高二数学选修2 1测试题综合试题资料
选修2-1高二数学综合检测卷
综合检测卷(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．已知命题p ：任意x ∈R ，x 2－x ＋14>0，则綈p 为( )A ．任意x ∈R ，x 2－x ＋14≤0B ．存在x ∈R ，x 2－x ＋14≤0C ．存在x ∈R ，x 2－x ＋14>0D ．任意x ∈R ，x 2－x ＋14≥0答案 B解析 全称命题的否定是特称命题． 2．双曲线x 2m 2＋12－y 24－m 2＝1的焦距是( )A ．4B ．2 2C ．8D ．与m 有关答案 C解析 依题意，a 2＝m 2＋12，b 2＝4－m 2，所以c ＝a 2＋b 2＝16＝4.所以焦距2c ＝8. 3．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 先求出两条直线平行的充要条件，再判断． 若直线l 1与l 2平行， 则a (a ＋1)－2×1＝0， 即a ＝－2或a ＝1，所以a ＝1是直线l 1与直线l 2平行的充分不必要条件．4．已知圆M ：x 2＋y 2＋2mx －3＝0(m <0)的半径为2，椭圆C ：x 2a 2＋y 23＝1的左焦点为F (－c,0)，若垂直于x 轴且经过F 点的直线l 与圆M 相切，则a 的值为( )A.34 B ．1 C ．2 D ．4答案 C解析 圆M 的方程可化为(x ＋m )2＋y 2＝3＋m 2， 则由题意得m 2＋3＝4， 即m 2＝1(m <0)，∴m ＝－1，则圆心M 的坐标为(1,0)． 由题意知直线l 的方程为x ＝－c ， 又∵直线l 与圆M 相切，∴c ＝1， ∴a 2－3＝1，∴a ＝2.5．对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，有如下关系：6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →，则( ) A ．四点O ，A ，B ，C 必共面 B ．四点P ，A ，B ，C 必共面 C ．四点O ，P ，B ，C 必共面 D ．五点O ，P ，A ，B ，C 必共面 答案 B解析 由6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →， 得(OA →－OP →)＝2(OP →－OB →)＋3(OP →－OC →)， 即PA →＝2BP →＋3CP →.由共面向量定理，知P ，A ，B ，C 四点共面．6．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A.172B ．3 C. 5 D.92答案 A解析 由抛物线的定义知，点P 到该抛物线的准线的距离等于点P 到其焦点的距离，因此点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和即为点P 到点(0,2)的距离与点P 到焦点的距离之和，显然当P ，F ，(0,2)三点共线时，距离之和取得最小值，最小值等于0－1222－02＝172.7.如图，将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，若点P 满足BP →＝12BA →－12BC →＋BD →，则|BP →|2的值为( ) A.32 B ．2 C.10－24D.94答案 D解析 由题意可知|BA →|＝1，|BC →|＝1，|BD →|＝ 2. 〈BA →，BD →〉＝45°，〈BD →，BC →〉＝45°，〈BA →，BC →〉＝60°. ∴|BP →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12BA →－12BC →＋BD →2＝14BA →2＋14BC →2＋BD →2－12BA →·BC →＋BA →·BD →－BC →·BD →＝14＋14＋2－12×1×1×12＋1×2×22－1×2×22＝94. 8．已知命题p ：“若a >b >0，则log 12a <log 12b ＋1”，则命题p 的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 答案 B解析 对于命题p ，当a >b >0时，有log 12a <log 12b ，则必有log 12a <log 12b ＋1，因此原命题正确，逆否命题也正确；但当log 12a <log 12b ＋1时，得log 12a <log 12b 2，得a >b2>0，不一定有a >b >0，因此逆命题不正确，故否命题也不正确．9．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 的夹角为( )A.5π12B.π3C.π4D.π6答案 B解析 如图所示：S ABC ＝12×3×3×sin 60°＝334.∴VABC －A 1B 1C 1＝S ABC ×OP ＝334×OP ＝94，∴OP ＝ 3.又OA ＝32×3×23＝1， ∴tan ∠OAP ＝OP OA＝3， 又0<∠OAP <π2，∴∠OAP ＝π3.10．设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O 、所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1、B 1和A 2、B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤233，2 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫233，2 C.⎝⎛⎭⎪⎫233，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫233，＋∞ 答案 A解析 由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x 轴(或y 轴)对称．又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30°且小于等于60°，即tan 30°<ba≤tan 60°， ∴13<b 2a 2≤3.又e 2＝(c a )2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2， ∴43<e 2≤4，∴233<e ≤2， 故选A.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．若命题“存在x ∈R ，使x 2＋(a －1)x ＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围为________． 答案 －1≤a ≤3解析 根据题意可得任意x ∈R ， 都有x 2＋(a －1)x ＋1≥0， ∴Δ＝(a －1)2－4≤0， ∴－1≤a ≤3.12.如图，在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________.(用a ，b ，c 表示)答案 12a ＋14b ＋14c解析 OE →＝12(OA →＋OD →)＝12OA →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12OB →＋12OC →＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c . 13．给出下列结论：①若命题p ：存在x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：任意x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则命题“p 且綈q ”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab＝－3； ③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”． 其中正确结论的序号为________． 答案 ①③解析 对于①，命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p 且綈q 为假命题，故①正确；对于②，当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；易知③正确．所以正确结论的序号为①③. 14．已知F 1，F 2是椭圆x 224＋y 249＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，则三角形PF 1F 2的面积等于________． 答案 24解析 由于a 2＝49，a ＝7， 所以|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝14， 又|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3， 所以|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.又因为|F 1F 2|＝2c ＝249－24＝10， 且|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， 所以PF 1⊥PF 2.故△PF 1F 2的面积S ＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×8×6＝24.15．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________．答案 ±1解析 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、Q (x 0，y 0)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1y 2＝4x.化简得：k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0.∴x 1＋x 2＝4－2k 2k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2＋2)＝4k.∴x 0＝2－k 2k 2，y 0＝2k.由x 0－12y 0－02＝2得：⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2k 2k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＝4. ∴k ＝±1.三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．已知命题p ：不等式|x －1|>m －1的解集为R ，命题q ：f (x )＝－(5－2m )x是减函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围．解 由于不等式|x －1|>m －1的解集为R ， 所以m －1<0，m <1；又由于f (x )＝－(5－2m )x是减函数， 所以5－2m >1，m <2.即命题p ：m <1，命题q ：m <2. 又由于p 或q 为真，p 且q 为假， 所以p 和q 中一真一假．当p 真q 假时应有⎩⎪⎨⎪⎧ m <1，m ≥2，m 无解．当p 假q 真时应有⎩⎪⎨⎪⎧m ≥1，m <2， 1≤m <2.故实数m 的取值范围是1≤m <2.17．已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1交于A 、B 两点． (1)求a 的取值范围；(2)若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1消去y ，得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧3－a 2≠0，Δ>0，即－6<a <6且a ≠± 3.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2a3－a2，x 1x 2＝－23－a 2.∵以AB 为直径的圆过原点，∴OA ⊥OB ， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，即x 1x 2＋(ax 1＋1)(ax 2＋1)＝0， 即(a 2＋1)x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1＝0. ∴(a 2＋1)·－23－a 2＋a ·2a 3－a 2＋1＝0，∴a ＝±1，满足(1)所求的取值范围． 故a ＝±1.18．已知椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1 (a >b >0)的离心率为22，且a 2＝2b .(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：x －y ＋m ＝0与椭圆交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，求m 的值．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a 2＝2b ，b 2＝a 2－c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，b ＝1，故椭圆的方程为x 2＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)．联立直线与椭圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 22＝1，x －y ＋m ＝0，即3x 2＋2mx ＋m 2－2＝0， 所以x 0＝x 1＋x 22＝－m 3，y 0＝x 0＋m ＝2m3，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 3，2m 3，又因为M 点在圆x 2＋y 2＝5上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 32＝5，解得m ＝±3.19.如图，平面PAC ⊥平面ABC ，△ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，E ，F ，O 分别为PA ，PB ，AC 的中点，AC ＝16，PA ＝PC ＝10.设G 是OC 的中点，证明：FG ∥平面BOE .证明 如图，连接OP ，以点O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，则O (0,0,0)，B (8,0,0)，P (0,0,6)，E (0，－4,3)，F (4,0,3)，G (0,4,0)．因为OB →＝(8,0,0)，OE →＝(0，－4,3)，设平面BOE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·OB →＝8x ＝0，n ·OE →＝－4y ＋3z ＝0，解得x ＝0,4y ＝3z ，令z ＝4，则n ＝(0,3,4)， 所以平面BOE 的一个法向量为n ＝(0,3,4)． 由FG →＝(－4,4，－3)，得n ·FG →＝0，又直线FG 不在平面BOE 内，所以FG ∥平面BOE .20.如图所示，在三棱锥P －ABQ 中，PB ⊥平面ABQ ，BA ＝BP ＝BQ ，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，AQ ＝2BD ，PD 与EQ 交于点G ，PC与FQ 交于点H ，连接GH . (1)求证：AB ∥GH ；(2)求平面EFQ 与平面PDC 的夹角．(1)证明 因为D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点， 所以EF ∥AB ，DC ∥AB .所以EF ∥DC .又EF 平面PCD ，DC ⊂平面PCD ， 所以EF ∥平面PCD . 又EFEFQ ，平面EFQ ∩平面PCD ＝GH ， 所以EF ∥GH .又EF ∥AB ， 所以AB ∥GH .(2)解 在△ABQ 中，AQ ＝2BD ，AD ＝DQ ，所以∠ABQ ＝90° 又PB ⊥平面ABQ ，所以BA ，BQ ，BP 两两垂直．以B 为坐标原点，分别以BA ，BQ ，BP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设BA ＝BQ ＝BP ＝2，则E (1,0,1)，F (0,0,1)，Q (0,2,0)，D (1,1,0)，C (0,1,0)，P (0,0,2)．所以EQ →＝(－1,2，－1)，FQ →＝(0,2，－1)，DP →＝(－1，－1，2)，CP →＝(0，－1,2)． 设平面EFQ 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 由m ·EQ →＝0，m ·FQ →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋2y 1－z 1＝0，2y 1－z 1＝0，取y 1＝1，得m ＝(0,1,2)．设平面PDC 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 由n ·DP →＝0，n ·CP →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－y 2＋2z 2＝0，－y 2＋2z 2＝0，取z 2＝1，得n ＝(0,2,1)．所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝45.所以平面EFQ 与平面PDC 夹角的余弦值为45.21．已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点．(1)解如图，设动圆圆心为O 1(x ，y )，由题意，得|O 1A |＝|O 1M |，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点， ∴|O 1M |＝x 2＋42， 又|O 1A |＝x －42＋y 2，∴x －42＋y 2＝x 2＋42，化简得y 2＝8x (x ≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标为(0,0)也满足方程y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)， P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中， 得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0. 其中Δ＝－32kb ＋64>0. 由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝8－2bkk2，① x 1x 2＝b 2k2，②因为x 轴是∠PBQ 的角平分线， 所以y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1， 即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0③将①，②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ>0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 即直线l 过定点(1,0)．。
