2022年最新冀教版八年级数学下册第二十二章四边形专题测试试卷(无超纲)

八年级数学下册第二十二章四边形专题测试
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，平行四边形ABCD ，∠BCD =120°，AB =2，BC =4，点E 是直线BC 上的点，点F 是直线CD 上的点，连接AF ，AE ，EF ，点M ，N 分别是AF ，EF 的中点．连接MN ，则MN 的最小值为（ ）
A ．1
B 1
C
D ．2
2、若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（ ） A ．5或6
B ．6或7
C ．5或6或7
D ．6或7或8
3、如图，点A ，B ，C 在同一直线上，且2
3
AB AC =
，点D ，E 分别是AB ，BC 的中点．分别以AB ，DE ，BC 为边，在AC 同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作1S ，2S ，
3S ，若1S =23S S +等于（ ）
A B C D 4、下列说法正确的是（ ） A ．只有正多边形的外角和为360°
B ．任意两边对应相等的两个直角三角形全等
C ．等腰三角形有两条对称轴
D ．如果两个三角形一模一样，那么它们形成了轴对称图形
5、如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，△ABD ，△ACE ，△BCF 都是等边三角形，下列结论中：①AB ⊥AC ；②四边形AEFD 是平行四边形；③∠DFE ＝150°；④S 四边形AEFD ＝8．错误的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
6、如图①，在▱ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿折线B →C →D →B 运动，设点P 经过的路程为x ，△ABP 的面积为y ，y 是x 的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的a 值为（ ）
A．B．C．14 D．18
7、下列多边形中，内角和与外角和相等的是（）
A．B．C．D．
8、在锐角△ABC中，∠BAC＝60°，BN、CM为高，P为BC的中点，连接MN、MP、NP，则结论：①NP ＝MP；②AN：AB＝AM：AC；③BN＝2AN；④当∠ABC＝60°时，MN∥BC，一定正确的有（）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①④
9、十边形中过其中一个顶点有（）条对角线．
A．7 B．8 C．9 D．10
10、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的点A和点C分别落在x轴和y轴正半轴上，AO＝4，直线l：y＝3x+2经过点C，将直线l向下平移m个单位，设直线可将矩形OABC的面积平分，则m的值
为（ ）
A ．7
B ．6
C ．4
D ．8
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、已知菱形ABCD 两条对角线的长分别为6和8，若另一个菱形EFGH 的周长和面积分别是菱形ABCD 周长和面积的2倍，则菱形EFGH 两条对角线的长分别是 _____．
2、如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=，D 为ABC 外一点，使DAC BAC ∠∠=，E 为BD 的中点．若
60ABC ∠=︒，则ACE ∠=__________．
3、ABCD 中，已知AB ＝CD ＝4，BC ＝6，则当AD ＝________时，四边形ABCD 是平行四边形．
4、如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，射线AF 是BAC ∠的平分线，交BC 于点D ，过点B 作AB 的垂线与射线AF 交于点E ，连结CE ，M 是DE 的中点，连结BM 并延长与AC 的延长线交于点
G ．则下列结论正确的是______．
①BCG ACD ≌
△△ ②BG 垂直平分DE ③BE CE ⊥ ④2G GBE ∠=∠ ⑤BE CG AC +=
