高中数学 1.3.1 相似三角形的判定及相关性质课件 新人教版选修4

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再设△ABC中AC＝b，△DEF中DF＝a， 则AC＝BC＝b，AB＝ 2b， DF＝EF＝a，DE＝ 2a， ∴DACF＝BECF＝DABE＝ba. ∴两个等腰直角三角形一定相似.
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名师点拨 1.对预备定理的理解 在△ABC中，DE∥BC，则△ABC∽△ADE，有如下三种 情形：
提示 因为虽然都是直角三角形，但也只能确定有一组对 角即直角相等，其他的两组对角可能相等，也可能不相等，对 应边也不一定成比例，所以它们不一定相似．
∵两个等腰直角三角形，比如Rt△ABC和Rt△DEF中，不 妨设∠C＝∠F＝90°，则∠A＝∠B＝∠D＝∠E＝45°，
∴有∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F.
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思考探究2 若两个等腰三角形有一对角相等，能判定这 两个等腰三角形相似吗？
提示 不一定．对于两个等腰三角形，只需一顶角或底角 对应相等即可，若两个等腰三角形的一底角相等，则另一底角 也相等，由判定定理1即可判定相似；若顶角对应相等，则它 们的两底角也对应相等，由判定定理1亦可判定相似；若一等 腰三角形的顶角和另一等腰三角形的底角相等，它们不一定相 似．
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课前预习 1.相似三角形的定义 对应角相等，________的两个三角形叫做相似三角形．相 似三角形对应边的比值叫做________(或相似系数)． 2．预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相 交，所构成的三角形与__________．
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3．判定定理 (1)对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另 一个三角形的两个角________，那么这两个三角形相似．简述 为：____________________. (2)对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一 个三角形的两边________，并且________，那么这两个三角形 相似．简述为：____________________.
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问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB相 似(注：在图上画出所有符合要求的线段PC，并求出相应的点 C的坐标)．
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解 过P作PC1⊥OA，垂足是C1，则△OC1P∽△OAB.
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点C1坐标是(3,0)． 过P作PC2⊥AB，垂足是C2，则△PC2B∽△OAB. 点C2坐标是(6,4)． 过P作PC3⊥OB，垂足是P(如图)， 则△C3PB∽△OAB，BBCO3＝BBPA，
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5．两直角三角形相似的判定定理 (1)如果两个直角三角形________________，那么它们相 似． (2)如果两个直角三角形的两条直角边________，那么它 们相似． (3)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三 角形的斜边和一条直角边________，那么这两个直角三角形相 似.
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规律技巧 观察图形，综合题设条件，寻找两三角形相似 应具备的条件．
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变式1 如图，△ABC是等边三角形，且点E，D在直线BC 上，且∠DAE＝120°，求证：△EAB∽△EDA.
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证明 因为∠DAE＝120°，△ABC是等边三角形， 所以∠ABE＝120°＝∠DAE， 又∠E为公共角， 在△EAB和△EDA中，有两组对应角相等，所以△EAB∽ △EDA.
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(3)旋转型
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课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
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典例剖析
【例1】 已知：如图，AB∥A′B′，BC∥B′C′. 求证：△ABC∽△A′B′C′
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【分析】 利用一组平行线分线段成比例，证得两三角形 对应边成比例即可．
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【解】 ∵∠ABC＝∠CDB＝90°，
∴当
AC BC
＝
BC BD
时，△ABC∽△CDB，即当
a b
＝
b BD
时，△
ABC∽△CDB，∴BD＝ba2.
即当BD＝ba2时，△ABC∽△CDB.
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变式2 Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，P(3,4) 为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分 割成两部分．
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思考探究3 两个全等三角形一定相似吗？ 提示 因为两个全等三角形的对应边相等，对应角相等， 由对应边相等可知对应边一定成比例，且相似比为1，因此满 足相似三角形的两个条件，所以两个全等三角形一定相似．
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思考探究4 两个直角三角形一定相似吗？两个等腰直角 三角形呢？
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1.对应边成比例 相似比 2.原三角形相似 3.对应相等 两角对应相等，两三角形相似 对应成比 答 例 夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形 案 相似 对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似 4.成比例 平行于三角形的第三边 5.有一个锐角对应相等 对应成比例 对应成比例
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【例2】 如图，已知∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC ＝b，当BD与a，b满足怎样的关系时，△ABC∽△CDB?
