高考数学压轴专题新备战高考《三角函数与解三角形》全集汇编含解析

新高考数学《三角函数与解三角形》专题解析
一、选择题
1．已知πππ
sin()cos()0,322
ααα++-=-<<则2πcos()3α+等于（ ）
A B ．35
-
C ．
45
D ．
35
【答案】C 【解析】 【分析】
首先根据等式化简，得到4sin 65πα⎛⎫
+=- ⎪
⎝
⎭，再利用诱导公式化简2cos 3πα⎛
⎫
+ ⎪⎝
⎭
求值. 【详解】
解析：∵ππsin cos 32αα⎛⎫⎛
⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
13sin sin sin 22225
ααααα++=+=-
65πα⎛
⎫=+=-
⎪⎝
⎭ ∴π4
sin 65
()α+=-.
又2ππππcos cos sin 32()())6(6ααα+=++=-+， ∴2π4co (s 35
)α+=. 故选：C 【点睛】
本题考查三角恒等变换，化简求值，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型.
2．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足，222b c a bc +-=，
0AB BC ⋅>u ur u u r u u ，2
a =，则
b
c +的取值范围是( )
A ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．32⎫⎪⎪⎝⎭
C ．13,22⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．31,2
⎛⎤ ⎥⎝⎦
【答案】B 【解析】 【分析】
利用余弦定理222
cos 2b c a A bc
+-=，可得3A π=，由
|||cos()|0AB BC AB BC B π⋅=⋅->u u u u u u u u r u ur u r u r
，可得B
为钝角，由正弦定理可得sin sin(120)30)o o b c B B B ∴+=+-=+，结合B 的范围，可得解
【详解】
由余弦定理有：222
cos 2b c a A bc
+-=，又222b c a bc +-=
故2221
cos 222
b c a bc A bc bc +-===
又A 为三角形的内角，故3
A π
=
又a
=sin sin sin(120)o
b c c B C B ==
- 又|||cos()|0AB BC AB BC B π⋅=⋅->u u u u u u u u r u ur u r u r
故cos 0B B <∴为钝角
3sin sin(120)sin 30)22o o b c B B B B B ∴+=+-=+=+
(90,120)o o B ∈Q ，可得
130(120150)sin(30)(2o o o o B B +∈∴+∈，
330))22
o b c B ∴+=+∈ 故选：B 【点睛】
本题考查了正弦定理、余弦定理和向量的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题
3．在ABC ∆中，若sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则ABC ∆是（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形
C ．锐角三角形
D ．等腰直角三角形
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意利用正弦定理，推出a ，b ，c 的关系，然后利用余弦定理求出cosC 的值，即可得解． 【详解】
∵sinA ：sinB ：sinC=2：3：4
∴由正弦定理可得：a ：b ：c=2：3：4，
∴不妨令a=2x ，b=3x ，c=4x ，
∴由余弦定理：c 2
=a 2
+b 2
﹣2abcosC ，所以cosC=
2222a b c ab
+-=222
4916223x x x x x +-⨯⨯=﹣14， ∵0＜C ＜π， ∴C 为钝角． 故选B ． 【点睛】
本题是基础题，考查正弦定理，余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．
4．已知函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫
⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭的部分图象如图所示，其中()01f =，
5
||2
MN =
，则点M 的横坐标为（ ）
A ．
12
B ．25
-
C ．1-
D ．23
-
【答案】C 【解析】 【分析】 由(0)1f =求出56
πϕ=，由5||23MN π
ω=⇒=，再根据()2f x =可得答案.
【详解】
由函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫
⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭的部分图象，
可得(0)2sin 1f ϕ==，56
πϕ∴=
， 2
2512||2243MN ππωω⎛⎫
==+⋅= ⎪⎝⎭， ∴函数5()2sin 3
6f x x π
π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，
令52sin 236x π
π⎛⎫
+
= ⎪⎝⎭
， 得
52,03
62
x k k π
ππ
π+
=+=得1x =-.