(完整word版)高中数学综合测试题人教版新课标选修2-1
高中数学综合测试题新课标选修2-1一、选择题1、以下命题中，真命题的是（）（ A）命题“若ac bc ，则a b ”（ B）命题“若b 3 ，则b29 ”的抗命题（ C）命题“若x 3 ，则x 23x20 ”的否命题（D）命题“相像三角形的对应角相等”的逆否命题答案：（ D）；2、以下命题中，真命题的是（）A x2且 y 3 ，是 x y 5的充要条件（）（ B）A B是 A 是 B 的真子集的充足条件（ C）b24ac 0是一元二次不等式ax 2bx c0的解集为 R 的充要条件（ D）三角形知足勾股定理的充要条件为此三角形是直角三角形答案：（ D）；3、若“非p或非q”是假命题，则以下结论中①命题“ p q ”是真命题；②命题p q 是假命题；③命题“ p q ”是真命题；④命题“ p q ”是假命题；此中正确命题的个数为（）（ A） 1 个（ B） 2 个（ C） 3 个（ D） 4 个答案：（ B）；正确的命题为①、③4、已知a, b是异面直线，A, B a, C , D b, AC b, BD b 且 AB 2,CD1，则a, b 所成的角为（）（ A）300（B）450（ C）600（ D）900答案：（ C）5、命题甲：是第二象限的角；命题乙：sin tan0 ，则命题甲是命题乙成立的（）（ A）充足不用要条件；（ B）必需不充足条件；（ C）充要条件；（ D）既不充足也不用要条件；答案：（ A）6、若p : x 3 2x x2,q : 3 2x x 2，则p是q的（）（ A）充足不用要条件；（ B）必需不充足条件；（ C）充要条件；（ D）既不充足也不用要条件；答案：（ D）7、若F1, F2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，当PF1PF2，且PF1F2 300，则椭圆的离心率为（）（ A） 2 1（ B）3（ C） 3 1（D）2 32答案：（ C）8、已知双曲线x2y21和椭圆 x2y 21(a 0, m b0) 的离心率互为倒数，a2b2m2 b 2那么以 a, b, m 为边的三角形是（）（ A）锐角三形（ B）钝角三角形（ C）直角三角形（ D）形状不定答案：（ C）；9、双曲线x2y 21(mn 0) 的离心率为 2 ，有一个焦点与抛物线y24x 的焦点m n重合，则 mn 的值为（）（ A）3（B）4 3（ C）15（ D）2 51617169m n1答案：（ A）由1即得；m2 10、直线y x b 交抛物线y 1x 2于A, B两点， O 为抛物线极点， OA OB ，则b 的值为（2）（ A）2（ B）0（ C）1（ D）4y x bx 2x1 x22答案：（ A）；由2x2b1 x202by x1 x22又 y1 y2(x1b)( x2b)2b2b b2b2，由 OA OB y1y21即可；x1x211、过原点的直线与椭圆x 2y 2 b 0) 交于 A, B 两点，若右焦点为 F (c,0) ，ab 1(a22则FAB 的最大面积为（）（ A ） bc （ B ） ab（ C ） ac（ D ） b 2答案：（ A ）12、已知三角形的三极点为A(1, 1,2), B(5, 6,2), C (1,3, 1) ，则 AC 边上的高 BD 的长为（）（ A ） 3（ B ） 4 （ C ） 5 （ D ） 6答案：（ C ）；设 D( x, y, z) ，则 AD (x 1, y 1, z 2), BD ( x 5, y 6, z 2) ，x 1x 1AC (0,4, 3) ，由 AD // AC, BDAC ，得4321 1 z 2yy54( y 6) 3( z 2)22z5| BD |( x 5) 2( y 6)2( z 2) 25二、填空题13、命题 p ：0 不是自然数； 命题 q ：是无理数， 在命题 “ p q ”、“ p q ”、“ p ”“ q ”中假命题是 ___；真命题是 ___；答案：假命题是“p q ”与“ q ”；真命题是“ p q ”与“p ”；x 2 y 2 1(a b 0) 上一动点， F 1 , F 2 是椭圆的两个焦点，14、设 P(x 0 , y 0 ) 是椭圆2b 2a则| PF 1 | | PF 2 |的最大值为答案： a 2 ； | PF 1 | | PF 2| (| PF 1 | | PF 2 |) 2a 2215、直线 l 与抛物线 y 28x 交于 A, B 两点，且 l 经过抛物线的焦点 F ， A(8,8) ，则线段 AB 的中点到准线的距离为答案：25y4( x 2)1, 2) ，而 | AB | | AF || BF | 25；由3得 B( 4y 2 8x22故线段 AB 的中点到准线的距离为25 ；416、已知 A(4,1,3), B(2,3,1), C (3,7, 5) ，点 P(x, 1,3) 在平面 ABC 内，则 x答案：x 11AB ( 2,2, 2), AC( 1,6, 8), AP ( x 4,2,0)，因为2 m n( x 4)由 ABm ACn AP ，得 2 6m2n x 11 ；28m三、解答题17、设 p ：实数 x 知足 x 24ax 3a 20 ，此中 a0, q ：实数 x 知足 x 2 x 6 0或 x22x8，且p 是 q 的必需不充足条件，务实数a 的范围。
高二数学选修2-1期末综合测试卷
高二数学选修2－1期末综合试题（卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 命题“若a b <，则a c b c +<+”的逆否命题是（ ）A. 若a c b c +<+，则a b >B. 若a c b c +>+，则a b >C. 若a c b c +≥+，则a b ≥D. 若a c b c +<+，则a b ≥2. 以下四组向量中，互相平行的有（ ）组.(1) (1,2,1)a =,(1,2,3)b =-； (2) (8,4,6)a =-,(4,2,3)b =-；（3）(0,1,1)a =-,(0,3,3)b =-； （4）(3,2,0)a =-,(4,3,3)b =-A. 一B. 二C. 三D. 四3. 若平面α的法向量为1(3,2,1)n =，平面β的法向量为2(2,0,1)n =-，则平面α与β夹角的余弦是（ ）A.D. 4.“5,12k k Z αππ=+∈”是“1sin 22α=”的（ ） A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分又不必要条件5. “直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ）条件A ．充要B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分又非必要6.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱11A B 的中点，则1A B 与1D E 所成角的余弦值为（ ）A B C D 7. 顶点在原点，且过点(4,4)-的抛物线的标准方程是（ ） A.24y x =- B.24x y =C.24y x =-或24x y =D. 24y x =或24x y =- 8．设椭圆22221(00)x y m n m n+=>>，的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（ ）A ．2211612x y +=B ．2211216x y +=C ．2214864x y +=D ．2216448x y += 9. 已知两定点1(5,0)F ，2(5,0)F -，曲线上的点P 到1F 、2F 的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为（ ）A.221916x y -=B.221169x y -=C.2212536x y -=D. 2212536y x -= 10 . 已知椭圆221102x y m m +=--，若其长轴在y 轴上.焦距为4，则m 等于 （ ） A.4. B.5. C. 7. D.8.11．以下有四种说法，其中正确说法的个数为：（ ）（1）“m 是实数”是“m 是有理数”的充分不必要条件；(2) “a b >”是“22a b >”的充要条件；(3) “3x =”是“2230x x --=”的必要不充分条件；（4）“A B B =”是“A φ=”的必要不充分条件.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 12.双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）AB CD 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
高二数学人教版选修2-1习题本册综合素质检测2Word版含答案
D．若 x≥ 1 或 x≤－ 1，则 x2≥ 1
[答案 ] D
2．已知命题 p：? x∈ R，使 sinx＝ 25；命题 q： ? x∈R ，都有 x2＋ x＋ 1>0.给出下列结论： ①命题“ p∧ q”是真命题；②命题“ p∧ (? q)”是假命题；③命题“ (? p)∨ q”是真命题； ④命题“ (? p)∨(? q) ”是假命题．
本册综合素质检测 (二 )
一、选择题 (本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一
个是符合题目要求的 )
1．命题“若 x2<1，则－ 1<x<1”的逆否命题是 (
)
A ．若 x2≥ 1，则 x≥ 1 若 x≤－ 1
B．若－ 1<x<1，则 x2<1
C．若 x>1 或 x<－ 1，则 x2>1
A 选项： ? x∈ R， sin2x2＋
cos22x＝ 1，故 A 为假命题；对于
B 选项：存在 x＝ π， sinx＝ 1， cosx＝ 3，sinx<cosx，故 B 为
6
2
2
假命题；
C
项，
x2－
x＋
1＝ 4
(x
－
1 2
)2，对，
x∈
(0
，＋
∞
)(x－
1 2
)2≥
0
恒成立，故
C 项正确；对于
D
|e|＝ 1，求得
(3102，
4 2， 10
－
2 2 )和
(
－3102，－
4 2， 10
2 2 )．
5．如图所示，在正方体 ABCD －A1B1C1D1 中，以 D 为原点建立空间直角坐标系， 中点， F 为 A1D1 的中点，则下列向量能作为平面 AEF 的一个法向量的是 ( )
高二数学选修2-1测试试题及答案
（选修2-1）模块测试试题（本试题满分150分；用时100分钟）一、选择题：（本大题共12小题；每小题5分；共60分．在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的．）1.命题“若a b >；则88a b ->-”的逆否命题是 （ ）a b <；则88a b -<-88a b ->-；则a b > a ≤b ；则88a b -≤-88a b -≤-；则a ≤b2．如果方程x 2+k y 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆；那么实数k 的取值范围是（ ） A ．(0； +∞)B ．(0； 2)C ．(0； 1)D ． (1； +∞)3.P:12≥-x ；Q:0232≥+-x x ；则“非P ”是“非Q ”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件4．双曲线221169x y -=的左、右焦点分别为F 1；F 2；在左支上过点F 1的弦AB 的长为5； 那么△ABF 2的周长是（ ）A 、24B 、25C 、26D 、 285.若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为21；则m=（ ） A.3 B.23 C.38 D.32 6．在同一坐标系中；方程)0(0122222>>=+=+b a by ax by a x 与的曲线大致是（ ）7.椭圆221259x y +=的两个焦点分别为F 1、F 2；P 为椭圆上的一点；已知PF 1⊥PF 2；则∆PF 1F 2的面积为（ ）A.9B.12 8．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1；E 是11A B 的中点；则E 到平面11ABC D 的距离是（ ） Ａ．32Ｂ．22Ｃ．12Ｄ．339．若向量a 与b 的夹角为60°；4=b ；(2)(3)72a b a b +-=-；则a =（ ） Ａ．2 Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．1210．方程22111x y k k表示双曲线；则k 的取值范围是（ ）A ．11<<-kB ．0>kC ．0≥kD ．1>k 或1-<k11.方程12222=+kb y ka x (a ＞b ＞0；k ＞0且k ≠1)；与方程12222=+by a x (a ＞b ＞0)表示的椭圆（ ）（A ）有等长的短轴、长轴 （B ）有共同的焦点（C ）有公共的准线 （D ）有相同的离心率 12．如图1；梯形ABCD 中；AB CD ∥；且AB ⊥平面α；224AB BC CD ===；点P 为α内一动点；且APB DPC ∠=∠；则P 点的轨迹为（ ） Ａ．直线 Ｂ．圆 Ｃ．椭圆 Ｄ．双曲线二、填空题：（本大题共5小题；每小题6分；共30分．将正确答案填在答题卷上对应题号的横线上．）13.设甲、乙、丙是三个命题；如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件；但不是乙的必要条件；那么丙是甲的 （①.充分而不必要条件；②.必要而不充分条件 ；③.充要条件） 14．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中；向量1BA 与向量AC 所成的角为 ． 15.已知向量)0,3,2(-=a ；)3,0,(k b =；若b a ,成1200的角；则k= ．16.抛物线的的方程为22x y =；则抛物线的焦点坐标为____________17.以下三个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点；K 为非零常数；若｜PA ｜－｜PB ｜＝K ；则动点P 的轨迹是双曲线。
人教新课标版数学高二-数学选修2-1综合素质检测 全册