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【分析】 因为△ABC与△CDB都是直角三角形，所以要 使△ABC∽△CDB，只要使AC与BC，BC与BD分别成对应边， 并且ABCC＝BBDC即可．这样就可求出BD与a、b之间的关系．
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【证明】 ∵AB∥A′B′， ∴OOBB′＝OOAA′＝A′ABB′. ∵B′C′∥BC， ∴OOBB′＝OOCC′＝B′BCC′. ∴OOAA′＝OOCC′.
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∴A′C′∥AC，∴OOAA′＝A′ACC′. ∴A′ACC′＝A′ABB′＝B′BCC′. ∴△A′B′C′∽△ABC.
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规律技巧 利用定理1先证△ABC∽△BCD，得到对应边 成比例，证得结论，这是此类题目的常用方法．
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变式3 如上图，BD，CE是△ABC的高，求证：△ADE∽△ABC.
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证明 ∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠AEC＝∠ADB＝90°. 又∵∠A＝∠A， ∴△AEC∽△ADB. ∴AADB＝AACE.又∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABC.
第一讲 相似三角形的判定及有关性质
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三 相似三角形的判定及性质
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1 相似三角形的判定
课前预习目标
课堂互动探究
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课前预习目标
梳理知识 夯实基础
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学习目标 1.理解相似三角形的定义． 2．探索预备定理的证明，理解预备定理的本质． 3．掌握相似三角形的判定定理，能应用相似三角形的判 定定理证明相关几何问题． 4．掌握直角三角形相似的判定定理，理解定理内容，能 应用定理证明相关几何问题.
(2)判定定理2.
A′ABB′＝A′ACC′ ∠A＝∠A′
⇒△ABC∽△
A′B′C′；
Hale Waihona Puke (3)判定定理3.AB A′B′
＝
BC B′C′
＝
CA C′A′
⇒△ABC∽△
A′B′C′.
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在已知有一角相等时，可选用定理1或定理2证明两三角形 相似；在已知有两边对应成比例时，可选用定理2或定理3证明 两三角形相似．
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易知OB＝10，BP＝5，BA＝8， BC3＝245，AC3＝8－245＝74， 因为C36，74， 符合要求的点C有三个，其连线段分别是PC1，PC2， PC3(如图)．
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【例3】
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是角平分 线，求证：AD2＝AC·CD.
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(4)在Rt△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC，如上图，则有△ ABC∽△DBA，△ABC∽△DAC，△ABD∽△CAD.
在写出相似三角形时，注意相应角的顺序应该一致．
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3．判定三角形相似的三种基本类型 (1)平行线型
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(2)相交线型
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思考探究1 如何理解定义中的“对应角”与“对应 边”？
提示 在一个三角形中确定一个角(或一条边)，由大边对 大角在另一个三角形中也确定一个角(或一条边)，让二者进行 比较，则这一对角(边)即称之为对应角(边)．当它们确定对应 关系后，另外的两个角(边)，也就只能和另一个三角形的另外 两个角(边)对应了．
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由平行线截得的相似三角形，在寻找这类相似三角形时， 应先找准平行线，再观察与这两条平行线相交的直线所构成的 所有三角形．
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2．相似三角形判定定理的运用 如下图，在△ABC与△A′B′C′中．
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(1)判定定理1. ∠∠AB＝＝∠∠AB′′⇒△ABC∽△A′B′C′；
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(3)对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另 一个三角形的三条边________，那么这两个三角形相似．简述 为：____________________.
4．引理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对 应线段________，那么这条直线________________．
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【证明】 ∵∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝72°. 又∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD＝36°. ∴∠A＝∠ABD＝∠CBD. ∴AD＝BD＝BC. ∴△ABC∽△BCD.
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∴BACC＝CBCD. ∴BC2＝AC·CD. ∴AD2＝AC·CD.