故选：C. 【点睛】
本题主要考查三角函数的图象与性质，考查了数形结合思想的应用，解题的关键是利用勾股定理列方程求出3
π
ω=
，属于中档题.
5．{}n a 为等差数列，公差为d ，且01d <<，5()2
k a k Z π
≠
∈，223557sin 2sin cos sin a a a a +⋅=，函数()sin(4)(0)f x d wx d w =+>在20,
3
π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调且存在020,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，使得()f x 关于0(,0)x 对称，则w 的取值范围是（ ）
A ．20,
3⎛⎤ ⎥⎝⎦
B ．30,
2⎛
⎤ ⎥⎝⎦
C ．24,
33⎛⎤
⎥⎝⎦
D ．33,42⎛⎤
⎥⎝⎦
【答案】D 【解析】 【分析】
推导出sin4d ＝1，由此能求出d ，可得函数解析式，利用在203
x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，
上单调且存在()()0020203
x f x f x x π⎛⎫
∈+-= ⎪⎝⎭
，
，，即可得出结论． 【详解】
∵{a n }为等差数列，公差为d ，且0＜d ＜1，a 52
k π
≠（k ∈Z ）， sin 2a 3+2sin a 5•cos a 5＝sin 2a 7， ∴2sin a 5cos a 5＝sin 2a 7﹣sin 2a 3＝
2sin 372a a +cos 732a a -•2cos 372a a +sin 7
3
2a a -=2sin a 5cos2d •2cos a 5sin2d ， ∴sin4d ＝1，
∴d 8
π
=
．
∴f （x ）8
π
=
cosωx ，
∵在203
x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，上单调 ∴
23
ππω≥， ∴ω32
≤
；
又存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝
⎭
，，， 所以f （x ）在（0，23
π
）上存在零点， 即
223ππω＜，得到ω34
＞． 故答案为 33,42⎛⎤ ⎥⎝⎦
故选D 【点睛】
本题考查等差数列的公差的求法，考查三角函数的图象与性质，准确求解数列的公差是本题关键，考查推理能力，是中档题．
6．定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当
π0,2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，()sin f x x =，则
5π3f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值为( )
A ．12
-
B ．
2
C ．
D ．
12
【答案】B 【解析】 分析：要求53
f π⎛⎫
⎪⎝⎭
，则必须用()sin f x x =来求解，通过奇偶性和周期性，将变量转化到区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上，再应用其解析式求解 详解：()f x Q 的最小正周期是π
552333f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()f x Q 是偶函数
33f f ππ⎛⎫⎛⎫
∴-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
53
3f f π
π⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
Q 当02x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，时，()sin f x x =，
则5 sin 3332f f πππ⎛⎫⎛⎫
===
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
故选B
点睛：本题是一道关于正弦函数的题目，掌握正弦函数的周期性是解题的关键，考查了函数的周期性和函数单调性的性质．
7．小赵开车从A 处出发，以每小时40千米的速度沿南偏东40︒的方向直线行驶，30分钟后到达B 处，此时，小王发来微信定位，显示他自己在A 的南偏东70︒方向的C 处，且A 与C 的距离为153千米，若此时，小赵以每小时52千米的速度开车直线到达C 处接小王，则小赵到达C 处所用的时间大约为（ ）
(
)
7 2.6≈
A ．10分钟
B ．15分钟
C ．20分钟
D ．25分钟
【答案】B 【解析】 【分析】
首先根据题中所给的条件，得到30BAC ∠=︒，20AB =，153AC =，两边和夹角，之后应用余弦定理求得5713BC =≈（千米），根据题中所给的速度，进而求得时间，得到结果. 【详解】
根据条件可得30BAC ∠=︒，20AB =，153AC =， 由余弦定理可得2222cos30175BC AB AC AB AC ︒=+-⋅⋅=， 则5713BC =≈（千米）， 由B 到达C 所需时间约为13
0.2552
=（时）15=分钟． 故选：B ． 【点睛】
该题是一道关于解三角形的实际应用题，解题的关键是掌握余弦定理的应用，属于简单题目.