本册综合素质检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．给出命题：p：3>1，q：4∈{2,3}，则在下列三个命题：“p ∧q”，“p∨q”，“綈p”中，真命题的个数为()A．0B．3C．2D．1[答案]D[解析]p：3>1，是真命题，q：4∈{2,3}是假命题，∴“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，“綈p”是假命题．2．(2013·山东理，7)给定两个命题p，q，若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]由q⇒綈p且綈p⇒/ q可得p⇒綈q且綈q⇒/ p，所以p 是綈q的充分不必要条件．3．命题“存在n∈N*，n2＋3n能被10整除”的否定是() A．不存在n∈N*，n2＋3n能被10整除B．存在n∈N*，n2＋3n不能被10整除C．对任意的n∈N*，n2＋3n不能被10整除D．对任意的n∈N*，n3＋3n能被10整除[答案] C[解析] 特称命题的否定是全称命题，故选C.4．已知方程x 21＋k ＋y 24－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－1<k <4B ．k <－1或k >4C ．k <－1D ．k >4[答案] B[解析] 由题意，得(1＋k )(4－k )<0，∴(k ＋1)(k －4)>0，∴k >4或k <－1.5．已知A (－1,0)，B (2,4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是( )A ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋16＝0B ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0C ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y ＋24＝0D ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y －24＝0 [答案] B[解析] 由两点式，得直线AB 的方程是 y －04－0＝x ＋12＋1， 即4x －3y ＋4＝0， 线段AB 的长度|AB |＝(2＋1)2＋42＝5.设C 的坐标为(x ，y )，则12×5×|4x －3y ＋4|5＝10， 即4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0.6．如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F 1、F 2在x 轴上，A 、B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，则此椭圆的离心率是( )A.12B.55C.13D.22[答案] B[解析] 点P 的坐标(－c ，b 2a )，于是k AB ＝－b a ，kPF 2＝－b 22ac ，由k AB ＝kPF 2得b ＝2c ，故e ＝c a ＝55.7．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点P (k ，－2)与点F 的距离为4，则k 等于( )A ．4B ．4或－4C ．－2D ．－2或2[答案] B[解析] 由题设条件可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，又点P 在抛物线上，则k 2＝4p ，∵|PF |＝4∴p2＋2＝4，即p ＝4，∴k ＝±4.8．(2013·山东理，11)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M ，若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316 B.38 C.233 D.433[答案] D[解析] 由已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为A (0，p 2)，双曲线x 23－y 2＝1的右焦点为B (2,0)，渐近线方程为y ＝±33x .设M (x 0，y 0)，则y 0＝x 202p ，由k MA ＝k MB 得x 202p －p 2x 0＝p 2－2，(1)由y ＝x 22p 知，y ′＝x p ，则y ′|x ＝x 0＝x 0p ＝33， 代入(1)式中消去x 0并解之得p ＝433.9．已知双曲线C ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为C 的右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．24B ．36C ．48D ．96 [答案] C[解析] 依题意得|PF 2|＝|F 1F 2|＝10，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝16，因此△PF 1F 2的面积等于12×16×102－⎝ ⎛⎭⎪⎫1622＝48，选C.10．(2013·新课标全国Ⅱ理，7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别为(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为( )[答案] A[解析] 在空间直角坐标系中画出各点，可见这四点为正四面体的四个顶点，将其置于正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，易得此四面体在zOx 平面投影图形为A.11．(2013·大纲理，8)椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )A ．[12，34]B ．[38，34]C ．[12，1] D ．[34，1][答案] B [解析] 如图：直线A 2M 的方程为y ＝－(x －2)，即y ＝2－x ， 代入椭圆方程x 24＋y 23＝1中消去y 得，7x 2－16x ＋4＝0， ∴2＋x ＝167，∴x ＝27，∴M 点坐标为(27，127)． 同理可得N 点坐标为(2619，2419)∵KA 1M ＝12727＋2＝34，KA 1N ＝24192619＋2＝38，∴直线PA 1斜率的取值范围是[38，34]．12. 在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小( )A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°[答案] B[解析] 解法一：设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c ，AB ＝2，则|a |＝|b |＝2，|c |＝1，a ·c ＝0，b ·c ＝0，a ·b ＝1. ∴AB 1→＝AB →＋BB 1→＝a ＋c ， BC 1→＝BC →＋CC 1→＝(b －a )＋c ，∵AB 1→·BC 1→＝a ·b －|a |2＋a ·c ＋c ·b －c ·a ＋|c |2＝0， ∴AB 1→⊥BC 1→，即AB 1⊥C 1B .解法二：取AC 中点D ，建立如图所示的坐标系．设AB ＝1，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，22，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，22，∴cos 〈AB 1→，C 1B →〉＝AB 1→·C 1B→|AB 1→||C 1B →|＝0.∴AB 1与C 1B 所成的角为90°.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1、F 2是双曲线的两个焦点，且|PF 1|＝17，则|PF 2|的值为________．[答案] 33[解析] 在双曲线x 264－y 236＝1中，a ＝8，b ＝6，故c ＝10.由P 是双曲线上一点得，||PF 1|－|PF 2||＝16.∴|PF 2|＝1或|PF 2|＝33. 又|PF 2|≥c －a ＝2，∴|PF 2|＝33.14．已知在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝3MA ，N 为BC 中点，用a ，b ，c 表示MN →，则MN →等于________．[答案] －34a ＋12b ＋12c[解析] 显然MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－34OA →＝12b ＋12c －34a . 15．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值为________．[答案] 32 [解析]当直线的斜率不存在时，其方程为x ＝4，由⎩⎨⎧x ＝4y 2＝4x，得y 1＝－4，y 2＝4，∴y 21＋y 22＝32.当直线的斜率存在时，其方程为y ＝k (x －4)，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －4).消去x 得ky 2－4y －16k ＝0，∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－16，∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k2＋32>32， 综上可知y 21＋y 22≥32.∴y 21＋y 22的最小值为32.16．过二面角α－l －β内一点P 作PA ⊥α于A ，作PB ⊥β于B ，若PA ＝5，PB ＝8，AB ＝7，则二面角α－l －β的度数为________．[答案] 120°[解析] 设PA →＝a ，PB →＝b ，由条件知|a |＝5，|b |＝8，|AB →|＝7， ∴AB 2＝|AB →|2＝|b －a |2 ＝|b |2＋|a |2－2a ·b ＝64＋25－2a ·b ＝49，∴a ·b ＝20，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝12， ∴〈a ，b 〉＝60°，∴二面角α－l －β为120°.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知p ：“直线x ＋y －m ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝1相交”；q ：“mx 2－x ＋m －4＝0有一正根和一负根”，若p ∨q 为真，綈p 为真，求实数m 的取值范围．[解析] ∵直线x ＋y －m ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝1相交，则|1＋0－m |2<1，∴m ∈(1－2，1＋2)． ∵mx 2－x ＋m －4＝0有一正根和一负根，则m －4m <0，即0<m <4.又∵p ∨q 为真，綈p 为真，∴p 假，q 真，∴m ∈[1＋2，4)．18．(本小题满分12分)已知动圆P 过定点A (－3,0)，并且在定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．[解析]如图，设动圆P和定圆B内切于点M，动圆圆心P到两定点，即定点A(－3，0)和定圆圆心B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8.所以点P的轨迹是以A、B为两焦点，长半轴长为4，短半轴长为b＝42－32＝7的椭圆，方程为：x2 16＋y27＝1.19．(本小题满分12分)四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M 在PB上，且PB＝4PM，PB与平面ABC成30°角．(1)求证：CM∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PAD.[证明] 如图所示，建立空间直角坐标系C －xyz .(1)∵PC ⊥平面ABCD ，∴∠PBC 为PB 与平面ABC 所成的角，∠PBC ＝30°.∵|PC |＝2，∴|BC |＝23，∴|PB |＝4，得D (0,1,0)、B (23，0,0，)、A (23，4,0)、P (0,0,2)，又|PB |＝4|PM |，∴|PM |＝1，M (32，0，32)，∴CM →＝(32，0，32)，DP →＝(0，－1,2)，DA →＝(23，3,0)，设CM →＝λDP →＋μDA →，则23μ＝32，－λ＋3μ＝0,2λ＝32，∴λ＝34，μ＝14，即CM →＝34DP →＋14DA →，∴CM →，DP →，DA →共面．∵C ∉平面PAD ，∴CM ∥平面PAD .(2)作BE ⊥PA 于E ，|PB |＝|AB |＝4，∴E 为PA 的中点，∴E (3，2,1)，∴BE →＝(－3，2,1)．∵BE →·DA →＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0，BE →·DP →＝(－3，2,1)·(0，－1,2)＝0，∴BE ⊥DA ，又BE ⊥DP ，∴BE ⊥平面PAD ，由于BE ⊂平面PAB ，则平面PAB ⊥平面PAD .[点评] ①证明线面平行，既可以用判定定理直接求证，也可以用向量证，用向量证明时，既可以证明两向量共线，也可以证明向量共面，还可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．②证明面面垂直，既可以应用判定定理直接证，也可以用向量证用向量证明时，可证明其法向量垂直．③常常将向量几何证明方法与综合几何证明方法结合使用．20．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知PA ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABC 成60°的角，底面ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AB ＝BC ＝12AD .(1)求证：平面PCD ⊥平面PAC ；(2)设E 是棱PD 上一点，且PE ＝13PD ，求异面直线AE 与PB 所成的角．[解析] 如图，建立空间直角坐标系A －xyz .∵PA ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABC 成60°，∴∠PBA ＝60°.取AB ＝1，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，P (0,0，3)，D (0,2,0)．(1)∵AC →＝(1,1,0)，AP →＝(0,0，3)，CD →＝(－1,1,0)，∴AC →·CD →＝－1＋1＋0＝0，AP →·CD →＝0. ∴AC ⊥CD ，AP ⊥CD ， ∴CD ⊥平面PAC .CD ⊂平面PCD ，∴平面PCD ⊥平面PAC .(2)∵PE →＝13PD →，∴E (0，23，233)，∴AE →＝(0，23，233)．又PB →＝(1,0，－3)，∴AE →·PB →＝－2.∴cos 〈AE →·PB →〉＝AE →·PB →|AE →|·|PB →|＝－243×2＝－34. ∴异面直线AE 与PB 所成的角为arccos 34.21．(本小题满分12分)设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B .(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且PA →＝512PB →，求a 的值．[解析] (1)由C 与l 相交于两个不同的点，故知方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2a 2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两组不同的实数解，消去y 并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x－2a 2＝0.①所以⎩⎨⎧ 1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)>0.解得0<a <2且a ≠1，双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1， ∵0<a <2且a ≠1，∴e >62，且e ≠2，即离心率e 的取值范围为(62，2)∪(2，＋∞)(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0,1)，∵PA →＝512PB →，∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)．由此得x 1＝512x 2，由于x 1、x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，所以1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a 21－a2. 消去x 2得，－2a 21－a2＝28960.由a >0，所以a ＝1713. 22．(本小题满分14分)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝6，点E 是棱PB 的中点．(1)求直线AD 与平面PBC 的距离；(2)若AD ＝3，求二面角A －EC －D 的平面角的余弦值．[解析] 解法一：(1)如下图，在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，从而AD ∥平面PBC ，故直线AD 与平面PBC 的距离为点A 到平面PBC 的距离．因PA⊥底面ABCD，故PA⊥AB，由PA＝AB知△PAB为等腰直角三角形，又点E是棱PB的中点，故AE⊥PB.又在矩形ABCD中，BC⊥AB，而AB是PB在底面ABCD内的射影，由三垂线定理得BC⊥PB，从而BC⊥平面PAB，故BC⊥AE，从而AE⊥平面PBC，故AE之长即为直线AD与平面PBC的距离．在Rt△PAB中，PA＝AB＝6，所以AE＝12BP＝12PA2＋AB2＝ 3.(2)过点D作DF⊥CE，交CE于F，过点F作FG⊥CE，交AC 于G，则∠DFG为所求的二面角的平面角．由(1)知BC⊥平面PAB，又AD∥BC，得AD⊥平面PAB，故AD ⊥AE，从而DE＝AE2＋AD2＝ 6.在Rt△CBE中，CE＝BE2＋BC2＝ 6.由CD ＝6，所以△CDE 为等边三角形，故点F 为CE 的中点，且DF ＝CD ·sin π3＝322.因为AE ⊥平面PBC ，故AE ⊥CE ，又FG ⊥CE ，FG 綊12AE ，从而FG ＝32，且G 点为AC 的中点．连接DG .则在Rt △ADC 中，DG ＝12AC ＝12AD 2＋CD 2＝32.所以cos ∠DFG ＝DF 2＋FG 2－DG 22·DF ·FG ＝63.解法二：(1)如下图，以A 为坐标原点，射线 AB 、AD 、AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴正半轴，建立空间直角坐标系A －xyz .设D (0，a,0)，则B (6，0,0)，C (6，a,0)，P (0,0，6)，E (62，0，62)．因此AE →＝(62，0，62)，BC →＝(0，a,0)，PC →＝(6，a ，－6)．则AE →·BC →＝0，AE →·PC →＝0，所以AE ⊥平面PBC .又由AD ∥BC 知AD ∥平面PBC ，故直线 AD 与平面PBC 的距离为点A 到平面PBC 的距离，即为|AE →|＝ 3.(2)因为|AD →|＝3，则D (0，3，0)，C (6，3，0)．设平面AEC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则n 1·AC →＝0，n 1·AE →＝0.又AC →＝(6，3，0)，AE →＝(62，0，62)，故 ⎩⎪⎨⎪⎧ 6x 1＋3y 1＝0，62x 1＋62z 1＝0.所以y 1＝－2x 1，z 1＝－x 1.可取x 1＝－2，则n 1＝(－2，2，2)．设平面DEC 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则n 2·DC →＝0，n 2·DE →＝0，又DC →＝(6，0,0)，DE →＝(62，－3，62)，高中数学-打印版精心校对 故⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝0，62x 2－3y 2＋62z 2＝0.所以x 2＝0，z 2＝2y 2，可取y 2＝1，则n 2＝(0,1，2)．故cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝63. 所以二面角A －EC －D 的平面角的余弦值为63.[点评] 利用法向量解决立体几何问题时要注意正确写出点的坐标，求出法向量，从而表示出所要求的距离及角．。
