高一数学人教A版必修1课件：1.3.2.2 函数奇偶性的应用

A．－2
B．2
C．－98
D．98
第十三页，编辑于星期日：二十一点 五十七分。
解析：∵f(x＋4)＝f(x)， ∴f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f[4＋(－1)]＝f(－1)． 又∵f(－x)＝－f(x)， ∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2， ∴f(7)＝－2，故选A. 答案：A
第十四页，编辑于星期日：二十一点 五十七分。
[解] (1)令a＝b＝0， ∴f(0)＝0f(0)＋0f(0)＝0. 令a＝b＝1， ∴f(1)＝1f(1)＋1f(1)＝2f(1)， ∴f(1)＝0.
第二十五页，编辑于星期日：二十一点 五十七 分。
(2)证明：∵a，b∈R，∴可赋a、b为某些特殊值． 令a＝b＝－1，则f(－1)＝0. ∵f(－x)＝f(－1·x)＝－f(x)＋xf(－1)＝－f(x)＋0， ∴f(x)为奇函数．
第十八页，编辑于星期日：二十一点 五十七分。
[解] ∵f(x)在[－2,2]上为奇函数，且在[0,2]上单调递 减，故f(x)在[－2,2]上为减函数2≤，2， 1－m>m.
－1≤m≤3， 即－2≤m≤2，
m<12.
解得－1≤m<12.
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第七页，编辑于星期日：二十一点 五十七分。
2．函数奇偶性与单调性(最值)之间的关系 (1)若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M， 则f(x)在[－b，－a]上是增函数，且有最小值－M. (2)若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则f(x)在(0， ＋∞)上是增函数．
第八页，编辑于星期日：二十一点 五十七分。
A．2
B．1
C．0
D．－1
解析：∵偶函数图象关于y轴对称，∴f(x)与x轴的 两个交点关于y轴对称，若一根为x1，则另一根必为－ x1，故f(x)＝0的所有实根之和为0.
答案：C
第十二页，编辑于星期日：二十一点 五十七分。
3．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)， 当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝( )
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研习新知
第六页，编辑于星期日：二十一点 五十七分。
新知视界 1．奇(偶)函数图象的对称性 (1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是 以原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个 函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则 这个函数是奇函数． (2)如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为 对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关 于y轴对称，则这个函数是偶函数．
第十页，编辑于星期日：二十一点 五十七分。
解析：∵f(x)是奇函数，∴f(－a)＝－f(a)，即自变 量取－a时，函数值为－f(a)，故图象必过点(－a，－ f(a))．
答案：C
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2．若函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有两个交 点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是( )
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类型二 抽象函数的奇偶性问题 [例2] 已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数， 且对任意的a、b∈R都满足：f(ab)＝af(b)＋bf(a)， (1)求f(0)、f(1)的值． (2)证明f(x)为奇函数．
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4．偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上的图象如图1，则 函数f(x)的增区间为________．
图1 答案：[－1,0]，[1，＋∞)
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5．函数y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0] 上为增函数，试比较f(－78)与f(1)的大小．
解：∵f(x)是偶函数，∴f(1)＝f(－1)，又f(x)在 (－∞，0]上是增函数，－78>－1，∴f(－78)>f(－1)， 即f(－78)>f(1)．
[点评] 解决此类问题时，一定要充分利用已知的 条件，奇函数在关于原点的对称区间上单调性一致， 偶函数的单调性相反．另外，函数自身定义域对参数 的影响很容易漏掉，从而导致错解，求解时应特别注 意．
第二十页，编辑于星期日：二十一点 五十七分。
变式体验1 如果奇函数f(x)在区间[－5，－3]上是 增函数，且最大值是－4，那么f(x)在x∈[3,5]上是( )
当x1，x2∈[1，＋∞)时，f(x1)－f(x2)>0，函数y＝f(x) 是减函数．
又f(x)是奇函数，∴f(x)在(－1,0]上是增函数，在(－ ∞，－1]上是减函数．
[点评] 当f(x)是奇函数且在x＝0有意义时f(0)＝0， 本题可利用f(0)＝0求得a＝0.但f(0)＝0时f(x)不一定是奇 函数，需对a＝0时结合其他条件检验f(x)是奇函数．
第四十页，编辑于星期日：二十一点 五十七分。
(3)若f(x)与g(x)中一个为奇函数，另一个 为偶函数，则在f(x)与g(x)的定义域的公共区 间上，f(x)·g(x)，gfxx都为奇函数．
3．若y＝f(x)为奇函数，且y＝f(x)在x＝0 处有意义，则f(0)＝0.
第四十一页，编辑于星期日：二十一点 五十七 分。
解：(1)证明：由题意知，f(x)的定义域是R，它关 于原点对称．
在f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中， 令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)； 令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0. 把f(0)＝0代入f(0)＝f(x)＋f(－x)，得 f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．
第三十页，编辑于星期日：二十一点 五十七分。
[解] (1)∵f(x)＋f(－x)＝0恒成立， 即x2＋x－bxa＋1－x2－x＋bxa＋1＝0恒成立， 则2(a＋b)x2＋2a＝0对任意的实数x恒成立． ∴a＝b＝0.
第三十一页，编辑于星期日：二十一点 五十七 分。
(2)∵f(x)＝x2＋x 1(x∈R)是奇函数， ∴只需研究(0，＋∞)上f(x)的单调区间即可． 任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝x21x＋1 1－x22x＋2 1＝x2x－21＋x11xx122x＋2－11.
