝－12，
所以圆的方程为x 2＋y 2＋6x ＋4y －12＝0. 法二：因为A (0，－6)，B (1，－5)， 所以线段AB 的中点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－11
2， 直线AB 的斜率k AB ＝
－5－(－6)
1－0
＝1，
因此线段AB 的垂直平分线的方程是 y ＋11
2
＝－⎝⎛⎭⎫x －12，即x ＋y ＋5＝0.
则圆心C 的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＋5＝0，
x －y ＋1＝0的解，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－3，
y ＝－2，所以圆心C 的坐标是(－3，－2)．
圆的半径长r ＝|AC |＝(0＋3)2＋(－6＋2)2＝5， 所以圆的方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25.
(2)法一：如图，设圆心坐标为(x 0，－4x 0)，依题意得
－2－(－4x 0)
3－x 0
＝1，
∴x 0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r ＝(1－3)2＋(－4＋2)2＝22，故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.
法二：设所求方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2，
根据已知条件得⎩⎪⎨
⎪⎧
y 0＝－4x 0，
(3－x 0)2
＋(－2－y 0)2
＝r 2
，
|x 0
＋y 0
－1|2＝r ，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
x 0＝1，
y 0＝－4，
r ＝2 2.
因此所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.
1．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求y
x 的最大值和最小值． 解：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3， 表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． y
x 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
所以设y
x
＝k ，即y ＝kx .
当直线y ＝kx 与圆相切时(如图)，斜率k 取最大值或最小值， 此时
|2k －0|k 2＋1
＝3， 解得k ＝±3.
所以y
x 的最大值为3，最小值为－ 3. 角度二：截距型最值问题
2．在[角度一]条件下求y －x 的最大值和最小值．
解：y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |
2＝3，解得b ＝－2±6.所以y －x 的最大
值为－2＋6，最小值为－2－ 6.
角度三：距离型最值问题
3．设P (x ，y )是圆(x －2)2＋y 2＝1上的任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( ) A ．6 B ．25 C ．26
D ．36
解析：选D (x －5)2＋(y ＋4)2表示点P (x ，y )到点(5，－4)的距离的平方，又点(5，－4)到圆心(2,0)的距离d ＝(5－2)2＋(－4)2＝5，
则点P (x ，y )到点(5，－4)的距离最大值为6，从而(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为36. 角度四：距离和(差)的最值问题
4．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )
A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2
D.17
解析：选A 圆心C 1(2,3)，C 2(3,4)，作C 1关于x 轴的对称点C 1′(2，－3)，连接C 1′C 2
与x 轴交于点P ，此时|PM |＋|PN |取得最小值，为|C 1′C 2|－1－3＝52－4.
角度五：三角形的面积的最值问题
5．已知两点A (－1,0)，B (0,2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△PAB 面积的最大值与最小值分别是( )
A ．2，1
2(4－5)
B.12(4＋5)，1
2(4－5) C.5，4－ 5
D.12(5＋2)，1
2
(5－2) 解析：选B 直线AB 的方程为x －1＋y
2
＝1， 即2x －y ＋2＝0，
圆心(1,0)到直线AB 的距离d ＝2＋25＝455，则点P 到直线AB 的距离最大值为45
5＋1，
最小值为45
5
－1，
又|AB |＝5，则(S △PAB )max ＝12×5×⎝⎛⎭⎫455＋1＝12(4＋5)，(S △PAB )min ＝12×5×⎝⎛⎭⎫455－1＝1
2
(4－5)，故选B. [方法技巧]
求解与圆有关的最值问题的2大规律
(1)借助几何性质求最值
处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．
(2)建立函数关系式求最值
根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用基本不等式法、参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的．
与圆有关的轨迹问题
[典例] 已知圆Q 为圆上的动点．
(1)求线段AP 中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．
[解] (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )． 在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.
设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ， 所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.
故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0. [方法技巧]
求与圆有关的轨迹问题的4种常用方法
[1．(2018·唐山调研)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4
D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1
解析：选A 设圆上任意一点为(x 1
，y 1
)，中点为(x ，y )，则⎩⎨⎧
x ＝x 1＋4
2
，y ＝y 1
－2
2，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 1＝2x －4，
y 1＝2y ＋2，代入x 2＋y 2＝4，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4.化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.
2．设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则点P 的轨迹方程为( )
A ．y 2＝2x
B ．(x －1)2＋y 2＝4
C ．y 2＝－2x
D ．(x －1)2＋y 2＝2
解析：选D 设P (x ，y )，则由题意知，圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C (1,0)、半径为1，∵PA 是圆的切线，且|PA |＝1，∴|PC |＝2，即(x －1)2＋y 2＝2，∴点P 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝2.
3．已知圆的方程是x 2＋y 2－2ax ＋2(a －2)y ＋2＝0，其中a ≠1，且a ∈R.。