高二数学 (人教A版)选修2-1全册综合测试题(含详解)
本册综合测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1．已知p ：2x －3<1，q ：x 2－3x <0，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 p ：x <2，q ：0<x <3.∴pD ⇒/q ，qD ⇒/p .∴p 是q 的既不充分也不必要条件．答案 D2．抛物线y ＝14x 2的焦点坐标为( )A ．(116，0)B ．(－116，0)C ．(0,1)D ．(0，－1)解析 由y ＝14x 2，得x 2＝4y ，∴焦点坐标为(0,1)．答案 C3．已知命题p ：3是奇数，q ：3不是质数．由它们构成的“p ∨q ”“p ∧q ”“非p ”形式的命题中真命题有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析 命题p 为真，q 为假，∴“p ∨q ”为真，“p ∧q ”、“綈p ”为假，故应选B.答案 B4．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－3,0)C ．(－12,0)D ．(－60，－12)解析 由x 24＋y 2k ＝1表示双曲线知，k <0，且a 2＝4，b 2＝－k ，∴e 2＝c 2a 2＝4－k 4，∵1<e <2，∴1<4－k 4<4.∴4<4－k <16，∴－12<k <0.答案 C5．下列结论正确的个数是( )①命题“所有的四边形都是平行四边形”是特称命题；②命题“∀x ∈R ，x 2＋1>0”是全称命题；③若p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋1≤0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋1≤0.A ．0B ．1C ．2D ．3解析 ①是全称命题，②是全称命题，③綈p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋1>0.∴①不正确，②正确，③不正确．答案 B6．设α，β，γ是互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出下列命题：①若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β；④若m ∥α，n ⊥α，则m ⊥n .其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 ①正确，②不正确，③正确，④正确．答案 C7．已知a ＝(m ＋1,0,2m )，b ＝(6,2n －1,2)，若a ∥b ，则m 与n 的值分别为( )A.15，12 B ．5,2 C ．－15，－12 D ．－5，－2解析 ∵a ∥b ，∴a ＝λb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1＝6λ，0＝λ(2n －1)，2m ＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝15，n ＝12，λ＝15.∴m ＝15，n ＝12.答案 A8．若双曲线x 23－16y 2p 2＝1的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．4 2解析 设双曲线的焦距为2c ，由双曲线方程知c 2＝3＋p 216，则其左焦点为(－3＋p 216，0)．由抛物线方程y 2＝2px 知其准线方程为x ＝－p 2，由双曲线的左焦点在抛物线的准线上知，3＋p 216＝p 24，且p >0，解得p ＝4.答案 C 9．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( )A.43B.32C.53 D ．2解析 由双曲线的定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝8a 3，|PF 2|＝2a 3.又|PF 2|≥c －a ，即2a 3≥c －a .∴c a ≤53.即e ≤53.答案 C10．如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点EF 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°解析 建立空间直角坐标如图所示．设AB ＝2，则EF →＝(0，－1,1)．BC 1→＝(2,0,2)，∴cos 〈EF →·BC 1→〉＝EF →·BC 1→|EF →||BC 1→|＝28·2＝12， 故EF 与BC 1所成的角为60°.答案 B11．给出下列曲线，其中与直线y ＝－2x －3有交点的所有曲线是( )①4x ＋2y －1＝0；②x 2＋y 2＝3；③x 22＋y 2＝1；④x 22－y 2＝1. A ．①③ B ．②④ C ．①②③ D ．②③④解析 直线y ＝－2x －3与4x ＋2y －1＝0平行，所以与①不相交．②中圆心(0,0)到直线2x ＋y ＋3＝0的距离d ＝35< 3.所以与②相交．把y ＝－2x －3代入x 22＋y 2＝1，得x 22＋4x 2＋12x ＋9＝1，即9x 2＋24x ＋16＝0，Δ＝242－4×9×16＝0，所以与③有交点．观察选项知，应选D. 答案 D12．过点M (－2,0)的直线l 与椭圆x 2＋2y 2＝2交于P 1，P 2两点，设线段P 1P 2的中点为P .若直线l 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1·k 2等于( )A ．－12 B.12 C ．－2 D ．2解析 设直线l 的方程为y ＝k 1(x ＋2)，代入x 2＋2y 2＝2，得(1＋2k 21)x 2＋8k 21x ＋8k 21－2＝0，设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 211＋2k 21， 而y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2＋4)＝4k 11＋2k 21. ∴k 2＝y 1＋y 22x 1＋x 22＝－12k 1，∴k 1·k 2＝－12. 答案 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上)13．命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是________．解析 命题“存在一个三角形没有外接圆”是特称命题，它的否定是全称命题“任意一个三角形都有外接圆．”答案任意一个三角形都有外接圆14．已知命题p：1≤x≤2，q：a≤x≤a＋2，且綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．解析“p是q的必要不充分条件”的逆否命题是“q是p的必要不充分条件”．∴{x|1≤x≤2}{x|a≤x≤a＋2}，∴0≤a≤1.答案0≤a≤115．已知直线l1的一个方向向量为(－7,4,3)，直线l2的一个方向向量为(x，y,6)，且l1∥l2，则x＝________，y＝________.答案－14816．如图在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面ABCD所成角的余弦值为________．解析由题意知，AC1＝22＋22＋1＝3，AC＝22＋22＝22，在Rt△AC1C中，cos∠C1AC＝ACAC1＝22 3.答案22 3三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知命题p ：不等式|x －1|>m －1的解集为R ，命题q ：f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围．解 由|x －1|>m －1的解集为R ，知m －1<0，∴m <1.即p ：m <1.又f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，∴5－2m >1，即m <2，即q ：m <2.若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ m <1，m ≥2，m 不存在． 若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≥1，m <2，∴1≤m <2. 综上知，实数m 的取值范围是[1,2)．18．(12分)求证：a ＋2b ＝0是直线ax ＋2y ＋3＝0和直线x ＋by ＋2＝0互相垂直的充要条件．证明 充分性：当b ＝0时，如果a ＋2b ＝0，那么a ＝0，此时直线ax ＋2y ＋3＝0平行于x 轴，直线x ＋by ＋2＝0平行于y 轴，它们互相垂直；当b ≠0时，直线ax ＋2y ＋3＝0的斜率k 1＝－a 2，直线x ＋by＋2＝0的斜率k 2＝－1b ，如果a ＋2b ＝0，那么k 1k 2＝(－a 2)×(－1b )＝－1.故两直线互相垂直．必要性：如果两条直线互相垂直且斜率都存在，那么k 1k 2＝(－a 2)×(－1b )＝－1，所以a ＋2b ＝0，若两条直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b ＝0，且a ＝0，所以a ＋2b ＝0.综上可知，a ＋2b ＝0是直线ax ＋2y ＋3＝0和直线x ＋by ＋2＝0互相垂直的充要条件．19．(12分)抛物线y ＝－x 22与过点M (0，－1)的直线l 相交于A ，B 两点，O 为原点，若OA 和OB 的斜率之和为1，求直线l 的方程．解 显然直线l 垂直于x 轴不合题意，故设所求的直线方程为y ＝kx －1，代入抛物线方程化简，得x 2＋2kx －2＝0.由根的判别式Δ＝4k 2＋8＝4(k 2＋2)>0，于是有k ∈R .设点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)，则y 1x 1＋y 2x 2＝1.① 因为y 1＝kx 1－1，y 2＝kx 2－1，代入① ，得2k －(1x 1＋1x 2)＝1.② 又因为x 1＋x 2＝－2k ，x 1x 2＝－2，代入②得k ＝1.所以直线l 的方程为y ＝x －1.20．(12分)已知椭圆C 的中心为平面直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C 的方程；(2)若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，|OP ||OM |＝e (e 为椭圆C 的离心率)，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解 (1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a ，c 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a －c ＝1，a ＋c ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝3， 所以椭圆C 的方程为x 216＋y 27＝1.(2)设M (x ，y )，P (x ，y 1)，其中x ∈[－4,4]．由已知得x 2＋y 21x 2＋y2＝e 2. 而e ＝34，故16(x 2＋y 21)＝9(x 2＋y 2)．①由点P 在椭圆C 上得y 21＝112－7x 216，代入①式并化简得9y 2＝112，所以点M 的轨迹方程为y ＝±473(－4≤x ≤4)，它是两条平行于x轴的线段．21．(12分)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝2AA 1，点D 是A 1B 1的中点，点E 在A 1C 1上，且DE ⊥AE .(1)证明：平面ADE ⊥平面ACC 1A 1；(2)求直线AD 和平面ABC 1所成角的正弦值．解 (1)证明：由正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的性质知AA 1⊥平面A 1B 1C 1.又DE ⊂平面A 1B 1C 1，所以DE ⊥AA 1.而DE ⊥AE ，AA 1∩AE ＝A ，所以DE ⊥平面ACC 1A 1.又DE ⊂平面ADE ，故平面ADE ⊥平面ACC 1A 1.(2)如图所示，设O 是AC 的中点，以O 为原点建立空间直角坐标系．不妨设AA 1＝2，则AB ＝2，相关各点的坐标分别是A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C 1(0,1，2)，D (32，－12，2)．易知AB →＝(3，1,0)，AC 1→＝(0,2，2)，AD →＝(32，12，2)． 设平面ABC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝3x ＋y ＝0，n ·AC 1→＝2y ＋2z ＝0. 解得x ＝－33y ，z ＝－2y .故可取n ＝(1，－3，6)．所以cos 〈n ，AD →〉＝n ·AD →|n ||AD →|＝2310×3＝105. 由此可知，直线AD 和平面ABC 1所成角的正弦值为105.22．(12分)如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC.(1)设E是DC的中点，求证：D1E∥平面A1BD；(2)求二面角A1—BD—C1的余弦值．解(1)证明：在图中连接B，E，则四边形DABE为正方形，∴BE＝AD＝A1D1，且BE∥AD∥A1D1.∴四边形A1D1EB为平行四边形．∴D1E∥A1B.又D1E⊄平面A1BD，A1B⊂平面A 1BD，∴D1E∥平面A1BD.(2)以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设DA＝1，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C1(0,2,2)，A1(1,0,2)．∴DA1→＝(1,0,2)，DB→＝(1,1,0)．设n＝(x，y，z)为平面A1BD的一个法向量，由n ⊥DA 1→，n ⊥DB →，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2z ＝0，x ＋y ＝0， 取z ＝1，则n ＝(－2,2,1)．又DC 1＝(0,2,2)，DB →＝(1,1,0)， 设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面C 1BD 的一个法向量，由m ⊥DC 1→，m ⊥DB →，得⎩⎪⎨⎪⎧2y 1＋2z 1＝0，x 1＋y 1＝0，取z 1＝1，则m ＝(1，－1,1)． 设m 与n 的夹角为α，二面角A 1－BD －C 1为θ，显然θ为锐角，∴cos α＝m ·n |m ||n |＝－39×3＝－33. ∴cos θ＝33，即所求二面角A 1－BD －C 1的余弦值为33.。
人教版高中数学选修2-1 模块综合检测卷(附答案解析)