5、如图，已知AD 为ABC 的高，AD BC =，以AB 为底边作等腰Rt ABE △，EF AD ∥，交AC 于F ，连ED ，EC ，有以下结论：①ADE BCE △△≌；②CE AB ⊥；③2BD EF =；④BDE ACE S S =△△；其中正确的是___．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，正方形ABCD 中，E 为BD 上一点，AE 的延长线交BC 的延长线于点F ，交CD 于点H ，G 为FH 的中点．
(1)求证：AE =CE ；
(2)猜想线段AE ，EG 和GF 之间的数量关系，并证明．
2、如图，直线12l l ∥，线段AD 分别与直线1l 、2l 交于点C 、点B ，满足AB CD =．
(1)使用尺规完成基本作图：作线段BC 的垂直平分线交1l 于点E ，交2l 于点F ，交线段BC 于点O ，连接ED 、DF 、FA 、AE ．（保留作图痕迹，不写做法，不下结论） (2)求证：四边形AEDF 为菱形．（请补全下面的证明过程） 证明：12l l ∥
1∴∠=____①____
EF 垂直平分BC
OB OC ∴=，90EOC FOB ︒∠=∠=
∴____②____FOB ∆≌
OE ∴=____③____ AB CD =
OB AB OC DC +=+∴ OA OD ∴=
∴四边形AEDF 是___④_____
EF AD ⊥
∴四边形AEDF 是菱形（______⑤__________）（填推理的依据）．
3、如图，在ABCD 中，45BCD ∠=︒，BC BD ⊥，E 、F 分别为AB 、CD 边上两点，FB 平分EFC ∠．
(1)如图1，若2AE =，5EF =，求CD 的长；
(2)如图2，若G 为EF 上一点，且GBF EFD =∠∠，求证：2FG FD AB +=． 4、尺规作图并回答问题：（保留作图痕迹） 已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形． 求作：菱形AECF ，使点E ，F 分别在BC ，AD 上．
请回答：在你的作法中，判定四边形AECF 是菱形的依据是 ．
5、已知∠MON ＝90°，点A 是射线ON 上的一个定点，点B 是射线OM 上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上，且AC ＝OB ．
(1)如图1，CD∥OB，CD＝OA，连接AD，BD．
①AOB≅
△△；
②若OA＝2，OB＝3，则BD＝；
(2)如图2，在射线OM上截取线段BE，使BE＝OA，连接CE，当点B在射线OM上运动时，求∠ABO和∠OCE的数量关系；
(3)如图3，当E为OB中点时，平面内一动点F满足FA=OA，作等腰直角三角形FQC，且FQ=FC，当线
段AQ取得最大值时，直接写出AQ
OA
的值．
-参考答案-
一、单选题
1、C
【解析】【分析】
先证明NM为△AEF的中位线，根据中位线性质得出MN=1
2
AE，可得AE最小时，MN最小，根据点E
在直线BC上，根据点到直线的距离最短得出AE⊥BC时AE最短，根据在平行四边形ABCD中，
∠BCD=120°，求出∠ABC=180°-∠BCD=180°-120°=60°，利用三角形内角和∠BAE=180°-∠ABE-
∠AEB=180°-60°-90°=30°，利用30°直角三角形性质得出BE=11
21
22
AB=⨯=，再利用勾股定理
求出AE即可．
【详解】
解：∵M 为FA 中点，N 为FE 中点， ∴NM 为△AEF 的中位线， ∴MN =12
AE
∴AE 最小时，MN 最小， ∵点E 在直线BC 上，
根据点A 到直线BC 的距离最短， ∴AE ⊥BC 时AE 最短，
∵在平行四边形ABCD 中，∠BCD =120°， ∴∠ABC +∠BCD =180°，
∴∠ABC =180°-∠BCD =180°-120°=60°，
∴∠BAE =180°-∠ABE -∠AEB =180°-60°-90°=30°， 在Rt △ABE 中，∠BAE =30°，AB =2， ∴BE =11212
2
AB =⨯=，
根据勾股定理AE
最小值
∴MN =12AE =
故选择C ．
【点睛】
本题考查三角形中位线性质，平行四边形性质，点到直线距离，三角形内角和，30°直角三角形性质，勾股定理，掌握三角形中位线性质，平行四边形性质，点到直线距离，三角形内角和，30°直角三角形性质，勾股定理是解题关键．
2、C
【解析】
【分析】
实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一个角后得到．
【详解】
解：如图，原来多边形的边数可能是5，6，7．
故选C
【点睛】
本题考查的是截去一个多边形的一个角，解此类问题的关键是要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况．
