基于截断HOSVD的图像压缩算法

基于截断HOSVD的图像压缩算法
摘要：本文提出了一种新的图像压缩技术。

受高阶奇异值分解（hosvd）的启发，该技术将每一幅灰度和彩色图像都作为高阶张量，并丢弃奇异子张量相应较小的奇异值来实现图像压缩。

在文中还证明了hosvd是svd矩阵自然扩伸，并且由于n模式奇异向量相应的较大n模式奇异值在张量分解奇异值耗费更多的资源，我们采用截断hosvd来实现图像压缩。

通过对比实验表明，基于截断hosvd 图像压缩技术比jpeg可以获得更好的性能。

关键词：图像压缩；张量分解；截断hosvd；jpeg
image compression algorithm based the truncated hosvd
li guoqiang
(henan water conservancy and hydroelectric power
school,zhoukou466001,china)
abstract:this paper presents a new image compression technology.by the higher order singular value decomposition the inspiration of (hosvd),the technology every one grayscale and color images as a higher order tensor,and discard the singular sub-tensor corresponding smaller singular values to achieve the image compression.in the text also proved the hosvd svd matrices natural expansion stretched,and consuming more resources due to the n-mode singular vectors
corresponding larger n mode singular value decomposition in tensor singular value,we have adopted the the truncated hosvd to image compression.the experiment shows that the compression based truncation hosvd images than jpeg can get a better performance.
keywords:image compression;tensor decomposition;truncated hosvd;
jpeg
一、介绍
在过去的几十年中，很多应用都需要处理大量的多维数据。

未压缩的多媒体数据需要相当大的存储容量和传输带宽。

尽管在海量存储密度、处理器速度和数字通信系统的性能方面取得了快速进展，人们对数据存储容量和数据传输带宽的需求仍不断超越现有的技
术能力。

最近由于数据密集的多媒体web应用的增长，不仅持续需要更有效的方式来编码信号和图像，而且信号和图像的压缩已成为存储和通信技术的核心部分。

虽然静止图像压缩的jpeg标准的国际标准已经由国际标准化组织（iso）和国际电工委员会（iec）建立，但因为底层的基于块的离散余弦变换（dct）架构使得这种编码器的性能在低比特率普遍降低[1]。

因此，小波变换已经成为了图像压缩研究的尖端技术，jpeg- 2000标准中的热门是所有基于小波变换的压缩算法[2]。

二、高阶奇异值分解
一个n阶张量表示为。

这是由n个指数即，n=1…n，每个指明了a的n模式，n的维称为a的阶（模式）。

特别是，一个标量是零阶张量，一个向量是一阶张量，一个矩阵是一个二阶张量。

定义1：（标量张量积）两个张量的标量积表示为，其中。

定义2：（弗罗贝纽斯规范）frobenius范数的张量a定义为。

定义3：（张量距离）在a和b之间的距离定义为。

定义4：（n模式积）假设张量，矩阵，则a和u的积被称为n
模式积，它可以表示另一个张量，。

定义5：（展开模式- k）n阶张量的展开模式- k矩阵可以表示为，其列索引等于 .
定义6：（a的n -秩）记为，它是跨区模式n向量的向量空间的维数。

观察1：考虑二阶张量，它是一个矩阵，它的模式- 1矩阵展开等于自己，模式- 2矩阵展开等于。

观察1有助于我们建立张量和它的展开矩阵之间的连接，并且对证明定理2是非常有用的。

定理1：（hosvd）任何张量可用积表示：
（1）
具有以下属性：
(1)是单一的矩阵( )。

(2)核心张量具有以下属性：
正交：两个核心张量和，对n的所有可能值它都是正交的，当，和都是遵从这个特性，并且。

排序：n的所有可能值。

定义7：弗罗贝纽斯规范，表示，它是a的n -模式奇异值，向量是n -模式的第i个奇异向量。

hosvd矩阵可用可展开的a和b表示：
(2)
其中表示kronecker积。

定义为对角矩阵和优先列的正交矩阵如下：
(3)
(4)
其中，。

那么很显然，hosvd导致的展开的svd矩阵为：
(5)
因此，公式（5）表示一个给定的张量的hosvd可以通过两个步骤来计算：
（1）计算投影矩阵，投影矩阵对应的模式- n的展开矩阵的左奇异矩阵。

（1）计算核心张量：
(6)
四、实验结果及分析
为了证明算法的效率，我们用jpeg压缩与之进行比较实验。

三个大小为的不同类型的图像如图1所示。

图1 压缩的抽样图像图 2 可变压缩率下的重建图像的psnr
从信息学的角度来看，狒狒图像的信息主要是高频信息，lena图像中含有较多的中间频率信息，辣椒图像包含了一些低频信息。

我们使用psnr对于在不同的压缩率下重建图像质量进行估算，其结果如图2所示。

使用jpeg和hosvd两种算法采用高压缩率后的重建图像如图3到图5所示。

图3图4
图3 基于jpeg和thosvd采用压缩率95％，90％，85％，80％时重建狒狒图像的比较
图4 基于jpeg和thosvd采用压缩率95％，90％，85％，80％时重建lena图像的比较
图5 基于jpeg和thosvd采用压缩率95％，90％，85％，80％时重建辣椒图像的比较
从实验中我们能得出以下结论：
（1）采用jpeg和thosvd压缩时，psnr随着压缩率的提高而下降。

事实上，当压缩率变得越大，信息丢失就更多，它在重建时图像的质量就会越差。

（2）对于狒狒和辣椒图像，新的压缩算法比jpeg
压缩能获得更好的重建质量比。

（3）对于中间频率的图像，当压缩
率接近1时，基于jpeg的重建图像的psnr要优于那些基于thosvd 的。

（4）当压缩率很高时，基于jpeg的重建图像有明显的块效应，但基于thosvd的图像没有出现这个现象。

（5）很明显，从图3到图5，重建图像的质量与psnr值是一致的。

五、结论
在文中，我们提出了基于截断hosvd压缩算法。

首先，我们通过理论分析表明，hosvd是svd矩阵自然延伸。

其次，为了实现数据压缩，我们引入截断hosvd。

与jpeg的比较实验表明，对于彩色图像，该算法具有比jpeg更好的性能，而且，在计算机视觉算法上，它很容易得到任意的高阶张量。

参考文献：
[1] g.wallace, “the jpeg still picture compression standard,” communications of the
acm,vol.34,no.4,pp.30-44,1991
[2] d.taubman, m. marcellin, and m. rabbani, “jpeg2000: image compression fundamentals, standards and practice,”journal of electronic imaging,vol.11,pp.286,2002。