2018学年高中数学人教B版必修3课件：1.3 中国古代数学中的算法案例 精品

[再练一题] 2.用秦九韶算法求多项式f(x)＝1＋x＋0.5x2＋0.166 67x3＋0.041 67x4＋0.008 33x5在x＝－0.2时的值.
【导学号：25440021】
【解】 x＝－0.2. a5＝0.008 33 v0＝a5＝0.008 33， a4＝0.041 67 v1＝v0x＋a4＝0.04， a3＝0.166 67 v2＝v1x＋a3＝0.158 67， a2＝0.5 v3＝v2x＋a2＝0.468 27， a1＝1 v4＝v3x＋a1＝0.906 35， a0＝1 v5＝v4x＋a0＝0.818 73， 所以f(－0.2)＝0.818 73.
【精彩点拨】 改写多项式，确定v0，再依次计算vi，i＝1,2,3,4,5,6,7，最后 求得f(3).
【尝试解答】 根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式： f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x， 由内到外的顺序，依次计算一次多项式当x＝3时的值： 由v0＝7； v1＝7×3＋6＝27； v2＝27×3＋5＝86； v3＝86×3＋4＝262；
已知f(x)＝x5＋2x4＋3x3＋4x2＋5x＋6，用秦九韶算法求这个多项式当 x＝2时的值时，做了几次乘法？几次加法？
【精彩点拨】 用秦九韶算法多项式的值时，要先将多项式改写成f(x)＝ (…(anx＋an－1)x＋…＋a1)x＋a0，然后逐步计算乘法和加法的次数，但要注意v0＝1 时，也作了一次乘法.
利用秦九韶算法计算多项式的值时，计算的乘法的次数，与多项式的未知数 的最高次项的指数相同，加法运算的次数在多项式有常数项的条件下与乘法的次 数相同.
[再练一题]
3.用秦九韶算法求多项式f(x)＝4x5－x2＋2当x＝3时的值时，需要进行的乘法
运算和加法运算的次数分别为( )
A.4,2
B.5,3
C.5,2
阶
阶
段
段
一
三
1.3 中国古代数学中的算法案例
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1.了解割圆术中无限通近的数学思想. 2.理解更相减损之术的含义，了解其执行过程.(难点) 3.掌握秦九韶算法的计算过程，并了解它提高计算效率的实质.(难点)
[基础·初探] 教材整理1 更相减损之术(等值算法) 阅读教材P27～P28“探索与研究”以上部分，完成下列问题. 求两个正整数最大公约数的算法 (1)更相减损之术(等值算法)： 用两数中较大的数减去较小的数，再用 差数 和 较小数 构成新的一对 数，对这一对数再用大数减小数，以同样的操作一直做下去，直到产生 一对相等 的数 ，这个数就是最大公约数.
【提示】 从里往外计算仅需4次乘法和5次加法运算即可得出结果.
探究3 怎样利用秦九韶算法把求n次多项式f(x)的值转化为求n个一次多项式 的值？
【提示】 f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋an－2xn－2＋…＋a1x＋a0 ＝(anxn－1＋an－1xn－ห้องสมุดไป่ตู้＋an－2xn－3＋…＋a1)x＋a0 ＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0 ＝…… ＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0 求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝anx＋an－1，然 后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2＝v1x＋an－2，v3＝v2x＋an－3，…，vn＝vn－ 1x＋a0，这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值.
【尝试解答】 在v1中虽然“v1＝2＋2＝4”，而计算机还是做了1次乘法 “v1＝2×1＋2＝4”.因为用秦九韶算法计算多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x ＋a0当x＝x0时的值时，首先将多项式改写成f(x)＝(…(anx＋an－1)x＋…＋a1)x＋a0， 然后再计算v1＝anx＋an－1，v2＝v1x＋an－2，v3＝v2x＋an－3，…，vn＝vn－1x＋a0.无论 an是不是1，这次的乘法都是要进行的.由以上分析，共做了5次乘法，5次加法.
用秦九韶算法求多项式f(x)＝x3－3x2＋2x－11当x＝x0时的值时，应把f(x)变形 为( )
A.x3－(3x＋2)x－11 B.(x－3)x2＋(2x－11) C.(x－1)(x－2)x－11 D.((x－3)x＋2)x－11
【解析】 f(x)＝x3－3x2＋2x－11＝(x2－3x＋2)x－11 ＝((x－3)x＋2)x－11. 【答案】 D
5.用更相减损之术求80和36的最大公约数. 【解】 (80,36)→(44,36) →(8,36)→(8,28) →(8,20)→(8,12) →(8,4)→(4,4)， 所以80与36的最大公约数为4.