3、B
【解析】
【分析】
设BE＝x，根据正方形的性质、平行四边形的面积公式分别表示出S1，S2，S3，根据题意计算即可．【详解】
∵
2
3
AB AC
=，AC AB BC
=+
∴AB＝2BC，
又∵点D，E分别是AB，BC的中点，∴设BE＝x，则EC＝x，AD＝BD＝2x，
∵四边形ABGF是正方形，
∴∠ABF＝45°，
∴△BDH是等腰直角三角形，
∴BD＝DH＝2x，
∴S1＝DH•AD2x•2x
∴x2
∵BD＝2x，BE＝x，
∴S2＝MH•BD＝（3x−2x）•2x＝2x2，S3＝EN•BE＝x•x＝x2，
∴S2＋S3＝2x2＋x2＝3x2
故选：B．
【点睛】
本题考查的是正方形的性质、平行四边形的性质，掌握正方形的四条边相等、四个角都是90°是解题的关键．
4、B
【解析】
【分析】
选项A根据多边形的外角和定义判断即可；选项B根据三角形全等的判定方法判断即可；选项C根据轴对称图形的定义判断即可；选项D根据轴对称的性质判断即可．
【详解】
解：A．所有多边形的外角和为360 ，故本选项不合题意；
B．任意两边对应相等的两个直角三角形全等，说法正确，故本项符合题意；
C．等腰三角形有1条对称轴，故本选项不合题意；
D．如果两个三角形一模一样，那么它们不一定形成轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了多边形的外角和，轴对称的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是掌握轴对称图形的概念．
5、A
【解析】
【分析】
利用勾股定理逆定理证得△ABC是直角三角形，由此判断①；证明△ABC≌△DBF得到DF＝AE，同理
可证：△ABC ≌△EFC ，得到EF ＝AD ，由此判断②；由②可判断③；过A 作AG ⊥DF 于G ，求出AG 即可求出 S ▱AEFD ，判断④．
【详解】
解：∵AB ＝3，AC ＝4，32+42＝52，
∴AB 2+AC 2＝BC 2，
∴△ABC 是直角三角形，∠BAC ＝90°，
∴AB ⊥AC ，故①正确；
∵△ABD ，△ACE 都是等边三角形，
∴∠DAB ＝∠EAC ＝60°，
∴∠DAE ＝150°，
∵△ABD 和△FBC 都是等边三角形，
∴BD ＝BA ，BF ＝BC ，
∴∠DBF ＝∠ABC ，
在△ABC 与△DBF 中，
AB DB ABC DBF BC BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ABC ≌△DBF （SAS ），
∴AC ＝DF ＝AE ＝4，
同理可证：△ABC ≌△EFC （SAS ），
∴AB ＝EF ＝AD ＝3，
∴四边形AEFD 是平行四边形，故②正确；
∴∠DFE ＝∠DAE ＝150°，故③正确；
过A作AG⊥DF于G，如图所示：
则∠AGD＝90°，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴∠FDA＝180°﹣∠DFE＝180°﹣150°＝30°，
∴AG＝1
2AD＝
3
2
，
∴S▱AEFD＝DF•AG＝4×3
2
＝6；故④错误；
∴错误的个数是1个，
故选：A．
．
【点睛】
此题考查了等边三角形的性质，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，直角三角形的30度角的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
6、A
【解析】
【分析】
由图②知，BC=6，CD=14-6=8，BD=18-14=4，再通过解直角三角形，求出△CBD高，进而求解．
【详解】
解：由图②知，BC=6，CD=14-6=8，BD=18-14=4，
过点B作BH⊥DC于点H，
设CH =x ，则DH =8-x ，
则BH 2=BC 2-CH 2=BD 2-DH 2，即：BH 2=42-（8-x ）2=62-x 2， 解得：214
x =
则：BH =
则11822ABP a y S DC HB ∆===⨯⨯=⨯= 故选：A ．
【点睛】 本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
7、B
【解析】
【分析】
根据多边形的内角和公式（n -2）•180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解．
【详解】
解：设所求多边形的边数为n ，根据题意得：