8．将函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛
⎫=+>< ⎪⎝
⎭的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象关
于y 轴对称，且1π2f ω⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，则当ω取最小值时，函数()f x 的解析式为（ ）
A ．()sin 26f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
B ．()sin 2π6f x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
C ．()sin 4π6f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
D ．()sin 4π6f x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意利用函数()sin y A x ωφ=+的图象变换规律，可得所得函数的解析式，由
12f πω⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，求出φ，再根据所得图象关于y 轴对称求出ω，可得()f x 的解析式．
【详解】
解：将函数()()sin (0,)2
f x x π
ωφωφ=+><
的图象向右平移
6
π
个单位长度后，可得sin 6y x ωπωφ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
的图象；
∵所得图象关于y 轴对称，∴6
2
k ωπ
π
φπ-+=+
，k Z ∈．
∵()1sin sin 2f ππφφω⎛⎫=-=+=- ⎪
⎝⎭
，即1sin 2φ=，26ππφφ<=，. ∴63
k ωπ
π
π-
=+
，620k ω=-->,
则当ω取最小值时，取1k =-，可得4ω=，
∴函数()f x 的解析式为()sin 46f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
. 故选C ． 【点睛】
本题主要考查函数()sin y A x ωφ=+的图象变换规律，正弦函数的性质，属于中档题．
9．已知函数()sin()f x x πϕ=+某个周期的图象如图所示，A ，B 分别是()f x 图象的最高点与最低点，C 是()f x 图象与x 轴的交点，则tan ∠BAC ＝（ ）
A ．
1
2
B ．
47
C 255
D 7
6565
【答案】B
【分析】
过A 作AD 垂直于x 轴于点D ，AB 与x 轴交于E ，设C （a ，0），可得32
CD =
，11,2AD DE ==
，3
tan 2CD
CAD AD ∠=
=，1tan 2
ED EAD AD ∠==，再利用tan tan()BAC CAD EAD ∠=∠-∠计算即可.
【详解】
过A 作AD 垂直于x 轴于点D ，AB 与x 轴交于E ， 由题可得周期为2，设(,0)C a ，则1(,1)2B a +-，3
(,1)2
A a +， 所以32
CD =
，1
1,2AD DE ==，
3
tan 2CD CAD AD ∠=
=，1tan 2
ED EAD AD ∠=
= 所以tan tan tan tan()1tan tan CAD EAD
BAC CAD EAD CAD EAD
∠-∠∠=∠-∠=
+∠⋅∠
31422317122-=
=+⨯. 故选：B
【点睛】
本题主要考查两角差的正切公式，涉及到正弦型函数图象等知识，考查学生数学运算能力，是一道中档题.
10．已知角α的终边与单位圆交于点34(,)55
P -，则cos α的值为( ) A ．
35
B ．35
-
C ．
45
D ．45
-
【答案】B
【分析】
根据已知角α的终边与单位圆交于点34(,)55
P -，结合三角函数的定义即可得到cos α的值. 【详解】
因为角α的终边与单位圆交于点34(,)55
P -， 所以34
,,155
x y r =-==， 所以3cos 5
α=-， 故选B. 【点睛】
该题考查的是有关已知角终边上一点求其三角函数值的问题，涉及到的知识点有三角函数的定义，属于简单题目.
11．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++⎛
⎫=++<< ⎪+++-⎝
⎭的最小值为
（ ） A
．
13
+ B
C
D
【答案】B 【解析】 【分析】
利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】
2
2222sin 2sin cos 2cos 2sin cos
1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222
x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x +++-+++=
++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x x
x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫
++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=
+=⎛⎫⎛⎫
++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 则()21tan 0sin 32f x x x x π⎛
⎫=
+<< ⎪⎝
⎭， 322222
21sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x '
'
'
--+⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
令()cos 0,1t x =∈，()3
2
61g t t t =--+为减函数，且102g ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
， 所以当03
x π
<<时，
()1
1,02
t g t <<<，从而()'0f x <； 当
3
2
x π
π
<<
时，()1
0,02
t g t <<
>，从而()'0f x >.
故()min 33f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭
. 故选：A 【点睛】
本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题.