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
(2)用“等值算法”求最大公约数的程序：
用“等值算法”可求得98与280的最大公约数为________.
【解析】 (98,280)→(98,182)→(98,84)→(14,84)→(14,70)→(14,56) →(14,42)→(14,28)→(14,14)，∴最大公约数为14. 【答案】 14
＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0.
令vk＝ (…(anx＋an－1)x＋…＋an－(k－1))x＋an－k
，
则递推公式为：vv0k＝＝vakn－，1x＋an－k， 其中k＝1,2，…，n.
2.计算P(x0)的方法： 先计算 最内层的括号，然后 由内向外 逐层计算，直到 最外层的一个括号 ， 然后加上 常数项 .
D.6,2
【解析】 f(x)＝4x5－x2＋2＝((((4x)x)x－1)x)x＋2，需5次乘法运算和2次加法
运算.
【答案】 C
1.用秦九韶算法计算f(x)＝6x5－4x4＋x3－2x2－9x，需要加法(或减法)与乘法
运算的次数分别为( )
A.5,4
B.5,5
C.4,4
D.4,5
【解析】 n次多项式需进行n次乘法；若各项均不为零，则需进行n次加 法，缺一项就减少一次加法运算.f(x)中无常数项，故加法次数要减少一次，为5－ 1＝4.故选D.
【答案】 D
2.用更相减损之术求294和84的最大公约数时，需做减法的次数是( )
【导学号：25440022】
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】 ∵(294,84)→(210,84)→(126,84)→(42,84)→(42,42)，∴需做4次减
法. 【答案】 C
3.用秦九韶算法求多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4的
教材整理2 割圆术 阅读教材P28～P29，完成下列问题. 用圆内接正多边形面积逐渐逼近 圆面积 的算法是计算圆周率的近似值.
我国魏晋时期的数学家刘徽和祖冲之利用割圆术所得的圆周率π是( )
A.准确值
B.近似值
C.循环小数
D.有理数
【答案】 B
教材整理3 秦九韶算法
阅读教材P30～P31，完成下列问题. 1.把一元n次多项式P(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0改写为 P(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0 ＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0 ＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0
v4＝262×3＋3＝789； v5＝789×3＋2＝2 369； v6＝2 369×3＋1＝7 108； v7＝7 108×3＝21 324， 故x＝3时，多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值为21 324.
利用秦九韶算法计算多项式的值关键是正确地将多项式改写，然后由内向外 依次计算，由于下一次的计算用到上一次计算的结果，只有细心，认真，保证中 间的结果正确才能保证计算准确.
学业分层测评(八) 点击图标进入…
[再练一题] 1.用“等值算法”(更相减损之术)求98与63的最大公约数. 【解】 操作如下： (98,63)→(35,63)→(28,35)→(7,28)→ (7,21)→(7,14)→(7,7)，所以98与63的最大公约数为7.
秦九韶算法的应用
时的值.
用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3
求最大公约数
[小组合作型]
用“等值算法”(更相减损之术)求78和36的最大公约数. 【精彩点拨】 按等值算法的步骤执行即可. 【尝试解答】 操作如下： (78,36)→(42,36)→(6,36)→(6,30)→(6,24)→(6,18)→ (6,12)→(6,6)，所以最大公约数为6.
用更相减损之术求两数最大公约数时，是大数减小数恰好等于小数时停止减 法，这时的小数就是要求的两数的最大公约数.
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________
值时，v4的值为( )
A.－57
B.220
C.－845
D.3 392
【解析】 v0＝3，v1＝v0x＋5，v2＝v1x＋6，v3＝v2x＋79，v4＝v3x－8，∴v4 ＝220.
【答案】 B
4.用更相减损之术求36,24的最大公约数是________.
【解析】 36－24＝12,24－12＝12， 因此36,24的最大公约数是12. 【答案】 12
[探究共研型] 秦九韶算法中的运算次数 探究1 怎样计算多项式f(x)＝x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1当x＝5时的值呢？统计所 做的计算的种类及计算次数分别是什么？ 【提示】 f(5)＝55＋54＋53＋52＋5＋1＝3 906.根据我们的计算统计可以得出 我们共需要10次乘法运算，5次加法运算. 探究2 我们把多项式变形为f(x)＝x2(1＋x(1＋x(1＋x)))＋x＋1，再统计一下计 算当x＝5时的计算的种类及计算次数分别是什么？