（n -2）•180°=360°，
解得n =4．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理是解题的关键．
8、C
【解析】
【分析】
利用直角三角形斜边上的中线的性质即可判定①正确；利用含30度角的直角三角形的性质即可判定②正确，由勾股定理即可判定③错误；由等边三角形的判定及性质、三角形中位线定理即可判定④正确．
【详解】
∵CM、BN分别是高
∴△CMB、△BNC均是直角三角形
∵点P是BC的中点
∴PM、PN分别是两个直角三角形斜边BC上的中线
∴
1
2 PM PN BC
==
故①正确
∵∠BAC=60゜
∴∠ABN=∠ACM=90゜−∠BAC=30゜
∴AB=2AN，AC=2AM
∴AN：AB=AM：AC=1：2
即②正确
在Rt△ABN中，由勾股定理得：BN=故③错误
当∠ABC=60゜时，△ABC是等边三角形
∵CM⊥AB，BN⊥AC
∴M、N分别是AB、AC的中点
∴MN是△ABC的中位线
∴MN∥BC
故④正确
即正确的结论有①②④
故选：C
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，掌握这些知识并正确运用是解题的关键．
9、A
【解析】
【分析】
根据多边形对角线公式解答．
【详解】
解：十边形中过其中一个顶点有10-3=7条对角线，
故选：A．
【点睛】
此题考查了多边形对角线公式
()3
2
n n-
，理解公式的得来方法是解题的关键．
10、A 【解析】【分析】
如图所示，连接AC ，OB 交于点D ，先求出C 和A 的坐标，然后根据矩形的性质得到D 是AC 的中点，从而求出D 点坐标为（2，1），再由当直线32y x =+经过点D 时，可将矩形OABC 的面积平分，进行求解即可．
【详解】
解：如图所示，连接AC ，OB 交于点D ，
∵C 是直线32y x =+与y 轴的交点，
∴点C 的坐标为（0，2），
∵OA =4，
∴A 点坐标为（4，0），
∵四边形OABC 是矩形，
∴D 是AC 的中点，
∴D 点坐标为（2，1），
当直线32y x =+经过点D 时，可将矩形OABC 的面积平分，
由题意得平移后的直线解析式为32y x m =+-，
∴3221m ⨯+-=，
∴7m =，
故选A ．
【点睛】
本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数的平移，矩形的性质，解题的关键在于能够熟知过矩形中心的直线平分矩形面积．
二、填空题
1、
【解析】
【分析】
首先根据题意画出图形，然后由菱形的两条对角线长分别是6和8，可求得OA=4，OB=3，再由勾股定理求得边长，继而求得此菱形的周长与面积，然后根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：如图，菱形ABCD中，AC=8，BD=6，
∴OA=1
2
AC=4，OB=
1
2
BD=3，AC⊥BD，
∴AB，
∴菱形ABCD的周长是：5×4=20，面积是：1
2
×6×8=24．
∵另一个菱形EFGH的周长和面积分别是菱形ABCD周长和面积的2倍，∴菱形EFGH的周长和面积分别是40，48，
∴菱形EFGH的边长是10，
设菱形EFGH的对角线为2a，2b，
∴a 2+b 2=100，1
2
×2a ×2b =48， ∴a
b
∴菱形EFGH
两条对角线的长分别是
故答案为：
2
【点睛】
本题考查了菱形的性质以及勾股定理．关键是熟练掌握菱形的面积等于对角线积的一半的知识点． 2、30##30度
【解析】
【分析】
延长BC 、AD 交于F ，通过全等证明C 是BF 的中点，然后利用中位线的性质即可．
【详解】
解：延长BC 、AD 交于F ，
在△ABC 和△AFC 中
90BAC FAC AC AC ACB ACF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=
⎩
， ∴△ABC ≌△AFC （ASA ），
∴BC=FC，
∴C为BF的中点，
∵E为BD的中点，
∴CE为△BDF的中位线，
∴CE//AF，
∴∠ACE=∠CAF，
∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠BAC=30°，
∴∠ACE=∠CAF=∠BAC=30°，
故答案为：30°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线的定义与性质，以及平行线的性质，作出正确的辅助线是解题的关键．
3、6
【解析】
略
4、①②⑤
【解析】
