近世代数期末模拟试题练习与答案

近世代数模拟试题
一、单项选择题
1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。

A 、{}a
B 、{}e a ,
C 、{}3,a e
D 、
{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群
A 、G 为整数集合，*为加法
B 、G 为偶数集合，*为加法
C 、G 为有理数集合，*为加法
D 、G 为有理数集合，*为乘法
3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）
A 、a*b=a-b
B 、a*b=max{a,b}
C 、 a*b=a+2b
D 、a*b=|a-b|
4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）
（14），3σ=（1324），则3σ=（ ）
A 、12σ
B 、1σ2σ
C 、22σ
D 、2σ1σ
5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。

A 、不可能是群
B 、不一定是群
C 、一定是群
D 、 是交换群
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。

2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。

3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。

4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。

5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。

6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为-----------------。

7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得
10=+++n n a a a αα 。

8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为---------。

9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G 对于乘法封闭；结合律成立、---------。

10、一个环R 对于加法来作成一个循环群，则P 是----------。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、设集合A={1,2,3}G 是A 上的置换群，H 是G 的子群，H={I,(1 2)}，写出H 的所有陪集。

2、设E是所有偶数做成的集合，“•”是数的乘法，则“•”是E中的运算，（E，•）是一个代数系统，问（E，•）是不是群，为什么？
3、a=493, b=391, 求(a,b), [a,b] 和p, q。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、若<G，*>是群，则对于任意的a、b∈G，必有惟一的x∈G使得a*x ＝b。

2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：a〜b
当且仅当m︱a–b。

近世代数模拟试题参考答案
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)。

1、C；
2、D；
3、B；
4、B；
5、A；
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。

1、变换群；
2、交换环；
3、25；
4、模n乘余类加群；
5、{2}；
6、一一映射；
7、不都等于零的元；
8、右单位元；
9、消去律成立；10、交换环；
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、解：H的3个右陪集为：{I,(1 2)}，{(1 2 3 )，(1 3)}，{(1 3
2 )，(2
3 )}
H的3个左陪集为：{I,(1 2)} ，{(1 2 3 )，(2 3)}，{(1 3 2 )，
(1 3 )}
2、答：（E，•）不是群，因为（E，•）中无单位元。

3、解方法一、辗转相除法。

列以下算式：
a=b+102
b=3×102+85
102=1×85+17
由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a×b/17=11339。

然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.
所以 p=4, q=-5.
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、证明设e是群<G，*>的幺元。

令x＝a－1*b，则a*x＝a*(a－1*b)＝(a*a－1)*b＝e*b＝b。

所以，x＝a－1*b是a*x＝b的解。

若x'∈G也是a*x＝b的解，则x'＝e*x'＝(a－1*a)*x'＝a－1*(a*x')＝a－1*b＝x。

所以，x＝a－1*b是a*x＝b的惟一解。

2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z记为Zm，每个整数a所在的等价类记为[a]=｛x∈Z；m︱x–a｝或者也可记为a，称之为模m剩余类。

若m︱a–b也记为a≡b(m)。

当m=2时，Z2仅含2个元：[0]与[1]。