12．函数()2sin sin cos y x x x =+的最大值为（ ）
A ．1
B 1
C
D ．2
【答案】A 【解析】
由题意，得()2
2sin sin cos 2sin 2sin cos sin2cos21y x x x x x x x x =+=+=-+
π
2114x ⎛
⎫=-+≤ ⎪⎝
⎭；故选A.
13．已知()0,απ∈，3sin 35πα⎛
⎫
+= ⎪⎝
⎭，则cos 26πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭（ ） A ．
24
25
B ．2425
-
C ．
725
D ．725
-
【答案】B 【解析】 【分析】
根据余弦的二倍角公式先利用sin 3πα⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
求得2cos 23
πα⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
.再由诱导公式求出sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝
⎭,再利用同角三角函数关系中的平方关系求得cos 26πα⎛
⎫+ ⎪⎝⎭.根据角的取值范
围,舍去不合要求的解即可. 【详解】 因为3sin 35
πα⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭ 由余弦二倍角公式可得2
2237cos 212sin 1233525
ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
而2cos 2cos 2sin 23626ππππααα⎛
⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
所以27sin 2cos 26325ππαα⎛
⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
由同角三角函数关系式可得24cos 2625πα⎛⎫+
==± ⎪⎝⎭ 因为()0,απ∈ 则4,333πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,而3sin 035πα⎛⎫+=> ⎪⎝
⎭ 所以,33ππαπ⎛⎫+
∈ ⎪⎝⎭ 则,33π
παπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ 所以22,233ππαπ⎛
⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 32,3262ππππα⎛⎫⎛⎫+-∈ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭,即32,662πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ 又因为7sin 20625πα⎛⎫+
=-< ⎪⎝⎭,所以32,62ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ 故cos 206πα⎛
⎫+< ⎪⎝⎭
所以24cos 2625
πα⎛⎫+
=- ⎪⎝⎭ 故选:B
【点睛】 本题考查了同角三角函数关系式及诱导公式的化简应用,三角函数恒等变形及角的范围确定,综合性较强,属于中档题.
14．函数()()()cos 20f x x ϕϕπ=+<<在区间,66ππ⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦单调递减，在区间,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有零点，则ϕ的取值范围是（ ）
A ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．25,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．2,23ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦
D ．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
【答案】C
【解析】
分析：结合余弦函数的单调减区间，求出零点，再结合零点范围列出不等式
详解：当[,]66x ππ∈-，2[,]33x ππϕϕϕ
+∈-++， 又∵(0,)ϕπ∈，则[,][0,]33ππϕϕπ-++⊆，即033πϕπϕπ⎧-≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩
，233ππϕ≤≤， 由cos(2)0x ϕ+=得2,2x k k Z πϕπ+=+
∈，242k x ππϕ=+-， ∴0642π
π
ϕ
-<-<，解得526
π
πϕ<<， 综上223
π
πϕ<≤. 故选C.
点睛：余弦函数的单调减区间：[2,2]k k ππ+π，增区间：[2,22]k k ππππ++，零点：2
x k ππ=+
，对称轴：x k π=，对称中心：,2)0(k ππ+，k Z ∈. 15．某船开始看见灯塔A 时，灯塔A 在船南偏东30o 方向，后来船沿南偏东60︒的方向航行45km 后，看见灯塔A 在船正西方向，则这时船与灯塔A 的距离是（ ）
A ．152km
B ．30km
C ．15km
D ．153km 【答案】D
【解析】
【分析】
如图所示，设灯塔位于A 处，船开始的位置为B ，船行45km 后处于C ，根据题意求出BAC ∠与BAC ∠的大小，在三角形ABC 中，利用正弦定理算出AC 的长，可得该时刻船与灯塔的距离．
【详解】
设灯塔位于A 处，船开始的位置为B ，船行45km 后处于C ，如图所示，
可得60DBC ∠=︒，30ABD ∠=︒，45BC =
30ABC ∴∠=︒，120BAC ∠=︒
在三角形ABC 中，利用正弦定理可得：
sin sin AC BC ABC BAC
=∠∠，
可得
sin1
sin2
BC ABC
AC
BAC
∠
===
∠
故选D
【点睛】
本题主要考查的是正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解决本题的关键，属于基础题．
16．已知函数()sin()
f x x
ωϕ
=+（0
>
ω，
2
π
ω<）的最小正周期为π，且其图象向左
平移
3
π
个单位后，得到函数()cos
g x x
ω
=的图象，则函数()
f x的图象（）
A．关于直线
12
x
π
=对称B．关于直线
5
12
x
π
=对称
C．关于点(,0)
12
π
对称D．关于点
5
(,0)
12
π
对称
【答案】C
【解析】
试题分析：依题意()()
2,sin2
f x x
ωϕ
==+，平移后为
2
sin2cos2,
36
x x
ππ
ϕϕ
⎛⎫
++==-
⎪
⎝⎭
，()sin26
f x x
π
⎛⎫
=-
⎪
⎝⎭
，关于,0
12
π
⎛⎫
⎪
⎝⎭
对称.