【分析】
先由题意得到∠ABE=∠ACB=∠BCG=90°，∠BAC=45°，再由角平分线的性质得到
∠BAE=∠DAC=22.5°，从而推出∠BEA=∠ADC，则∠BDE=∠BED，再由三线合一定理即可证明
BM⊥DE，∠GBE=∠DBG，即可判断②；得到∠MAG+∠MGA=90°，再由∠CBG+∠CGB=90°，可得
∠DAC=∠GBC=22.5°，则∠GBE=22.5°，2∠GBE=45°，从而可证明△ACD≌△BCG，即可判断①；则CD=CG，再由AC=BC=BD+CD，可得到AC=BE+CG，即可判断⑤；由∠G=180°-∠BCG-∠CBG=67.5°，即
可判断④；延长BE交AC延长线于G，先证△ABH是等腰直角三角形，得到C为AH的中点，然后证BE≠HE，即E不是BH的中点，得到CE不是△ABH的中位线，则CE与AB不平行，即可判断③．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，BE⊥AB，AC=BC，
∴∠ABE=∠ACB=∠BCG=90°，∠BAC=45°，
∴∠BAE+∠BEA=90°，∠DAC+∠ADC=90°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAE=∠DAC=22.5°，
∴∠BEA=∠ADC，
又∵∠ADC=∠BDE，
∴∠BDE=∠BED，
∴BD=ED，
又∵M是DE的中点，
∴BM⊥DE，∠GBE=∠DBG，
∴BG垂直平分DE，∠AMG=90°，故②正确，
∴∠MAG+∠MGA=90°，
∵∠CBG+∠CGB=90°，
∴∠DAC=∠GBC=22.5°，
∴∠GBE=22.5°，
∴2∠GBE=45°，
又∵AC=BC，
∴△ACD≌△BCG（ASA），故①正确；
∴CD=CG，
∵AC=BC=BD+CD，
∴AC=BE+CG，故⑤正确；
∵∠G=180°-∠BCG-∠CBG=67.5°，
∴∠G≠2∠GBE，故④错误；
如图所示，延长BE交AC延长线于G，
∵∠ABH=∠ABC+∠CBH=90°，∠BAC=45°，
∴△ABH是等腰直角三角形，
∵BC⊥AH，
∴C为AH的中点，
∵AB≠AH，AF是∠BAH的角平分线，
∴BE≠HE，即E不是BH的中点，
∴CE不是△ABH的中位线，
∴CE与AB不平行，
∴BE与CE不垂直，故③错误；
故答案为：①②⑤．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线定理，三角形内角和定理，熟知等腰三角形的性质与判定条件是解题的挂件．
5、①③
【分析】
只要证明ADE BCE
∆的中位线即可一一判断；
∆≅∆，KAE DBE
∆≅∆，EF是ACK
【详解】
解：如图延长CE交AD于K，交AB于H．设AD交BE于O．
∠=∠，
ODB OEA
∠=∠，AOE DOB
∴∠=∠，
OAE OBD
=，
AE BE
=，AD BC
∴∆≅∆，故①正确，
ADE BCE
=，
∴∠=∠，DE EC
AED BEC
AEB DEC
∴∠=∠=︒，
90
∴∠=∠=︒，
ECD ABE
45
AHC ABC HCB EBC
∠=∠+∠=︒+∠>︒，
9090
∴不垂直AB，故②错误，
EC
∠=∠，
AEB HED
∴∠=∠，
AEK BED
=，KAE EBD
AE BE
∠=∠，
∴∆≅∆，
KAE DBE
DCK ∆是等腰直角三角形，DE 平分CDK ∠，
EC EK ∴=，
//EF AK ，
AF FC ∴=，
2AK EF ∴=，
2BD EF ∴=，故③正确，
EK EC =，
AKE AEC S S ∆∆∴=，
KAE DBE ∆≅∆，
KAE BDE S S ∆∆∴=，
BDE AEC S S ∆∆∴=，故④正确．
故答案是：①③．
【点睛】
本题考查等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
三、解答题
1、 (1)见解析
(2)AE 2+ GF 2=EG 2，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据“SAS ”证明△ADE ≌△CDE 即可；
（2）连接CG ，可得CG =GF =GH =1
2FH ，再证明∠ECG =90°，然后在Rt △CEG 中，可得CE 2+CG 2=EG 2，进而可得线段AE ，EG 和GF 之间的数量关系．
(1)
证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD =CD ，∠ADE =∠CDE ，
在△ADE 和△CDE 中