- 1 -人教版高中数学选修2-1模块综合检测题（满分150分 时间120分钟）一、单选题.（每小题5分，共12小题） 1.“如果x y >，则22x y >”的逆否命题是.A 如果x y ≤，则22x y ≤ .B 如果x y >，则22x y <.C 如果22x y ≤，则x y ≤ .D 如果x y <，则22x y < 【答案】.C【解析】原命题为“若p 则q 形式”，则其逆否命题为“若q ⌝则p ⌝形式”.故选.C 2. 不等式()20x x -<成立的一个必要不充分条件是.A ()0,2x ∈ .B [)1,x ∈-+∞ ().0,1C x ∈ ().1,3D x ∈【答案】.B【解析】由()20x x -<得02x <<，()[)0,21,⊂-+∞且()0,2x ∈是[)1,x ∈-+∞的一个真子集， ∴ [)1,x ∈-+∞是“不等式()20x x -<成立”的一个必要不充分条件.3.已知A 、B 、C 三点不共线，则下列条件中能使点M 与点A 、B 、C 一定共面的是 .A 32OM OA OB OC =-- .B 0OM OA OB OC +++= .C 0MA MB MC ++= 11.42D OM OB OA OC =-+【答案】.C【解析】∵ 0MA MB MC ++=，∴ MA MB MC =--，根据向量共面定理，可知点M 与点A 、B 、C 四点共面.4.若方程22216y x a a+=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围为.A 3a > .B 2a <- .C 3a >或2a <- .D 3a >或62a -<<- 【答案】.D【解析】∵ 椭圆22216y x a a+=+的焦点在x 轴上，∴ 2660a a a ⎧>+⎪⎨+>⎪⎩ 即 ()()2306a a a ⎧+->⎪⎨>-⎪⎩ 解得 3a >或62a -<<-，故选.D5. 如图，椭圆221259y x +=上的点M 到焦点1F 的距离为2,N 为1MF 的中点,则ON (O 为坐标原点)的值为 .A 8 .2B.4C 3.2D【答案】.C【解析】∵O 为12F F 的中点,N 为1MF 的中点，∴ 2//ON MF 且212ON MF =. ∵12210MF MF a +==∴ 21101028MF MF =-=-=，∴ 4ON =.6.已知椭圆的标准方程为()222210yx a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x⊥轴，直线AB 交y 轴于点P .若2AP PB =，则椭圆的离心率为AB 1.3C 1.2D【答案】.D- 2 -【解析】如图，∵ 2AP PB =，∴ 2OA OF =，即 2a c =，∴ 12e =.7.双曲线221412y x -=的焦点到渐近线的距离为A .2BC .1D 【答案】.A【解析】双曲线221412y x -=的焦点分别为()()4,0,4,0-.渐近线方程为y =或y =，由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一条渐近线的距离都相等，∴d ==.A8.直线1y kx k =-+与椭圆22194yx +=的位置关系是.A 相交 .B 相切 .C 相离 .D 不确定 【答案】.A【解析】直线方程1y kx k =-+可化为()11y k x =-+，过定点()1,1.而把点()1,1代入椭圆方程可得131119436+=<，∴点()1,1在椭圆内部，∴直线与椭圆相交. 9.已知椭圆2211216y x +=,则以点()1,2M -为中点的弦所在直线方程为 .38190A x y -+= .38130B x y +-= .2380C x y -+= .2340D x y +-= 【答案】.C【解析】设弦的两端点为()()1122,,,A x y B x y ,代入椭圆方程得221122221121611216x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得 ()()()()1212121201216x x x x y y y y -+-++= 整理得 121223y y x x -=-， ∴ 弦所在直线斜率为23，∴ 直线方程为()2213y x -=+，即2380x y -+=，故选.C10.在同一坐标系中,方程22221a x b y +=与()200ax by a b +=>>所表示的曲线大致是【答案】.D【解析】方法一 将方程22221a x b y +=与()200ax by a b +=>>转化为2222111y x a b +=和2a y x b =-，∵ 0a b >>，∴ 110b a >>. ∴ 椭圆焦点在y 轴上，抛物线焦点在x 轴上， 且开口向左，故选.D方法二 方程()200ax by a b +=>>中将y -代替y ，方程结果不变，∴ 20ax by +=图象关于x 轴对称，排除B 、C ;又椭圆焦点在y 轴上,排除A ,故选.D 11.过点()3,0A 且与y 轴相切的圆的圆心的轨迹为.A 直线 .B 椭圆 .C 双曲线 .D 抛物线 【答案】.D【解析】如图，设点P 为满足条件的一点，易知点P 到点A 的距离等于 点P 到y 轴的距离.故点P 在以点A 为焦点，y 轴为准线的抛物线上，故 点P 的轨迹为抛物线，故选.DPAB- 3 -12.已知0a b >>，椭圆1C 方程为22221y x a b +=，双曲线2C 的方程为22221y x a b-=，曲线1C 与2C 的离心率，则双曲线2C 的渐近线方程为.0A x ±=.0B y ±= .20C x y ±= .20D x y ±= 【答案】.A【解析】22221122c a b e a a -==，22222222c a b e a a +==，∴ ()44422124314a b b e e a a -⋅==-=，∴b a =∴渐近线方程为y =,即0x ±=,故选.A二、填空题.（每小题5分，共4小题）13. 命题“()**,n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤”的否定形式为 . 【答案】()**00,n N f n N ∃∈∉或()00f n n >.【解析】全称命题的否定是特称命题，否定结论时“且”要换为“或”，“≤”换为“>”，故最后的否定形式为“()**00,n N f n N ∃∈∉或()00f n n >”.14. 已知平面α的一个法向量为()2,2,1n =--，点()1,3,0A -在平面α内，则点()2,1,4P -到平面α的距离为 . 【答案】10.3【解析】()1,2,4PA =-,()2,2,1n =--,∴ 点()2,1,4P -到平面α的距离为103PA n d n⋅==. 15. 设抛物线()20y mx m =≠的准线与直线1x =的距离为3,则抛物线的方程为 . 【答案】28y x =或216y x =-.【解析】当0m >时,2p m =,∴2m p =，∴抛物线的准线方程为4m x =-，依题意，()134m --=,∴8m =，∴抛物线方程为28y x =.当0m <时,2p m =-,∴2m p =-,∴抛物线的准线方程为4m x =-,依题意得134m +=，∴8m =（舍）或16m =-,∴抛物线的方程为216y x =-.综上，抛物线方程为28y x =或216y x =-.16. 与椭圆22194x y +=有公共焦点,且两条渐近线互相垂直的双曲线方程为 .【答案】2252x y -=.【解析】因为所求双曲线的两条渐近线互相垂直，∴渐近线方程为y x =±.故可设双曲线方程为()220xy λλ-=>，又∵椭圆焦点为()，根据题意，所求双曲线焦点为(). ∴25λ=,52λ=.故所求双曲线方程为2252x y -=.三、解答题.17.（10分）设命题:p 函数21y x mx =++在()1,-+∞上单调递增；命题:q 函数()24421y x m x =+-+大于零恒成立. 若p 或q 为真，而p 且q 为假，求实数m 的取值范围.【答案】{}312m m m ≥<<或.【解析】若函数21y x mx =++在()1,-+∞上单调递增，- 4 -则12m-≤-，∴2m ≥，即:2p m ≥； 若函数()24421y x m x =+-+大于零恒成立，则()2162160m ∆=--<，解得13m <<，即:13q m <<. ∵p q ∨为真，p q ∧为假，∴,p q 一真一假.当p 真q 假时，由231m m m ≥⎧⎨≥≤⎩或 得3m ≥，当p 假q 真时，由213m m <⎧⎨<<⎩ 得 12m <<，综上，m 的取值范围为{}3m m ≥或1<m<2.18.（12分）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点()1,0B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于,C D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .证明：EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程. 【解析】将圆A 的方程整理得()22116x y ++=，∴点A 的坐标为()1,0-∵AD AC =,∴ACD ADC ∠=∠.∵//EB AC ，∴EBD ACD ∠=∠，故EBD ACD ADC ∠=∠=∠. ∴EB ED =，故EA EB EA ED AD +=+=.又圆A 的标准方程为()22116x y ++=，从而4AD =，∴4EA EB +=由题设得()()1,0,1,0,2A B AB -=，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为()221043x y y +=≠. 19.（12分）已知双曲线过点()3,2-且与椭圆224936x y +=有相同的焦点. （1）求双曲线的标准方程；（2）若点M 在双曲线上，1F 、2F 为双曲线的左右焦点，且122MF MF =，求12MF F ∆的面积. 【解析】（1）椭圆方程可化为22194x y +=，焦点在x 轴上，且c =，设双曲线方程为22221x y a b -=，则22229415a ba b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩ 解得 2232a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ， ∴ 双曲线的方程为22132x y -=.（2）因为点M 在双曲线上，又122MF MF =①，∴ 点M 在双曲线右支上，∴ 12MF MF -=②，由①②解得12MF MF ==12F F = 在12MF F ∆中，222121212125cos 26MF MF F F F MF MF MF +-∠==，∴ 12sin F MF ∠=∴12121211sin 226MF F S MF MF F MF ∆=∠=⨯=20.（12分）如图所示,在四棱锥P ABCD -中,PD ⊥底面ABCD ,底面ABCD 为正方形,PD DC =, E F 、分别为AB 、PB 的中点. （1）求证:EF CD ⊥；（2）在平面PAD 内求一点G ,使GF ⊥平面PCB ,并证明你的结论； （3）求DB 与平面DEF 所成角的正弦值. 【解析】如图，以D 为原点，,,DA DC DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴 建立空间直角坐标系，P ABC D EF OA- 5 -设AD a =，则()()()()0,0,0,,0,0,,,0,0,,0D A a B a a C a ,,,02a E a ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,0,,,,222a a a P a F ⎛⎫⎪⎝⎭.（1）证明：∵(),0,,0,,022a a EF DC a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，∴0EF DC ⋅=，∴EF DC ⊥，即EF CD ⊥.（2）设(),0,G x z ，则,,222a a a FG x z ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，若使GF ⊥平面PCB ，则由(),,,0,002222a a a a FG CB x z a a x ⎛⎫⎛⎫⋅=---⋅=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2a x =.由()2,,0,,022222a a a a a FG CP x z a a a z ⎛⎫⎛⎫⋅=---⋅-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得0z =. ∴G 点坐标为,0,02a ⎛⎫⎪⎝⎭，即点G 为AD 的中点.（3）设平面DEF 的一个法向量为(),,n x y z =，则00n DF n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ∴ ()(),,,,0222,,,,002a a a x y z a x y z a ⎧⎛⎫⋅= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩即()0202a x y z a ax y ⎧++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 取1x =,则2,1y z =-=，∴()1,2,1n =-,∴cos ,2BD n BD n a BD n⋅==， ∴DB 与平面DEF . 21.（12分）如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点()()()11221,2,,,,P A x y B x y 均在抛物线上.（1）求抛物线的方程及其准线方程；（2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时,证明:直线AB 的斜率为定值. 【解析】（1）由题意可设抛物线的方程为()220y px p =>， 由点()1,2P 在抛物线上，得2221p =⨯，解得2p =，故所求抛物线方程 为24y x =，准线方程为1x =-.（2）∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴PA PB k k =-，即12122211y y x x --=---，又()()1122,,,A x y B x y 均在抛物线上， ∴ 221212,44y y x x ==，从而有122212221144y y y y --=---， 即124422y y =-++，整理得124y y +=-， 故直线AB 的斜率12121241AB y y k x x y y -===--+. 22.（12分）已知12,F F 分别为椭圆()22122:10y x C a b a b+=>>的上、下焦点，其中1F 也是抛物线22:4C x y=的焦点,点M 是1C 与2C 在第二象限的交点,且153MF =.x。
人教版选修2-1综合测试卷及答案
人教版选修2-1综合测试卷及答案已知命题p：“对于任意正整数n，都存在一个正整数m，使得m>n”，命题q：“存在一个正整数k，使得对于任意正整数m，都有m<k”，则下列说法正确的是（。
）。
A。
命题p是真命题，命题q是假命题B。
命题p是假命题，命题q是真命题C。
命题p和命题q都是真命题D。
命题p和命题q都是假命题答案：A解析：命题p中的“存在”可以换成“对于任意”，即“对于任意正整数n，都有一个正整数m，使得m>n”。
这是显然成立的，因为可以取m=n+1.所以命题p是真命题。
命题q中的“存在”不能换成“对于任意”，因为这样的话就是命题p了。
所以命题q是“存在一个k，使得对于任意m，都有m<k”的形式，即“存在一个正整数k，使得k是正整数中的最小值”。
这是显然不成立的，因为正整数中是没有最小值的。
所以命题q是假命题。
因此选A。
1、双曲线的离心率为$\sqrt{3}$。
2、抛物线方程为$y=ax^2$。
3、直线AE与平面AED所成角的大小为45°。
4、y轴与平面$\alpha$所成的角的大小为$\frac{\pi}{4}$。
5、k的值为$\frac{2}{\sqrt{5}}$。
6、2a-b的最大值为$5$。
7、椭圆的离心率为$\frac{1}{\sqrt{2}}$。
8、正确命题的序号为①、②、③、④。
9、解：由题意得$$\begin{cases}2x-1\frac{1}{2a}-1.\end{cases}$$ 因为$p\lor q$为真命题，所以$p$和$q$至少有一个为真命题。
若$p$为真命题，则$\frac{1}{2a}-10$。
综上可得，$a\in(0,\frac{1}{4})$。
10、解：由题意得$$\begin{cases}b=k\lambda a,\\ka\cdot b+kb\cdot a=18,\\(ka+b)\cdot(ka-b)=0.\end{cases}$$ 将第一条式子代入第二条式子，得$k\lambda a^2+kb^2=18$，即$k\lambda+k\frac{b^2}{a^2}=18$。
高中数学选修2-1综合测试试卷
