高考文科数学二轮新考势练习：4-5-2 空间点、线、面的位置关系 跟踪训练

1．(2019年云南省昆明市高三高考模拟数学试题)已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，若α⊥β，则下列结论正确的是() A．l∥β或l⊂βB．l∥m
C．m⊥αD．l⊥m
解析：对于A，直线l⊥平面α，α⊥β，则l∥β或l⊂β，
∴A正确；对于B，直线l⊥平面α，直线m∥平面β，
且α⊥β，则l∥m或l与m相交或l与m异面，
∴B错误；对于C，直线m∥平面β，且α⊥β，
则m与α相交或m⊂α或m∥α，
∴C错误；对于D，直线l⊥平面α，直线m∥平面β，
且α⊥β，则l∥m或l与m相交或l与m异面，
∴D错误．
答案：A
2．(2019年天津检测)设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是()
A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析：对于A选项，设α∩β＝a，若l∥a，且l⊄α，l⊄β，则l∥α，l∥β，此时α与β相交，故A选项错误；对于B选项，l∥α，l⊥β，则存在直线a⊂α，使得l∥a，此时a⊥β，由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故B选项正确；对于C选项，若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故C选项错误；对于D选项，若α⊥β，l∥α，则l与β的位置关系不确定，故D选项错误．
答案：B
3．(2019学年安徽省黄山市屯溪第一中模拟)下列命题
①两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直；
④如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行；
⑤圆锥的顶点与底面上任意一点的连线是圆锥的母线．
其中正确命题的是()
A．①②③B．①②⑤
C．①③D．②③⑤
解析：①两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内，是真命题；②有三个角是直角的四边形是矩形，是假命题，因为空间四边形中也有三个角是直角的，但是空间四边形不是矩形；③如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直，可以证明是真命题；④如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行，是假命题，因为这两条直线还有可能相交或异面；
⑤圆锥的顶点与底面上任意一点的连线是圆锥的母线，是假命题，因为圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线．故选C.
答案：C
4．(2019年江西省宜春市调研)一个正方体纸盒展开后如图10，在原正方体纸盒中有下列结论：
图10
①AB⊥EF；
②AB与CM成60°的角；
③EF与MN是异面直线；
④MN∥CD.
其中正确的是()
A．①②B．③④
C．②③D．①③
解析：将正方体纸盒展开图还原成正方体如图11，由图知AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确，故选D.
图11
答案：D
5．(2019年江西省红色七校高三第二次联考)在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是BC的中点，点P是面DCC1D1所在的平面
内的动点，且满足∠APD ＝∠MPC ，则三棱锥P －BCD 的体积最大值是( )
A ．36
B ．12 3
C ．24
D ．18 3
解析：因为AD ⊥平面D 1DCC 1，
所以AD ⊥DP ，同理BC ⊥平面D 1DCC 1，
则BC ⊥CP ，又∠APD ＝∠MPC ，
所以△P AD ∽△PMC ，
∵AD ＝2MC ，∴PD ＝2PC ，
下面研究点P 在面ABCD 内的轨迹(立体几何平面化)，在平面直角坐标系内设D (0，0)，C (6，0)，C 1(6，6)，设P (x ，y )，
因为PD ＝2PC ，所以x 2＋y 2＝2（x －6）2＋y 2，
化简得(x －8)2＋y 2＝16，该圆与CC 1的交点的纵坐标最大，交点坐标为(6，23)，三棱锥P －BCD 的底面BCD 的面积为18，要使三棱锥P －BCD 的体积最大，只需高最大，当P 在CC 1上时，CP ＝23，
棱锥的高最大，V ＝13×18×23＝123，故选B.
答案：B
6．在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a ，现沿AC 折成二面角D —AC —B ，使BD ⊥AD ，BD ⊥BC .
(1)求证：平面ABD ⊥平面ABC ；
(2)a 为何值时，二面角B —AD —C 为45°.
解：(1)证明：∵BC ⊥BD ，BC ⊥AB ，BD ∩AB ＝B ，
∴BC ⊥平面ABD .
图12
∵BC⊂平面ABC，
∴平面ABD⊥平面ABC.
(2)∵BC⊥平面ABD，AD⊂平面ABD，
∴AD⊥BC，
又∵AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD，∵CD⊂平面BCD，∴AD⊥CD.
∴∠BDC是二面角B—AD—C的平面角．
∴∠BDC＝45°.
在直角△DBC中，∵BC＝a，∴BD＝a.
又∵CD＝1，∴a＝
2 2.。