AD CD ADE CDE DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADE ≌△CDE ，
∴AE =CE ；
(2)
AE 2+ GF 2=EG 2，理由：
连接CG
∵△ADE ≌△CDE ，
∴∠1=∠2．
∵G 为FH 的中点，
∴CG =GF =GH =1
2FH ，
∴∠6=∠7．
∵∠5=∠6，
∴∠5=∠7．
∵∠1+∠5=90°，
∴∠2+∠7=90°，即∠ECG =90°，
在Rt △CEG 中，CE 2+CG 2=EG 2，
∴AE 2+ GF 2=EG 2．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，以及勾股定理等知识，证明△ADE ≌△CDE 是解（1）的关键，证明∠ECG =90°是解（2）的关键．
2、 (1)见解析
(2)①2∠；②EOC ∆；③OF ；④平行四边形；⑤对角线互相垂直的平行四边形是菱形
【解析】
【分析】
（1）分别以A 、D 为圆心，大于AD 的一半长为半径，画弧，两弧交于两点，然后过这两点作直线交l 1于E ，交l 2于F ，直线EF 为线段AD 的垂直平分线，连接ED 、DF 、FA 、AE 即可；
（2）：根据12l l ∥，内错角相等得出1∠=∠2①，根据EF 垂直平分BC ，得出OB OC =，90EOC FOB ︒∠=∠=，可证②△EOC FOB ∆≌，根据全等三角形性质得出OE =OF ③，再证OA OD =，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定四边形AEDF 是平行四边形④，根据对角线互相垂直
EF AD ⊥即可得出四边形AEDF 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形⑤）
． (1)
解：分别以A 、D 为圆心，大于AD 的一半长为半径，画弧，两弧交于两点，然后过这两点作直线交l 1于E ，交l 2于F ，直线EF 为线段AD 的垂直平分线，连接ED 、DF 、FA 、AE 即可；
如图所示
(2)
证明：12l l ∥，
1∴∠=∠2①， EF 垂直平分BC ，
OB OC ∴=，90EOC FOB ︒∠=∠=，
∴②△EOC FOB ∆≌，
OE ∴=OF ③，
AB CD =，
OB AB OC DC +=+∴，
OA OD ∴=，
∴四边形AEDF 是平行四边形④，
EF AD ⊥，
∴四边形AEDF 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形⑤），
故答案为：①2∠；②EOC ∆；③OF ；④平行四边形；⑤对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
【点睛】
本题考查尺规作图，垂直平分线性质，三角形全等判定与性质，菱形的判定，掌握尺规作图，垂直平分线性质，三角形全等判定与性质，菱形的判定是解题关键．
3、 (1)7
(2)见解析
【解析】
【分析】
∠，可得（1）根据平行四边形的性质，可得AB∥CD，AB=CD，可得∠EBF=∠CFB，再由∵FB平分EFC
∠EFB=∠EBF，从而得到BE=EF=5，即可求解；
≅，从而得到∠BGF=∠BNF，再由∠GBF=∠EFD，可得到（2）再CF上截取FN=FG，可得BFG BFN
∠BFD=∠BNC，再根据BC⊥BD，∠BCD=45°，可得BC=BD，从而证得△BDF≌△BCN，进而得到
NC=FD，即可求证．
(1)
解：在ABCD中，AB∥CD，AB=CD，
∴∠EBF=∠CFB，
∠，
∵FB平分EFC
∴∠EFB=∠CFB，
∴∠EFB=∠EBF，
∴BE=EF=5，
∵AE=2，
∴CD=AB=AE+BE=7；
(2)
证明：如图，再CF上截取FN=FG，
∵GFB NFB BF BF GF FN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪=⎩
， ∴()BFG BFN SAS ≅ ，
∴∠BGF =∠BNF ，
∵180EFD BFG BFN ︒∠+∠+∠= ，∠BFG +∠BGF +∠GBF =180°，∠GBF =∠EFD ，
∴∠BGF =∠BFN ，
∴∠BFN =∠BNF ，
∴∠BFD =∠BNC ，
∵BC ⊥BD ，
∴∠CBD =90°，
∵∠BCD =45°，
∴∠BDC =∠BCD =45°，
∴BC =BD ，
∴△BDF ≌△BCN （AAS ），
∴NC =FD ，
∴CD =DF +FN +CN =2FD +FG ，