高中数学选修2-1综合测试试卷时限：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是( )A ．不存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1≤0 B ．存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1≤0 C ．存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1>0D ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1>0 3．下列命题中是假命题的是( ) A ．∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，x >sin xB ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2C ．∀x ∈R,3x >0D ．∃x 0∈R ，lg x 0＝04．与双曲线y 25－x 2＝1共焦点，且过点(1,2)的椭圆的标准方程为( ) A.x 28＋y 22＝1 B.x 210＋y 24＝1 C.y 28＋x 22＝1D.y 210＋x 24＝15．给出下列三个命题：①“全等三角形的面积相等”的否命题；②“若lg x 2＝0，则x ＝－1”的逆命题；③“若x ≠y 或x ≠－y ，则|x |≠|y |”的逆否命题．其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．如图，在正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，M 是AB 的中点，则sin 〈DB ′→，CM →〉的值为( )A.12 B.21015C.23 D.11157．已知向量a＝(－1,1,0)，b＝(1,0,2)，且k a＋b与a－2b互相垂直，则k＝()A．－114 B.15C.35 D.1148．正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()A.23 B.33C.23 D.639.已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，两渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为()A.233 B. 3C．2 D.233或210．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，双曲线x2a2－y2b2＝1和抛物线y2＝2px(p>0)的离心率分别为e1，e2，e3，则()A．e1e2>e3B．e1e2＝e3C．e1e2<e3D．e1e2≥e3.11．长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝1，则二面角C1-AB-C的大小为( )A.π3B.2π3C.3π4D.π412．若点P 为共焦点的椭圆C 1和双曲线C 2的一个交点，F 1，F 2分别是它们的左、右焦点，设椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，若PF 1→·PF 2→＝0，则1e 21＋1e 22＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13．若命题p ：“∃x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是14.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是.15．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为16．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝23，且椭圆C 上的点P 到点Q (0,2)的距离的最大值为3，则椭圆C 的方程为三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，集合B＝{y|y＝x2－2x＋a}，集合C＝{x|x2－ax－4≤0}，命题p：A∩B＝∅，命题q：A⊆C.(1)若命题p为假命题，求实数a的取值范围；(2)若命题p∧q为假命题，求实数a的取值范围．18．(12分)四面体ABCD及其三视图如图所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．19．(12分)设数列{a n}的各项都不为零，求证：对任意n∈N*且n≥2，都有1a1a2＋1a2a3＋…＋1a n－1a n＝n－1a1a n成立的充要条件是{a n}为等差数列．20．(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝4x，F为其焦点，点E的坐标为(2,0)，设M为抛物线C上异于顶点的动点，直线MF交抛物线C 于另一点N，连接ME，NE并延长分别交抛物线C于点P，Q.(1)当MN⊥x轴时，求直线PQ与x轴交点的坐标；(2)当直线MN，PQ的斜率存在且分别记为k1，k2时，求证：k1＝2k2.21．(12分)如图①所示，已知在长方形ABCD中，AB＝2AD＝22，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得AD⊥BM，得如图②所示的几何体．(1)求证：平面ADM⊥平面ABCM；(2)是否存在满足BE →＝tBD →(0<t <1)的点E ，使得二面角E -AM -D 的大小为π4？若存在，求出相应的实数t ；若不存在，请说明理由．22.(12分)已知抛物线C 1：y 2＝4x 和C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点分别为F 1，F 2，C 1，C 2交于O ，A 两点(O 为坐标原点)，且F 1F 2⊥OA .(1)求抛物线C 2的方程；(2)过点O 的直线交C 1的下半部分于点M ，交C 2的左半部分于点N ，点P 的坐标为(－1，－1)，求△PMN 面积的最小值．参考答案一、1．B解析：由(2x－1)x＝0可得x＝12或x＝0.因为“x＝12或x＝0”是“x＝0”的必要不充分条件，所以“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的必要不充分条件．2．C解析：先变换量词，再否定结论，即“∃x0∈R，x30－x20＋1>0”．3．B解析：本题主要考查全称命题、特称命题以及命题真假的判断，因为sin x0＋cos x0＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫x0＋π4≤2，所以B错误，故选B.4．C解析：本题主要考查双曲线、椭圆的标准方程．由题知，焦点在y 轴上，排除A，B，将(1,2)代入C，D可得C正确，故选C.5．B解析：本题考查四种命题的关系及真假判断．对于①，否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，它是假命题；对于②，逆命题是“若x＝－1，则lg x2＝0”，它是真命题；对于③，逆否命题是“若|x|＝|y|，则x＝y且x＝－y”，它是假命题，故选B.6．B解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，B′(1,1,1)，C(0,1,0)，M⎝⎛⎭⎪⎫1，12，0，所以DB′→＝(1,1,1)，CM→＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，0，cos〈DB′→，CM→〉＝DB′→·CM→|DB′→||CM→|＝123×52＝1515.所以sin〈DB′→，CM→〉＝21015.7．D解析：k a＋b＝(－k＋1，k,2)，a－2b＝(－3,1，－4)，由(k a＋b)·(a －2b)＝3(k－1)＋k－8＝0，解得k＝114.8．D解析：设正方体棱长为1.建立空间直角坐标系如图．易知平面ACD1的一个法向量为n＝(1,1,1)，BB1→＝(0,0,1)，∴cos〈n，BB1→〉＝13＝33.∴BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为63.9. D 解析：本题考查双曲线的简单几何性质的应用．根据题意，由于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两渐近线的夹角为60°，则可知b a ＝3或b a ＝33，那么可知双曲线的离心率为e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2或233，故选D. 10． C 解析：依题意可知，e 1＝a 2－b 2a ，e 2＝a 2＋b 2a ，e 3＝1，∴e 1e 2＝a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝1－b 4a 4<1.∴e 1e 2<e 3.11． D 解析：本题考查空间建系能力及二面角．以A 为原点，直线AB ，AD ，AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则平面ABC 的一个法向量为AA 1→＝(0,0,1)，平面ABC 1的一个法向量为A 1D →＝(0,1，－1)，∴cos 〈AA 1→，A 1D →〉＝－12＝－22，∴〈AA 1→，A 1D →〉＝3π4.又二面角C 1-AB -C 为锐角，故其大小为π－34π＝π4，故选D.12． B 解析：设椭圆的方程为x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)，双曲线的方程为x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)，它们的半焦距为c ，不妨设P 为它们在第一象限的交点，因为PF 1→·PF 2→＝0，故|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2 ①.由椭圆和双曲线的定义知，⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，解得|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2，代入①式，得(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2＝4c 2，即a 21＋a 22＝2c 2，所以1e 21＋1e 22＝a 21c 2＋a 22c 2＝a 21＋a 22c 2＝2. 13． (－1,3)．解析：本题主要考查特称命题的真假及参数取值范围的求解．由题意得綈p ∶∀x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1>0，即关于x 的一元二次不等式x 2＋(a －1)x ＋1>0的解集为R ，由于命题p 是假命题，所以綈p 是真命题，所以Δ＝(a －1)2－4<0，解得－1<a <3，所以实数a 的取值范围是(－1,3)．14.解析：如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则D (0,0,0)，N (0,2,1)，M (0,1,0)，A 1(2,0,2)，所以DN →＝(0,2,1)，MA 1→＝(2，－1,2)，所以cos 〈DN →，MA 1→〉＝DN →·MA 1→|DN →||MA 1→|＝0，所以DN ⊥A 1M ，故异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小为90°. 15．解析：由已知得ba ＝2，所以b ＝2a .在y ＝2x ＋10中令y ＝0得x ＝－5，故c ＝5，从而a 2＋b 2＝5a 2＝c 2＝25，所以a 2＝5，b 2＝20，所以双曲线的方程为x 25－y 220＝1.16．解析：由e ＝ca ＝23，得c 2＝23a 2，所以b 2＝a 2－c 2＝13a 2.设P (x ，y )是椭圆C 上任意一点，则x 2a 2＋y 2b 2＝1，所以x 2＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 2b 2＝a 2－3y 2.|PQ |＝x 2＋(y －2)2＝a 2－3y 2＋(y －2)2＝－2(y ＋1)2＋a 2＋6，当y ＝－1时，|PQ |有最大值a 2＋6.由a 2＋6＝3，可得a 2＝3，所以b 2＝1，故椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.17． 解：∵y ＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋a －1≥a －1，∴B ＝{y |y ≥a －1}，A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，C ＝{x |x 2－ax －4≤0}．(1)由命题p 是假命题，可得A ∩B ≠∅，即得a －1≤2，∴a ≤3.(2)∵“p ∧q 为假命题”，则其反面为“p ∧q 为真命题”，∴p ，q 都为真命题，即A ∩B ＝∅且A ⊆C ，∴有⎩⎨⎧a －1>2，1－a －4≤0，4－2a －4≤0，解得a >3.∴实数a 的取值范围为a ≤3.18．解：由该四面体的三视图可知，BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC ，BD ＝DC ＝2，AD ＝1.方法1：如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (0,0,1)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，DA →＝(0,0,1)，BC →＝(－2,2,0)，BA →＝(－2,0,1)．设平面EFGH 的法向量n ＝(x ，y ，z )，∵EF ∥AD ，FG ∥BC ，∴n ·DA →＝0，n ·BC →＝0，得⎩⎨⎧z ＝0，－2x ＋2y ＝0，取n ＝(1,1,0)，∴sin θ＝|cos 〈BA →，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪BA →·n |BA →||n |＝25×2＝105. 方法2：如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (0,0,1)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，∵E 是AB 的中点，∴F ，G 分别为BD ，DC 的中点，得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12，F (1,0,0)，G (0,1,0)．∴FE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，FG →＝(－1,1,0)，BA →＝(－2,0,1)．设平面EFGH 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则n ·FE →＝0，n ·FG →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧12z ＝0，－x ＋y ＝0，取n ＝(1,1,0)，∴sin θ＝|cos 〈BA →，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪BA →·n |BA →||n |＝25×2＝105. 19． 证明：(充分性)若{a n }为等差数列，设其公差为d ，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n －1a n ＝1d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1－1a n ＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＝a n －a 1da 1a n ＝n －1a 1a n. (必要性)若1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n －1a n ＝n －1a 1a n ，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n －1a n ＋1a n a n ＋1＝na 1a n ＋1， 两式相减得1a n a n ＋1＝na 1a n ＋1－n －1a 1a n， 即a 1＝na n －(n －1)a n ＋1 ①.于是有a 1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2 ②，由①②得na n －2na n ＋1＋na n ＋2＝0，所以a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1(n ≥2)． 又1a 1a 2＋1a 2a 3＝2a 1a 3，所以a 3－a 2＝a 2－a 1，所以对任意n ∈N *,2a n ＋1＝a n ＋2＋a n ，故{a n }为等差数列．20．解：(1)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1,0)．当MN ⊥x 轴时，直线MN 的方程为x ＝1.将x ＝1代入抛物线方程y 2＝4x ，得y ＝±2.不妨设M (1,2)，N (1，－2)，则直线ME 的方程为y ＝－2x ＋4，由⎩⎨⎧y ＝－2x ＋4，y 2＝4x ，解得x ＝1或x ＝4，于是得P (4，－4)． 同理得Q (4,4)，所以直线PQ 的方程为x ＝4. 故直线PQ 与x 轴的交点坐标为(4,0)．(2)证明：设直线MN 的方程为x ＝my ＋1，并设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，由⎩⎨⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0， 于是y 1y 2＝－4 ①，从而x 1x 2＝y 214·y 224＝1 ②.设直线MP 的方程为x ＝ty ＋2，由⎩⎨⎧x ＝ty ＋2，y 2＝4x ，得y 2－4ty －8＝0.所以y 1y 3＝－8 ③，x 1x 3＝4 ④. 同理y 2y 4＝－8 ⑤，x 2x 4＝4 ⑥.由①②③④⑤⑥，得y 3＝2y 2，x 3＝4x 2，y 4＝2y 1，x 4＝4x 1. 从而k 2＝y 4－y 3x 4－x 3＝2y 1－2y 24x 1－4x 2＝12·y 1－y 2x 1－x 2＝12k 1，即k 1＝2k 2. 21． 解：(1)证明：∵长方形ABCD 中，AB ＝2AD ＝22，M 为DC 的中点， ∴AM ＝BM ＝2，AM 2＋BM 2＝AB 2，∴BM ⊥AM . ∵AD ⊥BM ，AD ∩AM ＝A ，∴BM ⊥平面ADM . 又BM ⊂平面ABCM ，∴平面ADM ⊥平面ABCM .(2)设存在满足题意的点M ，使得二面角E -AM -D 的大小为π4.以M 为原点，MA 所在直线为x 轴，MB 所在直线为y 轴，过M 作平面ABCM 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则A (2,0,0)，B (0,2,0)，D (1,0,1)，M (0,0,0)，MB →＝(0,2,0)，BD →＝(1，－2,1)，ME →＝MB →＋BE →＝(t,2－2t ，t )．