2020高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2.2.2 分段函数与映射(含解析)1

1.2.2。

2 分段函数与映射
[基础巩固](25分钟，60分）
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．若f：A→B能构成映射，下列说法正确的是( )
①A中的任一元素在B中必须有像且唯一；②A中的多个元素可以在B中有相同的像；③B中的多个元素可以在A中有相同的原像；
④像的集合就是集合B.
A．1个B．2个
C．3个D．4个
解析：根据映射的概念，A中的元素在B中有唯一的像与之对应，这样对应可以是多对一,也可以是一对一．B中的元素可以没有原像对应，故①②正确，选B.
答案：B
2．已知函数f(x)＝错误!且f(a）＋f（1)＝0，则a等于( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析：当a〉0时,f(a）＋f（1）＝2a＋2＝0⇒a＝－1，与a〉0矛
盾；当a ≤0时,f (a ）＋f (1）＝a ＋1＋2＝0⇒a ＝－3,符合题意．
答案:A
3．函数y ＝x ＋|x |x
的图象是（ )
解析:y ＝x ＋错误!＝错误!
答案:D
4．下列各对应中，构成映射的是( ）
解析：选项A ，C 中集合A 中的元素1，在集合B 中有2个元素与之对应；选项B 中集合A 中的元素2在集合B 中无元素与之对应，所以都不是映射,只有D 项符合映射的定义．故选D.
答案：D
5．已知函数y ＝错误!则使函数值为5的x 的值是（ ）
A ．－2
B ．2或－错误!
C ．2或－2
D ．2或－2或－错误!
解析：当x ≤0时,x 2＋1＝5，x ＝－2.当x 〉0时，－2x 〈0，不合
题意．
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分）
6．已知f（x）＝错误!则f(1）＋f（－1）＝________.
解析：因为1>0,所以f（1）＝2×1＝2；因为－1<0，所以f（－1)＝（－1)2－2＝－1.故f(1)＋f（－1)＝2＋(－1）＝1.
答案：1
7．已知函数f(x）在［－1，2］上的图象如图所示，则f（x)的解析式为________．
解析：当x∈[－1，0］时,y＝x＋1；当x∈（0，2]时，y＝－错误!x，故f(x）的解析式为
f(x)＝错误!
答案:f(x)＝错误!
8．设f：x→ax－1为从集合A到B的映射，若f（2)＝3，则f （3）＝________.
解析：由f（2）＝3，可知2a－1＝3，所以a＝2,
所以f(3）＝3a－1＝3×2－1＝5.
答案:5
三、解答题(每小题10分,共20分）
9．已知函数f(x)＝错误!
（1）求f(f（f(－2）)）的值；
（2）若f（a）＝错误!，求a。

解析：（1）∵－2〈－1，∴f(－2）＝2×（－2）＋3＝－1，
∴f(f(－2))＝f（－1）＝2，
∴f(f(f（－2）））＝f（2)＝1＋错误!＝错误!.
（2）当a>1时，f（a)＝1＋错误!＝错误!,∴a＝2>1;
当－1≤a≤1时，f(a）＝a2＋1＝错误!，∴a＝±错误!∈［－1，1］;
当a〈－1时，f(a)＝2a＋3＝错误!，∴a＝－错误!〉－1(舍去）．
综上，a＝2或a＝±错误!.
10．已知A＝{1，2,3,…，9}，B＝R，从集合A到集合B的映射f：x→错误!。

（1)与A中元素1相对应的B中的元素是什么？
(2)与B中元素错误!相对应的A中的元素是什么？
解析：（1)A中元素1，即x＝1，代入对应关系得错误!＝错误!＝错误!,
即与A中元素1相对应的B中的元素是1 3 .
（2）B中元素错误!，即错误!＝错误!，解得x＝4，因此与B中元素错误!相对应的A中的元素是4。

［能力提升](20分钟,40分）
11．a，b为实数，集合M＝错误!，N＝{a，0｝，f：x→2x表示把集合M中的元素x映射到集合N中为2x，则a＋b＝( ) A．－2 B．0 C．2 D．±2
解析：由题意知M中元素错误!只能对应0,1只能对应a，所以错误!＝0，a＝2，所以b＝0，a＝2，因此a＋b＝2，故选C。

答案:C
12．从集合A到集合B的映射f：x→x2＋1，若A＝{－2，－1,0，1,2｝,则B中至少有________个元素．
解析：根据映射的定义可得,x＝±2→y＝5，x＝±1→y＝2，x＝0→y＝1，所以A中元素在对应法则f作用下的集合为｛1，2,5}，故集合B中至少有3个元素．
答案：3
13．画出下列函数的图象：
（1)f(x)＝［x]（[x]表示不大于x的最大整数）；
(2)f(x)＝|x＋2|.
解析：(1）f(x)＝[x］＝错误!函数图象如图1所示．
图1 图2
(2）f（x)＝｜x＋2|＝错误!画出y＝x＋2的图象,取[－2，＋∞］上的一段；画出y＝－x－2的图象，取(－∞，－2)上的一段，如图2所示．
14．已知函数f(x）＝错误!
(1）求f错误!，f（f(－1)）的值；
(2）若f(a）>2，求a的取值范围．
解析：（1)因为函数
f(x)＝错误!
所以f错误!＝错误!＋5,
f(－1）＝3×（－1)＋5＝2，
f(f(－1）)＝f(2)＝－2×2＋8＝4.
(2)因为f(a)〉2,
所以当a≤0时，f（a)＝3a＋5>2,解得a>－1,所以－1〈a≤0；
当0〈a≤1时，f（a)＝a＋5>2，解得a>－3，所以0〈a≤1;
当a>1时，f（a)＝－2a＋8>2，解得a<3，所以1〈a〈3。

综上,a的取值范围是(－1，3）。