考点：三角函数图象与性质.
17．4
cos2
d
cos sin
x
x
x x
π
=
+
⎰（）
A
．1)B
1C
1D
．2
【答案】C
【解析】
【分析】
利用三角恒等变换中的倍角公式，对被积函数进行化简，再求积分.
【详解】
因为
22
cos2cos sin
cos sin
cos sin cos sin
x x x
x x
x x x x
-
==-
++
，
∴
44
00
cos2
d(cos sin)d(sin cos)1
4
cos sin
x
x x x x x x
x x
πππ
=-=+=
+
⎰⎰，故选C．
【点睛】
本题考查三角恒等变换知与微积分基本定理的交汇.
18．在ABC V 中，角A 的平分线交边BC 于D ，4AB =，8AC =，2BD =，则ABD △的面积是（ ）
A ．
15
B ．315
C ．1
D ．3
【答案】A 【解析】
【分析】
先根据正弦定理求得DC ，再结合余弦定理求得cos B ，进而求出ABD S V ，即可求得结论．
【详解】
如图：
()sin sin sin ADC ADB ADB π∠=-∠=∠，
在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD AB BAD ADB
=∠∠，同理可得sin sin CD AC CAD ADC
=∠∠， 因为ABC V 中，角A 的平分线交边BC 于D ，上述两个等式相除得BD AB CD AC =， 4AB =Q ，8AC =，2BD =，8244
AC BD CD AB ⋅⨯∴===，6BC ∴=. 2222224681cos 22464AB BC AC B AB BC +-+-∴===-⋅⨯⨯，2115sin 144B ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭
. 1sin 152
ABD S AB BD B ∴=⋅⋅=V 故选：A ．
【点睛】
本题考查三角形面积的求法以及角平分线的性质应用，是中档题，解题时要注意余弦定理的合理运用，考查计算能力，属于中等题.
19．化简21sin 352sin 20︒︒-
=（ ）
A ．12
B ．12-
C ．1-
D ．1
【答案】B
【解析】
【分析】
利用降次公式和诱导公式化简所求表达式，由此求得正确结论.
【详解】 依题意，原式1cos7011cos701sin 20122sin 202sin 202sin 202
--==-⨯=-⨯=-o o o o o o ，故选B. 【点睛】
本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数诱导公式，属于基础题.
20．设
2α是第一象限角，且cos cos αα=-，则α是第（ ）象限角 A ．一
B ．二
C ．三
D ．四
【答案】B
【解析】
【分析】
计算得到720180720k k α︒<<︒+︒，k Z ∈，再根据cos 0α<得到答案.
【详解】 ∵2
α是第一象限角，∴360903602k k α︒<<︒+︒，k Z ∈， ∴720180720k k α︒<<︒+︒，k Z ∈，
∴α为第一象限角或第二象限角或终边在y 轴正半轴上的轴线角， ∵cos cos αα=-，∴cos 0α<，∴α是第二象限角.
故选：B .
【点睛】
本题考查了角度所在象限，意在考查学生的计算能力和转化能力.。