设平面AME 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧MA →·m ＝0，ME →·m ＝0，即⎩⎨⎧2x ＝0，tx ＋(2－2t )y ＋tz ＝0， 取y ＝t ，得m ＝(0，t,2t －2)．易知平面AMD 的一个法向量为n ＝(0,1,0)， 又二面角E -AM -D 的大小为π4，∴cos π4＝|m ·n ||m |·|n |＝t t 2＋4(t －1)2＝22，解得t ＝23或t ＝2(舍)，∴存在满足BE →＝tBD →(0<t <1)的点E ，使得二面角E -AM -D 的大小为π4，相应的实数t 的值为23.22. 解：(1)设A (x 1，y 1)(x 1>0，y 1>0)，有⎩⎨⎧y 21＝4x 1，x 21＝2py 1①.由题意知，F 1(1,0)，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，∴F 1F 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，p 2.∵F 1F 2⊥OA ，∴F 1F 2→·OA →＝0，即－x 1＋p 2y 1＝0，即py 1＝2x 1，将其代入①式得x 1＝4，y 1＝4，p ＝2，故抛物线C 2的方程为x 2＝4y . (2)设直线MN 的方程为y ＝kx (k <0)．联立⎩⎨⎧y ＝kx ，y 2＝4x ，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2，4k ；联立⎩⎨⎧y ＝kx ，x 2＝4y ，得N (4k,4k 2)．从而|MN |＝1＋k 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k 2－4k ＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－4k .又点P (－1，－1)到直线MN 的距离d ＝|k －1|1＋k2， ∴S △PMN ＝12·|k －1|1＋k 2·1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－4k ＝2(1－k )(1－k 3)k 2＝2(1－k )2(1＋k ＋k 2)k 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k －2⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k ＋1，令t ＝k ＋1k (t ≤－2)，∴S △PMN ＝2(t －2)(t ＋1)， 易知当t ＝－2，即k ＝－1，即当过原点的直线方程为y ＝－x 时，△PMN 的面积取得最小值8.。
人教版数学高二选修2-1 综合水平测试
综合水平测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．[2014·湖北省黄冈市质检]命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是()A. a≥4B. a≤4C. a≥5D. a≤5解析：本题考查全称量词的意义与充分必要条件的应用．∵∀x ∈[1,2]，1≤x2≤4，∴要使x2－a≤0为真，则a≥x2，则a≥4，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有C符合，故选C.答案：C2. 已知空间向量a＝(t,1，t)，b＝(t－2，t,1)，则|a－b|的最小值为()A. 2B. 3C. 2D. 4解析：本题主要考查空间向量的坐标运算以及简单的二次函数求最值．|a－b|＝2(t－1)2＋4≥2，故选C.答案：C3. [2014·广东高考]若实数k满足0<k<9，则曲线x225－y29－k＝1与曲线x225－k －y29＝1的()A. 离心率相等B. 虚半轴长相等C. 实半轴长相等D. 焦距相等解析：本题主要考查双曲线基本量之间的关系．由0<k<9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等，选D.答案：D4．[2014·湖南高考]已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是( )A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④解析：本题主要考查不等式的性质、命题与复合命题真假性的判断．注意綈p ，綈q 只对命题的结论进行否定，复合命题p ∧q 要两个命题全为真才为真，p ∨q 只要两个命题有一个为真就为真．由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题，②p ∨q 为真命题，③綈q 为真命题，则p ∧(綈q )为真命题，④綈p 为假命题，则(綈p )∨q 为假命题，所以选C.答案：C5．[2014·大纲全国卷]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A. x 23＋y 22＝1 B. x 23＋y 2＝1 C. x 212＋y 28＝1D. x 212＋y 24＝1解析：本题主要考查椭圆的定义及几何性质．由椭圆的性质知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，∴△AF 1B 的周长＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝43，∴a ＝ 3.又e ＝33，∴c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝2，∴椭圆的方程为x 23＋y 22＝1，故选A.答案：A6．[2014·江西高考]下列叙述中正确的是( )A. 若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件是“b 2－4ac ≤0”B. 若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2>cb 2”的充要条件是“a >c ”C. 命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2≥0”D. l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β解析：本题考查命题真假性的判断、充分条件与必要条件、全称命题的否定、不等式的性质以及空间直线与直线、平面与平面的位置关系，意在考查考生对常用逻辑用语的理解能力与判断能力．由b 2－4ac ≤0推不出ax 2＋bx ＋c ≥0，这是因为a 的符号不确定，所以A 不正确；当b 2＝0时，由a >c 推不出ab 2>cb 2，所以B 不正确；“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2<0”，所以C 不正确．选D.答案：D7．[2014·湖北高考]已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A. 433B. 233C. 3D. 2解析：本题主要考查双曲线、椭圆的几何性质，以及柯西不等式的运用，意在考查考生的综合解题能力．假定焦点在x 轴上，点P 在第一象限，F 1，F 2分别为左、右焦点．设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线的方程为x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)，它们的离心率分别为e 1，e 2，则|PF 1|＝a ＋m ，|PF 2|＝a －m ，在△PF 1F 2中，4c 2＝(a ＋m )2＋(a －m )2－2(a ＋m )(a －m )cos π3⇒a 2＋3m 2＝4c 2⇒(a c )2＋3(m c )2＝4，则[(a c )2＋3(m c )2](1＋13)≥(a c ＋m c )2⇒1e 1＋1e 2＝a c ＋m c ≤433，当且仅当a ＝3m 时，等号成立，故选A.答案：A8. [2014·课标全国卷Ⅱ]直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A. 110 B. 25 C. 3010D. 22解析：本题主要考查空间角的求法、空间向量在立体几何中的应用，意在考查考生的空间想象能力和运算求解能力．建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz ，设BC ＝2，则B (0,2,0)，A (2,0,0)，M (1,1,2)，N (1,0,2)，所以BM →＝(1，－1,2)，AN →＝(－1,0,2)，故BM 与AN 所成角θ的余弦值cos θ＝|BM →·AN →||BM →|·|AN →|＝36×5＝3010.答案：C9. [2014·银川高二质检]直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A 、B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( )A. 74B. 2C. 94D. 4解析：直线4kx －4y －k ＝0，即y ＝k (x －14)，即直线4kx －4y －k＝0过抛物线y 2＝x 的焦点(14，0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋12＝4，故x 1＋x 2＝72，则弦AB 的中点的横坐标是74，所以弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离是74＋12＝94.答案：C10. 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，2|AC |＝|AA 1|＝|BC |＝2.若二面角B 1－DC －C 1的大小为60°，则|AD |的长为( )A. 2B. 3C. 2D. 22解析：本题主要考查利用空间直角坐标求解线段长度，如图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Cxyz ，则C (0,0,0)，A (1,0,0)，B 1(0,2,2)，C 1(0,0,2)，设AD ＝a ，则D 点的坐标为(1,0，a )，CD →＝(1,0，a )，CB 1→＝(0,2,2)，设m ＝(x ，y ，z )为平面B 1CD 的法向量．则⎩⎨⎧m ·CB 1→＝0m ·CD →＝0⇒⎩⎨⎧2y ＋2z ＝0x ＋az ＝0，令z ＝－1，得m ＝(a,1，－1)，又平面C 1DC 的一个法向量为n ＝(0,1,0)，则由cos60°＝m·n|m |·|n |，得1a 2＋2＝12，即a ＝2，故AD ＝2，故选A. 答案：A11．[2014·福建高考]直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件解析：本题主要考查直线与圆的位置关系、三角形的面积、充分必要条件等基础知识，意在考查考生的转化和化归能力、逻辑推理能力和运算求解能力. 若k ＝1，则直线l ：y ＝x ＋1与圆相交于(0,1)，(－1,0)两点，所以△OAB 的面积S △OAB ＝12×1×1＝12，所以“k ＝1”⇒“△OAB 的面积为12”；若△OAB 的面积为12，则k ＝±1，所以“△OAB 的面积为12”D ⇒/“k ＝1”，所以“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分而不必要条件，故选A.答案：A12. 已知一抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且它的焦点F 是椭圆x 24＋y 22＝1的右顶点，经过点F 且倾斜角为π3的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦AB 的长度为( )A. 154 B.5 C. 203D. 323解析：本题主要考查椭圆、抛物线的概念及抛物线的焦点弦长公式．依题意，抛物线的焦点为F (2,0)，则抛物线方程为y 2＝8x .直线AB 的倾斜角为π3，斜率为3，故方程为y ＝3(x －2)，联立方程⎩⎨⎧y ＝3(x －2)y 2＝8x消去y ，得3x 2－20x ＋12＝0.可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝203，所以由抛物线的焦点弦长公式，得|AB |＝x 1＋x 2＋4＝203＋4＝323，故选D.答案：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：∵∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0为假命题， ∴∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0为真命题， ∴Δ＝9a 2－4×2×9≤0，即a 2≤8， ∴－22≤a ≤2 2. 答案：[－22，22]14．[2014·北京高考]设双曲线C 经过点(2,2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．解析：本题主要考查圆锥曲线的定义与性质，意在考查考生对圆锥曲线的定义及性质的掌握情况．∵与双曲线y 24－x 2＝1有相同渐近线的双曲线方程为y 24－x 2＝k ，将点(2,2)代入，得k ＝－3，∴双曲线C 的方程为x 23－y 212＝1，其渐近线方程为x 23－y 212＝0，即y ＝±2x .答案：x 23－y 212＝1 y ＝±2x15．若方程x 24－t ＋y 2t －1＝1所表示的曲线为C ，给出下列四个命题：①若C 为椭圆，则1<t <4且t ≠52； ②若C 为双曲线，则t >4或t <1； ③曲线C 不可能是圆；④若C 表示椭圆，且长轴在x 轴上，则1<t <32.其中正确的命题是________(把所有正确命题的序号都填在横线上)．解析：若为椭圆⎩⎪⎨⎪⎧4－t >0，t －1>0，4－t ≠t －1，即1<t <4，且t ≠52；若为双曲线，则(4－t )(t －1)<0，即t >4或t <1；当t ＝52时，表示圆，若C 表示长轴在x 轴上的椭圆，则1<t <52，故①②正确．答案：①②16. [2014·唐山高二检测]如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，四边形ABEF 是矩形，且AF ＝12AD ＝a ，G 是EF 的中点，则GB 与平面AGC 所成角的正弦值为________．解析：如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (0,2a,0)，C (0,2a,2a )，G (a ，a,0)，F (a,0,0)，AG →＝(a ，a,0)，AC →＝(0,2a,2a )，BG →＝(a ，－a,0)，BC →＝(0,0,2a )，设平面AGC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1,1)，由⎩⎨⎧AG →·n 1＝0，AC →·n 1＝0⇒⎩⎨⎧ax 1＋ay 1＝02ay 1＋2a ＝0⇒⎩⎨⎧x 1＝1，y 1＝－1⇒n 1＝(1，－1,1)．sin θ＝BG →·n 1|BG →||n 1|＝2a 2a ×3＝63.答案：63三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(10分)已知a ＝(x,4,1)，b ＝(－2，y ，－1)，c ＝(3，－2，z )，a ∥b ，b ⊥c ，求：(1)a ，b ，c ；(2)a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值．解：(1)因为a ∥b ，所以x －2＝4y ＝1－1，解得x ＝2，y ＝－4，这时a ＝(2,4,1)，b ＝(－2，－4，－1)，又因为b ⊥c ，所以b ·c ＝0，即－6＋8－z ＝0，解得z ＝2，于是c ＝(3，－2,2)．(2)由(1)得a ＋c ＝(5,2,3)，b ＋c ＝(1，－6,1)，因此a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值等于cos θ＝5－12＋338×38＝－219.18．(12分)[2014·宁波高二检测]已知命题p ：方程x 22m －y 2m －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线y 25－x 2m ＝1的离心率e ∈(1,2)，若p ，q 只有一个为真，求实数m 的取值范围．解：将方程x 22m －y 2m －1＝1改写为x 22m ＋y 21－m＝1，只有当1－m >2m >0，即0<m <13时，方程表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆，所以，命题p 等价于0<m <13；因为双曲线y 25－x 2m ＝1的离心率e ∈(1,2)，所以m >0，且1<5＋m 5<4，解得0<m <15；所以命题q 等价于0<m <15；若p 真q 假，则m ∈∅；若p 假q 真，则13≤m <15. 综上，m 的取值范围为13≤m <15.19．(12分)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC，E、F、E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点．