第三十五页，编辑于星期日：二十一点 五十七 分。
解：F(x)在(－∞，0)上是减函数． 证明如下： 任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，则有－x1>－x2>0. ∵y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(x)<0， ∴f(－x2)<f(－x1)<0① 又∵f(x)是奇函数， ∴f(－x2)＝－f(x2)，f(－x1)＝－f(x1)②
A．增函数且最大值是4 B．增函数且最小值是4 C．减函数且最大值是4 D．减函数且最小值是4
第二十一页，编辑于星期日：二十一点 五十七 分。
图2
第二十二页，编辑于星期日：二十一点 五十七 分。
解析：作一个符合条件的函数的简图． 观察图形，可知f(x)在[3,5]上是增函数，且最小值 为4. 答案：B
思考感悟 奇函数的图象一定过原点吗？ 提示：不一定．若0在定义域内，则图象 一定过原点，否则不过原点．
第九页，编辑于星期日：二十一点 五十七分。
自我检测 1．奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象必过点( ) A．(a，f(－a)) B．(－a，f(a)) C．(－a，－f(a)) D．(a，f(1a))
第二十六页，编辑于星期日：二十一点 五十七 分。
变式体验2 已知函数f(x)对一切x、y∈R都有f(x＋ y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f(x)是奇函数；(2)若f(－3)＝a，用a表示 f(12)．
分析：判定函数的奇偶性应凑f(－x)的形式，令y＝ －x即可．
第二十七页，编辑于星期日：二十一点 五十七 分。
第三十四页，编辑于星期日：二十一点 五十七 分。
变式体验3 已知y＝f(x)是奇函数，它在(0，＋∞)上
是增函数，且f(x)<0，试问F(x)＝
1 fx
在(－∞，0)上是增
函数还是减函数？证明你的结论．
分析： 任取x1<x2<0 → －x1>－x2>0 →
f－x2<f－x1<0 → fx2>fx1>0 → 结论
第三十六页，编辑于星期日：二十一点 五十七 分。
由①②得f(x2)>f(x1)>0. 于是F(x1)－F(x2)＝ffxx21－·ffxx21>0， 即F(x1)>F(x2)， 所以F(x)＝f1x在(－∞，0)上是减函数．
第三十七页，编辑于星期日：二十一点 五十七 分。
思悟升华
1．奇偶性是函数在定义域上的对称性质，单调性 反映函数在某一区间函数值的变化趋势．
第一章 集合与函数概念
第一页，编辑于星期日：二十一点 五十七分。
1．3 函数的基本性质
第二页，编辑于星期日：二十一点 五十七分。
1.3.2 奇偶性
第三页，编辑于星期日：二十一点 五十七分。
第2课时 函数奇偶性的应用
第四页，编辑于星期日：二十一点 五十七分。
1.了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系． 2．掌握函数奇偶性与其他性质的综合运用． 3．进一步感悟数形结合思想的运用.
第二十八页，编辑于星期日：二十一点 五十七 分。
(2)解：由f(－3)＝a，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(x)是奇 函数，得f(12)＝2f(6)＝4f(3)＝－4f(－3)＝－4a.
第二十九页，编辑于星期日：二十一点 五十七 分。
类型三 奇偶函数的单调性 [例3] 已知f(x)＝x2＋x－bxa＋1是奇函数． (1)求a、b的值； (2)求f(x)的单调区间，并加以证明． [分析] 利用奇函数的定义和增(减)函数的定义求解．
第十六页，编辑于星期日：二十一点 五十七分。
互动课堂
第十七页，编辑于星期日：二十一点 五十七分。
典例导悟
类型一 利用函数奇偶性和单调性解不等式 [例1] 设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2] 上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围． [分析] 利用奇函数性质知f(x)在[－2,2]上是减函数， 再结合单调性，脱去符号“f”，转化为关于m的不等式 (组)．
函数的奇偶性与单调性是函数的两个重要性质，在 解答数学问题时，要善于应用函数的观点，挖掘函数 的奇偶性和单调性，并注意奇偶性与单调性的相互关 系．
第三十八页，编辑于星期日：二十一点 五十七 分。
即：若y＝f(x)为奇函数，则y＝f(x)在关于原点对称 的区间上的单调性相同．
若y＝f(x)为偶函数，则y＝f(x)在关于原点对称的区 间上的单调性相反．
第三十二页，编辑于星期日：二十一点 五十七 分。
∵x12＋1>0，x22＋1>0，x2－x1>0， 而x1，x2∈[0,1)时，x1x2－1<0， x1，x2∈[1，＋∞)时，x1x2－1>0， ∴当x1，x2∈[0,1)时，f(x1)－f(x2)<0，函数y＝f(x)是 增函数；
第三十三页，编辑于星期日：二十一点 五十七 分。
第三十九页，编辑于星期日：二十一点 五十七 分。
2．函数奇、偶性的运算． (1)若f(x)与g(x)都是奇函数，则在f(x)与g(x)的定义域 的公共区间上，f(x)＋g(x)，f(x)－g(x)都是奇函数，f(x)·g(x) 与fx 为偶函数． gx (2)若f(x)与g(x)都是偶函数，则在f(x)与g(x)的定义域 的公共区间上，f(x)＋g(x)，f(x)－g(x)，f(x)·g(x)，gfxx都是 偶函数．