∵AB =CD ，
∴FG +2FD =AB ．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
4、证明见解析；邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直的平行四边形是菱形．
【解析】
【分析】
根据邻边相等的平行四边形是菱形或对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可．
【详解】
解：如图，四边形AECF 即为所求作．
理由：四边形ABCD 是平行四边形，
∴AE ∥CF ，
∴∠EAO =∠FCO ，
∵EF 垂直平分线段AC ，
∴OA =OC ，
在△AEO 和△CFO 中，
EAO FCO AO OC
AOE COF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝， ∴△AEO ≌△CFO （ASA ），
∴AE =CF ，
∴四边形AECF 是平行四边形，
∵EA =EC 或AC ⊥EF ，
∴四边形AECF是菱形．
故答案为：邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直的平行四边形是菱形．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5、(1)△DCA；
(2)∠ABO+∠OCE=45°，理由见解析
(3)1
【解析】
【分析】
（1）①由平行线的性质可得∠ACD=∠BOA=90°，再由OB=CA，OA=CD，即可利用SAS证明
△AOB≌△DCA；②过点D作DR⊥BO交BO延长线于R，由①可知△AOB≌△DCA，得到CD=OA=2，AC=OB=3，再由OC⊥OB，DR⊥OB，CD∥OB，得到DR=OC=OA+AC=5（平行线间距离相等），同理可得
OR=CD=3，即可利用勾股定理得到
BD==；
（2）如图所示，过点C作CW⊥AC，使得CW=OA，连接AW，BW，先证明△AOB≌△WCA得到AB=AW，∠ABO=∠WAC，然后推出∠ABW=∠AWB=45°，证明四边形BECW是平行四边形，得到BW∥CE，则
∠WJC=∠BWA=45°，由三角形外角的性质得到∠WJC=∠WAC+∠JCA，则∠ABO+∠OCE=45°；
≤+，如图3-2所示，当A、F、Q三点共线时，AQ有最（3）如图3-1所示，连接AF，则AQ AF QF
大值，由此求解即可．
(1)
解：①∵CD∥OB，
∴∠ACD=∠BOA=90°，
又∵OB=CA，OA=CD，
∴△AOB≌△DCA（SAS）；
故答案为：△DCA；
②如图所示，过点D作DR⊥BO交BO延长线于R，由①可知△AOB≌△DCA，
∴CD=OA=2，AC=OB=3，
∵OC⊥OB，DR⊥OB，CD∥OB，
∴DR=OC=OA+AC=5（平行线间距离相等），
同理可得OR=CD=3，
∴BR=OB+OR=5，
∴
BD==；
故答案为：
(2)
解：∠ABO+∠OCE=45°，理由如下：
如图所示，过点C 作CW ⊥AC ，使得CW =OA ，连接AW ，BW ，
在△AOB 和△WCA 中，
==90OA CW AOB WCA OB CA =⎧⎪∠∠︒⎨⎪=⎩
， ∴△AOB ≌△WCA （SAS ），
∴AB =AW ，∠ABO =∠WAC ，
∵∠AOB =90°，
∴∠ABO +∠BAO =90°，
∴∠BAO +∠WAC =90°，
∴∠BAW =90°，
又∵AB =AW ，
∴∠ABW =∠AWB =45°，
∵BE ⊥OC ，CW ⊥OC ，
∴BE ∥CW ，
又∵BE =OA =CW ，
∴四边形BECW 是平行四边形，
∴BW ∥CE ，
∴∠WJC =∠BWA =45°，
∵∠WJC =∠WAC +∠JCA ，
∴∠ABO +∠OCE =45°；
(3)
解：如图3-1所示，连接AF ，
∴AQ AF QF ≤+，
∴如图3-2所示，当A 、F 、Q 三点共线时，AQ 有最大值，
∵E 是OB 的中点，BE =OA ，
∴BE =OE =OA ，
∴OB =AC =2OA ，
∵△CFQ 是等腰直角三角形，CF =QF ，
∴∠CFQ =∠CFA =90°，
∴CF QF ==，
∴(1AQ AF FQ OA =+=，
∴1AQ OA
=．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，平行四边形的性质与判定，平行线的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键．。