(1)求证：CE∥平面C1E1F；(2)求证：平面C1E1F⊥平面CEF.解：如图所示，以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设BC＝1，，2)．则C(0,1,0)，E(1,0,1)，C1(0,1,2)，F(1,1,1)，E1(1，12(1)设平面C1E1F的法向量n＝(x，y，z)．∵C 1E 1→＝(1，－12，0)，FC 1→＝(－1,0,1)，∴⎩⎨⎧n ·C 1E 1→＝0，n ·FC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －12y ＝0，－x ＋z ＝0.取n ＝(1,2,1)．∵CE →＝(1，－1,1)，n ·CE →＝1－2＋1＝0， ∴CE →⊥n .又∵CE ⊄平面C 1E 1F ， ∴CE ∥平面C 1E 1F .(2)设平面EFC 的法向量为m ＝(a ，b ，c )， 由EF →＝(0,1,0)，FC →＝(－1,0，－1)，∴⎩⎨⎧m ·EF →＝0，m ·FC →＝0，即⎩⎨⎧b ＝0，－a －c ＝0.取m ＝(－1,0,1)．∵m ·n ＝1×(－1)＋2×0＋1×1＝－1＋1＝0， ∴平面C 1E 1F ⊥平面CEF .20. (20分)设曲线方程为x 2＋y24＝1，过点M (0,1)的直线l 交曲线于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足OP →＝12(OA →＋OB →)．当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程．解：直线l 过点M (0,1)，设其斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题设可得点A 、B 的坐标(x 1，y 1)、(x 2，y 2)是方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1， ①x 2＋y 24＝1 ②的解．将①代入②并化简得(4＋k 2)x 2＋2kx －3＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2k 4＋k2，y 1＋y 2＝84＋k 2.于是OP →＝12(OA →＋OB →)＝(x 1＋x 22，y 1＋y 22)＝(－k 4＋k 2，44＋k 2)． 设点P 的坐标(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－k 4＋k 2，y ＝44＋k2，消去参数k 得4x 2＋y 2－y ＝0. ③当k 不存在时，AB 中点为坐标原点， 即点P (0,0)，也满足方程③.所以点P 的轨迹方程为4x 2＋y 2－y ＝0.21．(12分)[2014·课标全国卷Ⅰ]如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C.(1)证明：AC＝AB1；(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角A－A1B1－C1的余弦值．解：(1)连接BC1，交B1C于点O，连接AO.因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1，且O为B1C及BC1的中点．又AB⊥B1C，所以B1C⊥平面ABO.由于AO⊂平面ABO，故B1C ⊥AO.又B1O＝CO，故AC＝AB1.(2)因为AC⊥AB1，且O为B1C的中点，所以AO＝CO.又因为AB＝BC，所以△BOA≌△BOC.故OA⊥OB，从而OA，OB，OB1两两互相垂直．以O 为坐标原点，OB →的方向为x 轴正方向，|OB →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .因为∠CBB 1＝60°，所以△CBB 1为等边三角形．又AB ＝BC ，则 A (0,0，33)，B (1,0,0)，B 1(0，33，0)，C (0，－33，0)． AB 1→＝(0，33，－33)，A 1B 1→＝AB →＝(1,0，－33)，B 1C 1→＝BC →＝(－1，－33，0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面AA 1B 1的法向量，则⎩⎨⎧n ·AB 1→＝0，n ·A 1B 1→＝0，即⎩⎨⎧33y －33z ＝0，x －33z ＝0.所以可取n ＝(1，3，3)．设m 是平面A 1B 1C 1的法向量，则⎩⎨⎧m ·A 1B 1→＝0，m ·B 1C 1→＝0.同理可取m ＝(1，－3，3)． 则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝17.所以二面角A －A 1B 1－C 1的余弦值为17.22．(12分)[2014·天津高考]设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B .已知|AB |＝32|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过原点O 的直线l 与该圆相切．求直线l 的斜率．解：(1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c,0)．由|AB |＝32|F 1F 2|，可得a 2＋b 2＝3c 2，又b 2＝a 2－c 2，则c 2a 2＝12.所以，椭圆的离心率e ＝22.(2)由(1)知a 2＝2c 2，b 2＝c 2.故椭圆方程为x 22c 2＋y 2c 2＝1.设P (x 0，y 0)，由F 1(－c,0)，B (0，c )，有F 1P →＝(x 0＋c ，y 0)，F 1B →＝(c ，c )．由已知，有F 1P →·F 1B →＝0，即(x 0＋c )c ＋y 0c ＝0.又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0. ①又因为点P 在椭圆上，故x 202c 2＋y 20c 2＝1. ②由①和②可得3x 20＋4cx 0＝0.而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－43c ，代入①得y 0＝c 3，则点P 的坐标为(－4c 3，c3)．设圆的圆心为T (x 1，y 1)，则x 1＝－43c ＋02＝－23c ，y 1＝c 3＋c 2＝23c ，进而圆的半径r ＝(x 1－0)2＋(y 1－c )2＝53c .设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y ＝kx .由l 与圆相切，可得|kx 1－y 1|k 2＋1＝r ，即|k (－2c 3)－2c 3|k 2＋1＝53c ，整理得k 2－8k ＋1＝0，解得k ＝4±15.所以，直线l 的斜率为4＋15或4－15.。
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精品文档选修2-1数学综合测试题一、选择题21x?x?3x?2?0”的（“”是“）1．A.充分不必要条件 B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 C.充要条件p?q是假命题，则（）2．若ppqq均为假命题是假命题、A.B.是真命题，ppqq至少有一个是真命题至少有一个是假命题 D.C.、、FFMFMF∣=6,则M∣+∣3．点的轨迹是,的两定点，动点是距离为6M满足∣2121（）A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆22yx??1的渐近线方程为（）4．双曲线16916934xy??xy??xy??yx?? B. D. C. A. 916433?13)F(0，，5．中心在原点的双曲线，一个焦点为，一个焦点到最近顶点的距离是则双曲线的方程是（）2222xyyx2222??1x?1y??1?x??1y． B．A． DC．2222ABCD A,BC,D在椭圆上，则此椭圆的离．已知正方形为椭圆的焦点，顶点的顶点6心率为( )22?112?2?2． B．． D C．A22222yyxxa1????1的值为（）与双曲线7．椭圆有相同的焦点，则24a2a2 C．2 D．1 B．．3A2y2?1?x有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线标准方程为（）8．与双曲线422222222yxxyyyxx1??11?????1?）D）（A B （）C （）（3123122828精品文档．精品文档OA,与OB的夹角是为坐标原点，则向量，2，－6）OB9．已知A（－1，－2，6），（1（）??3?．C．A．0 D B．22(132平行的一个向量的坐标是 10．与向量（）3112－，－．D（3，2） C．（－，，－A．（1），－，1，1） B．（－13，2232）21?AB?BC2ABCDAA?ABCD?BBE是侧棱,．11中，．已知长方体,11111111AEDAE所成角的大小为( 与平面) 的中点，则直线11 000456090 B． D C．．以上都不正确A．22my?x?m my?x?与圆12．若直线）相切，则的值为（00212 C．或A． D B．．二、填空题BA11DF所成角的余弦值是ED是正方体，B＝DF＝，则BE与C．13如图ABCD－AB11111111114 _______________.222x)的一个焦点与抛物线y?120?xky?3k(k?的焦点．已知椭圆14重合，则该椭圆的离心率是_______________．22yx k1??．已知方程15的取值范围为___________表示椭圆，则k??k23E．在正方体间的距离．中，的中点，则异面直线为和16BCDBEDBABCD?ACA11111111三、解答题到平面A的中点,求点C2,E,F,G分别是C,DA,AB的棱长为CABCD-A17．正方体BD1111111.EFG的距离3x?y?A(23,?3)的双曲线的标准方程及离心率。
18，且过点．求渐近线方程为4精品文档．精品文档1a??1?x2x?x?x?3}{;命题q:不等等p:不的式解集式是命19．设题32?14ax4x??a的值取值范围.q”为真命题,的解集是试求实数,若“p或20．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（－3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．1PD．QA=AB=QA，⊥平面．如图，四边形21ABCD为正方形，PDPDABCD，∥2DCQ （I）证明：平面⊥平面PQCQ-BP-CII（）求二面角的余弦值．精品文档．精品文档C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F,点22．已知椭圆E在椭圆C上,且EF⊥121,求椭圆C的方程.FF,|EF|=,|EF|=2112精品文档．精品文档参考答案1．B【解析】22x?2xx??1x?10x?3x0?(x?1)(x?2??2)?且，则且试题分析：；反之，202??3x?x，故选时，B.考点：充要条件的判断.2．C【解析】?qp??q?pppq、、是真命题，都是真命题其逆否命题为：是假命题试题分析：当q至少有一个是假命题，可得C正确.考点：命题真假的判断.3．C【解析】MFFFMF∣=6,所以M∣解题分析：因为+,∣M是距离为6，动点点的轨迹是满足∣2211FF。
故选C。
线段21考点：主要考查椭圆的定义。
点评：学习中应熟读定义，关注细节。
4．C22yx3??1y??x【解析】因为双曲线a=4,b=3,c=5,则其渐近线方程为，1694,选C.5．A【解析】3c3)(0，F，焦点到最近轴上，且＝，所以，双曲线的焦点在试题分析：由焦点为y223a ab??c213?31?，所，所以，，所以，＝＝顶点的距离是）＝1－（2x2?1y?以，双曲线方程为：，没看清楚焦点的位置，注意区分..本题容易错选B2考点：双曲线的标准方程及其性质.A6．【解析】1,c??2c1,?ABCD2a?1?2,试题分析：设正方形，则根据题意知，1的边长为2精品文档．精品文档112?121.???2?a?，所以椭圆的离心率为212?2?12考查学生的运算求解能考点：本小题主要考查椭圆中基本量的运算和椭圆中离心率的求法，力.c.,ca点评：求椭圆的离心率关键是求出，而不必分别求出a7．A【解析】2222yxxy0?a1???1?试题分析：因为椭圆，且椭与双曲线有相同的焦点，所以22a4a21.a?0?a x1.?a?a?2,?a??a2,或4?轴上，所以，所以圆的焦点应该在因为考点：本小题主要考查椭圆与双曲线的标准方程及其应用.222222.?b?bc?c?aa点评：椭圆中，而在双曲线中B8．【解析】2y2??3???x?，所试题分析：设所求的双曲线方程为，代入可得，因为过点（2,2）422yx1??以所求双曲线方程为.123考点：本小题主要考查双曲线标准方程的求解，考查学生的运算求解能力.22yy22????xx?1点评：与双曲线有共同的渐近线的方程设为是简化运算的关键.44C9．【解析】ba????cosOBOA,与，故的夹角是－试题分析：应用向量的夹角公式=1．所以量|a||?|b。
选C.考点：本题主要考查向量的数量积及向量的坐标运算点评：较好地考查考生综合应用知识解题的能力以及运算能力，属于基本题型。
； 10．C【解析】试题分析：向量的共线（平行）问题，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即?b?a?ba0b?,//。
．也可直接运用坐标运算。
经计算选C精品文档．精品文档考点：本题主要考查向量的共线及向量的坐标运算.点评：有不同解法，较好地考查考生综合应用知识解题的能力。
B 11．．C12【解析】22my??x m??yx）到直线0,0试题分析：根据题意，由于直线与圆相切，则圆心（|m|m=C. ，故答案为x+y=m，则可知得到参数的距离为m的值为221513．173?e．142【解析】22yx4?k?3k?3?91??(3,0)F椭圆的方程为：抛物线的焦点为,所以,试题分析：3k333?e?离心率.232112),(?(?3,?)．1522【解析】0k?3??22?yx0?k?2k1??试题分析：方程的取值范围表示椭圆，需要满足，解得?k2k??3?kk?2?3??11(?),2)(?3,?.为22考点：本小题主要考查椭圆的标准方程，考查学生的推理能力.3?k?2?k，否则就表示圆了点评：解决本小题时，不要忘记.26 16．3【解析】2，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则试题分析：设正方体棱长为D1?DEn??0?1??),?n(1,BDE?(2,1,0)C?(2,0,2)，则和设，，，公垂线段上的向量为BCED?1111??0nCB??1精品文档．精品文档nC?D??22???0???64211(0,2,0)2,?1)?DC??n?(1,即，，又，，，所??????11??102?2???36n??26和．以异面直线间的距离为BCED3, 建立空间直角坐标系17．【解析】如图,A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2),G(2,1,0),则=(0,-1,0).=(1,-2,1),所以=(2,-1,-1),,n=(x,y,z)是平面EFG的法向量设所以则,=(1,1,1)=z,可取n所以x=y,=d=所以=.EFG的距离为到平面即点A22xy51??，离心率为18．双曲线方程为9434【解析】22yx??)??0(?试题分析：设所求双曲线方程为，9161129????????)3,A(23?带入，，491622xy1???，所求双曲线方程为944259222??c4?ba?,又，445c?e??离心率. 3a精品文档．精品文档1a?1?????1?a??a?2ax?2x?1?1?x?a?33. 由得19. 解,:由题意得?3?a?1?3?.∴命p:22?4ax?4xax?1?1?04x?4无解,得由的解集是,0a??21?ax??R01?4ax?4x?. ,得即对,恒成立,∴?2?(?4)?4?4a?1??0?a?1.∴命题q:由“p或q”为真命题,得p、q中至少有一个真命题.a?2?}1aa??1}?{e{aa}?{aa?1则,q均为假命题. 当,而p、?R1?a?(1,??)a. ∴实数的值取值范围是m的值为?26．20【解析】p2)?02py(x?p?,?0），由题意可得试题分析：设抛物线方程为（，则焦点F22??6mp?6?2m??62m??或，，解之得???p?p422p?4m?(3?)?5???2?2m的值为?26y8x??故所求的抛物线方程为，如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线．解:DA为x轴的正半轴建立空21D?xyz.间直角坐标系)02,)P(0),0C(0,,0,Q(1,11，依题意有，，(Ⅰ)),0,?1(0,1)PQ?1DQ?0(1,1,)DC?,(0，所以则，，0?PQ0?PQ?DQ?DC，，DC DCQDDQDCDQ?PQPQPQPQ?平面. 即.且⊥故，又⊥⊥平面DCQPQCPQC分. ……，所以平面⊥平面6BP CB(?1,2,),,),,B(101(100?1). =）依题意有II（，=，精品文档．精品文档?,0x??,0?CB?n?PBC)zn,?(x,y的法向量，则是平面设即??.0z?2?x?y??,0BP?n???).2??n?(0,1因此可B?mPBQ的法向量，则设是平面??.?0m?PQ?15),,1,m1?(1.n??cosm,C?BPQ?且由图形可知二面角可取所以为钝角515?.C?BPQ?的余弦值为故二面角5,上在椭圆C22．【解析】因为点E a=3.=6,即|+|EF|=+所以2a=|EF21,|=F=2=中△在RtEFF,|F2211. c的半焦距=所以椭圆C=2, =b=因为的方程为所以椭圆C+=1. 精品文档．。